HÀM BẬC BA

Một số dạng toán liên quan 1 Biện luận số nghiệm của phơng trình ⇔Số giao điểm của hai đồ thị Biện luận số nghiệm của pt bậc ba ax3 + bx 2 + cx + d = 0 Nếu PT có dạng fx = gm, m là tha

A Kiến thức cơ bản và một số dạng toán liên quan

I. Sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d, ( a ≠ 0).

1 TXĐ: D = R

2 Sự biến thiên

a) Giới hạn: xlim→+∞y= ; lim

x y

→−∞ =

b) Bảng biến thiên:

y’ =

y’ = 0 ⇔

Bảng biến thiên (Bảng biến thiên bao gồm: tập xác định, dấu y’, chiều biến thiên của hàm

số, các điểm cực trị của đồ thị hàm số(nếu có), các giới hạn đặc biệt)

Kết luận về chiều biến thiên, cực trị

3 Đồ thị

Điểm uốn: Tìm y’’= , y’’ = 0 ⇔ x = xI ⇒ Điểm uốn I(xI; yI)

Đặt các điểm đặc biệt, dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị

Giao với Ox, Oy, tìm thêm điểm nếu cần

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm I làm tâm đối xứng

II. Một số dạng toán liên quan

1) Biện luận số nghiệm của phơng trình ⇔Số giao điểm của hai đồ thị

Biện luận số nghiệm của pt bậc ba ax3 + bx 2 + cx + d = 0

Nếu PT có dạng f(x) = g(m), m là tham số ta dựa vào đồ thị để biện luận

Nếu PT có nghiệm x0 thì biến đổi PT về dạng (x-x0)h(x), h(x) là tam thức bậc 2, khi đó biện luận theo PT bậc 2 h(x) = 0

Ta có thể dùng PP giải tích để biện luận:

PT có 3 nghiệm phân biệt khi hàm số có cực đại cực tiểu và yCĐ.yCT < 0

PT có đúng hai nghiệm phân biệt khi hàm số có cực đại cực tiểu và yCĐ.yCT = 0

PT có nghiệm duy nhất khi f(x) không có cực trị hoặc (nếu có cực đại cực tiểu thì yCĐ.yCT>0)

Chú ý: Nếu đồ thị cắt đờng thẳng d tại ba điểm phân biệt cách đều nhau thì một điều kiện cần là điểm uốn của đồ thị thuộc đờng thẳng d

2) Viềt phơng trình tiếp tuyến của đờng cong (C): y = f(x)

- Tiếp tuyến tại điểm M0(x0 ; y0) ∈ (C) có PT dạng y = f’(x0)(x-x0) + y0

- Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trớc:

Tìm y’ = f’(x) suy ra phơng trình hoành độ tiếp điểm là f’(x) = k (*)

Giải phơng trình hoành độ tiếp điểm ta đợc nghiệm x0 suy ra y0 ⇒ phơng trình tiếp tuyến là:

y = k(x-x0) + y0

- Tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA) cho trớc:

+ Giả sử tiếp điểm là M0(x0; y0) Ta có pttt có dạng y=f’(x0)(x-x0) + f(x0)

Vì tiếp tuyến đi qua A nên: f’(x0)(xA-x0)+f(x0)=yA⇒ hoành độ tiếp điểm x0 ⇒y0⇒PTTT.

3) Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên khoảng cho trớc

Hàm số đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) ≥ 0 trên K

Hàm số nghịch biến trên khoảng K nếu f’(x) ≤ 0 trên K

Ta có thể dùng PP tam thức bậc hai hay PP hàm số (Giải tích) để tìm đợc tham số

4) Chứng minh đồ thị nhận điểm I (x 0 ; y 0 ) là tâm đối xứng

Cách 1: Đổi hệ trục toạ độ bằng công thức 0

0

x X x

= +



 = +



Biến đổi y = f(x) ⇔ Y+y0 = f(X+x0) ⇔ Y = g(X)

Chứng minh hàm số Y = g(X) là hàm số lẻ trên R

Cách 2: Lấy M(x; y) ∈ (C), M bất kì ⇒ M’(x’;y’) đối xứng với M qua I(x0; y0) ta có

0

0

2 '

2 '



 = −

 thay vào y = f(x) biến đổi ta đợc y’ = f(x’) ⇒ M’ ∈ (C) ⇒ ĐPCM

5) Đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

Ta viết f(x) = f’(x).g(x) + r(x), với r(x) là phần d của phép chia f(x) cho f’(x) r(x) = Ax+B Nếu đồ thị có hai điểm cực trị thì đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: y = r(x)

6) Điểm cố định mà đồ thị hàm số y= f(x,m) đi qua với mọi m

Viết y = f(x, m) dới dạng g(m,x,y) = 0 là phơng trình với ẩn là m, đồng nhất bằng 0 tất cả các hệ số của PT này ta tìm đợc điểm cố định nếu có

7) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng trong đó có (C) Tính thể tích khối vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox, các đờng thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox.

B Bài tập

Bài 1 (TN- Phân ban- 2008): Câu 1(3,5 điểm)

Bài 2 Cho hàm số y =

3

1

x3 + x2 + x 1) Khảo sát sự biếm thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Viết PT tiếp tuyến của (C) tại điểm (0;0) Tìm toạ độ giao điểm của tiếp tuyến với (C)

Bài 3 Cho hàm số y =

3

1

x3-2x2+3x, có đồ thị (C)

1) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C)

2) Viết pt tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn CMR tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 4 Cho hàm số y = x3-3mx2+9x+1 (m là tham số) (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 2

2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đờng thẳngd: y = x+1 Chứng

tỏ là khi đó đồ thị hàm số (1) cắt d tại ba điểm phân biệt cách đều nhau

Bài 5 (ĐH - D - 2005) Cho hàm số y = 13 x3

-2

m

x2+

3

1

(m là tham số) (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 2

2) Gọi M là một điểm thuộc (1) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (1) tại

M song song với đờng thẳng 5x-y = 0

Bài 6 Cho hàm số y = − 3 + 3mx2 − 2

m

x

(m ≠ 0) (Cm) 1) Khảo sát hàm số với m = 1, với đồ thị (C) Viết pt tt của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(0; 2)

2) Tìm trên đờng thẳng x = 2 từ đó có thể kẻ đợc đúng hai tiếp tuyến đến (C)

3) Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt cách đều nhau

Bài 7 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m

1) Khảo sát hàm số với m = 0

2) Tìm m sao cho hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1

3) Tìm m để hàm số đồng biến trên (0; +∞)

4) Tìm m để hàm số đồng biến trên (-1; 2)

Bài 8 Tìm m để hàm số y = -13 mx3+(m-1)x2+3(2-m)x - 31

1) Đồng biến trên tập xác định

2) Nghịch biến trên ( - ∞; - 2]

Bài 9 Cho hàm số y = x3-2mx2+m2x- 2 (1) với m là tham số

1) Khảo sát hàm số với m = 1

2) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x =1

Bài 10 Cho hàm số y = x3+(1-2m)x2 +(2-m)x+m+2 (m là tham số) (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2

2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu ,đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

Bài 11 Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3(m2-1)x - 3m2 - 1 (1) m là tham số

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đều O

Bài 12 Cho hàm số y = x3 - 3x2 + m; (m là tham số) (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 2

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ

Bài 13 Cho hàm số y = (x-1)(x2+mx+m) (m là tham số) (1)

1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dơng

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 4.

Bài 14 (ĐH - A_2006) Cho hàm số y = 2x3-9x2+12x-4 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2) Tìm m để phơng trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2x3 − 9x2 + 12x =m.

Bài 15 (ĐH - D - 2006)

Cho hàm số y = x3- 3x + 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số

2) Gọi d là dt đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m Tìm m d cắt (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 16 Cho hàm số y = mx3+ 3mx2 - (m-1)x - 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho với m = 1

2) Tìm m để hàm số không có cực trị

3) Tìm a để bất phơng trình x3+3x2-1 ≤a( x− x− 1 ) 3 có nghiệm

Bài 17 Cho hàm số y = 4x3 - 3x + m (Cm)

1) Khảo sát hàm số với m =0

2) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình 4x3 - 3x + m = 0

3) Tìm m để Cm tiếp xúc với trục Ox

4) Chứng minh rằng pt 4x3 - 3x = 1 −x2 có 3 nghiệm phân biệt

Bài 18 (ĐH-A.2003) Cho hàm số y=-x3+3mx2+3(1-m2)x+m3-m2, (m là tham số) (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1

2) Tìm k để phơng trình: -x3+3x2+k3-3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

3) Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng qua đờng thẳng x+2y-5 = 0

Bài 19 Cho họ đờng cong (Cm) y = x3 + 2(m-1)x2 + (m2 – 4m + 1)x – 2(m 2+ 1)

Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho (Cm) đi qua với mọi m

Bài 20 Cho hàm số y = x3 – 3x2 có đồ thị (C)

1) Tìm tất cả các điểm trên (C) sao cho từ đó chỉ vẽ đợc đúng một tiếp tuyến tới (C) 2) Viết PT đờng cong (C’) đối xứng với (C) qua gốc toạ độ

Bài 21 (ĐH-B-2008) Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 +1 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2) Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đi qua M(-1; -9)

Bài 22 (ĐH-D-2008) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1)

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2)Chứng minh rằng mọi đờng thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > -3) đều cắt

đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB

Bài 23 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m, m là tham số (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2

2) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt Ox, Oy lần lợt tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1,5

Bài 24 Cho họ đờng cong y = mx3 + (1-m)x phụ thuộc tham số m Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho không có đờng nào của họ đi qua