Tong hop ly thuyet nguyen ham tich phan va ung dung le minh tam

Nguyên hàm đổi biến .... Tích phân áp dụng tính chất & bảng nguyên hàm cơ bản .... Tích phân kết hợp đổi biến & từng phần .... Tích phân hàm cho nhiều công thức .... Tính giá trị hàm qua

 Chủ đề 01 NGUYÊN HÀM

 Dạng 1.1 Nguyên hàm cơ bản 5

 Dạng 1.2 Nguyên hàm đổi biến 7

1.2.1 Đổi biến loại 1 (Lượng giác hóa) 7

1.2.2 Đổi biến loại 2 9

 Dạng 1.3 Nguyên hàm từng phần 11

 Dạng 1.4 Nguyên hàm hàm số hữu tỉ 13

1.4.1 Bậc tử ≥ Bậc mẫu 13

1.4.1 Bậc tử < Bậc mẫu 14

 Dạng 1.5 Nguyên hàm hàm số vô tỉ 23

 Dạng 1.6 Nguyên hàm hàm số lượng giác 23

 Dạng 1.7 Nguyên hàm có điều kiện 26

 Chủ đề 02 TÍCH PHÂN  Dạng 2.1 Tích phân áp dụng tính chất & bảng nguyên hàm cơ bản 29

 Dạng 2.2 Tích phân từng phần 31

 Dạng 2.3 Tích phân đổi biến loại 1 33

 Dạng 2.4 Tích phân đổi biến loại 2 35

 Dạng 2.5 Tích phân kết hợp đổi biến & từng phần 37

 Dạng 2.6 Tích phân chứa trị tuyệt đối 39

 Dạng 2.7 Tích phân dựa vào đồ thị 41

 Dạng 2.8 Tích phân hàm chẵn lẻ 43

 Dạng 2.9 Tích phân hàm cho nhiều công thức 45

 Dạng 2.10 Tích phân liên quan max – min 47

 Dạng 2.11 Tích phân hàm “ẩn” 49

2.11.1 Dùng phương pháp đổi biến 49

2.11.2 Dùng phương pháp từng phần 51

 Dạng 2.12 Tích phân liên quan phương trình vi phân 53

2.12.1 Biểu thức đạo hàm 53

Mục lục

2.12.2 Bài toán tổng quát 𝒇′(𝒙) + 𝒑(𝒙) 𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙) 56

 Dạng 2.13 Bất đẳng thức tích phân 58

 Chủ đề 03 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN  Dạng 3.1 Câu hỏi lý thuyết 63

 Dạng 3.2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), Ox, x=a, x=b 65

 Dạng 3.3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), x=a, x=b 66

 Dạng 3.4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), y=h(x) 67

 Dạng 3.5 Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị 68

 Dạng 3.6 Thể tích vật thể 70

 Dạng 3.7 Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(x), Ox, x=a, x=b quay quanh Ox 71

 Dạng 3.8 Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(x), g(x), x=a, x=b quay quanh Ox 72

 Dạng 3.9 Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(y), g(y), y=a, y=b quay quanh Oy 73

 Dạng 3.10 Tính giá trị hàm qua diện tích hình phẳng 74

A LÝ THUYẾT CHUNG

1 Định nghĩa:

 Cho hàm số f x  xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng)

Hàm số F x  là nguyên hàm của hàm số f x  trên K nếu F x    f x  x K

Ký hiệu:  f x dx F x  C

2 Định lý:

 Nếu F x  là một nguyên hàm của f x  trên K thì:

● Với mỗi hằng số C, hàm G x   F x C cũng là một nguyên hàm của f x  trên K

● Mọi nguyên hàm của f x  trên K đều có dạng F x C, với C là một hằng số

 Do đó F x C C,  là họ tất cả các nguyên hàm của f x  trên K

(1).0dx C (2).dx x C 

11

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

 Dạng 1.1. Nguyên hàm cơ bản

 Áp dụng định nghĩa, tính chất và bảng công thức nguyên hàm cơ bản

Định nghĩa:

Cho hàm số f x  xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng)

Hàm số F x  là nguyên hàm của hàm số f x  trên K nếu F x    f x  x K

23

x

F x  

C   3

22

 C 3x2e x D

4

12

x x e



Lời giải

51d

x

23

 Dạng 1.2. Nguyên hàm đổi biến

1.2.1 Đổi biến loại 1 (Lượng giác hóa)

 Dấu hiệu để ta dùng phương pháp “Đổi biến loại 01”:

2 2

a x x a sint , với

  t 2

2ax x x a a  sint , với

  t

2 2

a x x tana t , với

  t

2 2

x a 

sin a x t với 2 2   t và t0   a x a x hoặc   a x a x x a cos2t , với 0 2  t x a b x    x a   sinb a 2t , với 0 2  t Khi đó ta có các bước giải như sau: Bước 1: Đặt x  t với  t có đạo hàm liên tục trên K, được chọn hợp lý Bước 2: Lấy vi phân của x theo biến số t, cụ thể là dx  t dt Bước 3: Thay cả x  t lẫn dx  t dt vào f x dx được bài toán mới theo t Bước 4: Giải nguyên hàm mới  f   t  t dt được kết quả F t  theo t, sau đó thay biểu thức x  t vào F t  để tìm được nguyên hàm theo biến x  Ví dụ 1.2.1 Tìm họ nguyên hàm của hàm số   2 3   f x x A 2 3 1 2arcsin x3x 2x C B 2 3 1 2arcsin x3 3x C C 3 2arcsinx 2x C D 3 2 2arcsin x3x x2 C Lời giải

Tìm họ nguyên hàm của hàm số   1 2

4





f x

x

2 arctanx C

C 2arcsin x C D 1

2arctan2xC

Lời giải

 Ví dụ 1.2.3 Tìm họ nguyên hàm của hàm số   2 2    . x f x x A 2 2 arccosx C   B 2 4 2 2 arccosx x C C 2 2 4 2 arccosx x C     D 3 2 2 4 2 arccosx x C     Lời giải

1.2.2 Đổi biến loại 2

 Dấu hiệu để ta dùng phương pháp “Đổi biến loại 02”:  f t x    t x dx

 

 





 t x dx

t x Biểu thức cần đặt t là mẫu thức t x 

 

   

 f e t x t x dx Biểu thức cần đặt t là phần số mũ của e

 

   

 f t x t x dx Biểu thức cần đặt t là biểu thức chứa trong dấu ngoặc

 

   

 f n t x t x dx Đặt căn thức có trong dấu tích phân

 

f lnx dx

x Đặt biểu thức chứa ln x nếu có

dx

x kèm theo

Khi đó ta có các bước giải như sau:

Bước 3: Thay cả t t x   lẫn dt t x  dx vào  f t x    t x dx

biến vào kết quả để tìm được nguyên hàm theo biến x

 Ví dụ 1.2.4

Tìm họ nguyên hàm của hàm số  

1 3



s in cos

x

f x

x

A 1 1 3

3ln cos x C

3ln cos x C

C 1 3

3 ln cos x C

Lời giải

Tìm họ nguyên hàm của hàm số   1

1



 x.

f x

e

A x e xln1e xC B xln1e xC

C e x ln1e xC D 1

1 ln

x

x

e

e

  



Lời giải

 Ví dụ 1.2.6 Tìm họ nguyên hàm của hàm số   tan2  cos x e f x x A x e e x tanxC B x e tan xC C e1tan xC D e tan xC Lời giải

 Ví dụ 1.2.7

Tìm họ nguyên hàm của hàm số    2018

1

f x x x

A  2020  2019

C

C

C  2020  2020

C

C

 Dạng 1.3. Nguyên hàm từng phần

 Kẻ bảng có dạng:

Tích phân có dạng u vd , với u và v là 2 trong 4 loại log – đa – lượng - mũ

Tính Iu vd bằng cách kẻ bảng:

Bước 1: Chọn u đặt vào cột “Đạo hàm”

Bước 2: Chọn dv đặt vào cột “Nguyên hàm”

Bước 3: Tính theo tính chất từng cột

Bước 4: Ta có kết quả Iu v u vd  v ud

 Quy tắc:

● Trong đó ta chọn u theo qui tắc: Nhất – log; Nhì – đa; Tam – mũ; Tứ – lượng

● Còn dv là phần còn lại trong dấu 

● Dấu ở các mũi tên: mũi tên đầu tiên luôn luôn là dấu  và đan xen dấu cho nhau

Tính I x1sin2x xd Ta thu được kết quả là:

A 1  1

2 x cos x 4sin x C

    B x1 cos 2xsin 2x C

C 2 2

2cos 4 sin

   D xcos 2x x sin 2x C

Lời giải

 Ví dụ 1.2.4 Cho   3 1 3   F x x là một nguyên hàm của   f x x .Tìm nguyên hàm của hàm số   ' ln f x x A 3 3 ln ln x x C x x   B ln x3 1 C x x   C ln3 1 ln x C x x   D 3 13 3 ln x C x  x  Lời giải

 Dạng 1.4. Nguyên hàm hàm số hữu tỉ

Xét f x  là hàm hữu tỉ có dạng f x  P x   

Q x

1.4.1 Bậc tử ≥ Bậc mẫu

 Chia đa thức được: M là thương, N là dư

Khi đó:            

f x dx P x dx  M N dx

 Ví dụ 1.4.1

Tìm họ nguyên hàm của hàm số   1

1

x

f x

x







A x3ln x C B xln 2x 1 C

C x2ln x 1 C D 2xln x 1 C

Lời giải

 Ví dụ 1.4.2 Tìm họ nguyên hàm của hàm số   2 2 5 1    . x f x x A 2 2 3 ln 1 x  x x C B 2 3 ln 1 x  x C C 2   2x ln x 1 C D 2   2x ln 1x C Lời giải

 Ví dụ 1.4.3 Kết quả của 2 1 d x x x   , ta thu được là: A 2x 1 x  B 2 1 1 C x    C x2ln x C D 2 2 ln x x C   Lời giải

Lời giải

 Ví dụ 1.4.5

Tìm họ nguyên hàm của hàm số  

2

ee

 ln x C D ln x2  1 C

Lời giải

Loại 2.2 f x  P x   

Q x trong đó    

  2







Q x ax bx c có các trường hợp sau:

2.2.1. Q x  có 0

 Mẫu có hai nghiệm phân biệt

    

2

x x x x

ax bx c

 Ví dụ 1.4.7

Tính

 21 6dx

x x



A 1 2

8 12

4 ln x x C

C lnx 6 ln x 2 C D 1 

4 ln x ln x C

Lời giải

 Ví dụ 1.4.8 Tìm nguyên hàm của   2 1 3 2 f x x x    A 1 2 3 2 2ln x  x C B 1   2 1 2ln ln x ln x C C lnx 2 ln x 1 C D 2 3 2 ln x  x C Lời giải

 Ví dụ 1.4.9 Biết F x  là nguyên hàm của hàm số   2 2 2 5 3 f x x x    Tìm F x  A 2 1  3 2 7 ln x lnx C B 3   2 1 2ln ln x ln x C C ln2x 1 ln x 3 C D 2 2ln x 5x 3 C Lời giải

C x

 D

1

1 C x



Lời giải

C x

 D

1

1 C x



Lời giải

Loại 2.3 f x  P x   

Q x trong đó  

  2







Q x ax bx c có các trường hợp sau:

2.3.1. Q x  có 0

Nhận dạng:  Bậc tử  Bậc mẫu

 Mẫu có hai nghiệm phân biệt

 1  2

2

1

ax bx c



 Cách 2:

a x x x x

ax bx c

 

1

a

a x x x x

ax bx c

 



Đến đây ta chỉ cần tìm X Y bằng cách giải hệ: &

?

Y



 Lưu ý: (1) Cách lấy các “hệ số” bỏ vào hệ ta lấy theo thứ tự từ PHẢI qua TRÁI

(2) Với tử là hằng số, ta vẫn có thể áp dụng được cách này

(Áp dụng được cho 2.2.1 )

Ví dụ: I 2 1 dx

ax bx c



 ta xem hệ số m0&n 1

(3) Khuyết vị trí nào thì xem hệ số đó 0

Ví dụ: I 2 n dx

ax bx c



 khuyết "mx nên hệ số " m  0

(4) Chú ý hệ số a, bài đơn giản thường thấy a  , bài ít thấy 1 a  1

 Ví dụ 1.4.13

Họ nguyên hàm của hàm số   24 11





x

f x

x x là:

A 3lnx 2 ln x3C B ln x 2 lnx 3 C

C 3ln x 2 ln x3C D ln x 2 ln x 3 C

Lời giải

Tính 2 1

3 2dx aln x b1 C





 với a b Tính S a b;  

A S 3 B S   1 C S 0 D S 3

Lời giải

 Ví dụ 1.4.15 Biết rằng 2 1 2 1 2 2 x 2dx a b ln x c ln x C x x                  với ; ;a b c là các số hữu tỉ và là phân số tối giản Khi đó a b c  : A 1 10 S  B 19 10 S  C 3 2 S  D 2 5 S   Lời giải

2.3.2. Q x  có 0

 

0

dt d

Nhận dạng:  Bậc tử  Bậc mẫu

 Mẫu có nghiệm kép

 Ví dụ 1.4.16

Tính 2 1

4 4d

x

x



 ta được kết quả nào dưới đây:

A 2 1

2

x

C ln x 2 2x C D 1 1

1

x



Lời giải

 Ví dụ 1.4.17 Tính 2 2 1 4 4d x x x x     ta được kết quả nào dưới đây: A 4 2 2 ln x x C x     B 3 4 2 2 ln x x C x      C 4ln x 2 C D ln x  4 x C Lời giải

 2   2 



mx n

2



 ax bx c d

ax bx c Lượng giác hóa

 Ví dụ 1.4.18

Tính 225 7

2 7d

x





 ta được kết quả nào dưới đây:

A 25  2  32 1

2 7

2 ln x x 6arctanx6  C

B 1  2  1

2 7

2ln x x 6arctan x6 C

C

2

lnx  x  arctanx  C

D  2  1

x

  

Lời giải

 Tổng kết phương pháp tính nguyên hàm hàm số hữu tỉ

Đến đây ta chỉ cần tìm X Y bằng cách giải hệ: &



 Lưu ý: (1) Cách lấy các “hệ số” bỏ vào hệ ta lấy theo thứ tự từ PHẢI qua TRÁI

(2) Với tử là hằng số, ta vẫn có thể áp dụng được cách này

x C

x C

Lời giải

① sina b  sin cosa bsin cosb a

② cosa b  cos cosa b sin sina b

03 Công thức nhân đôi

① sin2 2sin cos

2



 coscos

Bài toán 01:

Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số f x   Tính F x  biết F a b

Bước 1: Dùng các phương pháp tính nguyên hàm để tìm được F x C ;

Bước 2: Xử lý F a b bằng cách thay vào F x C ; Ta được F a C ;   b C ?

Bước 3: Khi đó ta được F x  có cụ thể hằng số C

A F x  cosxsinx3 B F x  cosxsinx1

C F x  cosxsinx1 D F x cosxsinx3

Lời giải

 Ví dụ 1.7.2

Cho F x  là một nguyên hàm của f x e x2x thỏa mãn   3

02

Bài toán 02:

Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số f x   Tính F c  biết F a b

Bước 1: Dùng các phương pháp tính nguyên hàm để tìm được F x C ;

Bước 2: Xử lý F a b bằng cách thay vào F x C ; Ta được F a C ;   b C ?

Bước 3: Khi đó ta được F x  có cụ thể hằng số C và tính F c 

Bên cạnh đó, ta có thể dùng cách “Tích phân” để xử lý bài toán:

Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số f x   Tính F c  biết F a b

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

 Dạng 2.1. Tích phân áp dụng tính chất & bảng nguyên hàm cơ bản

 Áp dụng định nghĩa, tính chất và bảng công thức nguyên hàm cơ bản

 Dạng 2.2. Tích phân từng phần

 Kẻ bảng có dạng:

Tích phân có dạng u vd , với u và v là 2 trong 4 loại log – đa – lượng - mũ

Tính Iu vd bằng cách kẻ bảng:

Bước 1: Chọn u đặt vào cột “Đạo hàm”

Bước 2: Chọn dv đặt vào cột “Nguyên hàm”

Bước 3: Tính theo tính chất từng cột

Bước 4: Ta có kết quả Iu v u vd  v ud

 Quy tắc:

● Trong đó ta chọn u theo qui tắc: Nhất – log; Nhì – đa; Tam – mũ; Tứ – lượng

● Còn dv là phần còn lại trong dấu 

● Dấu ở các mũi tên: mũi tên đầu tiên luôn luôn là dấu  và đan xen dấu cho nhau



 e

214



 e I

Lời giải

 Dạng 2.3. Tích phân đổi biến loại 1

Bước 1: Đặt t  x , trong đó  x là hàm số mà ta nhẩm được  x .dx

Bước 2: Tính vi phân dt ' x dx và đổi cận  

t hoặc 

cos

a x

 Ví dụ 2.3.2

Tính tích phân

3 2

2 2

 C

2 2

0

4cos dt t

 D

2 2

 Dạng 2.4. Tích phân đổi biến loại 2

Bước 1: Đặt t  x , trong đó  x là hàm số mà ta nhẩm được  x .dx

Bước 2: Tính vi phân dt ' x dx và đổi cận  

I u u

Lời giải

 Ví dụ 2.4.3

Biết

1

21

ln

dln

Xét tích phân 2

2

1.e dx

I   x x Sử dụng phương pháp đổi biến số với 2

 Ví dụ 2.4.5

Cho hàm số f x  liên tục trên và các tích phân 4  

0

4tan d

 và 1 2  

2 0

I f x x

A 2 B 6 C 3 D 1

Lời giải

 Dạng 2.5. Tích phân kết hợp đổi biến & từng phần

 Trường hợp 1: Từng phần – Đổi biến:

a a

I  x x xa ba b, , Mệnh đề nào sau đây đúng?

Biết    

1

1 1cos sincos ln d

Cho hàm số f x  liên tục, có đạo hàm trên , f 2 16 và 2  

0

4d

 Dạng 2.6. Tích phân chứa trị tuyệt đối

I x x ta được kết quả :

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải

 , khi đó tổng a b là:

A 7 B 3 C 5 D 9

Lời giải

Tích phân

3 1

 ta được kết quả I a b  ln2cln3(với , ,a b c là các

số nguyên) Khi đó giá trị của biểu thức 3

 Dạng 2.7. Tích phân dựa vào đồ thị

 Ví dụ 2.7.1

Cho hàm số y f x  liên tục trên 0 4;  và có đồ thị như hình

bên Tích phân 4  

0d

 Ví dụ 2.7.2

Cho hàm số y f x  liên tục trên 3 5;  và có đồ thị như

hình bên (phần cong của đồ thị là một phần của Parabol

2

yax bx c ) Tích phân 3  

2d

Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên 1 2;  Đồ thị của

hàm số y f x  được cho như hình bên Diện tích các hình phẳng

6

f  D f 2 3

Lời giải