ÔN TẬP CHƯƠNG III I/ MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG
1/ Các kiến thức cơ bản cần nắm
* Khái niệm nguyên hàm
* Tính chất cơ bản của nguyên hàm
* Bảng nguyên hàm cơ bản
* Định nghĩa tích phân
* Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số và phương pháp từng phần
* Ý nghĩa thực tiễn và một số ứng dụng của tích phân trong hình học
2/ Các kĩ năng cần thành thạo
* Tính nguyên hàm của một số hàm số đơn giản ( Sữ dụng tính chất và bảng nguyên hàm , Đổi biến số và nguyên hàm từng phần )
* Tính tích phân của một số hàm số đơn giản ( Sữ dụng tính chất và bảng nguyên hàm , Đổi biến
số và tích phân từng phần từng phần )
* Áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
* Áp dụng tích phân để tính thể tích vật thể
II/ Các vấn đề cụ thể
1/ Lý thuyết cần nắm :
1.1/ Khái niệm nguyên hàm :
* Định nghĩa : Cho hàm số f xác định trên tập K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm
số f trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K
* Định lý : Giã sử F là một nguyên hàm của f trên K
a/ Với mỗi hàng số C hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K
b/ Ngược lại mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) +C
1.2/ Tính chất cơ bản của nguyên hàm
* Định lý : Nếu f,g là hai hàm số liên tục trên K thì
a/ f x( ) g x d( ) x = f(x)dx + g(x)dx
b/ kf(x)dx = k f(x)dx với mọi số thực k khác 0
1.3/ Bảng nguyên hàm cơ bản
1/ 0dx = C dx = 1dx x C
+1x C
3/ 1dx = ln x
4/ Với k là hằng số khác 0 ta có
a/ 1
sinkxdx = - oskx + C
kc
b/ 1
coskxdx = sinkx + C
k
c/ kx 1 kx
e dx = e + C
k
d/ x 1 x
a dx = a + C (0 1)
Trang 2
Lê Xuân Manh §T: 0373840709T: 0373840709
5/
a/ 12
dx = tanx +C
cos x
b/ 12
dx = -cotx +C
sin x
1.4/ Tích phân
1.4.1/ Định nghĩa tích phân : Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K Nếu F
là một nguyên hàm củ f trên K thì hiệu số
F(b) – F(a)
được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ( ) x
b
a
f x d
Chú ý :
* Nếu a < b ta gọi ( ) x
b
a
f x d
* ( ) x
b
a
f x d
=F x( )b a= F(b) – F(a)
* Tích phân không phụ thuộc vào biến lấy tích phân ( ) x
b
a
f x d
b
a
f t dt
b
a
f v dv
1.4.2 Tính chất của tích phân
1/ ( ) x 0
a
a
f x d
2/ Các dạng toán trong chương III
2.1.1 Tính nguyên hàm bằng cách sữ dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 1 : Tính nguyên hàm của các hàm số sau
a/ f(x) = x3 + 3
1 2
x x b/ f(x) = ( x 1)(x x 1) c/ f(x) = x3 x22 1
x
d/ f(x) = x4 + 3x3 -5x + 2
Ví dụ 2 : Tính nguyên hàm của các hàm số sau
a/ f(x) = 2 os2x + 2sin3x + xc 2 b/ f(x) = 4sin2x
c/ f(x) = 3
( )(x x)
2sin x + 2cosx + x
x
Ví dụ 3 : Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
Trang 3a/ f(x) = 2
2 os2x +2sin3x +xc biết F(3 )= - 3 b/ f(x) = x3 x22 1
x
biết F((-3) = 10 2.12 Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Định lý : Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao
cho f[u(x)] xác định trên K Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f ,
tức là f(u)du = ( ) F u C thì f[u(x)]dx = [ ( )] F u x C
Ví dụ1 : Tính nguyên hàm của các hàm số sau
a/ cosx
sin
b/ (5x3)5dx c/ 32
cos
tg x dx x
d/esinxcosxdx
Ví dụ 2 : Tính
a/
2 3
9 1-x
x dx
b/x41 x dx2
c/ 2
1 (1 ) dx
1
x dx
e
Bài tập1 : Tính
a/ 5 x
sin os
x
b/x341 x dx2 c/ 1 2
1 dx
d/ 2lnx 3dx
x
Bài tập2 : Tính
a/t anxdx b/cot xdx
c/(tan 3 t anx)dx d/ (cot x + cot x)dx3
g/ 2
1
6 9dx
h/ 2
x
dx
2.1.3 Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
Định lý : Nếu u,v là hai hàm số liên tục trên K thì u(x)v'(x)dx = ( ) ( ) u x v x v x u x du( ) '( )
Ví dụ 1 : Tính nguyên hàm của các hàm số sau
a/ f(x ) = x2sin2x b/ f(x ) = x2cosx
c/ f(x ) = x2ex d/ f(x ) = x3 ln(2x)
Ví dụ 2 : Tính
a/ xsinxdx b/ (x1)e dxx
c/ (2x 1)sinxdx (x) d/ sin4xcosxdx
e/ (5x 3) 5dx g/ e sinxdxx
h/ xlnxdx k/ x2lnxdx
Bài tập 1: Tính
a/ x2 sinxdx b/ xe dx-x
c/ xsinx dx (x) d/ e xsin 2xdx
Trang 4Lê Xuân Manh §T: 0373840709T: 0373840709
Bài tập 2: Tính
a/ 2x1
b/ xtan2xdx
c/ cos(lnx)dx (x) d/ ln(x x dx 2)
2.2.1 Tính tích phân bằng cách sữ dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 1 : Tính
a/
1 3 0
(x x 1)dx
b/ 2 2
1
1 1
e
c/
3
1
2
d/
2
1
1
x dx
Ví dụ 2 : Tính
a/
2
3
(2sinx 3cosx x dx)
b/
1
0
(e xx dx)
c/
1 3 0
(x x x dx)
d/
2
1
( x 1)(x x 1)dx
Bài tập : Tính
a/
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
b/
1
2 0
(e xx 1)dx
c/
2
1
(x x x x dx)
d/
2
1
( x 1)(x x 1)dx
2.2.2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Công thức dổi biến số
( )
( )
[u( )]u'(x) x ( )
u b b
Ví dụ1 : Tính
a/
2
3
sin xcos xdx
b/
2
3
sin xcos xdx
c/2
0
sin
1 3
x dx cosx
d/
4
0
tgxdx
g/
4
6
cot gxdx
h/6
0
1 4sin xcosxdx
Ví dụ 2 : Tính
a/
1 2 0
1
b/
1
2 0
1
c/
1
0
1
d/
3
x dx
x
Trang 5g/
1
0
1
h/
2 3 1
1
1dx
x x
Ví dụ 3 : Tính
a/
1 2 0
1
1 x dx
b/
1 2 1
1
2 2dx
c/
1 2 0
1
1dx
x
d/
1
2 2 0
1 (1 3 ) x dx
g/
2 sin
4
x
e cosxdx
h/
2
4
sin
cosx
f/ 2
1 2 0
x
k/
2
3
sin xcos xdx
Bài tập 1 : Tính
1/
2 sin
4
x
e cosxdx
2/
2
4
sin
cosx
3/ 2
1 2 0
x
Bài tập 2 : Tính
1/
2
3
sin xcos xdx
2/
2
3
sin xcos xdx
3/2
0
sin
1 3
x dx cosx
4/4
0
tgxdx
5/
4
6
cot gxdx
6/6
0
1 4sin xcosxdx
Bài tập 3 : Tính
1/
1
2 0
1
2/
1
2 0
1
3/
1
0
1
4/
3
x dx
x
5/
1
0
1
6/
2 3 1
1
1dx
x x
Bài tập 4 : Tính
1/
1
1 ln
e
x dx x
2/
1
sin(ln )
e
x dx x
3/
1
1 3ln ln
e
dx x
4/
2ln 1
1
e e x
dx x
5/
2
2
1 ln ln
e
e
x dx
6/
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx
Bài tập 5 : Tính
1/
2
x dx x
2/
1
x dx
x
3/
1
0
1
Trang 6Lê Xuân Manh §T: 0373840709T: 0373840709
4/
1
0
1
5/
1
0
1
6/
3
1
1
x dx x
2.2.3 Tính tích phân bằng phương pháp từng phần
Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
cos
@ Dạng 2: f x( ) ln( )ax dx
Đặt ln( )
dx du
Ví dụ1 : Tính
a/
3 3 1
ln
e
x dx x
b/
1
ln
e
c/
1
2 0
ln( 1)
d/ 2
1
ln
e
Ví dụ 2 : Tính
a/
3 3 1
ln
e
x dx x
b/
1
ln
e
c/
1
2 0
ln( 1)
d/ 2
1
ln
e
Tích phân từng phần các hàm số cần khéo léo đặt u và dv
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
2
x
x e
dx
x
2
2
( 1)
x
u x e
dx dv
x
b/
x dx
x
đặt
5 3
( 1)
u x
x dx dv
x
c/
1
Trang 7Tính I 1
1 2
0 1
dx x
bằng phương pháp đổi biến số Tính I 2 =
2 2
x dx x
bằng phương pháp từng phần : đặt
2 2
(1 )
u x
x
x
Ví dụ 2 : Tìm x > 0 sao cho
2 0
1 ( 1)
x
t e dx
Bài tập : Tính các tích phân sau
a/ 2
0
(x cosx)s inxdx
b/ 1
1 ( ) ln
e
x
c/
2 2 1
ln(x x dx)
d/
3
2
4
tan
2.3.1 Áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
Công thức tính diện tích hình phẳng
@ Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] , diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) ,
trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo côcng thức sau S giới hạn bởi
y = f(x) , trục
hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo côcng thức sau S = ( ) x
b
a
f x d
@ Cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a,
x = b
Bước 1 : Giải phương trình f(x) = 0 tìm các nghiệm x 1 , x 2 , ,x n thuộc đoạn [a, b]
Bước 2 : Gọi S là diện tích hình phẳng cầ tính
Khi đó S =
1
( ) x ( ) x + ( ) x + ( ) x
n
Bước 3 : Trên mỗi đoạn [x i ; x j ] , f(x) chỉ mang một dấu Tính ( ) x
j
i
x
x
f x d
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
@ Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a ;b] , diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Trang 8Lê Xuân Manh §T: 0373840709T: 0373840709
b
a
@ Cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b
Bước 1 : Giải phương trình f(x) = g(x) tìm các nghiệm x 1 , x 2 , ,x n thuộc đoạn [a, b]
Bước 2 : Gọi S là diện tích hình phẳng cầ tính
Khi đó S =
1
( ) ( ) x ( ) ( ) x + ( ) ( ) x + ( ) ( ) x
n
Bước 3 : Trên mỗi đoạn [x i ; x j ] , f(x) – g(x) chỉ mang một dấu Tính ( ) ( ) x
j
i
x
x
2.3.2 Áp dụng tích phân tính thể tích vật thể