MỘT SỐ QUỸ TÍCH CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER

Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay với vành cơ sở tùy ý, đồngthời nghiên cứu tính chất của quỹ tích này trong mối quan hệ với tínhcatena

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

MỘT SỐ QUỸ TÍCHCỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINHTRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

MỘT SỐ QUỸ TÍCHCỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH

TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 62.46.01.04

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn

TS Nguyễn Thị Hồng Loan

Nghệ An - 2014

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Cáckết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giảkhi đưa vào luận án Các kết quả nêu trong luận án là trung thực vàchưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tác giả

Nguyễn Thị Kiều Nga

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới cô giáo kính yêu của tôi

- PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô đã tận tình dìu dắt tôi từ nhữngbước chập chững đầu tiên trên con đường nghiên cứu khoa học Với tất

cả niềm say mê khoa học và tâm huyết của người thầy, cô không chỉ dạytôi về tri thức toán học mà còn dạy tôi phương pháp nghiên cứu, cáchphát hiện và giải quyết vấn đề Hơn nữa, cô còn luôn quan tâm, độngviên và giúp đỡ tôi những lúc tôi gặp khó khăn trong cuộc sống Tôi thấymình thật may mắn khi được làm khoa học dưới sự hướng dẫn của cô

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn thứhai của tôi - TS Nguyễn Thị Hồng Loan Cô đã luôn quan tâm, nhắcnhở và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập, nghiêncứu Có những lúc khó khăn trong cuộc sống đã làm tôi nản chí, lúc đó

cô như người chị kịp thời động viên, khích lệ giúp tôi vượt qua mọi khókhăn

Tôi xin trân trọng cám ơn GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy

là người đầu tiên đưa tôi đến với Đại số giao hoán và tận tình dạy dỗtôi từ khi tôi còn là học viên cao học Như một người cha, thầy vẫn luônquan tâm và giúp đỡ tôi trong học tập và trong cuộc sống

Tôi xin trân trọng cám ơn Ban giám hiệu, Khoa đào tạo Sau đạihọc, Khoa Toán- Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện cho tôi họctập

Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm

Hà Nội 2 đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu Đặc biệt, tôixin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo

và đồng nghiệp trong Tổ Đại số - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

đã quan tâm động viên và và giúp đỡ nhiều mặt trong thời gian tôi làm

nghiên cứu sinh.

Tôi vô cùng biết ơn cô Tạ Thị Phương Hòa đã luôn giành cho tôinhững tình cảm trìu mến Tôi xin cám ơn các anh chị em trong nhómxêmina Đại số trường Đại học Thái Nguyên về những trao đổi khoa học

và chia sẻ trong cuộc sống Xin cám ơn em Trần Đỗ Minh Châu và emTrần Nguyên An đã dành cho tôi những tình cảm quý báu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong giađình của mình Những người luôn động viên chia sẻ khó khăn và luônmong mỏi tôi thành công Tôi xin cám ơn Chồng và hai Con trai yêuquí, những người đã chấp nhận mọi khó khăn, gánh vác toàn bộ côngviệc cho tôi để tôi yên tâm học tập Đó là nguồn động viên rất lớn, giúptôi vượt qua khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận án này

Nguyễn Thị Kiều Nga

Mục lục

1.1 Tính catenary của vành 211.2 Môđun đối đồng điều địa phương 241.3 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin 271.4 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay

suy rộng 29

2.1 Quỹ tích không Cohen-Macaulay 342.2 Liên hệ với tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 412.3 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay 47

3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng 543.1 Giá suy rộng 553.2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng 60

4 Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay 734.1 Quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-

Macaulay suy rộng 744.2 Liên hệ với môđun chính tắc 86

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Cho (R,m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cựcđại duy nhất m Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krulldim M = d Ta luôn có depth M 6 dim M Nếu depth M = dim Mthì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay Lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán và có ứng dụngtrong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Tổhợp và Hình học đại số

Nhiều mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đã đượcgiới thiệu và quan tâm nghiên cứu Hai mở rộng đầu tiên là lớp vành(môđun) Buchsbaum và lớp vành (môđun) Cohen-Macaulay suy rộng.Với mọi hệ tham số x của M , đặt I(x; M ) = `(M/xM ) − e(x; M ), trong

đó e(x; M ) là số bội của M ứng với hệ tham số x Ta luôn có I(x; M ) > 0với mọi hệ tham số x của M và M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếuI(x; M ) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M Vì thế, năm

1965, D A Buchsbaum [7] đã đưa ra giả thuyết rằng I(x; M ) là mộthằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M Năm 1973, W Vogel

và J St¨uckrad [54] đã xây dựng hàng loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyếtcủa D A Buchsbaum là không đúng, đồng thời họ nghiên cứu lớp vành

và môđun thỏa mãn điều kiện trong giả thuyết của D A Buchsbaum.Các môđun này được gọi là môđun Buchsbaum Sau đó N T Cường, P.Schenzel và N V Trung [50] đã giới thiệu và nghiên cứu lớp môđun Mthỏa mãn điều kiện sup I(x; M ) < ∞, trong đó cận trên lấy theo mọi hệtham số x của M , và họ gọi chúng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay suy

rộng đã trở nên rất quen biết trong Đại số giao hoán.

Hai mở rộng tiếp theo dựa vào tính chất không trộn lẫn của môđunCohen-Macaulay Ta biết rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay thìdim R/p = d với mọi p ∈ AssRM Khi nghiên cứu cho trường hợpmôđun trộn lẫn, R P Stanley [47] đã giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy cho các môđun phân bậc, sau đó được P Schenzel [45], N

T Cường và L T Nhàn [19] định nghĩa cho môđun hữu hạn sinh trênvành địa phương Mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộngcho trường hợp môđun trộn lẫn, N T Cường và L T Nhàn [19] đã giớithiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy

Hai mở rộng khác của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là lớpvành (môđun) giả Cohen-Macaulay và lớp vành (môđun) giả Cohen-Macaulay suy rộng Cho x = (x1, , xd) là hệ tham số của M Đặt

J (x; M ) = e(x; M ) − ` M/QM(x)
= 0

Hơn nữa, nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì sup J (x; M ) < ∞,trong đó cận trên lấy theo các hệ tham số x của M (xem [16]) Vì thế,năm 2003, N T Cường và L T Nhàn [19] đã nghiên cứu lớp môđun Mthỏa mãn điều kiện J (x; M ) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số xcủa M Họ gọi lớp môđun này là môđun giả Cohen-Macaulay Đồng thời

N T Cường và L T Nhàn [19] cũng nghiên cứu lớp môđun M với tínhchất sup J (x; M ) < ∞ trong đó cận trên lấy theo tập tất cả các hệ tham

số x của M và họ gọi chúng là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng

Tóm lại, cùng với lớp môđun Cohen-Macaulay, các lớp môđunBuchsbaum, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulaydãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay

và môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng đã trở thành những lớp môđunđược quan tâm trong Đại số giao hoán và cấu trúc của chúng đã đượcbiết đến thông qua các công trình [12], [13], [19], [24], [25], [45], [46], [47],[48], [49],[50], [53] Tuy nhiên, nghiên cứu các quỹ tích liên quan đếntính Cohen-Macaulay là một hướng nghiên cứu thời sự cần được quantâm của Đại số giao hoán

Các nghiên cứu trước đây về quỹ tích không Cohen-Macaulaychỉ tập trung chủ yếu về tính chất đóng theo tôpô Zariski (xem R.Hartshorne [28], P Schenzel [53]) hoặc về chiều của quỹ tích (xem [10],[11]) khi vành cơ sở R "tốt”, chẳng hạn khi R là thương của một vànhGorenstein địa phương Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn

đề mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay với vành cơ sở tùy ý, đồngthời nghiên cứu tính chất của quỹ tích này trong mối quan hệ với tínhcatenary, catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn của vành, các điềukiện Serre của môđun và tính Cohen-Macaulay của các thớ hình thức.Chúng tôi cũng đặt vấn đề nghiên cứu một số quỹ tích liên quan đến tínhCohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tíchkhông Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộngdãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suyrộng

Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận áncủa mình là: "Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địaphương Noether "

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay vàmột số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích khôngCohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹtích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay

và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng Đồng thời chứng minh một

số kết quả mới về các quỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary,tính catenary phổ dụng, các điều kiện Serre, tính Cohen-Macaulay củacác thớ hình thức, chiều của các môđun đối đồng điều địa phương vàkiểu đa thức

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số quỹ tích của môđunhữu hạn sinh trên vành giao hoán địa phương Noether liên quan đếntính Cohen-Macaulay

4 Phạm vi nghiên cứu

Lĩnh vực nghiên cứu của luận án là Đại số giao hoán Luận ántập trung nghiên cứu về môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán địaphương Noether

5 Phương pháp nghiên cứu

Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các tập giả giá giới thiệu bởi

M Brodmann và R Y Sharp [5], đồng thời đưa ra khái niệm giá suyrộng để mô tả các quỹ tích Ngoài ra, chúng tôi sử dụng một số lý thuyếtquan trọng của Đại số giao hoán để nghiên cứu như lý thuyết đối đồngđiều địa phương, lý thuyết phân tích nguyên sơ, lý thuyết biểu diễn thứcấp, kiểu đa thức

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả của luận án làm phong phú hướng nghiên cứu vềcác quỹ tích của môđun hữu hạn sinh, đồng thời làm rõ thêm cấu

trúc một số lớp môđun đang được quan tâm trong Đại số giao hoánnhư môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđunCohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giảCohen-Macaulay, môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng.

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan luận án

Cho (R,m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cựcđại duy nhất m Cho M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d Với I làiđêan của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I

Ký hiệu R vàb M tương ứng là đầy đủ theo tôpôc m-adic của R và M Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M , ký hiệu nCM(M ), là tập cáciđêan nguyên tố p sao cho Mp không Cohen-Macaulay Quỹ tích khôngCohen-Macaulay đã được R Hartshorne [28] đề cập đến vào năm 1966.Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa phương, R Hartshorne [28]

đã chỉ ra rằng quỹ tích này là tập đóng theo tôpô Zariski Tính đóng củaquỹ tích không Cohen-Macaulay cũng được chỉ ra bởi P Schenzel [53].Chú ý rằng khi quỹ tích không Cohen-Macaulay là tập đóng thì chiềucủa nó được định nghĩa Một số kết quả về chiều của quỹ tích khôngCohen-Macaulay trong mối quan hệ với kiểu đa thức và chiều của cácmôđun đối đồng điều địa phương đã được chứng minh bởi N T Cường[10], [11]

Cho đến nay việc nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay chỉtập trung vào tính đóng hoặc tính toán chiều của nó mà chưa quan tâmđến vấn đề mô tả quỹ tích này Một số quỹ tích khác của môđun hữuhạn sinh liên quan đến tính Cohen-Macaulay còn chưa được nghiên cứu.Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tích khôngCohen-Macaulay, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tíchkhông Cohen-Macaulay dãy và không Cohen-Macaulay suy rộng dãy,

quỹ tích giả Cohen-Macaulay và giả Cohen-Macaulay suy rộng Đồngthời chúng tôi nghiên cứu các quỹ tích này trong mối quan hệ với tínhcatenary, tính catenary phổ dụng, điều kiện Serre, chiều của môđun đốiđồng điều địa phương và kiểu đa thức.

Kết quả đầu tiên của luận án là đưa ra một số công thức tínhquỹ tích không Cohen-Macaulay và chiều của nó Chúng tôi mô tả quỹtích không Cohen-Macaulay qua các tập giả giá giới thiệu bởi M Brod-mann và R Y Sharp [5] Nhắc lại rằng giả giá thứ i của M , kí hiệu làPsuppiR(M ), được cho bởi công thức

PsuppiR(M ) = {p ∈ Spec(R) | HpRi−dim(R/p)

p (Mp) 6= 0}

Khi đó, quỹ tích không Cohen-Macaulay được mô tả trong Định lý 2.1.5

và Hệ quả 2.1.6 Ở đây, chúng tôi phát biểu gộp lại như sau:

Cohen-M được gọi là không trộn lẫn nếu dim(R/b bp) = d với mọi bp ∈ Ass

b

RM cVới mỗi số nguyên i, đặt ai(M ) = AnnRHmi(M ) Đặt

a(M ) = a0(M )a1(M ) ad−1(M )

Định lý 2.2.1 Đặt T (M ) = S

06i<j6d

Var(ai(M ) + aj(M )) Khi đó cáckhẳng định sau là đúng

(i) Nếu vành R/ AnnRM là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức làCohen-Macaulay thì nCM(M ) = T (M ) Trong trường hợp này, nCM(M )

là tập con đóng của Spec(R) theo tôpô Zariski

(ii) Nếu nCM(M ) = T (M ) thì vành R/ AnnRM là catenary phổ dụng

và R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ min AssRM

Năm 1980, M Nagata [37] đã đưa ra câu hỏi: Giả sử (R,m) làmiền nguyên địa phương Noether không trộn lẫn Cho p ∈ Spec(R).Khi đó R/p có là vành không trộn lẫn? Năm 1983, M Brodmann và

C Rotthaus [4] đã xây dựng một miền nguyên địa phương, Noether(R,m) có chiều 3 thỏa mãn điều kiện R là miền nguyên và tồn tạib p ∈Spec(R), dim(R/p) = 2 và R/b p bR có iđêan nguyên tố nhúng Ví dụ này làcâu trả lời phủ định cho câu hỏi của M Nagata Với kết quả sau, chúngtôi đưa ra một tiêu chuẩn về tính không trộn lẫn của vành R/p với

p ∈ SuppR(M ) trong mối quan hệ với quỹ tích không Cohen-Macaulay

và điều kiện Serre của M Nhắc lại rằng, cho r > 0 là một số nguyên.Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện Serre (Sr) nếu

depth(Mp) ≥ min{r, dim(Mp)} với mọi p ∈ SuppR(M )

Chú ý rằng môđun M thỏa mãn điều kiện Serre (S1) nếu và chỉ nếuAssRM = min AssRM

Định lý 2.2.3 Cho r > 1 là số nguyên Giả sử M đẳng chiều và Mthỏa mãn điều kiện Serre (Sr) Nếu nCM(M ) = Var(a(M )) thì R/p

không trộn lẫn với mọi p ∈ SuppR(M ) thỏa mãn dim(R/p) > d − r

Khái niệm kiểu đa thức của M , kí hiệu là p(M ), được giới thiệu bởi

N T Cường [11] nhằm nghiên cứu cấu trúc của các môđun hữu hạn sinhtrên vành Noether Nếu ta kí hiệu bậc của đa thức không là −1 thì M làCohen-Macaulay nếu và chỉ nếu p(M ) = −1 và M là Cohen-Macaulaysuy rộng nếu và chỉ nếu p(M ) 6 0 Trong [10], [11], N T Cường đã

nghiên cứu chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M trong mốiquan hệ với chiều của các môđun đối đồng điều địa phương Hmi(M ) vàkiểu đa thức p(M ) của M Ông đã chỉ ra rằng, trong trường hợp tổngquát,

dim(R/a(M )) > p(M )> dim nCM(M )

Khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương thì ta có đẳngthức p(M ) = dim(R/a(M )) và nếu thêm điều kiện M đẳng chiều thìp(M ) = dim nCM(M ) Điều này chứng tỏ khi p(M ) càng lớn thì tínhchất của M càng xa hơn tính Cohen-Macaulay Trong luận án này, chúngtôi mở rộng các kết quả trên cho trường hợp vành R là catenary phổdụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay và xét trong trường hợpmôđun M bất kì, không nhất thiết đẳng chiều

Định lý 2.3.4 Ký hiệu UM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều

bé hơn d Khi đó

dim(R/a(M )) ≥ p(M ) ≥ maxdim nCM(M ), dim UM(0)

Các đẳng thức xảy ra với mọi môđun M khi và chỉ khi R là catenary phổdụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay

Kết quả thứ hai của luận án là mô tả quỹ tích không Macaulay suy rộng và xét tính đóng của nó Như chúng ta đã biết, môđunCohen-Macaulay suy rộng là mở rộng của môđun Cohen-Macaulay vàcấu trúc của nó được nghiên cứu bởi các nhà toán học N T Cường,

Cohen-N V Trung, P Schenzel, J St¨uckrad, W Vogel và nhiều tác giả kháctrên thế giới Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu quỹ tích khôngCohen-Macaulay suy rộng của môđun hữu hạn sinh M Quỹ tích khôngCohen-Macaulay suy rộng của M , kí hiệu nGCM(M ), là tập hợp cáciđêan nguyên tố p sao cho Mp không là môđun Cohen-Macaulay suyrộng Chú ý rằng tính Cohen-Macaulay được đặc trưng bởi tính triệt

tiêu của môđun đối đồng điều địa phương Vì thế chúng tôi đã sử dụngcác tập giả giá để mô tả thành công quỹ tích không Cohen-Macaulaycủa M (xem Định lý 2.1.5) Chúng ta đã biết rằng M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu `(Hmi (M )) < ∞ với mọi i < d Do đó,chúng tôi thấy rằng phải có một tập tương tự như tập giả giá để mô tảquỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng Vì thế, chúng tôi giới thiệukhái niệm giá suy rộng Cho i ≥ 0 là một số nguyên Giá suy rộng thứ icủa M , ký hiệu là LsuppiR(M ), được cho bởi công thức

LsuppiR(M ) = {p ∈ Spec(R) | `Rp HpRi−dim(R/p)

p (Mp)
= ∞}

Chúng tôi nghiên cứu giá suy rộng trong mối quan hệ với giả giá,tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương,dịch chuyển qua đầy đủ m-adic và qua địa phương hóa Sử dụng giá suyrộng, chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng nhưsau:

hệ giữa nCM(M ) và nGCM(M ) trong Hệ quả 3.2.3 như sau:

nGCM(M ) = nCM(M ) \ min nCM(M )

Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng nGCM(M ) của M rất

ít khi là tập con đóng của Spec(R) theo tôpô Zariski Chúng tôi chỉ ra

rằng, với điều kiện vành R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức

là Cohen-Macaulay và môđun M đẳng chiều thì nGCM(M ) đóng khi vàchỉ khi p(M )6 1 (Mệnh đề 3.2.4)

Kết quả thứ ba của luận án là mô tả một số quỹ tích khác như quỹtích không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-Macaulay suyrộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulaysuy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc Công

cụ chính để chúng tôi nghiên cứu các quỹ tích này là các giả giá, giásuy rộng và lọc chiều của môđun Nhắc lại rằng khái niệm lọc chiều củamôđun được giới thiệu đầu tiên bởi P Schenzel trong [45] và được N T.Cường, Đ T Cường [12] điều chỉnh lại đôi chút để thuận tiện hơn choviệc sử dụng Trong luận án này, chúng tôi sử dụng định nghĩa lọc chiềucủa N T Cường và Đ T Cường [12] Một lọc các môđun con

Hm0(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mk = Mcủa M được gọi là lọc chiều của M nếu Mi là môđun con lớn nhất của

Mi+1 có chiều bé hơn dim Mi, với mọi i = 0, , k − 1 Chú ý rằnglọc chiều của một môđun luôn tồn tại và xác định duy nhất Chúngtôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy (quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy) qua quỹ tích không Cohen-Macaulay (quỹ tíchkhông Cohen-Macaulay suy rộng) của các môđun thương trong lọc chiềucủa M (Mệnh đề 3.2.9, Mệnh đề 3.2.12) Chúng tôi chỉ ra rằng, với một

số điều kiện về chiều của các iđêan nguyên tố liên kết của M, quỹ tích giảCohen-Macaulay (quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) của M chính

là phần bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M/UM(0) (phần bùcủa quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M/UM(0)), với UM(0)

là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d Trong trường hợp tổngquát, chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa quỹ tích giả Cohen-Macaulay

(quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) với phần bù của hợp của cácquỹ tích không Cohen-Macaulay (quỹ tích không Cohen-Macaulay suyrộng) của các môđun thương của lọc chiều của M

Kí hiệu pCM(M ) là quỹ tích giả Cohen-Macaulay của M , tức làpCM(M ) là tập hợp các iđêan nguyên tố p sao cho Mp là môđun giảCohen-Macaulay Đặt nPCM(M ) = Spec(R) \ pCM(M ) Chú ý rằngnếu d < 2 thì nPCM(M ) = ∅ Khi d > 2 ta có kết quả sau

Định lý 4.1.4 Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa phương.Khi đó các khẳng định sau là đúng

(i) Cho d > 2 Nếu dim(R/p) = d hoặc dim(R/p) 6 2 với mọi p ∈AssRM thì

nPCM(M ) = nCM(M/UM(0)) = [

0<i<d

Var AnnRHmi(M/UM(0))

Đặc biệt, nếu d 6 3 thì pCM(M ) là mở theo tôpô Zariski

(ii) Giả sử Hm0(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M là lọc chiều của M Đặt dim Mi = di với mọi i = 1, , t Khi đó

Var AnnRHmr(Mi/Mi−1)

Chúng tôi chỉ ra ví dụ chứng tỏ rằng với mọi d > 4, tồn tại môđunhữu hạn sinh M chiều d trên vành địa phương Noether (R,m) sao chopCM(M ) không ổn định với phép tổng quát hóa Vì thế pCM(M ) không

là tập mở của Spec(R) theo tôpô Zariski (Ví dụ 4.1.5) Nhắc lại rằngmột tập con T của Spec(R) được gọi là ổn định với phép tổng quát hóanếu với mọi p,q ∈ Spec(R),p ⊂ q mà q ∈ T thì p ∈ T

Quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng của M , kí hiệu pGCM(M ),

là tập hợp các iđêan nguyên tố p sao cho Mp là môđun giả

Cohen-Macaulay suy rộng Đặt nPGCM(M ) = Spec(R) \ pGCM(M ) Chú ýrằng nếu d < 3 thì nPGCM(M ) = ∅ Khi d > 3 ta có kết quả sau.

Định lý 4.1.10 Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa phương.Khi đó các khẳng định sau là đúng

(i) Cho d > 3 Nếu dim R/p = d hoặc dim R/p 6 3 với mọi p ∈ AssRMthì

nPGCM(M ) ⊆ [

16i6t

nGCM(Mi/Mi−1) = [

i=1, ,t r=1, ,d i −1

LsupprR(Mi/Mi−1)

Chúng tôi cũng đưa ra ví dụ chứng tỏ rằng với mọi d > 5, tồn tạimôđun hữu hạn sinh M có chiều d trên vành địa phương Noether (R,m)sao cho pGCM(M ) không ổn định với phép tổng quát hóa Vì thế nókhông là tập mở của Spec(R) theo tôpô Zariski (Ví dụ 4.1.11) Phần cuốicủa luận án là một số kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay vàquỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc K(M )của M (Mệnh đề 4.2.2)

7.2 Cấu trúc luận án

Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận ánđược chia làm 4 chương Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở nhưbiểu diễn thứ cấp của môđun Artin, tính catenary của vành, môđun đốiđồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suyrộng

Chương 2 trình bày về quỹ tích không Cohen-Macaulay dựa theobài báo [20] và một phần bài báo [39] Mục 2.1 mô tả quỹ tích khôngCohen-Macaulay qua các tập giả giá và đưa ra một số kết quả về tínhđóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay (Định lý 2.1.5) Mục 2.2 đưa

ra mối quan hệ của quỹ tích không Cohen-Macaulay với tính catenarycủa vành R/ AnnRM , điều kiện Serre của M và tính không trộn lẫn củacác vành địa phương R/p với các iđêan nguyên tố p ∈ SuppR(M ) (Định

lý 2.2.1, Định lý 2.2.3) Mục 2.3 đưa ra mối quan hệ giữa chiều của quỹtích không Cohen-Macaulay, kiểu đa thức và chiều của các môđun đốiđồng địa phương (Định lý 2.3.4)

Chương 3 trình bày về quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộngdựa theo bài báo [39] Mục 3.1 giới thiệu giá suy rộng và nghiên cứumột số tính chất của giá suy rộng trong mối quan hệ với tập giả giá, tậpiđêan nguyên tố gắn kết, chuyển dịch giá suy rộng qua đầy đủ m-adic

và qua địa phương hóa Mục 3.2 là phần chính của chương, miêu tả quỹtích không Cohen-Macaulay suy rộng qua giá suy rộng (Định lý 3.2.2).Chúng tôi cũng đưa ra đặc trưng tính đóng của giá suy rộng và quỹ tíchkhông Cohen-Macaulay suy rộng (Mệnh đề 3.2.4) Cuối chương, chúngtôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy (tương ứng không Cohen-Macaulay suy rộng dãy) qua quỹ tích không Cohen-Macaulay (tương ứngkhông Cohen-Macaulay suy rộng) của các môđun thương trong lọc chiềucủa M (Mệnh đề 3.2.9, Mệnh đề 3.2.12)

Chương 4 trình bày một số quỹ tích liên quan đến tính Macaulay như quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulaysuy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc Chươngnày được viết dựa theo bài báo [41] Mục 4.1 mô tả quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng (Định lý 4.1.4, Định

Cohen-lý 4.1.10) Chúng tôi cũng đưa ra các ví dụ chứng tỏ rằng quỹ tích giả

Cohen-Macaulay không mở theo tôpô Zariski khi d > 4 (Ví dụ 4.1.5) vàquỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng không mở (thậm chí không ổnđịnh với phép tổng quát hóa) khi d > 5 (Ví dụ 4.1.11) Mục 4.3 đưa ramột số kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích khôngCohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc K(M ) (Mệnh đề 4.2.2).Cuối cùng, Mệnh đề 4.2.6 đưa ra một mô tả về quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc của M

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức đã biết vềtập iđêan nguyên tố gắn kết, tính catenary của vành, môđun đối đồngđiều địa phương, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suyrộng nhằm thuận tiện cho việc theo dõi kết quả trong các chương sau.Trong suốt chương này, luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether, M

là R-môđun hữu hạn sinh, A là R-môđun Artin và N là một R-môđun(không nhất thiết hữu hạn sinh hay Artin)

q nào thỏa mãn pi ⊂ q ⊂ pi+1 và pi 6= q 6= pi+1 Khi đó n được gọi là

độ dài của dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa p và q Ta nói vành R làcatenary nếu với mọi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại mộtdãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p và mọi dãy iđêan nguyên tố

bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài.

Chú ý rằng nếu R là vành địa phương Noether thì dim R < ∞

Do đó với mọi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãyiđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p Trong trường hợp này vành R làcatenary khi và chỉ khi mọi dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p đều

có chung độ dài

Lớp vành catenary đầu tiên được chỉ ra bởi W Krull năm 1937(xem [51]) Ông chứng minh rằng nếu K là một trường thì mọi K-đại sốhữu hạn sinh đều là vành catenary Đặc biệt, vành đa thức trên trường

K là catenary Năm 1946, I Cohen [8] đã chứng minh rằng mọi vànhđịa phương đầy đủ là catenary Sau đó, M Nagata [37] đã chứng tỏ rằngmọi miền nguyên, địa phương tựa không trộn lẫn là catenary Nếu R làvành catenary thì Rp là catenary với mọi p ∈ Spec(R) Hơn nữa, vànhthương của vành catenary là catenary Vì thế hầu hết các vành được biếtđến trong Hình học đại số đều là catenary

Sau đây là một số đặc trưng của vành catenary thường được sửdụng trong luận án

Mệnh đề 1.1.2 (Xem [41]) Cho (R,m) là vành địa phương Noether.Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(i) R là catenary

(ii) dim R/q = dim R/p+ htp/q với mọi q ⊆p,p,q ∈ Spec(R)

Với mọi iđêan nguyên tố p của R ta luôn có bất đẳng thức

htp+ dim R/p ≤ dim R

Nếu R là miền nguyên địa phương catenary thì đẳng thức xảy ra, tức

là htp+ dim R/p = dim R Do đó năm 1954, I S Cohen [9] đã đưa racâu hỏi liệu một miền nguyên địa phương R thỏa mãn công thức chiều

htp + dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tố p của R có là miềncatenary? Câu trả lời khẳng định được R J Ratliff đưa ra năm 1972.Mệnh đề 1.1.3 [42, Định lý 2.2] Một miền nguyên địa phương Noether

R là catenary khi và chỉ khi với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có

htp+ dim R/p = dim R

Hơn nữa, năm 1977, S McAdam và R J Ratliff đã mở rộng kếtquả trên cho các vành địa phương đẳng chiều Nhắc lại rằng vành Rđược gọi là đẳng chiều nếu dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tốtối thiểu p của R

Định lý 1.1.4 (Xem [35]) Giả sử R là vành địa phương Noether đẳngchiều Khi đó R là catenary khi và chỉ khi với mỗi iđêan nguyên tố p của

Sau đây là một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng Trướchết, chúng ta nhắc lại khái niệm vành tựa không trộn lẫn và vành trộnlẫn theo thuật ngữ của M Nagata [36]

Định nghĩa 1.1.6 Vành R được gọi là tựa không trộn lẫn nếu vànhđầy đủ m-adic R của R là đẳng chiều, tức dimb R/b bp = dimR với mọib

bp ∈ min AssR Vành R được gọi là không trộn lẫn nếu dimb R/b bp = dimRb

với mọi bp ∈ AssR.b

Định lý 1.1.7 [33, Định lý 31.6] Giả sử vành R là tựa không trộn lẫn.Khi đó

(i) R là catenary phổ dụng

(ii) Rp là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R)

(iii) Nếu I là iđêan của R thì R/I là đẳng chiều khi và chỉ khi R/I làtựa không trộn lẫn

Kết quả sau cho chúng ta điều kiện để một vành là catenary phổdụng

Định lý 1.1.8 [33, Định lý 31.7] Các điều kiện sau là tương đương:(i) R là catenary phổ dụng

(ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary

(iii) R/p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R)

Chú ý rằng mọi vành có chiều nhỏ hơn hoặc bằng 2 là catenary.Nếu dim R ≤ 1 thì dim R[x] ≤ 2, do đó R[x] là catenary Vì vậy, nếudim R ≤ 1 thì R là catenary phổ dụng

Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu đầu tiên bởi

A Grothendieck vào những năm 1960 (xem [26]), sau đó được quan tâmnghiên cứu bởi rất nhiều nhà toán trên thế giới như R Hartshorne, M.Brodmann, J Rotman, C Huneke Lý thuyết đối đồng điều địa phương

đã có những ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học Ngày

nay nó trở thành công cụ không thể thiếu trong Đại số giao hoán, Hìnhhọc Giải tích, Hình học Đại số Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại địnhnghĩa và một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địaphương như tính chất độc lập với vành cơ sở, tính Artin, tính triệt tiêu

và không triệt tiêu Trước tiên, chúng tôi giới thiệu khái niệm hàm tửI-xoắn

Định nghĩa 1.2.1 (Xem [4, Định nghĩa 1.1.1]) Cho I là iđêan của R.Với mỗi R-môđun N , đặt ΓI(N ) = S

n≥0

(0 :N In) Nếu f : N → N0 làđồng cấu các R-môđun thì f (ΓI(N )) ⊆ ΓI(N0)) Do đó ta có đồng cấu

ΓI(f ) : ΓI(N ) → ΓI(N0) được xác định bởi ΓI(f )(x) = f (x) Khi đó

ΓI(−) là một hàm tử hiệp biến, khớp trái và nó được gọi là hàm tửI-xoắn

Từ đó ta có định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương như sau.Định nghĩa 1.2.2 (Xem [4, Định nghĩa 1.2.1]) Với mỗi số nguyên i ≥ 0,hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI(−) được gọi là hàm tử đối đồng điềuđịa phương thứ i đối với I và được kí hiệu là HIi(−) Kết quả của tácđộng HIi(−) vào R-môđun N được kí hiệu là HIi(N ) và được gọi là môđunđối đồng điều địa phương thứ i của N với giá I

Sau đây là một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điềuđịa phương thường được dùng trong các chứng minh về sau của luận

án Định lý sau đây chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương khôngphụ thuộc vào vành cơ sở (xem [4, Định lý 4.2.1]) Chú ý rằng, nếu

f : R → R0 là một đồng cấu vành và N0 là R0-môđun thì N0 có cấu trúcR-môđun cảm sinh bởi f , trong đó phép nhân vô hướng của phần tử

r ∈ R với phần tử m0 ∈ N0 là f (r)m0

Định lý 1.2.3 (Tính độc lập với vành cơ sở) Cho R0 là R-đại số và

N0 là R0-môđun Cho I là iđêan của R Khi đó với mọi i ≥ 0 ta có đẳngcấu HIRi 0(N0) ∼= HIi(N0) các R-môđun

Khi R0 là R-đại số phẳng, ta có định lý sau (xem [4, Định lý 4.3.2]).Định lý 1.2.4 (Định lý chuyển cơ sở phẳng) Cho R0 là R-đại số phẳng.Khi đó ta có R0-đẳng cấu HIi(N ) ⊗RR0 ∼= Hi

IR 0(N ⊗RR0) với mọi i ≥ 0.Cho p là iđêan nguyên tố bất kỳ của của R Khi đó Rp là R-đại sốphẳng Từ Định lý 1.2.4 ta luôn có Rp-đẳng cấu

Định lý 1.2.5 (Định lý triệt tiêu của Grothendieck) HIi(N ) = 0 vớimọi i > dim N

Định lý 1.2.6 (Định lý không triệt tiêu) Giả sử (R,m) là vành địaphương và M là R-môđun hữu hạn sinh khác không có chiều n Khi đó

Hmn(M ) 6= 0

Ngoài ra, tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương cònliên quan đến các môđun I-xoắn (xem [4, Hệ quả 2.1.7]) và bậc số học củaiđêan (xem [4, Hệ quả 3.3.3]) Đặc biệt Định lý Lichtenbaum-Hartshornecho ta tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương tại cấp caonhất với giá tùy ý (xem [4, Định lý 8.2.1])

Nhìn chung môđun đối đồng điều địa phương không là môđun hữuhạn sinh và cũng không là môđun Artin Định lý sau (xem [4, Định lý7.1.3, Định lý 7.1.6]) chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương vớigiá cực đại hoặc tại cấp cao nhất luôn là Artin.

Định lý 1.2.7 Giả sử rằng (R,m) là vành địa phương và M là R-môđunhữu hạn sinh Khi đó

(i) Hmi(M ) là R-môđun Artin với mọi số tự nhiên i

(ii) Nếu dim M = d thì HId(M ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun được giới thiệu bởi

I G Macdonald [31] có thể xem là đối ngẫu của lý thuyết phân tíchnguyên sơ Trong tiết này chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả

về biểu diễn thứ cấp

Định nghĩa 1.3.1 (i) Một R-môđun N được gọi là thứ cấp nếu N 6= 0

và với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trên N là toàn cấu hoặc lũy linh.Trong trường hợp này, Rad(AnnRN ) là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là

Dễ thấy rằng nếu N1, N2 là các môđun con p-thứ cấp của N thì

N1 + N2 cũng là môđun con p-thứ cấp của N Vì thế mọi biểu diễn thứcấp của N đều có thể đưa được về dạng tối thiểu bằng cách ghép chung

những thành phần thứ cấp ứng với cùng một iđêan nguyên tố và bỏ đinhững thành phần thừa Tập hợp {p1, ,pn} là độc lập với việc chọnbiểu diễn thứ cấp tối thiểu của N và được gọi là tập các iđêan nguyên tốgắn kết của N , kí hiệu là AttRN Các hạng tử Ni, i = 1, , n, được gọi

là các thành phần thứ cấp của N Nếu pi là tối thiểu trong tập AttRNthì pi được gọi là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của N và Ni được gọi

là thành phần thứ cấp cô lập của N

Mệnh đề 1.3.2 Giả sử N là một R-môđun biểu diễn được Khi đó cáckhẳng định sau là đúng

(i) AttRN 6= ∅ khi và chỉ khi N 6= 0

(ii) Tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của R chứa AnnRN chính là tậpcác phần tử tối thiểu của AttRN

(iii) Cho 0 → N0 → N → N00 → 0 là dãy khớp các R-môđun biểu diễnđược Khi đó ta có

AttRN00 ⊆ AttRN ⊆ AttRN0 ∪ AttRN00.Định lý sau đây cho ta một lớp các môđun biểu diễn được

Định lý 1.3.3 [31, 5.2] Mọi môđun Artin đều biểu diễn được

Cho A là R-môđun Artin Khi đó A có cấu trúc tự nhiên như

b

R-môđun Với cấu trúc này, một môđun con của A xét như R-môđunkhi và chỉ khi nó là môđun con của A xét như R-môđun Do đó A làbb

R-môđun Artin và ta có mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắnkết như sau

Bổ đề 1.3.4 [4, 8.2.4 và 8.2.5] AttR(A) = {bp∩ R | bp ∈ Att

b

R(A)}.Kết quả sau đây, gọi là tính chất dịch chuyển địa phương yếu,thường được dùng trong các chứng minh về sau của luận án

Định lý 1.3.5 [43, Định lý 4.8] Giả sử M 6= 0 và p ∈ SuppR(M ) saocho dim R/p = t Giả sử i > 0 là một số nguyên và q là iđêan nguyên tốvới q ⊆ p sao cho qRp ∈ AttRp(HpRi p(Mp)) Khi đó q ∈ AttR(Hmi+t(M )).

Định lý 1.3.7 [34, Định lý 2.2] Giả sử M 6= 0 và dim M = d Khi đó

Hmd(M ) 6= 0 và AttR(Hmd(M )) = {p ∈ AssRM | dim(R/p) = d}

suy rộng

Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng làhai lớp môđun quen thuộc và quan trọng trong Đại số giao hoán Trongtiết này chúng ta nhắc lại khái niệm và một số kết quả thường sử dụngtrong luận án về hai lớp môđun này Ta ký hiệu (R,m) là vành địaphương Noether với m là iđêan cực đại, M là R-môđun hữu hạn sinhchiều d và I là iđêan của R

Ta luôn có bất đẳng thức depth M ≤ dim M (xem [6, Mệnh đề1.2.12]) Từ đó, ta có định nghĩa vành và môđun Cohen-Macaulay nhưsau

Định nghĩa 1.4.1 (Xem [33, Trang 134]) M là môđun Cohen-Macaulaynếu M = 0 hoặc M 6= 0 và depth M = dim M Nếu R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay

Sau đây là một số tính chất của môđun Cohen-Macaulay thườngđược sử dụng trong luận án (xem [33, Định lý 17.3], [33, Trang 137]).Mệnh đề 1.4.2 Các khẳng định sau là đúng.

(i) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay Khi đó dim R/p = dim M vớimọi p ∈ AssRM Khi đó M không có iđêan nguyên tố nhúng

(ii) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì Mp là Rp-môđun Macaulay với mọi iđêan nguyên tố p của R

Cohen-(iii) M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số của Mđều là M -dãy

(iv) R là vành Cohen-Macaulay khi và chỉ khi vành các chuỗi lũy thừahình thức R[[x1, , xn]] là vành Cohen-Macaulay

Để nêu một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay, trước hết,chúng ta nhắc lại khái niệm số bội (xem [48, Trang 24]) Một hệ cácphần tử x = (x1, , xt) của R sao cho `(M/(x1, , xt)M ) < ∞ đượcgọi là hệ bội của M Khi đó ký hiệu bội e(x; M ) của M đối với hệ bội xđược định nghĩa qui nạp theo t như sau: Với t = 0, tức là `(M ) < ∞ tađặt e(∅; M ) = `(M ) Giả sử t > 1 Đặt (0 :M x1) = {m ∈ M | mx1 = 0}.Khi đó (x2, , xt) là hệ bội của M/x1M và (0 :M x1) Vì thế ta địnhnghĩa

e(x; M ) = e(x2, , xt; M/x1M ) − e(x2, , xt; 0 :M x1)

Cho q là iđêan của R sao cho `(M/qM ) < ∞ Khi đó, ta có hàmHilbert-Samuel Pq(n) = `(M/qn+1M ) Chú ý rằng tồn tại một đa thức

pq(n) bậc d sao cho với n đủ lớn, ta có Pq(n) = pq(n) Hơn nữa, tồn tạicác số nguyên e0(q; M ) > 0, e1(q; M ), , ed(q; M ) sao cho với n đủ lớn,

Hệ số e0(q; M ) gọi là số bội của M ứng với iđêan q Nếu x = (x1, , xd)

là hệ tham số của M và q = (x1, , xd)R thì e0(q; M ) = e(x; M ) Hơnnữa, ta luôn có 0 6 e(x; M ) 6 `(M/xM ) (xem [48, Bổ đề 3.3])

Sau đây là một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay thường

sử dụng trong luận án (xem [33, Định lý 17.3, Định lý 17.5, Định lý17.11], Định lý 1.2.5)

Mệnh đề 1.4.3 Các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay

(ii) Tồn tại hệ tham số x của M sao cho e(x; M ) = `(M/xM )

(iii) Với mọi hệ tham số x của M ta có e(x; M ) = `(M/xM )

(iv) M là môđun Cohen-Macaulay.c

(vi) M/xM là môđun Cohen-Macaulay với mọi phần tử M -chính qui

x ∈ m

(vii) Hmi(M ) = 0 với mọi i = 0, , d − 1

Với mỗi hệ tham số x của M , đặt I(x; M ) = `(M/xM ) − e(x; M ).Khi đó I(x; M ) > 0 với mọi hệ tham số x Chú ý rằng nếu M là môđunCohen-Macaulay thì I(x; M ) = 0 với mọi hệ tham số x của M Năm

1965, D A Buchsbaum [7] đã đặt ra giả thuyết: I(x; M ) là hằng sốkhông phụ thuộc vào hệ tham số x của M Tuy nhiên, năm 1973, W.Vogel và J St¨uckrad [54] đã đưa ra một loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyếtcủa D A Buchsbaum là không đúng Nghĩa là, nhìn chung I(x; M ) phụthuộc vào hệ tham số x Mặc dù câu hỏi của D A Buchsbaum khôngđúng nhưng nó dẫn đến việc nghiên cứu một lớp môđun mở rộng của lớpmôđun Cohen-Macaulay Cụ thể W Vogel và J St¨uckrad đã giới thiệu lýthuyết môđun Buchsbaum (xem [48]) M được gọi là môđun Buchsbaumnếu I(x; M ) là hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M Ngaysau đó, N T Cường, P Schenzel và N V Trung [50] đã nghiên cứu

lớp môđun có tính chất sup I(x; M ) < ∞ trong đó cận trên lấy theo tất

cả các hệ tham số x của M và họ gọi lớp môđun đó là môđun Macaulay suy rộng Như vậy, lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng là

Cohen-mở rộng của lớp môđun Cohen-Macaulay và môđun Buchsbaum

Một số tính chất sau của môđun Cohen-Macaulay suy rộng có thểxem trong [49, Bổ đề 1.2; Bổ đề 1.6; Bổ đề 1.7]

Mệnh đề 1.4.4 (i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉkhi M/Hm0(M ) là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

(ii) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng và x là phần tử tham

số của M Khi đó M/xM là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

(iii) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng Khi đó Mp là môđunCohen-Macaulay và dim Mp + dim R/p = d với mọi iđêan nguyên tố

p ∈ SuppR(M ) \ {m}, hơn nữa SuppR(M ) là catenary Điều ngược lạicũng đúng nếu R là vành thương của vành Cohen-Macaulay

Sau đây là một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng(xem [49])

Mệnh đề 1.4.5 Các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

(ii) `(Hmi(M )) < ∞ với mọi i = 0, , d − 1

(iii) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.c

(iv) Tồn tại một hệ tham số x = (x1, , xd) của M sao cho

I(x; M ) = `(M/(x21, , x2d)M ) − e(x21, , x2d; M )

Chương 2

Quỹ tích không Cohen-Macaulay

Trong suốt chương này, ta luôn giả thiết (R,m) là vành địa phươngNoether với iđêan cực đại duy nhất m và M là một R-môđun hữu hạnsinh với chiều Krull dim M = d Với mỗi iđêan I của R, ký hiệu Var(I)

là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I

Lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun đóng vai trò trung tâmtrong Đại số giao hoán và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhaucủa Toán học như Đại số đồng điều, Hình học đại số và Tổ hợp Nhắclại rằng M là môđun Cohen-Macaulay nếu depth M = dim M Quỹtích không Cohen-Macaulay của M , kí hiệu nCM(M ), là tập hợp tất cảiđêan nguyên tốp sao cho Mp không là Cohen-Macaulay Quỹ tích khôngCohen-Macaulay đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học như R.Hartshorne [28], P Schenzel [53], N T Cường [10], [11] khi vành cơ sở

là thương của một vành Gorenstein

Mục tiêu của chương này là sử dụng các tập giả giá định nghĩabởi M Brodmann và R Y Sharp [5] để mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay trong trường hợp tổng quát (khi R là vành địa phương Noethertùy ý), đồng thời nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay trong mốiquan hệ với tính catenary, tính không trộn lẫn của vành, điều kiện Serređối với môđun Phần cuối của chương dành cho việc nghiên cứu chiềucủa quỹ tích không Cohen-Macaulay Nội dung của chương được trình

bày dựa theo bài báo [20] và một phần của bài báo [39].

Trong tiết này chúng tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulaycủa môđun hữu hạn sinh qua các tập giả giá và xét tính đóng của nó.Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm giả giá và giả chiều của mộtmôđun hữu hạn sinh được định nghĩa bởi M Brodmann và R Y Sharptrong [5]

Định nghĩa 2.1.1 (i) Cho i ≥ 0 là một số nguyên Giả giá thứ i của

M , kí hiệu là PsuppiR(M ), được cho bởi công thức

PsuppiR(M ) = {p ∈ Spec(R) | HpRi−dim(R/p)

(ii) PsuppiR(M )
i = (AssRM )i

Chứng minh (i) Lấy p ∈ PsuppiR(M ) Khi đó HpRi−dim(R/p)

Do đó p ∈ (PsuppiR(M ))i khi và chỉ khi pRp ∈ AssRp(Mp) vàdim(R/p) = i Vì thế, p ∈ (PsuppiR(M ))i khi và chỉ khi p ∈ (AssRM )i.

p (Mp)
với iđêan nguyên

tố q ⊆ p Suy ra q ∈ AttR(Hmi(M )) theo Định lý 1.3.5 Do đó q ⊇AnnR(Hmi(M )) theo Mệnh đề 1.3.2(ii) Vì thế p ⊇ AnnR(Hmi(M )) VậyPsuppiR(M ) ⊆ Var(AnnRHmi(M ))

Tập con T của Spec(R) được gọi là ổn định với phép đặc biệt hóanếu với mọi p,q ∈ T , p ⊆ q mà p ∈ T thì q ∈ T Kết quả sau cho ta điềukiện để PsuppiR(M ) ổn định với phép đặc biệt hóa và đóng với khônggian tôpô Zariski (xem [5, Bổ đề 2.2] và [5, Mệnh đề 2.5])

Bổ đề 2.1.4 (i) Nếu R là catenary thì PsuppiR(M ) là ổn định với phépđặc biệt hóa

(ii) Nếu vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Macaulay thì PsuppiR(M ) = Var(AnnR(Hmi(M )) với mọi số nguyên i.Đặc biệt PsuppiR(M ) là đóng

Cohen-Kết quả chính thứ nhất của Chương là đưa ra công thức mô tảquỹ tích không Cohen-Macaulay qua các tập giả giá

Định lý 2.1.5 Giả sử p ∈ SuppR(M ) Khi đó các khẳng định sau làđúng.

(i) Tồn tại j 6 d sao cho p ∈ PsuppjR(M ) và

depth(Mp) = k − dim(R/p), dim(Mp) = t − dim(R/p),

trong đó k = min

i6d {i | p ∈ PsuppiR(M )} và t = max

i6d {i |p ∈ PsuppiR(M )}.(ii) nCM(M ) = S

p (Mp) 6= 0.Tức là tồn tại j 6 d thỏa mãn p ∈ PsuppjR(M )

depth(Mp) 6 i − dim(R/p) < j − dim(R/p) 6 dim(Mp) theo (i) Do đó

i6s

PsuppiR(M ) Thật vậy, nếu p ∈/ S

i6s

PsuppiR(M ) thìdepth(Mp) > s−dim(R/p) theo (i) Nghĩa là depth(Mp)+dim(R/p) > s.Điều này vô lý Vậy khẳng định được chứng minh

(iv) Giả sử p ∈/ S

i<d

PsuppiR(M ) Khi đó depth(Mp) + dim(R/p) = dtheo (iii) Do đó Mp là Cohen-Macaulay có chiều d − dim(R/p)

Cho i > 0 là một số nguyên Chú ý rằng giả giá thứ i của môđun

M nhìn chung không là tập đóng (xem [5, Ví dụ 3.1, Ví dụ 3.2]) Nếuvành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulaythì PsuppiR(M ) đóng với mọi i Chúng tôi chỉ ra rằng, trong trường hợpvành R/ AnnR(M ) là catenary thì PsuppiR(M ) đóng đối với một số cấp

i đặc biệt Hơn nữa, từ Định lý 2.1.5 chúng ta có công thức sau đây mô

tả quỹ tích không Cohen-Macaulay trong trường hợp M đẳng chiều

Hệ quả 2.1.6 Giả sử M đẳng chiều và vành R/ AnnRM là catenary.Khi đó PsuppiR(M ) đóng với i = 0, 1, d và

HpR0 p(Mp) 6= 0 Vì thế p ∈ AssRM Do đó

Psupp1R(M ) ⊆ {m} ∪ {p ∈ AssRM | dim(R/p) = 1}

Vì thế Psupp1R(M ) có hữu hạn phần tử cực tiểu Vì R/ AnnRM là vànhcatenary nên Psupp1R(M ) ổn định với phép đặc biệt hóa theo Bổ đề2.1.4 Điều này suy ra Psupp1R(M ) là tập con đóng của Spec(R) theotôpô Zariski Vì M đẳng chiều theo giả thiết nên

Var(AnnRM ) = [

p∈Ass R M,dim(R/p)=d

Var(p) = Var(AnnRHmd(M ))

Vì R/ AnnRM là catenary nên PsuppdR(M ) = Var(AnnRM ) theo [38,

Hệ quả 3.4 (iv)] Do đó PsuppdR(M ) đóng và

PsuppiR(M ) ∩ PsuppdR(M ) = PsuppiR(M )

với mọi i = 1, , d − 1 Vì vậy nCM(M ) = S

06i6d−1

PsuppiR(M )

Kết quả sau suy ra từ Định lý 2.1.5 (ii) cho chúng ta một điều kiện

đủ để nCM(M ) đóng

Hệ quả 2.1.7 Nếu PsuppiR(M ) đóng với mọi i 6 d thì nCM(M ) đóng

Câu hỏi tự nhiên đặt ra là phát biểu ngược lại của Hệ quả 2.1.7

có đúng không? Hệ quả sau đây cho ta câu trả lời trong trường hợpdim M = 3 và M đẳng chiều

Hệ quả 2.1.8 Giả sử M đẳng chiều và dim M = 3 Nếu R/ AnnRM

là catenary thì PsuppiR(M ) đóng với mọi i 6= 2 và

Chứng minh Vì M đẳng chiều và dim M = 3 nên theo Hệ quả 2.1.6,PsuppiR(M ) đóng với mọi i 6= 2 và nCM(M ) = S2

i=0PsuppiR(M ) Do

đó, nếu Psupp2R(M ) đóng thì nCM(M ) đóng Ngược lại, giả thiết rằngnCM(M ) đóng Ta chứng minh Psupp2R(M ) đóng Giả sử Psupp2R(M )không đóng Do R/ AnnR(M ) là catenary nên Psupp2R(M ) ổn định vớiphép đặc biệt hóa theo Bổ đề 2.1.4 Vì Psupp2R(M ) không đóng nên nó

có vô hạn phần tử cực tiểu Chú ý rằng 1 6 dim(R/p) 6 2 với mọi

p ∈ min Psupp2R(M ) theo Bổ đề 2.1.2(i) Hơn nữa ta có dim(R/p) 6 1với mọi p ∈ Psupp1R(M ) ∪ Psupp0R(M ) Vì vậy, mỗi phần tử cực tiểu củaPsupp2R(M ) là phần tử cực tiểu của nCM(M ) Do đó nCM(M ) có vôhạn phần tử cực tiểu và vì thế nCM(M ) không đóng Điều này là vô lý

Vì thế nCM(M ) đóng khi và chỉ khi Psupp2R(M ) đóng

M Brodmann và R Y Sharp trong [5, Ví dụ 3.1] đã đưa ra ví dụ

về một miền nguyên địa phương Noether (R,m) chiều 3 sao cho R làcatenary phổ dụng và Psupp2R(M ) không đóng Theo Hệ quả 2.1.8 quỹtích không Cohen-Macaulay của miền nguyên này không đóng

Trong trường hợp vành R/ AnnRM không catenary thì phát biểungược lại của Hệ quả 2.1.7 còn đúng không? Câu trả lời là không đúng.Trước khi đưa ra phản ví dụ, chúng ta có tính chất sau đây

Hệ quả 2.1.9 Giả sử dim M = 3 và dim(R/p) = 3 với mọi p ∈ AssRM Giả sử R/ AnnRM không catenary Khi đó Psupp3R(M ) không đóng Hơnnữa, Psupp0R(M ) = ∅, Psupp1R(M ) ⊆ {m} và

nCM(M ) = Psupp2R(M ) ∩ Psupp3R(M )

Chứng minh Theo giả thiết M đẳng chiều và vành R/ AnnRM khôngcatenary nên Psupp3R(M ) không đóng theo [38, Hệ quả 3.4 (iv)] Vìdim(R/p) = 3 với mọi p ∈ AssRM nên ta có Psupp0R(M ) = ∅ vàPsupp1R(M ) ⊆ {m} Vì thế để chứng minh nCM(M ) = Psupp2R(M ) ∩

Psupp3R(M ), theo Định lý 2.1.5 ta chỉ cần chứng minhm ∈ Psupp2R(M )∩Psupp3R(M ) Vì dim M = 3 nên Hm3(M ) 6= 0 Do đó m ∈ Psupp3R(M ).Mặt khác, vì R/ AnnRM không catenary nên tồn tại p ∈ AssRM saocho R/p là miền nguyên chiều 3 không catenary.

Đặt U = {q ∈ Spec(R),q ⊇ p | dim R/q + htq/p = 2} Vì R/p

không catenary nên tồn tại iđêan nguyên tốq ∈ U Vì dim R/q+htq/p =

2 nên q 6= m và q 6= p Do đó dim R/q = 1 Do đồng cấu R → R làb

phẳng nên tồn tạibq ∈ Spec(R) sao chob bq∩ R = q Vì q 6= m nênbq 6= m bR.Suy ra 0 < dimR/b bq 6 dim R/q = 1 Vì thế dimR/b bq = 1 Ký hiệuU

bq + Ann

b

RHm3(R/p) Vì đồng cấu R → R là phẳng nên nó thỏa mãnb

Định lý đi xuống theo [33, Định lý 9.5] Do đó htbq > 1 Vì thế tồntại bp ∈ Ass(R/b p bR) sao cho bp ⊂ bq và bp 6= bq Do đó dimR/b bp > 2 Vì

theo Hệ quả 1.3.6 Vì thế Hm2(M ) 6= 0 Vậy ta có m ∈ Psupp2R(M )

Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng nếu bỏ đi giả thiết vành R/ AnnRM

là catenary thì phát biểu ngược lại của Hệ quả 2.1.7 không đúng

Ví dụ 2.1.10 Tồn tại miền nguyên địa phương Noether R chiều 3 thỏamãn quỹ tích không Cohen-Macaulay của R đóng nhưng Psupp2(R) vàPsupp3(R) không đóng

Chứng minh Theo [5, Ví dụ 3.2], tồn tại (R,m) là miền nguyên địaphương Noether chiều 3 thỏa mãn R không catenary, Psupp2(R) và