Trongluận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tíchkhông Cohen-Macaulay với vành cơ sở tùy ý, đồng thời nghiêncứu tính chất của quỹ tích này trong mối quan hệ với tính cate-na
Trang 1NGUYỄN THỊ KIỀU NGA
MỘT SỐ QUỸ TÍCH CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62.46.01.04
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
Trang 2Người hướng dẫn khoa học:
PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn - ĐHKH Thái Nguyên
TS Nguyễn Thị Hồng Loan - Đại học Vinh
Phản biện 1: GS TSKH Ngô Việt Trung - Viện Toán họcPhản biện 2: PGS TS Đàm Văn Nhỉ - ĐHSP Hà Nội
Phản biện 3: TS Trần Nguyên An - ĐHSP Thái Nguyên
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trườnghọp tại Trường Đại học Vinh, Số 182, Lê Duẩn, Tp Vinh, Nghệ
An, vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu Luận án tại:
- Thư viện quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào,
Trường Đại học Vinh
Trang 3Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài
Cho pR, mq là vành giao hoán, địa phương, Noether vớiiđêan cực đại duy nhất m Cho M là R-môđun hữu hạn sinhvới chiều Krull dim M d Ta luôn có depth M ¤ dim M Nếudepth M dim M thì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay Lớpvành và môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm trongĐại số giao hoán và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhaucủa Toán học như Đại số đồng điều, Tổ hợp và Hình học đại số
Nhiều mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay
đã được giới thiệu và quan tâm nghiên cứu Hai mở rộng đầu tiên
là lớp vành (môđun) Buchsbaum và lớp vành (môđun) Macaulay suy rộng Với mọi hệ tham số x của M , đặt Ipx; Mq
Cohen-`pM{xMq epx; Mq, trong đó epx; Mq là số bội của M ứng với
hệ tham số x Ta luôn có Ipx; Mq ¥ 0 với mọi hệ tham số x của
M và M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Ipx; Mq 0 với một(hoặc với mọi) hệ tham số x của M Vì thế, năm 1965, D A.Buchsbaum đã đưa ra giả thuyết rằng Ipx; Mq là một hằng sốkhông phụ thuộc vào hệ tham số x của M Năm 1973, W Vogel
và J St:uckrad đã xây dựng hàng loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyếtcủa D A Buchsbaum là không đúng, đồng thời họ nghiên cứulớp vành và môđun thỏa mãn điều kiện trong giả thuyết của D
A Buchsbaum Các môđun này được gọi là môđun Buchsbaum.Sau đó, năm 1978, N T Cường, P Schenzel và N V Trung
đã giới thiệu và nghiên cứu lớp môđun M thỏa mãn điều kiệnsup Ipx; Mq 8, trong đó cận trên lấy theo mọi hệ tham số x của
M , và họ gọi chúng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng Ngàynay, khái niệm môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulaysuy rộng đã trở nên rất quen biết trong Đại số giao hoán
Trang 4Hai mở rộng tiếp theo dựa vào tính chất không trộn lẫncủa môđun Cohen-Macaulay Ta biết rằng nếu M là môđunCohen-Macaulay thì dim R{p d với mọi p P AssRM Khinghiên cứu cho trường hợp môđun trộn lẫn, R P Stanley đãgiới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy cho các môđunphân bậc, sau đó được P Schenzel, N T Cường và L T Nhànđịnh nghĩa cho môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Mởrộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng cho trường hợpmôđun trộn lẫn, N T Cường và L T Nhàn đã giới thiệu kháiniệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy.
Hai mở rộng khác của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay
là lớp vành (môđun) giả Cohen-Macaulay và lớp vành (môđun)giả Cohen-Macaulay suy rộng Cho x px1, , xdq là hệ tham
Khi đó QMpxq là môđun con của M và xM QMpxq Năm 1966,
R Hartshorne đã chỉ ra rằng, nếu M là môđun Cohen-Macaulaythì xM QMpxq với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M,tức là
Jpx; Mq epx; Mq ` M{QMpxq 0
Hơn nữa, nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì sup Jpx; Mq
8, trong đó cận trên lấy theo các hệ tham số x của M Vì thế,năm 2003, N T Cường và L T Nhàn đã nghiên cứu lớp môđun
M thỏa mãn điều kiện Jpx; Mq 0 với một (hoặc với mọi) hệtham số x của M Họ gọi lớp môđun này là môđun giả Cohen-Macaulay Đồng thời N T Cường và L T Nhàn cũng nghiêncứu lớp môđun M với tính chất sup Jpx; Mq 8 trong đó cậntrên lấy theo tập tất cả các hệ tham số x của M và họ gọi chúng
là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng
Tóm lại, cùng với lớp môđun Cohen-Macaulay, các lớpmôđun Buchsbaum, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun
Trang 5Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy,môđun giả Cohen-Macaulay và môđun giả Cohen-Macaulay suyrộng đã trở thành những lớp môđun được quan tâm trong Đại
số giao hoán Tuy nhiên, nghiên cứu các quỹ tích liên quan đếntính Cohen-Macaulay là một hướng nghiên cứu thời sự cần đượcquan tâm của Đại số giao hoán
Các nghiên cứu trước đây về quỹ tích không Macaulay chỉ tập trung chủ yếu về tính chất đóng theo tôpôZariski hoặc về chiều của quỹ tích khi vành cơ sở R "tốt”, chẳnghạn khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương Trongluận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tíchkhông Cohen-Macaulay với vành cơ sở tùy ý, đồng thời nghiêncứu tính chất của quỹ tích này trong mối quan hệ với tính cate-nary, catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn của vành, các điềukiện Serre của môđun và tính Cohen-Macaulay của các thớ hìnhthức Chúng tôi cũng đặt vấn đề nghiên cứu một số quỹ tíchliên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy, quỹtích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng
Cohen-Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu choluận án của mình là: "Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinhtrên vành địa phương Noether "
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là mô tả quỹ tích không Macaulay và một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulaynhư quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích khôngCohen-Macaulay dãy và quỹ tích không Cohen-Macaulay suyrộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng Đồng thời chứng minh một số kết quả mới
Cohen-về các quỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary, tínhcatenary phổ dụng, các điều kiện Serre, tính Cohen-Macaulay
Trang 6của các thớ hình thức, chiều của các môđun đối đồng điều địaphương và kiểu đa thức.
3 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số quỹ tích củamôđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán địa phương Noetherliên quan đến tính Cohen-Macaulay
4 Phạm vi nghiên cứu
Lĩnh vực nghiên cứu của luận án là Đại số giao hoán.Luận án tập trung nghiên cứu về môđun hữu hạn sinh trên vànhgiao hoán địa phương Noether
5 Phương pháp nghiên cứu
Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các tập giả giá giớithiệu bởi M Brodmann và R Y Sharp đồng thời đưa ra kháiniệm giá suy rộng để mô tả các quỹ tích Ngoài ra, chúng tôi sửdụng một số lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán để nghiêncứu như lý thuyết đối đồng điều địa phương, lý thuyết biểu diễnthứ cấp, kiểu đa thức
6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án làm phong phú hướng nghiên cứu
về các quỹ tích của môđun hữu hạn sinh, đồng thời làm rõ thêmcấu trúc một số lớp môđun đang được quan tâm trong Đại sốgiao hoán như môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulaysuy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulaysuy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay, môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng
7 Tổng quan và cấu trúc luận án
Trong luận án, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹtích không Cohen-Macaulay, quỹ tích không Cohen-Macaulaysuy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và giả
Trang 7Cohen-Macaulay suy rộng Đồng thời chúng tôi nghiên cứu cácquỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary, tính catenaryphổ dụng, điều kiện Serre, chiều của môđun đối đồng điều địaphương và kiểu đa thức.
Kết quả đầu tiên của luận án là đưa ra một số công thứctính quỹ tích không Cohen-Macaulay và chiều của nó Chúng tôi
mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay nCMpMq của M qua cáctập giả giá giới thiệu bởi M Brodmann và R Y Sharp (Định
lý 2.1.5) Tiếp theo, chúng tôi xét mối quan hệ giữa quỹ tíchkhông Cohen-Macaulay với các môđun đối đồng điều địa phương(Định lý 2.2.1) và tính không trộn lẫn của các vành R{p với
pP SuppRpMq (Định lý 2.2.3)
Khái niệm kiểu đa thức của M , kí hiệu là ppMq, đượcgiới thiệu bởi N T Cường nhằm nghiên cứu cấu trúc của cácmôđun hữu hạn sinh trên vành Noether Nếu ta kí hiệu bậc của
đa thức không là 1 thì M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu
ppMq 1 và M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếuppMq ¤ 0 N T Cường đã nghiên cứu chiều của quỹ tích khôngCohen-Macaulay của M trong mối quan hệ với chiều của cácmôđun đối đồng điều địa phương Hmi pMq và kiểu đa thức ppMqcủa M Ông đã chỉ ra rằng, trong trường hợp tổng quát,
dimpR{apMqq ¥ ppMq ¥ dim nCMpMq,
trong đó apMq a0pMq ad 1pMq, với aipMq AnnRHmi pMq.Khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương thì ta cóđẳng thức ppMq dimpR{apMqq và nếu thêm điều kiện M đẳngchiều thì ppMq dim nCMpMq Điều này chứng tỏ khi ppMqcàng lớn thì tính chất của M càng xa hơn tính Cohen-Macaulay.Trong luận án này, chúng tôi mở rộng các kết quả trên cho trườnghợp vành R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay và xét trong trường hợp môđun M bất kì, không nhấtthiết đẳng chiều (Định lý 2.3.4)
Trang 8Kết quả thứ hai của luận án là mô tả quỹ tích khôngCohen-Macaulay suy rộng và xét tính đóng của nó Chú ý rằngtính Cohen-Macaulay được đặc trưng bởi tính triệt tiêu củamôđun đối đồng điều địa phương Vì thế chúng tôi đã sử dụng cáctập giả giá để mô tả thành công quỹ tích không Cohen-Macaulaycủa M (xem Định lý 2.1.5) Chúng ta đã biết rằng M là môđunCohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu `pHi
mpMqq 8 vớimọi i d Do đó, chúng tôi thấy rằng phải có một tập tương
tự như tập giả giá để mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulaysuy rộng Vì thế, chúng tôi giới thiệu khái niệm giá suy rộng vànghiên cứu giá suy rộng trong mối quan hệ với giả giá, tập cáciđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương,dịch chuyển qua đầy đủ m-adic và qua địa phương hóa Sử dụnggiá suy rộng, chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulaysuy rộng (Định lý 3.2.2) Quỹ tích không Cohen-Macaulay suyrộng nGCMpMq của M rất ít khi là tập con đóng của SpecpRqtheo tôpô Zariski Chúng tôi chỉ ra rằng, với điều kiện vành R làcatenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay
và môđun M đẳng chiều thì nGCMpMq đóng khi và chỉ khi
ppMq ¤ 1 (Mệnh đề 3.2.4)
Kết quả thứ ba của luận án là mô tả một số quỹ tích khácnhư quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tíchgiả Cohen-Macaulay suy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulaysuy rộng chính tắc Công cụ chính để chúng tôi nghiên cứu cácquỹ tích này là các giả giá, giá suy rộng và lọc chiều của môđun.Chúng tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy (quỹ tíchkhông Cohen-Macaulay suy rộng dãy) qua quỹ tích không Cohen-Macaulay (quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng) của cácmôđun thương trong lọc chiều của M (Mệnh đề 3.2.9, Mệnh đề3.2.12) Chúng tôi chỉ ra rằng, với một số điều kiện về chiều củacác iđêan nguyên tố liên kết của M, quỹ tích giả Cohen-Macaulay(quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) của M chính là phần
Trang 9bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M{UMp0q (phần bùcủa quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M{UMp0q, với
UMp0q là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d Trongtrường hợp tổng quát, chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa quỹ tíchgiả Cohen-Macaulay (quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) vớiphần bù của hợp của các quỹ tích không Cohen-Macaulay (quỹtích không Cohen-Macaulay suy rộng) của các môđun thương củalọc chiều của M (Định lý 4.1.4, Định lý 4.1.10) Phần cuối củaluận án là một số kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay vàquỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc
Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức
cơ sở nhằm thuận tiện cho việc theo dõi các kết quả trong cácchương sau
Mục 1.1 nhắc lại khái niệm và một số kết quả về tínhcatenary của vành
Mục 1.2 dành để giới thiệu sơ lược lý thuyết đối đồngđiều địa phương Nhắc lại một số tính chất cơ bản của môđunđối đồng điều địa phương như Định lý độc lập đối với vành cơ sở,
Trang 10Định lý chuyển cơ sở phẳng, Định lý triệt tiêu của Grothendieck
và tính Artin của một số môđun đối đồng điều địa phương
Mục 1.3 nhắc lại khái niệm và một số kết quả về biểudiễn thứ cấp của môđun Artin
Trong Mục 1.4, chúng tôi nhắc lại khái niệm và một sốkết quả về môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulaysuy rộng
Chương 2QUĨ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY
Trong chương này, ta luôn giả thiết pR, mq là vành địaphương Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh với chiềuKrull dim M d Với mỗi iđêan I của R, ký hiệu VarpIq là tậpcác iđêan nguyên tố của R chứa I
Lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun đóng vai tròtrung tâm trong Đại số giao hoán và có ứng dụng trong nhiềulĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Hình họcđại số và Tổ hợp Nhắc lại rằng M là môđun Cohen-Macaulaynếu depth M dim M Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M,
kí hiệu nCMpMq, là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p sao cho
Mp không là Cohen-Macaulay Quỹ tích không Cohen-Macaulay
đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học như R Hartshorne,
P Schenzel, N T Cường khi vành cơ sở là thương của một vànhGorenstein
Mục tiêu của chương này là sử dụng các tập giả giá địnhnghĩa bởi M Brodmann và R Y Sharp để mô tả quỹ tích khôngCohen-Macaulay trong trường hợp tổng quát (khi R là vành địaphương Noether tùy ý), đồng thời nghiên cứu quỹ tích khôngCohen-Macaulay trong mối quan hệ với tính catenary, tính khôngtrộn lẫn của vành, điều kiện Serre đối với môđun Phần cuối của
Trang 11chương dành cho việc nghiên cứu chiều của quỹ tích không Macaulay.
Cohen-2.1 Quỹ tích không Cohen-Macaulay
Trong tiết này chúng tôi mô tả quỹ tích không Macaulay của môđun hữu hạn sinh qua các tập giả giá và xéttính đóng của nó Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm giả giá
Cohen-và giả chiều của một môđun hữu hạn sinh được định nghĩa bởi
M Brodmann và R Y Sharp
Định nghĩa 2.1.1 (i) Cho i¥ 0 là một số nguyên Giả giá thứ
i của M , kí hiệu là PsuppiRpMq, được cho bởi công thức
PsuppiRpMq tp P SpecpRq | Hi dimpR{pq
pR p pMpq 0u.(ii) Giả chiều thứ i của M , kí hiệu là psdipMq, được xác định bởi
psdipMq maxtdimpR{pq | p P Psuppi
RpMqu
Kết quả chính thứ nhất của Chương là đưa ra công thức
mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua các tập giả giá.Định lý 2.1.5 Giả sử p P SuppRpMq Khi đó các khẳng địnhsau là đúng
(i) Tồn tại j ¤ d sao cho p P Psuppj
RpMq vàdepthpMpq k dimpR{pq, dimpMpq t dimpR{pq,trong đó k min
i ¤dti | p P Psuppi
RpMqu và t max
i ¤d ti | p PPsuppiRpMqu
Trang 12Với mỗi số nguyên i, đặt aipMq AnnRHmi pMq Đặt
Trang 13Định lý sau đưa ra một tiêu chuẩn về tính không trộn lẫncủa vành R{p với p P SuppRpMq.
Định lý 2.2.3 Cho r ¥ 1 là số nguyên Giả sử M đẳng chiều và
M thỏa mãn điều kiện SerrepSrq Nếu nCMpMq VarpapMqq thì
R{p không trộn lẫn với mọi p P SuppRpMq thỏa mãn dimpR{pq ¥
d r
2.3 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay
Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm kiểu đa thức đượcgiới thiệu bởi N T Cường Cho x px1, , xdq là một hệ tham
số của M và n pn1, , ndq là một bộ d số nguyên dương Đặt
IM,xpnq : ` M{pxn 1
1 , , xnd
d qM n1 ndepx; Mq.Nhìn chung IM,xpnq không phải là đa thức khi n1, , nd " 0.Tuy nhiên, IM,xpnq luôn nhận giá trị không âm và bị chặn trênbởi các đa thức, chẳng hạn n1 ndIpx; Mqq Chú ý rằng, bậc bénhất của tất cả các đa thức theo n chặn trên hàm IM,xpnq khôngphụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x Điều này dẫn đến địnhnghĩa sau đây
Định nghĩa 2.3.1 Bậc bé nhất của tất cả đa thức chặn trênhàm IM,xpnq là một bất biến của M (không phụ thuộc vào việcchọn hệ tham số x) Bất biến này được gọi là kiểu đa thức của
M và ký hiệu là ppMq
N T Cường đã nghiên cứu chiều của quỹ tích khôngCohen-Macaulay của M trong mối quan hệ với chiều của cácmôđun đối đồng điều địa phương Hmi pMq và kiểu đa thức ppMqcủa M Ông đã chỉ ra rằng, trong trường hợp tổng quát,
dimpR{apMqq ¥ ppMq ¥ dim nCMpMq
Khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương thì ta cóđẳng thức ppMq dimpR{apMqq và nếu thêm điều kiện M đẳng