Nam tron chuyen de nguyen ham tich phan va ung dung on thi thpt qg mon toan

Chú ý: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K... Một số nguyên tắc tính nguyên hàm cơ bản Tích của đa thức hoặc lũy thừa ⎯⎯→PP khai triển.. Tích các hàm mũ ⎯⎯→PP khai triển

Trang 2

Phan Nhật Linh Nắm trọn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia

1 Định nghĩa

Cho hàm số f x( ) xác định trên K Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( )trên

K nếu F x( )= f x( ) với mọi x thuộc K

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( )ký hiệu là  f x( )=F x( )+C

Chú ý: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

2

tancos

x

ax b C a

ax b = + ++

Trang 3

CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2



cotsin

x

ax b C a

6 Một số nguyên tắc tính nguyên hàm cơ bản

Tích của đa thức hoặc lũy thừa ⎯⎯→PP khai triển

Tích các hàm mũ ⎯⎯→PP khai triển theo công thức mũ

Bậc chẵn của sin hoặc cos ⎯⎯→ PP hạ bậc: 2 1 1

Chứa tích các căn thức của PP

x ⎯⎯→chuyển về lũy thừa

• Phương pháp đổi biến số

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t=u x( )

• Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ ( )

Nếu bậc của tử số P x ( ) bậc của mẫu số Q x( ) ⎯⎯→PP Chia đa thức

Nếu bậc của tử số P x ( ) bậc của mẫu số Q x( ) ⎯⎯→PP phân tích mẫu Q x( ) thành tích số, rồi sử dụng phương pháp chia để đưa về công thức nguyên hàm số

Nếu mẫu không phân tích được thành tích số ⎯⎯→PP thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt X =atant , nếu mẫu đưa được về dạng X2 +a2

Để tính nguyên hàm udv=uv−vdu bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:

Bước 1: Chọn u , v sao cho f x dx( ) =udv (Chú ý: dv=v x dx( ) và), tính v=dv và du=u dx

Bước 2: Thay vào công thức ( )* và tính vdu

Trang 4

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu dễ tính hơn

udv



Mẹo nhớ: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

Trang 5

Dạng 1: Nguyên hàm của hàm số cơ bản

f x x= x + x +C

 thì hàm số f x( ) bằng:

A ( ) 1 4 3

2

f x = x + x+C

C ( ) 1 4 3

2

f x = x + x

Lời giải

………

Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A a x xd =a xlna C+ (0 a 1) B cos d x x=sinx C+ C 1 d , 1 1 x x x C     + = +   − +  D  f( )x dx= f x( )+C Lời giải ………

………

Câu 3: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm là ( ) 2 3 2 x f x x −  = − ,  x \ 2  thỏa mãn f ( )1 =1 và f ( )3 =2 Giá trị của biểu thức f ( )0 +2f ( )4 bằng A 3 B 5 C 7+3ln 2 D − +5 7 ln 2 Lời giải ………

………

VÍ DỤ MINH HỌA

B

Trang 6

Câu 4: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2 x

f x =e và F( )0 = Giá trị của 0 F( )ln 3 bằng

Lời giải

………

Câu 5: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là ( ) 2 12 2, f x = x +   và x f ( )1 = Biết 3 F x là ( ) nguyên hàm của f x thỏa mãn ( ) F( )0 = , khi đó 2 F( )1 bằng A −3 B 1 C 2 D 7 Lời giải ………

………

Trang 7

1 d

F x

1ln

x t

F t = + C

C

2( )2

xt

F t = + C D

2( )( )2

Trang 8

Câu 11: Tính sin 2 d2 x x

A sin 4

8

x C

23

3

x

+ −

Câu 13: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 12

9x C

−

1 51

5x +C C

1 5

5x + C D

9 59

Trang 9

x

e

2020 32020

Trang 10

− + bằng

A 1ln3

2 3ln

1 3ln

f x

x x

= − − Khẳng định nào dưới đây đúng?

A  f x( )dx=tanx+cotx+ +x C B  f x( )dx=tanx−cotx− +x C

C  f x( )dx=tanx+cotx− +x C D  f x( )dx= −tanx+cotx− +x C

Trang 11

Câu 38: Tìm nguyên hàm của hàm số 2 1

C x

A 2 x2+ +1 C B

2

11

C x

+

21

f x =ax +bx+c với a b c , , Tính

f x dx= − −x x C+

cos 22

f x dx= − +x x C+

cos 22

f x dx= −x x C+

cos 22

f x dx= +x x C+

Câu 46: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là f( )x =e x+2x+  1, x và f ( )0 =1 Biết F x( ) là

nguyên hàm của f x( ) thỏa mãn F( )1 =e Tính F( )0

Trang 12

A 5

16

56

A S =ln 4043 B S = +1 ln 2 C S =ln 2 D S = 1

Trang 13

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỷ

Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ ( )

( )

P x

I dx

Q x

▪ Nếu bậc của tử số P x ( ) bậc của mẫu số Q x( ) ⎯⎯→PP Chia đa thức

▪ Nếu bậc của tử số P x ( ) bậc của mẫu số Q x( ) ⎯⎯→PP phân tích mẫu Q x( ) thành tích số, rồi sử dụng phương pháp chia để đưa về công thức nguyên hàm số

▪ Nếu mẫu không phân tích được thành tích số ⎯⎯→PP thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt X =atant , nếu mẫu đưa được về dạng X2+a2

Câu 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 2 1

2

f x

x

=

2

x

2

x

+ − + C 2

x + x− +C D

( )2

1 1

2

C x

Lời giải

………

Câu 2: Cho ( ) ( 1 ) 3 F x dx x x = +  Kết quả nào sau đây đúng ? A ( ) 2 3 ln 3 x F x C x + = + B ( ) 2 ln 3 3 x F x C x = + + C ( ) 1 ln 3 3 x F x C x = + + D ( ) 1 ln 3 3 x F x C x = − + + Lời giải ………

………

Câu 3: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số ( ) 21 f x x x = − ? A F x( )=ln x +ln x−1 B F x( )= −ln x +ln x−1 C F x( )=ln x −ln x−1 D F x( )= −ln x −ln x−1 Lời giải ………

………

A

Trang 14

Câu 4: Cho biết

( 21)(13 2)d ln 1 ln 2

x

x a x b x C

x x

−

A a+2b=8 B a+ =b 8 C 2a− =b 8 D a− =b 8

Lời giải

………

Câu 5: Cho hàm số ( ) 2 1 2 f x x = − Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A  f x( )dx= −ln 1 2− x +C B ( ) 1 d ln 1 2 2 f x x= − − x +C  C  f x( )dx= −2 ln 1 2− x +C D  f x( )dx= −4 ln 1 2− x +C Lời giải ………

………

Câu 6: Họ các nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 3 1 x f x x + = + là A F x( )= +x ln(x+ +1) C B F x( )= +x ln x+ +1 C C F x( )= +x 2 ln(x+ +1) C D F x( )= +x 2 ln x+ +1 C Lời giải ………

………

……… ………

Trang 15

Câu 1: Trên khoảng 5; , họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1

5

f x

x

=+ là

++ D ln

2

x C

A

( )2

12

Trang 16

C 1

ln( 1)

dx x

C

1ln

x x

dx x

Trang 17

Trang 18

Dạng 3: Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

Câu 1: Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1

1

f x

x

=

− và F( )2 =1 Tính F( )3

A F( )3 =ln 2 1− B ( ) 1

3 2

F = C F( )3 =ln 2 1+ D ( ) 7

3 4

F =

Lời giải

………

Câu 2: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên \ 1 2       thỏa mãn 2 ( ) ; 2 1 f x x  = − f ( )0 =1 và f ( )1 =2 Tính P= f ( )− +1 f ( )3 A P = +3 ln 3 B P = +3 ln 5 C P = +3 ln15 D P = −3 ln15 Lời giải ………

………

Câu 3: Biết F x( ) là môt nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x f x =e và F( )0 =0 Giá trị của F( )ln 3 bằng A 2 B 6 C 17 2 D 4 Lời giải ………

………

A

Trang 19

Câu 4: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm ( ) 2

1,

x

f x =e +  x và ( ) 3

0 2

f = Biết F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) thỏa mãn ( ) 5

0 4

F = , khi đó F( )1 bằng

A

2

2 4

e +

2

10 4

e +

2

e +

2

e +

Lời giải

………

Câu 5: Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số 1 1 y x = − và F( )2 =1 thì F(2022) bằng A 1 2 B ln 2020 C ln 2 D ln 2021 1+ Lời giải ………

………

Câu 6: Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 ln f x x x = thỏa mãn F 1 2 e   =     , F e =( ) ln 2 Biết: ( )2 2 1 ln F F e a b e   − = +     Giá trị của a b. bằng A 1 B 4 C -4 D 2 Lời giải ………

………

Trang 20

Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=3x−sinx là:

' cos sin

f x = x x và f ( )0 =1 Tìm ( )

Trang 21

A F( )3 =ln 5 1− B F( )3 =ln 5+2 C F( )3 =ln 5 1+ D ( ) 1

35

F =

Câu 11: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là ( ) 2

24 5 ,

f x = x + x  x và f( )1 =3 Biết F x( ) là nguyên hàm của hàm số f x( ) thỏa mãnF( )0 =2, khi đó F( )1 bằng

Câu 13: Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) x

f x =e thỏa mãn F( )0 =2 Giá trị của F( )1 bằng

Câu 14: Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( )

2 4

21

03

F = − Tính F( )1

A 2

76

F  = 

132

F  = 

122

Trang 22

Câu 19: Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số e 2 x và ( ) 21

02

A S =ln 4035 B S =4 C S =ln 2 D S =1

Câu 22: Cho hàm số f x( ) có f( )x =sin 2x+e x, x và f( )0 = f ( )0 =2 Khi đó f( ) có giá trị

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

f = Biết F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên khoảng(0; + ) thoả mãn ( ) 1

16

Trang 23

Câu 28: Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1

A 2+ln15 B ln15 1− C 3−ln15 D ln15

Câu 29: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên (0; +) Biết 2

3x là một nguyên hàm của 2 ( )

x f x trên (0; +) và f( )1 =2 Tính giá trị f( )e

Câu 32: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm, liên tục trên và f x ( ) 0,  x , đồng thời thỏa mãn

f = Giá trị của biểu thức f ( )− +4 2f ( )− −1 f( )3 bằng

Câu 35: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là f '( )x =sinx+x.cos ,x x Biết F x( ) là nguyên hàm

của f x( ) thỏa mãn F( )0 =F( ) =1, khi đó giá trị của F( )2 bằng

A 5+ln 21 B 5+ln12 C 4+ln12 D 4+ln 21

Trang 24

Câu 37: Biết rằng xsinx là một nguyên hàm của hàm số f ( )−x trên khoảng (− +; ) Gọi F x( ) là

một nguyên hàm của 2 'f ( )x cosx thỏa mãn 3

e

Câu 40: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là f x( )=12x2+  2, x và f(1)=3 Biết F x( ) là một

nguyên hàm của f x( ) thỏa mãn F(0)=2, khi đó F(1) bằng

03

13

Câu 43: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là f( )x =sinx+xcos ,x  x và f( ) =0 Biết F x( ) là

nguyên hàm của f x( ) thỏa mãn F( ) =2 , khi đó F(0) bằng

Trang 25

Câu 46: Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 4 2 31 2

2023 D

20222023

Câu 47: Cho hàm số f x( ) liên tục trên và có đạo hàm ( ) 2

4 3

f x = − −x x− thỏa mãn ( )4 ( )0 3

f − + f = Tính giá trị của biểu thức ( ) 5

−

Câu 48: Cho hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2cos2 1

x

x y x

=+ và F( )1 =1 Hệ số tự do của F x( )thuộc khoảng

11;

1

2)

F = Biết 2F( )0 F( )4 a

b

+ = − ,( )a b =, 1 và a b, là các số nguyên dương Khi đó, giá trị biểu thức T =3a+b bằng

Trang 26

Câu 53: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm ( ) 1

f x

x

 = ,  x \ 0  và f ( )1 =2, f( )− =e 4 Giá trị của ( ) ( )2

2 2

f − − f e bằng

A − +8 ln 2 B − +5 ln 2 C − +2 ln 2 D − +1 ln 2

Câu 54: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là f( )x =6x+sin ,x  x và f ( )0 =0 Biết F x( ) là

nguyên hàm của f x( ) thỏa mãn F( )0 =3, khi đó F( ) bằng

A 33+ B

3

33

x

− ,   +x (1; ) và f ( )2 =12 Biết F x( ) là nguyên hàm của f x( ) thỏa F( )2 =6, khi đó giá trị biểu thức P=F( )5 −4F( )3 bằng

Câu 56: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là f( )x =6x−cos ,x  x và f ( )0 =3 Biết F x( ) là

nguyên hàm của f x( ) thỏa mãn F( )0 =3, khi đó

+ B

3

1228

+ C

3

1228

+ D

3

1226

Câu 59: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là f( )x =6x−e x, x và f ( )0 = −2 Biết F x( ) là

nguyên hàm của f x( ) thỏa mãn F( )0 = −1, khi đó F( )1 bằng

−

Câu 61: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là f( )x =cosx−e−x, x và f ( )0 =3 Biết F x( ) là

nguyên hàm của f x( ) thỏa mãn F( )0 = −3, khi đó F( ) bằng

A 2 −e− B 2 +e C 2+ − e− D 2 −e

Trang 27

f x = x − x+ x và f −( )2 =3 Biết F x( ) là nguyên hàm của hàm số f x( ) và F( )0 =2 Tính F( )1 +2F( )−2

12

A −14 B 6−3ln 2 C − −2 6 ln 2 D 14

Trang 28

Câu 70: Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x

A 37

372

237

F x là nguyên hàm của f x( ) thỏa mãn F( )1 = −8 Tính F −( )1

Câu 74: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm ( ) 3

4 2 1,

f x = x − x−  x và f( )0 =0 Gọi F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) và F( )1 = −1, khi đó F( )2 bằng

A 41

41.30

26.15

12 18 2,

f x = x + x+  x Gọi F x( ) là nguyên hàm của f x( ) và thỏa mãn f( )0 =F( )0 =0 Khi đó F( )1 bằng

F x là nguyên hàm của f x( ) thỏa mãnF( )0 =3, khi đóF( ) bằng

A 4 ln 2 B 2 ln 2 C 1+2 ln 2 D ln 2

Câu 79: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm là f( )x =sinx+cos ,x  x và f ( ) =0 Biết F x( ) là

nguyên hàm của f x( ) thỏa mãn F( )2 =3, khi đóF( )3 bằng

A −1 B  +5 C 3−1 D 3 +5

Câu 80: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là f x( )=6x2−2,  và x f(1)=2 Biết F x( ) là nguyên

Trang 29

hàm của f x( ) thỏa mãn F(0)=0, khi đó F(2) bằng

Câu 81: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là f x( )=12x3+2 ,x  x và f −( 1)=3 Biết F x( ) là một

nguyên hàm của f x( ) thỏa mãn F(0)= −1, khi đó F −( 1) bằng

A 2

1415

35

−

Câu 82: Cho hàm số f x( ) liên tục và thỏa mãn f x( )0,  x ( )1;3 Biết rằng

 

Trang 30

Dạng 4: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Dựa vào kiến thức được nêu trong phần lý thuyết

Câu 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( )=sin 2x

d cos 22

f x x= − x+C

d cos 22

Trang 31

Câu 4: Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( 2 )2022

1

f x =x x + thỏa mãn ( ) 1

04046

F = Giá trị của F( )1 bằng:

Trang 32

Câu 3: Khẳng định nào sau đây đúng?

A sin2 dx x=2cos 2x+C B sin2 dx x= −2cos 2x+C

2021

t t

cos 2121

Trang 33

Câu 9: Xét nguyên hàm I =x x+2dx Nếu đặt t= x+2 thì ta được

e

f x

e

=+

A 2 x2+ +1 C B

2

11

C x

Trang 34

Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1

5 4

f x

x

=+ trên

4

\5

A 2 x2+ +1 C B

2

11

C x

1

x y x

=+ là:

B cot 2x+C C tan 2x+C D tan 2

2

x C

+

Câu 26: Gọi F x( ) là một họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3

2

2.4

x

f x

x

=+ Tìm F x( )

Trang 35

Câu 27: Gọi F x( ) là nguyên hàm của f x( )=e kx (k0)sao cho ( ) 1

−+

 , bằng cách đặt u= x+1 ta được nguyên hàm nào?

t −

2

2d

t

t t

x + x Khẳng định nào dưới đây đúng?

Trang 36

A

1

11

= + ++

11

21

Trang 37

Câu 43: Tính nguyên hàm

( 2 )2021

1d

x x

x C

2

lnln10

x C

+

2

lnln10

2

x C

+

Câu 47: Họ nguyên hàm của hàm số

2 3

Trang 38

C 1( )

( ) sin 1 sin 13

−+

 , bằng cách đặt u= x+1 ta được nguyên hàm nào dưới đây?

11

b

a x x

e

dx f x x C e

F = , giá trị của F( )1 bằng

Trang 39

g = , giá trị của g( )0 +g( )1 là

Câu 59: Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) ( )( )( ) (2 )

20212022

2 1 2ln ln

dln

Trang 40

2

 

Tiêu đề	Nam Trọn Chuyên Đề Nguyên Hàm Tích Phân Và Ứng Dụng Ôn Thi Thpt Qg Môn Toán
Tác giả	Phan Nhật Linh
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Tài Liệu

Định dạng
Số trang	409
Dung lượng	30,68 MB