Các phương pháp tìm Min,Max của hàm số và ứng dụng

Các phương pháp tìm Min,Max của hàm số và ứng dụng và ứng dụng vào thực tiễn

Khóa :2004 – 2008

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM

SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Giảng viên hướng dẫn: Th S Vương Vĩnh Phát

Long Xuyên, An Giang

05 - 2008

LỜI CẢM ƠN

Trước hết em xin gởi lời cám ơn chân thành đến thầy Vương Vĩnh Phát –

người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em hoàn thành khoá luận của

mình

Em cũng chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, toàn

thể thầy cô trong khoa sư phạm đặc biệt là các thầy cô trong bộ môn Toán đã tạo

điều kiện để em có thể thực hiện khóa luận này

Tiếp theo, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đóng góp ý kiến

cho khóa luận của em để em được học hỏi thêm, biết được những sai sót của bản

thân mà khắc phục, chuẩn bị cho công việc dạy học và giáo dục sau khi ra trường

Kế đến, em xin cảm ơn các thầy cô trường THPT Nguyễn Khuyến đã tạo điều

kiện và sẵn sàng giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho luận văn của em để em được tiến hành

khảo sát

Cuối cùng, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ, thầy cô, bạn bè –

tất cả những người đã động viên, giúp đỡ công sức và tinh thần cho công việc nghiên

cứu của con được hoàn thành tốt đẹp

Lời cuối xin chúc sức khỏe tất cả các thầy các cô, chúc thầy cô luôn hoàn

thành tốt các nhiệm vụ được giao

Chân thành cảm ơn !

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

PHẦN MỞ ĐẦU 1

I Lí do chọn đề tài 1

II Đối tượng nghiên cứu 2

III Nhiệm vụ nghiên cứu 2

IV Mục đích nghiên cứu 2

V Phương pháp nghiên cứu 2

VI Giả thuyết khoa học 2

VII Lợi ích của luận văn 2

VIII Cấu trúc của luận văn 2

PHẦN NỘI DUNG 4

A Cơ sở lí luận 4

I Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4

II Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 4

1 Phương pháp đạo hàm – khảo sát hàm số 4

2 Phương pháp dùng các bất đẳng thức 6

2.1 Bất đẳng thức Cauchy 6

2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski 7

2.3 Các bất đẳng thức lượng giác 8

2.4 Các bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản 9

3 Phương pháp miền giá trị của hàm số 9

4 Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn 10

5 Phương pháp dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm 11

6 Phương pháp tọa độ - vectơ 13

7 Phương pháp lượng giác hóa 14

B Một số bài toán minh họa cách dùng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 17

C Ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc giải toán 33

I Ứng dụng vào việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình, 33

II Ứng dụng vào việc tìm điều kiện để hàm số có chứa tham số đồng

biến hoặc nghịch biến trên một khoảng xác định 37

III Ứng dụng vào một số bài toán trong thực tế 40

D Khảo sát thực tế 50

I Mục đích của việc nghiên cứu 50

II Biện pháp nghiên cứu 50

III Kết quả 50

PHẦN KẾT LUẬN 56

HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO 58

PHỤ LỤC

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHIẾU HỎI Ý KIẾN GIÁO VIÊN

Em tên : Bùi Lê Phạm Mỹ Phương MSSV : DTN040604

Em đang thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp : “Các phương pháp tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nó vào thực tiễn “

Kính mong các thầy cô cho biết một số ý kiến về đề tài này :

1/- Đối với học sinh, bài toán : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ là một bài

3/- Chúng ta có thường gặp bài toán “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ trong các

cuộc thi ( thi tốt nghiệp, đại học, thi học sinh giỏi, … ) hay không ?

có

4/- Cung cấp một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh là

việc làm :

A/ Rất cần thiết B/ cần thiết C/ ít cần D/ Không cần

5/- Thầy có nhìn nhận gì về mức độ hiểu biết của học sinh đối với các ứng dụng của

toán học trong thực tế, đặc biệt là dạng toán: “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” ?

6/- Theo thầy, việc chỉ ra cho học sinh biết được ứng dụng của việc tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tiễn có ý nghĩa như thế nào ? ( biết liên hệ giữa bài

học và thực tiễn, tăng hứng thú trong học tập, … )

7/- Ý kiến khác về đề tài :

GV ký và ghi rõ họ tên

Xin bạn vui lòng chọn câu trả lời mà bạn cho là thích hợp

1/- Em có cảm thấy thích giải toán hơn khi có các phương pháp để giải nó ?

2/- Tự em có nghĩ đến việc hệ thống lại các phương pháp giải một dạng toán nào đó

hay không ?

3/- Thầy ( cô ) của em có thường hệ thống lại các phương pháp giải từng dạng bài

tập cho các em hay không ?

4/- Đối với bản thân em bài toán : “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ là một bài

toán :

5/- Đối với bài toán : “tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ , em đã được làm :

6/- Em hiểu biết bao nhiêu về ứng dụng của toán học trong thực tiễn ?

7/- Thầy ( cô ) của em có thường giới thiệu cho các em ứng dụng của toán học trong

thực tiễn hay không ?

8/- Nếu biết được một vài ứng dụng của toán học nói chung, của bài toán tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nói riêng thì em có cảm thấy thích học môn toán hơn hay

không ? Vì sao ?

Ký tên

PHỤ LỤC 3 :

MỘT SỐ Ý KIẾN CỦA GIÁO VIÊN

VÀ HỌC SINH PHỔ THÔNG

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bittinger, Morrel – Applied calculus – third edition

[2] Doãn Minh Cường (chủ biên) 2003 “ Toán ôn thi đại học ” NXB Đại

Học Sư phạm

[3] Hoàng Chúng (chủ biên) 1993 “ Các bài toán cực trị ” NXB Giáo Dục

[4] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên) 2000 “Tuyển tập 599 bài toán lượng giác ”

[9] Phạm Trọng Thư 2007 “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đại số ” NXB Đại Học

[13] Vũ Hữu Bình 2007 “ Nâng cao và phát triển toán 9 ” NXB Giáo Dục

[14] Ngô Thúc Lanh ( chủ biên ) 2000 Giải tích 12 NXB Giáo Dục

[15] Toán học và tuồi trẻ (từ tháng 4 đến tháng 12/2007, từ tháng 1 đến tháng

4/2008

[16] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán Học & Tuồi trẻ ( Quyển 1 & Quyển 2) –

NXB Giáo Dục

PHẦN MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Mục đích của việc giảng dạy môn toán ở trường trung học là dạy học sinh

về kiến thức toán, cách giải bài tập, rèn luyện kỹ năng giải toán, giúp học sinh khai thác được các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung môn toán và hình thành tư duy logic cho học sinh

Vì vậy, người giáo viên cần phải dạy cho học sinh giải bài tập Từ đó, yêu cầu được đặt ra là giáo viên phải dạy học sinh phương pháp giải các dạng toán

Chương trình toán trung học có rất nhiều dạng bài tập khác nhau Trong đó

có rất nhiều dạng rất khó như chứng minh bất đẳng thức, biện luận về số nghiệm của phương trình, bất phương trình, Và dạng bài : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ” cũng nằm trong số đó Các dạng bài tập này được gọi chung

là bài toán tìm cực trị hay bài toán cực trị Đây thực sự là một chuyên đề khó của chương trình toán trung học bởi vì các bài toán cực trị rất phong phú, phạm vi nghiên cứu của vấn đề này lại rất rộng Và nó lại là một trong những dạng toán được quan tâm đến nhiều nhất trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi trong nước và quốc tế Thế nhưng, sách giáo khoa có rất ít các bài tập dạng này và do những điều kiện khách quan mà sách giáo khoa không hệ thống lại các phương pháp giải Do đó, việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải dạng toán : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ” Việc này sẽ giúp các em dễ dàng hơn trong việc giải bài toán cực trị

Việc giải các bài toán này đòi hỏi người làm phải vận dụng kiến thức hợp lí, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ Nó đưa chúng ta xích gần lại với các bài toán thường gặp trong thực tế là đi tìm cái “ nhất ” trong những điều kiện nhất định ( nhiều nhất, ít nhất, nhanh nhất, chậm nhất, … ) Chính điều đó làm cho học sinh thấy được tính thiết thực của toán học trong cuộc sống Đồng thời, nó cũng tạo nên

sự thích thú cho học sinh trong quá trình giải toán

Trong tương lai, khi vào đời học sinh buộc phải giải quyết nhiều vấn đề do thực tiễn cuộc sống đặt ra Cho nên, học sinh cần có cách giải quyết tối ưu mới mang lại thành công trong cuộc sống ( Cách giải quyết tối ưu là những giải pháp đúng nhất,

ít hao phí nhất về : vật liệu, thời gian, công sức, năng lượng, chi phí thiệt hại … ) Chẳng hạn, những người đi thuyền buồm trên biển phải xác định buồm và bánh lái sao cho thời gian đến đích là ngắn nhất, nhà sản xuất luôn muốn giảm tối đa chi phí sản xuất, nguyên vật liệu mà vẫn đạt lợi nhuận cao nhất … Những lúc như vậy, phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tỏ ra hữu ích

Với những lí do trên và với tư cách là một người giáo viên dạy toán trong tương lai, tôi xin hệ thống lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

thông qua việc nghiên cứu đề tài : “ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO THỰC TIỄN.”

II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :

Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nó trong thực tế

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :

Hệ thống hóa các phương pháp giải dạng toán : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ”

Giới thiệu một số ứng dụng của nó trong thực tiễn

IV MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :

Cung cấp cho học sinh nhiều cách giải dạng toán : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ” để học sinh giải toán tốt hơn Nhờ đó, chất lượng học tập và giảng dạy môn toán được nâng cao

Để học sinh thấy được tính thiết thực cũng như ứng dụng của các phương pháp giải bài toán cực trị nói riêng và của toán học nói chung trong cuộc sống Điều

đó làm cho các em thích thú, say mê học toán hơn, giờ học cũng sinh động hơn Các

em sẽ học tập tốt hơn

Rèn luyện kĩ năng tư duy của học sinh khi giải bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã sử dụng một số phương pháp sau : Nghiên cứu lý luận : Tôi đã đọc sách, phân tích, đối chiếu các tài liệu toán học, tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học môn toán, các sách giáo khoa và các tài liệu hướng dẫn giảng dạy

Điều tra thực tế

Trò chuyện, phỏng vấn

Thống kê toán học

VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC :

Nếu học sinh được trang bị các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng và thấy được những ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tế thì học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc giải những bài toán cực trị và học sinh sẽ hứng thú học toán hơn

VII LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN :

Luận văn này đề ra các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

mà dựa vào đó, học sinh có thể hệ thống lại các kiến thức có liên quan và có thể giải được các bài toán cực trị, kể cả các bài toán trong thực tế Đồng thời, luận văn này còn giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ và sự gần gũi giữa toán học và thực tiễn

VIII CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN :

Lời cảm ơn

Mục lục

Phần mở đầu

* Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

* Nếu f(x) có tập xác định D = [a; b] thì không cần lập bảng biến thiên :

- Tìm các điểm tới hạn x , x , , x1 2 ncủa f(x) trên [a; b]

- Tính f(a), f(b), f(x ), f(x ), , f(x )1 2 n

- Kết luận :

• x [a;b]max f(x) = max f(a), f(b), f(x ), f(x ), , f(x ){ 1 2 n }

- Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì

1 3

−

0

− ∞

x

y '

y

0

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta được:

• Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x = 0

• Giá trị nhỏ nhất của y là 1

3

− , đạt được khi x = −2

LƯU Ý : Phương pháp đạo hàm được sử dụng rộng rãi để giải bài toán tìm giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Dùng phương pháp đạo hàm có thể giải

hầu hết các bài tập dạng này

2 Phương pháp dùng các bất đẳng thức :

2.1 Bất đẳng thức Cauchy :

Với ai≥0 với mọi i = 1, 2, … , n ta có :

n

a + a + + a ≥n a a a Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a1= a2 = = a n

* Nếu a a a = P không đổi thì 1 2 n a + a + + a = S đạt giá trị nhỏ nhất là 1 2 n

n

a = a = = a = P

* Nếu a + a + + a = S không đổi thì 1 2 n a a a = P đạt giá trị lớn nhất 1 2 n

là

n

S

n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

S

a a =a

n

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của y = 3x 1+ +32 x−

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm 3 và x+1 32 x − , ta được :

y = 3+ +3− ≥2 3 3+ − =2 3 =6 3 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 3x 1 32 x x 1 2 x x 1

2

Vậy, giá trị nhỏ nhất của y là 6 3 , đạt được khi x 1

2

=

LƯU Ý : Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, cần đặc biệt chú ý đến điều kiện

các a phải không âm Cũng giống như khi sử dụng các bất đẳng thức khác, có khi i

phải biến đổi một số bước mới có thể áp dụng trực tiếp

LƯU Ý : Khi dùng bất đẳng thức Bunhiacopski thì có lúc ta chỉ có thể tìm được

giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A 2x 3y= + biết

2x +3y ≤ 5Giải :

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi

2.3 Các bất đẳng thức lượng giác :

* sin u(x) ≤ với mọi x D1 ∈

* cos u(x) ≤ với mọi 1 x D∈ ( trong đó D là tập xác định của u(x) )

* sin u(x) + cos u(x) ≤ 2

và 0 cos x 1≤ ≤ ⇒cos x cos x2 ≤

Do đó : y = sin x + cos x sin x + cos x = 1≥ 2 2

cos x cosx ⇔⎡ ⇔ = π ∈

y = sin x cosx+ = +1 2 sin x cosx 1 sin 2x 2= + ≤

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi sin 2x 1 x n (n )

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là 2 khi x n (n Z)

Ở (1) : Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = 0

Ở (2), (3): Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ab 0 ≥

LƯU Ý : Dạng (2), (3) cần sử dụng thêm tính chất a = −a ; ≤ a a ; a a − ≤

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) x 1 x 3 x 5 x 7= − + − + − + −

Giải Xét f(x) x 1 x 3 x 5 x 7= − + − + − + −

Vậy, giá trị nhỏ nhất của f(x) là 8, đạt được khi x [3; 5] ∈

3 Phương pháp miền giá trị của hàm số :

™ Định nghĩa miền giá trị của hàm số : Cho hàm số y = f(x) có miền xác định D Khi đó hàm số có miền giá trị : f (D)={y∈ / y f (x), x D= ∈ }

™ Ta dùng điều kiện tồn tại nghiệm để tìm miền giá trị của hàm số tức là tìm điều kiện để phương trình y0=f (x) có nghiệm ( với y là một giá trị tùy ý của 0hàm số y f (x)= trên tập xác định D ) Sau đó, từ điều kiện tìm được biến đổi về một trong các dạng sau :

Phương trình ax +bx + c = 0 a 02 ( ≠ )có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥0

Phương trình asin x + bcos x = c có nghiệm khi và chỉ khi a b c2+ ≥ 2 2

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x22 x 1

Do đó, với y0∈ −[ 1;3](y0 ≠2), phương trình (1) có nghiệm (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

0

y ∈ −[ 1;3]

Vậy min y = – 1 và max y = 3

4 Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn :

Ta biến đổi đưa về các biểu thức có số mũ chẵn dạng :

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :A = 4 5x− 2 −2y2+2xy 8x 2y+ + với x, y∈

- Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) lõm với mọi x ∈Dlà:

y" f "(x) 0= < với mọi x∈D

S f (x ) f (x ) f (x )= + + + có giá trị lớn nhất là M, đạt được khi x1= x2 = x= n

Đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Jensen

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1=x2 = = x n

Nếu f "(x) < 0 trong khoảng (a; b) thì :

1f(x ) + f(x ) + + f(x ) f1 2 2 n n 1x +1 2x + + x2 n n

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1=x2 = = xn

Khi giải toán ta cũng có thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Jensen nhưng để cho đơn giản ta thường dùng trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức này

Ví dụ : Cho tam giác ABC là tam giác nhọn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M = tan A + tan B + tan C

Giải

f "(x) = 2cos x sin x4 2sin x3 0

cos x = cos x > với mọi x 0;

6 Phương pháp tọa độ - vectơ:

Cho hai vectơ a (a ,a )r= 1 2 và b (b , b )r= 1 2 Ta có các bất đẳng thức sau : (1) a br r ≤a br r Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a b1 2 −a b2 1= 0 (2) a br r+ ≤ +ar br Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a , bur ur

a b c (1;1)r r r+ + =

Ta có : a b cr r r+ + ≤ + +ar br c r

hay 2 ≤ cos x cos y4 + 4 + sin x4 + sin y4

* Khoảng cách giữa A(x ; y ) và A A B(x ; y ) là : B B

* AB BC+ ≥ AC Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi B thuộc đoạn AC

* Các dạng phương trình đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng Oxy

Ví dụ 2: Cho ∆ABC và M là điểm tùy ý Tìm giá trị nhỏ nhất của

P = MA + MB + MC

Giải Gọi G là trọng tâm của ∆ABC Ta có :

Dấu “ = ” xảy ra khi M G≡

Vậy min P GA= 2+GB2+GC2 khi M G≡

7 Phương pháp lượng giác hóa :

Thông thường, bằng cách đặt ẩn phụ, một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có thể đưa về dạng lượng giác để khảo sát Khi đó, việc giải quyết sẽ thuận lợi hơn nhờ các công thức và bất đẳng thức quen thuộc

LƯU Ý :

• Cần lưu ý đến giới hạn cung, góc, điều kiện

• Dựa vào điều kiện ta có thể đặt ẩn phụ như sau :

x 1≤ → đặt x sin t hay x cos t= =

x∈ → đặt x tan t hay x cot t= =

Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

6 3 2

Do đó : f x, y( )= 5 cos b.cos a sin b.sin a( + )= 5 cos a b( − ≤) 5

B MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA CÁCH DÙNG

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ

Theo giả thiết : a b c 3+ + ≤ (5)

Vậy : Giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được khi a = 0 hoặc a = 4

Giá trị lớn nhất của M là 9, đạt được khi a = 2

Vậy, giá trị lớn nhất của A là 1

Bài 4: Cho điểm M nằm trong góc tam diện vuông (Oxyz) có khoảng cách

đến (yOz), (zOx), (xOy) tương ứng là a, b, c Tìm thể tích bé nhất của tứ

diện OABC được tạo thành do mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz tại A, B,

C

Giải :

Từ M hạ MI, MJ, MK tương ứng vuông góc với 3 mặt phẳng (yOz), (zOx),

(xOy) Theo đề, ta có : MI = a, MJ = b, MK = c

Nối MA, MB, MC, MO Tứ diện OABC bị chia thành 3 tứ diện đỉnh M, ba

mặt là OBC, OCA, OAB, với chiều cao lần lượt là a, b, c Do đó :

y z

K O

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số u y= − 2x + biết rằng 5

x và y thỏa mãn phương trình 36x2+16y2= 9

hay 4y.1 6x.1 2 (16y2 36x2) 25 9. 25 25

A đạt giá trị nhỏ nhất khi sin 2x = 0 (vì sin 2x2 ≥ ) 0

Khi đó: cos 2x = 1 hay cos 2x = − 1

4 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRỊ TUYỆT ĐỐI CƠ BẢN :

Bài 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Bài 10 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

( )

f x = x 3 4 x 1+ − − + x 15 8 x 1+ − −

Giải : Điều kiện : x 1≥

III SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ :

Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

t∈ sao cho phương trình ( ) 2

u −3 t + +4t u = (*) có nghiệm t 0

Vậy, min u = − 1 và max y = 4

Bài 12: Cho yk 2k cos x k 1

cos x sin x 2

+ +

=+ + Tìm k để giá trị lớn nhất của y nhỏ k

nhất

Giải : Miền xác định của hàm y là k D= Giả sử y là một giá trị bất kì của hàm

Bài 13: Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất của

A C

A C 302

Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x= 2+ y2

biết x và y là nghiệm của phương trình 5x2+8xy 5y+ 2=36(*)