On nguyen ham tich phan

– Nếu bậc của Px < bậc của Qx và Qx có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích fx thành tổng của nhiều phân thức bằng phương pháp hệ số bất định.2 Nếu fx là hàm căn ta chú ý đến các phé

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ

ỨNG DỤNG

A NGUYÊN HÀM

1 Khái niệm nguyên hàm

• Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

3 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản

∫cos sin

C x xdx=− +

a dx

e ax+b = ax+b +

a dx b

a dx b

C x dx

1 Khái niệm tích phân

• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: F(b) – F(a) đgl

tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

( )

b a

– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).

2 Nếu f(x) là hàm căn ta chú ý đến các phép khái căn, lũy thừa và phép nhân với biểu thức liên hợp.

3.Nếu f(x) là hàm lượng giác ta chú ý các công thức lượng giác đặc biệt các công thức nhân, hạ bậc và công

x x

là phân số tối giản Tính

I =

C

172

I =

D

112

I =

Câu 17 Tìm nguyên hàm của hàm số

1sin

d ln 2 ln 31

Khi đó, a và b đồng thời là hai nghiệm của

phương trình nào dưới đây?

sinsin dx x x

x

π π

x x

f x x

C.

7(3)4

D.

Câu 34 Biết

4 2 3

Câu 44 Cho biết

( )d 10

a b

II.PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SƠ

Loại 1: Giả sử ta cần tính I=

( )

b a

( )

n u x hoặc t = u(x)

*Nếu tích phân chứa mẫu số có thể đặt t = mẫu số

x , đặt t = biểu thức chứa lnx

thì

[ ]( ) b ( ) '( ) b ( )

Một số dạng thường gặp ở các trường hợp sau:

f(x) có chứa Cách đổi biến

12

= −

I

14

= −

I

14

1

x

t t

d1

x

x x

++

1 x

C x

+ +

Câu 13 Nguyên hàm

( )( )

10 12

2d1

x

x x

−+

D

2

1

ln x+ +C x

Câu 16 Nguyên hàm

2 2

11

x

x x

−+

− +

1

ln x C x

F e

F e

x x

∫

Tính a

1 d2

I =

Câu 27.

e I

e I

x dx

11

I =

Câu 38.

a vdu uv

f( )

= ∫b

a

dx x f x

f1( ) 2( )

Bước 2: Đặt:

1 1

2 2

'( )( )

( )( )

C

116

−

D

164

B

1

ln 2 2

C

1

ln 2 2

D

1

ln 2 2

I = −

C

2 14

e

I = +

D

2 14

e

I = −

Câu 9 Nguyên hàm

2 3

sindcos

x x

Tìm nguyên hàm của hàm số

( ) ln

f x′ x

A

ln 1( ) ln

++

I

B.

π

= 4

I

=+

• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

{Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b];Trục hoành;Hai đường thẳng x = a, x = b.}

là:

( )

b a

S=∫ f x dx

(1)

• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

{Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b];Hai đường thẳng x = a, x = b.}

là:

( ) ( )

b a

* Trường hợp giới hạn bởi nhiều hơn hai đường đường có thể vẽ đồ thị để thiết lập công thức tính`

• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])

– Hai đường thẳng x = c, x = d

( ) ( )

d c

công thức:

b a

V=∫S x dx( )

• Thể tích của khối tròn xoay:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox:

2( )

b a

V=π∫f x dx

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục

Oy:(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d là:

2( )

d c

V=π∫g y dy

C

799.300

C

8112

Câu 6 Cho hình thang cong

( )H giới hạn bới các

Câu 9 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong

e

V =π +

C

2 12

Câu 14 Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2

4

x y

x

=

−, trục Ox và đường thẳng x=1

Tínhthể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox

A

4ln

V = π

4ln3

V = π

phẳng H quanh trục hoành.

Câu 22. Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính

của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ Biết

rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 8π

và

BAC 30 =

Tínhthể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) (phần tô

đậm) xung quanh đường thẳng AB

A V = π9

B

27.2

C

9.2

V = π

D

55.6

π

=

V

B

68.3

C

40.3

trục lớn bằng 2 2 và trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ) Trong mỗi một

Câu 27. Bạn A có một cốc thủy tinh hình trụ,

đường kính trong lòng đáy cốc là

6cm

, chiều caotrong lòng cốc là

10 cm

đang đựng một lượngnước Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước

chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với

đường kính đáy Tính thể tích lượng nước trong

Câu 28. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục

lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m Ông muốn trồng

hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục

đối xứng( như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000

đồng/1 m2 Hỏi Ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên

dải đất đó? ( Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồngC 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng

Câu 29.

Câu 29.

Câu 30.

Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.

Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

Câu 37.