TỔNG ôn NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN

TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN Công thức đổi biến tích phân gốc: duu dx'... Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây mlà mét, s là giây... Cắt phần vật thể B bởi mặt phẳng vuông góc với trục

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Công thức tính nguyên hàm cần biết:

1

1

n

n





1

n

n







1

n







 1

ln







e dxe C

e  dxe  C

a

 1

ln





a





sinxdx cosx C

 sinx a dx   cosx a C sinax b dx cosax b C

a





cosxdxsinx C

a

 2

1

cot sin x dx  x C

1

cot



cot 1

sin

ax b





 2

1

tan

cos x dx x C

1

tan cos x a dx xa C



tan 1

cos

ax b







1dx x C



Công thức tính nguyên hàm nâng cao:

2 2

arctanx



2

1

ln



1

arcsinx

a





Các công thức tích phân cần biết:

f x dx  f x dx

f x dx f x dx f x dx

Adx Bdx A Bdx

a

a

f x dx





0 2

a





1 TÍCH PHÂN CƠ BẢN

Câu 1: Giả sử F x  là một nguyên hàm của f x 2 cosx1 Tính

2

F 

 

  biết rằng F 0 2?

Lời giải:

Cách 1: Ta có F x 2cosx1dx2sinx x C vì  0 2 2 4

f x dxF F F  x dxF

Chú ý công thức: ( )    

b

a

f x dx  f b  f a



Câu 2: (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2016 – 2017) Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên đoạn

A I 1 B I  1 C I 3 D 7

2

1

2

1

I  f x dx  f x  f  f   

2.

TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN

Công thức đổi biến tích phân gốc: duu dx'

Công thức đổi biến tích phân:

 1

1

1

n





 

ln

1

ln

cos x dxd x

1

log

ln dx d a x

sin x dx d x

Câu 1: Biết rằng 1  

2018 2

0

1

a

b



Lời giải: Ta có: 1   1     2 2019 2019

0

x

Câu 2: Biết rằng

2

1

e

dx





b là phân số tối giản Tính giá trị của

biểu thức Pa2b2?

A P 17 B P 32 C P 25 D P 26

2

1

e

x



Câu 3: Biết rằng

2 sin

0

cos



A P 1 B P  3 C P 2 D P  1

Lời giải: Ta có:

0

3.

TÍCH PHÂN CĂN THỨC

Câu 1: Tính giá trị của

3

0

? 1

x

x







A 9

2

3

4

2

I 

x     t x t dx tdt do đó:

2

1

t

t



Câu 2: Tính giá trị của

3 2 0

? 1

x

x







A 131

10

11

20

12

P 

Lời giải: Ta đặt 3 x2   1 t x2  1 t3 2xdx3t dt2 do đó:

1

2 2

3

t

t



Câu 3: Tính giá trị của

1

1 3ln ln

?

e

x





A 116

135

125

115

132

I 

Lời giải: Ta đặt

2

x



1

1 2

e t t t



4.

TÍCH PHÂN PHÂN THỨC: Nếu phân thức có bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu thì chia đa thức

Câu 1: (THPT KHTN – Hà Nội lần 4 năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3

3 2

x

f x



A  f x dx( ) 2ln x 2 ln x 1 C B  f x dx( ) 2ln x 1 ln x 2 C

C  f x dx( ) 2ln x 1 ln x 2 C D f x dx( ) ln x 1 2ln x 2 C

x

Câu 2: (THPT Quế Võ Số 1 – Bắc Ninh năm 2016 – 2017) Cho ,a b là các số hữu tỉ thỏa mãn tích

phân

2 0 1

ln

x





A a2b30 B a2b40 C a2b50 D a2b60

5.

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: NHẤT LOG – NHÌ ĐA – TAM LƯỢNG – TỨ MŨ

Câu 1: Biết rằng 2  2

1

x e dxae be c

3

2

2

1

Câu 2: Biết rằng

3

0





A 2

3

3

6

6

P 

Lời giải: Ta có:

3

0





Câu 3: Biết rằng

2

1

x xdxa b c

4

4

4

Lời giải:Đặt

2

2 ln

2

1

2

x

x

v







2

1

x

Câu 4: Biết rằng

0

cos

x





2

P  

Lời giải:Đặt

0



0

1

I

e



6 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Chú ý công thức:

2 1

;

t

t

vadt svdt

Câu 22: (THPT Tiên Lãng – Hải Phòng năm 2016 – 2017) Một vật chuyển động với gia tốc

( ) 20(1 2 ) ( )

a t    t  m/s Khi t 0 thì vận tốc của vật là 30(m /s) Tính quãng đường vật đó

di chuyển sau 2 giây (mlà mét, s là giây)

A 46 m B 48 m C 47 m D 49 m

Lời giải: Ta có:

Vận tốc là:

 2

20

1 2

1 2

t t





1 2

v

t

2

0

10

1 2

t



 Thể tích tròn xoay quanh trục hoành: 2  2 

b

a

 Thể tích tròn xoay quanh trục tung: 2  

b

a

 Thể tích của vật thể có thiết diện với diện tích  :  

b

a

Câu 1: Tính diện tíchS của hình phẳng giới hạn bởi đường cong yx2 x 1 và đường thẳng

2 1

A 9

2

2

Lời giải: Ta có:

2

1

x





Câu 2: Tính thể tích V của khối tròn xoay có được khi cho hình phẳng giới hạn bởi các

đườngy x1, y0, x quay xung quanh trục hoành4 Ox

A 7

5

B 6

7

C 7

6

D 5

6

Lời giải: Ta có 4 

2

1

7 1

6

Câu 3: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định lần 8 năm 2016 – 2017) Cho phần vật thể B

giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x 0và x 2. Cắt phần vật thể B bởi mặt phẳng

vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x 2), ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2x Tính thể tích V của phần vật thể B

A 4

3

3

V   C V 4 3 D V  3

Lời giải: Ta có 2 2 

0

2

V  x x dx 

7 TÍCH PHÂN HÀM ẨN

TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 1:

ln

x

a

Lời giải: Giả sử F t  là một nguyên hàm của tln3t, ta có:   3

f x F x F a  f x F x  x x  x  x

TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 2:

Biết rằng 1  

1

2

1 4

xf x dx 

6

sin 2xf sinx dx





Lời giải: Ta có: 2   2      1  

1

1

2

TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 3:

Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn    2 2

 0;1 Tích phân 1  

0

f x dx

Lời giải: Ta thay x bởi x2 trong tích phân: 1     1   1  

3

2

I f x d x  xf x dx xf x dx I

3

I I  f x  xf x dx x dx   I 

TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 4:

Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên    1; 2 và đồng biến trên  1; 2 thỏa mãn:

  '  2

x

  với  x  1; 2 và f  1  3

 

2

3 2



Lấy nguyên hàm hai vế:

 

5

3 2

f x



2 2

3

TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 5:

0

9 5

0

3 5

x f x dx

Lời giải: Ta có 2 cách giải:

2 2

1

5

f x  x  f x x   f 

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: 1 2   2 1 4 1   2

3

5

Tới đây ta giải tương tự như cách trên để có f  2  9

TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 6:

Cho f x , có đạo hàm trên đoạn  0;1 , f  1 2f  0  và 2 1  

0

10

f x dx 

0

Lời giải:Đặt

1

TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 7:

Cho f x , có đạo hàm trên đoạn    0;1 , thỏa mãn   2     2

3

f x  f x f x  x

Lời giải:Ta có   2     2           3

f x  f x f x  x  f x f x  f x f x x 

1

f x f x dx x  dx   x C

2

TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 8:

Cho y f x  liên tục trên 0;   thỏa mãn      2

1 2

f  Tính f  4

2



 

x

2

TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 9:

Cho y f x  liên tục trên sao cho f x 3 f x 8x   Tính 2 x 1  

0

I  f x dx?

Lời giải: Xét f x  ta có: t 3

8 2

  



   

1

3

dt dx t

Vậy:

3 2

1

t

TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 10:

Cho hàm số f x liên tục trên đoạn    0;1 thỏa mãn 1   1  

1

x

0

Lời giải: Với mọi số thực a b, và 2 2

0

a b  ta có

a b a e f x dx b f x dx    ae b f x dx

Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có:

 2 1    2 1 2 1 2 

1

2

2 1

0

1

2

a b





   

2 2

2 1

2

0

2

a b

a b

f x dx

e e

 

8