về các tập giả giá và quỹ tích không cohen - macaulay của các môđun hữu hạn sinh

Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là R-môđun Cohen-Macaulay.Lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là một trong những lớp vành vàmôđun quan trọng nhất của Đại số giao hoán.. Quỹ tí

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

––––––––––––––––––––

NGUYỄN VIỆT HƯƠNG

VỀ CÁC TẬP GIẢ GIÁ VÀ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN - MACAULAY CỦA CÁC

MÔĐUN HỮU HẠN SINH

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN

Lời cảm ơn 1

1.1 Chuẩn bị về chiều 5

1.2 Chuẩn bị về dãy chính quy và độ sâu 9

1.3 Vành và môđun Cohen-Macaulay 11

1.4 Liên hệ với tính không trộn lẫn và tính catenary phổ dụng 14

1.5 Đặc trưng đồng điều của môđun Cohen-Macaulay 16

2 Giả giá và quỹ tích không Cohen-Macaulay 22 2.1 Tập giả giá và một số tính chất 22

2.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá 27

2.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre 33

Tài liệu tham khảo 40

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêmkhắc của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Nhân dịp này tôi xin chân thànhbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS TSNguyễn Quốc Thắng, PGS.TSKH Phùng Hồ Hải, TS Vũ Thế Khôi và cácthầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tìnhgiảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại Trường

Tôi cũng rất biết ơn cán bộ, Giáo viên trường THPT Lương Ngọc Quyếnnơi tôi đang công tác, đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành kế hoạchhọc tập của mình

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới người thân, bạn bè đã luôngiúp đỡ, động viên để tôi hoàn thành công việc

Lời nói đầu

Trong suốt luận văn, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương

và M là R-môđun hữu hạn sinh Ta luôn có dim M ≥ depth M Nếudim M = depth M thì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay Vành R

được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là R-môđun Cohen-Macaulay.Lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là một trong những lớp vành vàmôđun quan trọng nhất của Đại số giao hoán Chúng còn xuất hiện trongnhiều lĩnh vực khác của toán học như Đại số tổ hợp, Đại số đồng điều,Hình học đại số

Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M, kí hiệu bởi nCM(M), đượcxác định bởi công thức

nCM(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp không là Cohen-Macaulay}

Nhiều nhà toán học đã chứng minh tính đóng của quỹ tích không Macaulay của các R-môđun hữu hạn sinh khi vành cơ sở R là vành thươngcủa vành Gorenstein (chẳng hạn như P Schenzel [S]) Cũng với giả thiếtnày, năm 1991, N T Cường [C] đã xác định chiều của nCM(M) thôngqua một bất biến gọi là kiểu đa thức của M

Cohen-Gần đây, năm 2010, N T Cường, N T K Nga, L T Nhàn [CNN] đãmô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay của M thông qua các tập giả giácủa M trong trường hợp tổng quát (không cần bất cứ điều kiện gì của R),trong đó tập giả giá thứ i của M, kí hiệu bởi PsuppRM, được định nghĩabởi M Brodmann và R.Y Sharp [BS1] như sau

PsuppiRM = {p ∈ Spec(R) | HpRpi−dim(R/p)(Mp) 6= 0}

Từ đó họ chứng minh tính đóng của nCM(M) dưới giả thiết R là vànhthương của vành Cohen-Macaulay (giả thiết này là yếu hơn vì mỗi vành

Gorenstein là vành cohen-Macaulay) Quỹ tích không Cohen-Macaulaycủa M còn được nghiên cứu trong mối quan hệ với tính catenary của vànhR/ AnnR(M ), các điều kiện Serre trên M và tính không trộn lẫn của vànhR/p với p ∈ SuppR(M ).

Mục đích chính của luận văn là trình bày lại chi tiết các kết quả trên vềquỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(M) và các tập giả giá Psuppi(M )của Nguyễn Tự Cường, Lê Thanh Nhàn và Nguyễn Thị Kiều Nga trongbài báo: On pseudo supports and non-Cohen-Macaulay locus of finitelygenerated modules, 323 (2010), 3029-3038 Bên cạnh đó, luận văn trìnhbày những tính chất cơ bản nhất của vành và môđun Cohen-Macaulay:chuyển qua đầy đủ, chuyển qua địa phương hóa, xét tính catenary phổdụng, xét tính không trộn lẫn và đặc trưng đồng điều

Luận văn chia làm 2 chương Chương I trình bày các tính chất cơ bản

về vành và môđun Cohen-Macaulay Các nghiên cứu về quỹ tích khôngCohen-Macaulay và các tập giả giá của các môđun hữu hạn sinh được viếttrong Chương II

Vành và môđun Cohen-Macaulay

Trong suốt luận văn này, cho R là một vành giao hoán Noether và M là

R-môđun hữu hạn sinh Để tiện theo dõi, trước khi trình bày khái niệmvành và môđun Cohen-Macaulay, chúng ta nhắc lại một số khái niệm vàtính chất về chiều và độ sâu

1.1 Chuẩn bị về chiều

Đặt AnnRM = {a ∈ R | aM = 0} Khi đó AnnRM là iđêan của R.1.1.1 Định nghĩa Một dãy p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn các iđêan nguyên tốcủa R thỏa mãn điều kiện pi 6= pi+1 với mọi i được gọi là một dãy iđêannguyên tố độ dài n của R Chiều (Krull) của vành R, kí hiệu là dim R, làcận trên của các độ dài của các dãy iđêan nguyên tố của R Chiều (Krull)của M, kí hiệu là dim M, là chiều của vành thương R/ AnnRM

1.1.2 Ví dụ (i) Trong vành Z các số nguyên, dãy {0} ⊂ 2Z là một dãyiđêan nguyên tố độ dài 1 Vì các iđêan nguyên tố của Z là {0} và cáciđêan có dạng pZ với p là số nguyên tố, nên cận trên của các độ dài củacác dãy iđêan nguyên tố trong Z là 1 Vì thế dim Z = 1

(ii) Xét vành Z6 Vành này có 2 iđêan nguyên tố là 3Z6 và 2Z6 Do đódim Z6 = 0

Một trong những phương pháp tính chiều của các môđun hữu hạn sinhtrên vành Noether là thông qua chiều của các iđêan nguyên tố liên kết,

được nêu trong bổ đề sau đây Nhắc lại rằng một iđêan nguyên tố p của R

được gọi là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại 0 6= x ∈ Msao cho p = AnnRx Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kíhiệu là AssRM Giá của M, kí hiệu là Supp M, được cho bởi công thức

Supp M = {p ∈ Spec(R) | Mp 6= 0}

1.1.3 Bổ đề Tập các iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu của M chính làtập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnRM Đặc biệt ta có

dim M = max{dim(R/p) | p ∈ AssRM }

Chứng minh Vì M hữu hạn sinh nên Supp M = Var(AnnRM ) Do đómin Supp M = min Var(AnnRM ) Theo [Mat, Định lí 6.5(iii)] ta cómin Ass M = min Supp M Do đó min Ass M = min Var(AnnRM ).Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính chiều của vành đa thức (xem[Mat, Định lí 15.4])

aixi | ai ∈ R, ∀io Mỗi phần tử của R[[x]]

được gọi là một chuỗi lũy thừa hình thức của biến x với hệ số trong R

duy nhất m thì R[[x]] cũng là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất

1.1.6 Ví dụ (i) Tính chiều của vành Z[x, y, z]/I với I = (x2, y)∩(z3) Đặt

R = Z[x, y, z] Ta có dim R = 3 + dim Z = 4 Chú ý rằng AssR(R/I) ={(x, y), (z)} Suy ra

dim(R/I) = max{dim(R/(x, y)), dim(R/(z))} = 3

(ii) Tinh chiều của vành R[[x, y, z, t]]/J với J = (x, y2, z) ∩ (y, z3, t5)

Đặt R = R[[x, y, z, t]] Khi đó dim R = 4+dim R = 4 Ta có AssR(R/J ) ={(x, y, z), (y, z, t)} Suy ra

dim(R/J ) = max{dim R/(x, y, z), dim(R/(y, z, t)} = 1

1.1.7 Định nghĩa Vành Noether R được gọi là vành địa phương nếu nó

có duy nhất một iđêan tối đại

Từ nay về sau, luôn giả thiết (R, m) là vành địa phương với m là iđêantối đại duy nhất và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d

1.1.8 Định nghĩa Một iđêan I của R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu

I 6= R và từ điều kiện xy ∈ I kéo theo x ∈ I hoặc tồn tại số n > 0 saocho yn ∈ I với x, y ∈ R Giả sử I là một iđêan nguyên sơ của R Khi đótập √I = {x ∈ R | ∃n ∈ N để xn ∈ I} là một iđêan nguyên tố p của R,trong trường hợp này ta gọi I là iđêan p-nguyên sơ

Định lí sau đây, gọi là Định lí đa thức Hilbert - Samuel, cho ta 2 bấtbiến tương đương với chiều.

1.1.9 Định lý ([Mat, Định lí 13.4]) Cho q là một iđêan m-nguyên sơ Khi

đó, `(M/qnM ) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn và

dim M = deg `(M/qnM )

= inf t | ∃x1, , xt ∈ m, `(M/(x1, , xt)M ) < ∞ 1.1.10 Nhận xét Vì R là vành Noether nên m là hữu hạn sinh Do đótồn tại hữu hạn phần tử x1, , xt ∈ m sao cho m = (x1, , xt)R Vì

`(M/mM ) < ∞ nên `(M/(x1, , xt)M ) < ∞ Do đó theo Định lí đathức Hilbert - Samuel ta suy ra dim M < ∞

1.1.11 Hệ quả dim(M/(x1, , xr)M ) ≥ d − r, ∀x1, , xr ∈ m

Chứng minh Bằng quy nạp ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp r = 1

Theo Định lí đa thức Hilbert - Samuel, tồn tại x1, , xk ∈ m sao cho

`(M1/(x1, , xk)M1) < ∞ Do đó `(M/(x, x1, , xk)M ) < ∞ Theo

Định lí đa thức Hilbert - Samuel, d = dim M 6 k + 1 Do đó d − 1 6 k,vô lí

1.1.12 Định nghĩa Một hệ (x1, , xd) ⊆ m được gọi là một hệ tham

số của M nếu `(M/(x1, , xd)M ) < ∞ Một hệ (x1, , xr) ⊆ m với

r 6 d, được gọi là một phần hệ tham số của M nếu

k ∈ N cho trước, tồn tại số n0 sao cho xn ∈ mk với mọi n ≥ n0 Ta trang

bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy(xn), (yn) được gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn) là dãy không Kíhiệu Rblà tập các lớp tương đương Chú ý rằng quy tắc cộng (xn) + (yn) =(xn + yn) và quy tắc nhân (xn)(yn) = (xnyn) không phụ thuộc vào cáchchọn các đại diện của các lớp tương đương Vì thế nó là các phép toántrên Rb và cùng với hai phép toán này, Rb làm thành một vành Noether địaphương với iđean tối đại duy nhất là mR.b Vành Rb vừa xây dựng được gọi

là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R

Một dãy (zn) ⊆ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu vớimỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 sao cho zn − zm ∈ mkM Từ khái niệmdãy Cauchy như trên, tương tự ta định nghĩa được khái niệm môđun đầy

đủ theo tôpô m-adic trên vành Rb Môđun này được kí hiệu là M c

1.1.13 Ví dụ Cho K là một trường, K[x1, , xn] là vành đa thức n biếntrên K Vành S = K[x1, , xn] không là vành địa phương Dễ thấy

P = (x1, xn)S là iđêan cực đại của S Do đó vành địa phương hóa

R = SP là vành địa phương với iđêan tối đại là m = (x1, xn)R Người

ta có thể kiểm tra được vành đầy đủ m-adic của R chính là K[[x1, , xn]].Kết quả sau đây khẳng định rằng chiều của một môđun là không đổikhi chuyển qua đầy đủ m-adic (xem [Mat, Định lí 15.1(ii)])

1.1.14 Bổ đề dim M = dim(M ).c

1.2 Chuẩn bị về dãy chính quy và độ sâu

1.2.1 Định nghĩa (i) Một dãy các phần tử x1, , xt của R được gọi làmột M-dãy chính quy độ dài t nếu (x1, , xt)M 6= M và xi không là

ước của không đối với môđun thương M/(x1, , xt)M với mọi i

(ii) Cho I là một iđêan của R Một M-dãy chính quy x1, , xt ∈ I

được gọi là cực đại trong I nếu không tồn tại y ∈ I sao cho x1, , xt, y

là M-dãy chính quy

1.2.2 Bổ đề Cho I là một iđêan của R Khi đó mỗi M-dãy chính quytrong I luôn mở rộng được thành một M-dãy chính quy cực đại và hai

M-dãy chính quy cực đại trong I luôn có chung độ dài

Từ Bổ đề 1.2.2 ta có khái niệm sau

1.2.3 Định nghĩa Độ dài của một M-dãy chính quy tối đại trong I đượcgọi là độ sâu của M trong I và được kí hiệu là depth(I, M) Khi I = mthì ta viết depth(M) thay cho depth(m, M) Ta gọi depth M là độ sâucủa M

1.2.4 Chú ý (i) Theo Bổ đề Nakayama ta có M 6= mM do đó nếu

x1, , xt ∈ m thì M 6= (x1, , xt)M Trong trường hợp này, x1, , xt

là M-dãy chính quy nếu và chỉ nếu xi không là ước của không đối vớimôđun thương M/(x1, , xt)M với mọi i

(ii) Phần tử x ∈ m là M-chính quy nếu và chỉ nếu x /∈ p với mọi

p ∈ Ass M Vì thế depth(M) = 0 nếu và chỉ nếu m ∈ Ass M

(iii) Nếu a ∈ I là M-chính quy thì

depth(I, M ) = depth(I, M/aM ) + 1

1.2.5 Bổ đề Ta có depth(M) 6 dim R/p với mọi p ∈ Ass(M)

Chứng minh Cho p ∈ Ass M Ta chứng minh bằng quy nạp theo dim R/p.Nếu dim R/p = 0 thì m = p và do đó m ∈ Ass(M) Theo Chú ý 1.2.4(ii),

ta có depth M = 0, kết quả đúng trong trường hợp này

Giả sử dim R/p > 0 Nếu m ∈ Ass M thì theo chứng minh trên ta códepth(M ) = 0, do đó kết quả là đúng Giả sử m /∈ Ass M Theo Định lí

tránh nguyên tố, tồn tại a ∈ m sao cho a /∈ p với mọi p ∈ Ass M Do đó

x là M-chính quy theo Chú ý 1.2.4 Do đó tồn tại Q ∈ Ass(M/aM) saocho Q ⊇ p + Ra Vì a /∈ p nên dim(R/Q) < dim(R/p) Vì thế theo giảthiết quy nạp ta có depth(M/aM) 6 dim(R/Q) < dim(R/p) Theo Chú

ý 1.2.4 ta có

depth(M ) = depth(M/aM ) + 1 6 dim(R/Q) + 1 6 dim R/p

Kết quả sau đây khẳng định rằng độ sâu không thay đổi khi chuyểnqua đầy đủ (xem [Mat, Bài tập 16.7 -Trang 133])

1.2.6 Bổ đề Cho I là iđêan của R Khi đó depth(I, M) = depth(IR, cb M )

Đặc biệt, depth(M) = depth(M ).c

1.3 Vành và môđun Cohen-Macaulay

Luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữuhạn sinh với dim M = d

Từ các Bổ đề 1.1.3 và 1.2.5 ta có ngay kết quả sau

1.3.1 Hệ quả dim M ≥ depth M

1.3.2 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu

Cohen-Macaulay nếu R xét như R-môđun là Cohen-Cohen-Macaulay

Dưới đây là một số ví dụ về vành và môđun Cohen-Macaulay

1.3.3 Ví dụ Cho K là một trường và x, y, z là các biến và R = K[[x, y, z]].Khi đó:

(i) R là vành Cohen-Macaulay;

(ii) Môđun M = R/((x2, z) ∩ (y, z)) là Cohen-Macaulay;

(iii) Môđun N = R/((x2) ∩ (y, z2)) không là môđun Cohen-Macaulay

Chứng minh Rõ ràng R là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là(x, y, z)

(i) Ta có dim R = dim K[[x, y, z]] = 3 Rõ ràng x, y, z là một R-dãychính quy Vì thế depth R = dim R = 3 Do đó R là Cohen-Macaulay

(ii) Ta có AssRM = {(x, z), (y, z)} Do đó

dim M = max{dim R/(x, z), dim R/(y, z)} = 1

Vì (x, y, z) /∈ Ass M nên depth M > 0 Do đó depth M = dim M = 1.Vì thế M là Cohen-Macaulay

(iii) Ta có Ass N = {(y, z), (x)} Vì thế

dim N = max{dim R/(x), dim R/(y, z)} = 2

Theo hệ quả 1.3.1 ta có depth N 6 dim(R/(y, z)) = 1 Do đó N không

là môđun Cohen-Macaulay

Từ Bổ đề 1.1.14 và Bổ đề 1.2.6 ta thấy rằng tính Cohen-Macaulay cóthể chuyển qua đầy đủ

1.3.4 Hệ quả M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi Mclà Cohen-Macaulay.Kết quả tiếp theo khẳng định rằng tính Cohen-Macaulay có thể chuyểnqua thương cho một dãy chính quy

1.3.5 Hệ quả Nếu x1, , xr ∈ m là dãy M-chính quy thì M là môđunCohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M/(x1, , xr)M là môđun Cohen-Macaulaychiều là d − r

Chứng minh Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp r = 1.Giả sử x là M-chính quy Khi đó, theo Chú ý 1.2.4 ta có depth(M/xM) =depth M − 1 Theo Hệ quả 1.1.11 ta có dim(M/xM) ≥ d − 1 Vì x là

M-chính quy nên theo Chú ý 1.2.4 ta có x /∈ p với mọi p ∈ Ass M Do

đó dim(M/xM) 6 d − 1 Vì thế dim(M/xM) = d − 1 Suy ra M làCohen-Macaulay nếu và chỉ nếu dim M = depth(M) = d nếu và chỉ nếu

dim(M/xM ) = d − 1 = depth M − 1 = depth(M/xM ),

nếu và chỉ nếu M/xM là Cohen-Macaulay chiều d − 1

Theo chứng minh Hệ quả 1.3.5 ta thấy rằng mỗi dãy chính quy của M

là một phần hệ tham số của M Tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính chấtCohen-Macaulay khi chuyển qua địa phương hóa

1.3.6 Định lý Nếu M là Cohen-Macaulay thì Mp là Cohen-Macaulay vớimọi p ∈ Supp M

Chứng minh Cho p ∈ Supp M do đó suy ra Mp 6= 0 Ta cần chứngminh dim Mp = depth Mp bằng quy nạp theo depth Mp Thật vậy ta códim Mp ≥ depth Mp Nếu depth Mp = 0 thì theo Chú ý 1.2.4(ii) suy ra

pRp ∈ Ass(Mp) Ta có Ass Mp = qRp | q ⊆ p, q ∈ Ass M Do đó

p ∈ Ass M Vì M là Cohen-Macaulay nên ta có p ∈ min Ass M Suy radim Mp = 0 Vì thế Mp là Cohen-Macaulay

Cho depth Mp > 0 Khi đó dim Mp > 0 theo Hệ quả 1.3.1 Do đó

p ∈ min Ass M./ Vì M là Cohen-Macaulay nên p /∈ Ass M Do đó p 6⊆ qvới mọi q ∈ Ass M Vì thế tồn tại x ∈ p sao cho x /∈ q với mọi q ∈ Ass M.Suy ra x là M-chính quy Đặt N = M/xM Vì M là Cohen-Macaulaynên N là Cohen-Macaulay Theo giả thiết quy nạp ta có Np = Mp/xMp

là Cohen-Macaulay Chú ý rằng x/1 /∈ qRp với mọi qRp ∈ Ass(Mp)

Do đó x/1 là Mp-chính quy Theo Hệ quả 1.3.5 ta suy ra Mp là môđunCohen-Macaulay.

1.4 Liên hệ với tính không trộn lẫn và tính catenary phổ

R được gọi là vành catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p, luôntồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p và các dãy nguyên tố bãohòa giữa q và p đều có chung độ dài

1.4.2 Chú ý Vì R là vành địa phương nên dim R < ∞ Do đó với mỗicặp iđêan nguyên tố q ⊂ p, luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa

q và p Vì thế, R là catenary nếu và chỉ nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố

q ⊂ p, các dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài

Chú ý rằng với mỗi d ≥ 3, luôn tồn tại một miền nguyên Noether địaphương không catenary chiều d Các tính chất sau đây dễ dàng suy ra từ

Định nghĩa 1.4.1

1.4.3 Bổ đề Các phát biểu sau là đúng

(i) Mọi vành Noether địa phương chiều 2 đều là catenary

(ii) Vành thương của vành catenary là catenary

Theo M Nagata [Na] định nghĩa, M được gọi là môđun không trộn lẫnnếu dim(R/P ) = dim cb M với mọi P ∈ Ass(M ).c Ta nói M là đẳng chiều

nếu dim M = dim(R/p) với mọi p ∈ min Ass M Môđun M được gọi làtựa không trộn lẫn nếu dimM = dim( bc R/P ) với mọi P ∈ min AssM cNhư vậy nếu M là tựa không trộn lẫn thì Mclà đẳng chiều và do đó M là

đẳng chiều

Mệnh đề sau đây khẳng định tính đẳng chiều của các môđun Macaulay

Cohen-1.4.4 Mệnh đề Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay Khi đó

depth(M ) = dim M = dim R/pvới mọi p ∈ Ass(M) Đặc biệt, Ass(M) = min Ass M và M là đẳngchiều

Chứng minh Vì M là Cohen-Macaulay nên depth(M) = dim M Theocác Bổ đề 1.1.3, 1.2.5 ta có depth(M) = dim M = dim R/p với mọi

p ∈ Ass(M )

1.4.5 Định nghĩa Vành R được gọi là catenary phổ dụng nếu mọi đại sốhữu hạn sinh trên R đều catenary

Chú ý rằng nếu S là một đại số hữu hạn sinh trên R thì khi đó tồn tại

a1, , an ∈ S sao cho S = R[a1, , an] Hơn nữa, ta có toàn cấu vànhR[x1, , xn] −→ R[a1, , an] cho bởi f(x1, , xn) = f (a1, , an)

(i) R là catenary phổ dụng

(ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary

(iii) R là tựa không trộn lẫn

Kết quả chỉ ra tính không trộn lẫn và tính catenary phổ dụng khi M làCohen-Macaulay.

1.4.7 Định lý Giả sử M là Cohen-Macaulay Khi đó

(i) M là không trộn lẫn

(ii) R/ AnnRM là catenary phổ dụng

Chứng minh (i) Vì M là môđun Cohen-Macaulay nên Mc là Macaulay theo Hệ quả 1.3.4 Theo Mệnh đề 1.4.4 ta có dim(M ) =cdim( bR/P ) với mọi P ∈ Ass(M ).c Vì thế M là không trộn lẫn

Cohen-(ii) Do min AssM = min Var(Annc RM )c nên

dim( cM ) = dim( bR/ Ann

b

RM ) = dim( bc R/P )với mọi P ∈ min Var(AnnRM ).c Vì thế R/ AnnRM là không trộn lẫn vàvì thế nó là tựa không trộn lẫn Theo Mệnh đề 1.4.6 ta suy ra R/ AnnRM

là catenary phổ dụng

1.5 Đặc trưng đồng điều của môđun Cohen-Macaulay

Tiết này nhằm trình bày một đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay thôngqua môđun đối đồng điều địa phương Các thuật ngữ và kết quả của tiếtnày được tham khảo từ cuốn sách của M Brodmann và R Y Sharp [BS].1.5.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của R Với mỗi R-môđun L ta địnhnghĩa ΓI(L) = S

trong đó mỗi Ei là môđun nội xạ Chú ý rằng với mỗi môđun đều nhúng

được vào một môđun nội xạ, vì thế, mỗi môđun đều có giải nội xạ

1.5.2 Định nghĩa Cho L là R-môđun và I là iđêan của R Môđun dẫnsuất phải thứ n của hàm tử I-xoắn ΓI(−) ứng với L được gọi là môđun

đối đồng điều thứ n của L với giá I, kí hiệu là Hn

−→ Γ(E1) u

∗ 1

−→ Γ(E2) −→ Khi đó Hn

I(L) = Ker u∗n/ Im u∗n−1 là môđun đối đồng điều thứ n của đốiphức trên, môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của L.Cho I là iđêan của R Nhắc lại rằng R-môđun L được gọi là I-xoắnnếu L = ΓI(L) Sau đây là những tính chất cơ bản của môđun đối đồng

0 −→ ΓI(L0) −→ ΓI(L) −→ ΓI(L00) −→ Hδ0 I1(L0)

−→ HI1(L) −→ HI1(L00) δ1

−→ HI2(L0) −→

Từ nay về sau, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương, M

là R-môđun hữu hạn sinh chiều d Trước hết ta có tính chất đơn giản sau

đây cho tính triệt tiêu của H0

m(M ).1.5.4 Bổ đề m ∈ AssRM nếu và chỉ nếu depth(M) = 0, nếu và chỉ nếu

Hm0(M ) 6= 0

Chứng minh Cho m ∈ AssRM Nếu depth(M) > 0 thì tồn tại x ∈ m là

M-chính quy Suy ra 0 :M x = 0 Suy ra 0 :M m = 0 Vì m ∈ Ass Mnên m = AnnRm với 0 6= m ∈ M Suy ra mm = 0 Suy ra m ∈ 0 :M m

Do đó 0 :M m 6= 0 Điều này là vô lí Do đó depth M = 0 Giả sửdepth M = 0 Nếu H0

m(M ) = 0 thì 0 :M m = 0 do H0

m(M ) là m-xoắn

Do đó m /∈ AssRM Do đó ta chọn được x ∈ m sao cho x /∈ p với mọi

p ∈ Ass M Suy ra x là M-chính quy, tức là depth M > 0 Điều này làvô lí Giả sử H0

m(M ) 6= 0 Vì `(H0

m(M )) < ∞ nên m ∈ AssRHm0(M ) Vì

Hm0(M ) ⊆ M nên m ∈ AssRM

1.5.5 Mệnh đề Hi

I(M ) = 0 với mọi iđêan I và mọi i > dim M

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo d = dim M ≥ 0 Cho

d = 0 Khi đó `(M) < ∞ Do đó M = H0

I(M ) 6= 0 và M là I-xoắn.Theo Tính chất 1.5.3 ta có Hi

I(M ) = 0với mọi i > 0 Mệnh đề đúng trongtrường hợp này Cho d > 0 Đặt M = M/ΓI(M ) Chú ý rằng ΓI(M ) làmôđun I-xoắn nên Hi

I(ΓI(M )) = 0 với mọi i > 0 Vì thế từ dãy khớp

0 −→ ΓI(M ) −→ M −→ M −→ 0ta có các đẳng cấu Hi

I(M ) ∼= HIi(M )với mọi i > 0 Kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I.Khi đó Ass M = Ass M \ Var(I) Theo Định lí tránh nguyên tố, tồn tại

x ∈ I sao cho x /∈ p với mọi p ∈ Ass M Vì thế x là M-chính quy Xét

−→ M −→ M /xM −→ 0 Ta có dãy khớp cảm sinh

HIj(M /xM ) −→ HIj+1(M ) −→ Hx Ij+1(M ) −→ HIj+1(M /xM )

với mọi j > 0 Chú ý rằng dim(M) = d Vì thế dim(M/xM) = d−1 Do

đó theo giả thiết quy nạp ta có Hj

I(M /xM ) = 0với mọi j > d−1 Suy ra

HIj+1(M ) −→ Hx Ij+1(M ) là đẳng cấu với mọi j > d − 1 Do đó hạt nhâncủa đẳng cấu này phải bằng 0, tức là 0 :HIj+1(M ) x = 0 Vì Hj+1

I (M ) là

I-xoắn nên ta suy ra Hj+1

I (M ) = 0 với mọi j > d − 1 Do đó Hi

I(M ) = 0với mọi i > d

Khi I = m ta có đặc trưng sau đây

1.5.6 Mệnh đề dim M = max{i | Hi

m(M ) 6= 0}

Tiếp theo là đặc trưng của độ sâu

1.5.7 Mệnh đề Cho I là iđêan của R Khi đó tồn tại M-dãy chính quy

độ dài n trong I nếu và chỉ nếu Hi

I(M ) = 0 với mọi i < n Đặc biệt,depth(I, M ) = inf{i | HIi(M ) 6= 0}

Chứng minh (⇒) Giả sử x1, , xn ∈ I là M-dãy chính quy Ta chứngminh Hi

I(M ) = 0 với mọi i < n bằng quy nạp theo n Cho n = 1 Ta có

Vì x2, , xn là M/x1M-dãy chính quy nên theo giả thiết quy nạp ta có

HIi(M/x1M ) = 0 với mọi i < n − 1 Đặc biệt, Hn−2

I (M/x1M ) = 0