Vấn đề 2 phương trình đường thẳng

Gọi , H I lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên các đường thẳng AC CD.. Nếu I, I’ theo thứ tự là trung điểm của BC, B’C’ thì A, I, I’ là ba điểm thẳng hàng, suy ra đường trung tuy

Email: lecamhoa474@gmail.com

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C x: 2y26x 2y  và điểm 5 0 A  4;2

Đường thẳng d qua A cắt  C

tại 2 điểm M , N sao cho A là trung điểm của MN có

phương trình là ax by c   Tính 0 S  a 5b c

A. S 0. B. S 5. C. S 1. D. S 3

Lời giải

Tác giả : Lê Cẩm Hoa,Tên FB: Élie CA rt A n CA rt A n

Chọn A

 C có tâm I  3;1, bán kính R  5.

Đường thẳng qua A  4;2

có véc tơ pháp tuyến n a b; 

a2b2 0

có phương trình dạng

d ax by  a b

Tam giác IMN cận tại I có A là trung điểm MN nên IAMN

a b



Suy ra S a  5b c  b 5b ( 4b 2 ) 0.b 

Email: Ngocchigvt@gmail.com

Câu 2. Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình thang cân ABCD AB/ /CD Gọi , H I lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên các đường thẳng AC CD Giả sử ,, M N lần lượt là

trung điểm củaAD HI Phương trình đường thẳng AB có dạng , mxny 70 biết

1; 2 ,  3;4

và đỉnh B nằm trên đường thẳng   x y 90,

cos

5

ABM

Khi đó



m ncó giá trị thuộc khoảng nào sau đây?

A.

1 1

;

1 3

;

3 5

;

5 7

;

2 2

Tác giả : Nguyễn Ngọc Chi,Tên FB: Nguyễn Ngọc Chi

Lời giải Chọn B

Xét tam giác ABD và HBI có: ABDHCI HBI

Và ADBACBHIB Suy ra ABD và HBI đồng dạng.

Ta có BM BN lần lượt là hai trung tuyến của hai tam giác , ABD HBI do đó:,



BN BH (1)

Lại có ABM HBN  MBN ABH (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABH và MBN đồng dạng

Do đó MNBAHB90 hay MNNB

Đường thẳng BN đi qua N và vuông góc với MN nên có phương trình là :

3 150

Toạ độ điểm B thoả mãn



x y y Suy ra B6 3; . Gọi n a b ;  với a2b2 0 là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng AB

Ta có MB 5 5;  Theo bài ra ta có cosABM 25







2 cos

a b ABM

 8 a2b2 5 a b 2  3a2 10ab3b2 0 a3b và 3 b a

Với b3 , chọn a a1;b3 ta có phương trình :AB x3y15 0 (loại do trùng với BN ).

Với a3 , chọn b a3;b1 ta có phương trình :AB 3x y  21 0

Vậy phương trình đường thẳng AB x:  y 

Chọn đáp án B

Mail: hoatoank15@gmail.com

Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại B Cạnh AB và AC lần lượt nằm trên đường thẳng có phương

trình : 3 x 2y  và ':52 0  x y  6 0 Phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC là ax by c   với , ,0 a b c là ba số tự nhiên có ước chung lớn nhất bằng 1 Khi

đó tổng a b c  bằng

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Viết Hòa, FB: Hòa Nguyễn Viết

Chọn B

 Lấy B’ là điểm bất kì trên đường thẳng  không trùng với A, C’ thuộc đường thẳng ' sao cho tam giác AB’C’ vuông tại B’ Nếu I, I’ theo thứ tự là trung điểm của BC, B’C’ thì A, I, I’ là ba điểm thẳng hàng, suy ra đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC không đổi khi điểm B thay đổi trên đường thẳng 

 A2;4, lấy

B      BC x y   C   I  

Suy ra AI:116x 47y 44 0  a b c  25

PT đường thẳng – Tính chất hình học – Phạm Đức Phương - Email:

ducphuong2004@gmail.com

Câu 4. Cho tam giác ABC, D là chân đường phân giác trong góc B và E là trung điểm BD Đường

thẳng qua A và song song với BD cắt đường thẳng CE tại F Cho B(5; 1), F(4; 3) và điểm A thuộc đường thẳng  d x: 2y18 0

Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng BC

A.

4

1

22

Lời giải

BC cắt AF tại K, suy ra F là trung điểm AK

KABABD DBC AKB, do đó tam giác AKB cân tại B

Từ đây suy ra BF FA

Phương trình đường thẳng AF: x 2y  2 0

Suy ra A8;5

và K0;1

BC y  : 1 0

, d O BC  ;  1

PT đường thẳng – Tính chất hình học – Phạm Đức Phương

-Email: ducphuong2004@gmail.com

Câu 5. Trong mặt phẳng toạn độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có

1;3

A

và B  2;1

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AM Biết

3 14

;

5 5

H 

  là hình chiếu của M lên đường thẳng BN Tính khoảng cách từ C đến gốc tọa độ O

K

F

E

D B

Ạ 29 B. 17 C 37 D. 3

Lời giải

Gọi K là điểm đối xứng của B qua N, dễ thấy AKCM là hình chữ nhật

Năm điểm A, K, C, M, H cùng thuộc đường tròn đường kính AC và MK  AHC900

Đường thẳng CH qua H và vuông góc với AH, có phương trình: CH: 7x y 13 0

Gọi C c c  ,7 13,

1

25

c

c







 



 1;6

C

hoặc

44 17

;

25 25

C 

Phương trình đường thẳng AB: 2x 3y  Vì C và H nằm7 0

cùng phía so với đường thẳng AB, nên ta chọn C  1;6

, 37

OC  .

Email: huynhthanhtinhspt@gmail.com

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có diện tích

bằng 14 và AB CD Biết / /

1

;0 2

H 

  là trung điểm của cạnh

BC và

1 1

;

4 2

I 

  là trung điểm của AH Viết phương trình đường thẳng AB , biết điểm D có hoành độ dương và D thuộc đường thẳng 5 x y   1 0

Ạ 3x y   2 0 B 3x y  2 0 C x3y 2 0 D x 3y 2 0

Lời giải

Họ và tên: Huỳnh Thanh Tịnh,Tên FB: huynhthanhtinh

Chọn B

Ẳ) B(?)

E

● Do I là trung điểm của AH  A1;1

Gọi E là giao điểm của AH và DC Khi đó

  Do đó S ABH S ECH S AED S AHCDS ECH S AHCDS ABH S ABCD 14 và H

là trung điểm AE

Suy ra E   2; 1

từ đó có phương trình AE: 2x 3y  1 0

● Do D thuộc đường thẳng 5 x y   nên 1 0 D t ; 5 1 ,t  t 0

K

H N

M

A

Ta có

2

2 3 5 1 1

13

2 3

13

AED

t

S







 



● Ta có ED  4;12 4 1;3 

Do AB ED/ / nên nAB nED 3; 1  là vecto pháp tuyến của AB Vậy phương trình đường thẳng AB là 3 x y  2 0

Email: thanhdungtoan6@gmail.com

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường

tròn tâm (2;3)I Gọi ,P N lần lượt là hai tiếp điểm của đường tròn ( ) I với các cạnh , AB AC

và E là giao điểm của đường thẳng ( BI với ( )) PN Viết phương trình tổng quát của đường

thẳng (CE biết (1;1), (3; 2)) B C 

A 2x y  4 0 B x2y  1 0 C 2x y  8 0 D 5x y  13 0

Lời giải

Tác giả : Nguyễn Thanh Dũng,Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng

Chọn B

Ta có

180 180

180

180

o o

o o



Suy ra tứ giác IENC nội tiếp Do đó, IEC INC 90o hay CEBI Tức đường thẳng (CE) nhận véctơ BI (1; 2)

làm pháp véctơ

E

A

C B

I P

N

Vậy (CE x) : 2y 1 0

Ý tưởng: Nếu I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì

2

o BAC BIC  

Từ tính chất đơn giản này sẽ độ chế được khá nhiều bài hay và khó

Email: thanhdungtoan6@gmail.com

Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn tâm ( 2;3) I  nội tiếp

trong tam giác ABC Gọi D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC Viết phương trình

tổng quát của đường thẳng (AD biết (5;1)) A .

A 2x 7y 3 0 B 2x7y17 0 C 7x 2y 33 0 D 7x2y 37 0

Lời giải

Tác giả : Nguyễn Thanh Dũng,Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng

Chọn B

Ta có

180 90

2

o o

o

AIC CID

ABC ADC

    



Mặt khác,



ABDC

 nội tiếp  ABCADC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AIC CID 180o, hay , ,D I A thẳng hàng.

D

C B

A

I

Vậy phương trình đường thẳng (AD là 2 7 17 0) x y 

Email: Ngocchigvt@gmail.com

Câu 9. Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình thang cân ABCD AB/ /CD Gọi , H I lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên các đường thẳng AC CD Giả sử ,, M N lần lượt là

trung điểm củaAD HI Phương trình đường thẳng AB có dạng , mxny 70 biết

1; 2 ,  3;4

và đỉnh B nằm trên đường thẳng   x y 90,

cos

5

ABM

Khi đó



m ncó giá trị thuộc khoảng nào sau đây?

A.

1 1

;

1 3

;

3 5

;

5 7

;

2 2

Tác giả : Nguyễn Ngọc Chi,Tên FB: Nguyễn Ngọc Chi

Lời giải Chọn B

Xét tam giác ABD và HBI có: ABDHCI HBI

Và ADBACBHIB Suy ra ABD và HBI đồng dạng.

Ta có BM BN lần lượt là hai trung tuyến của hai tam giác , ABD HBI do đó:,



BN BH (1)

Lại có ABM HBN  MBN ABH (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABH và MBN đồng dạng

Do đó MNBAHB90 hay MNNB

Đường thẳng BN đi qua N và vuông góc với MN nên có phương trình là :

3 150

Toạ độ điểm B thoả mãn



x y y Suy ra B6 3; 

Gọi n a b ; 

với a2b2 0 là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng AB

Ta có MB 5 5;  Theo bài ra ta có cosABM 25







2 cos

a b ABM

 8 a2b2 5 a b 2  2  2 

3a 10ab 3b 0 a3b và 3 b a Với b3 , chọn a a1;b3 ta có phương trình :AB x3y15 0 (loại do trùng với BN ).

Với a3 , chọn b a3;b1 ta có phương trình :AB 3x y  21 0

Vậy phương trình đường thẳng AB x:  y 

Chọn đáp án B

Email: duyhung2501@gmail.com

Câu 10. Cho đường tròn  C x: 2 y2 2x 2y  , đường tròn1 0  C' :x2 y2 4x 5 0  Cùng đi

qua điểm M1;0

Phương trình đường thẳng :ax by c  0 , ,a b c Z a b ; ,  1

đi

qua M lần lượt cắt    C , C' tại ,A B khác M sao cho MA  2MB

Tính tổng S a b c  

A S  13 B S1. C S  0 D S  10

Tác giả :Tăng Duy Hùng,Tên FB: Hùng Tăng

Lời giải Chọn B

Cách 1:

 C có tâm I 1;1 ,R 1

C' có tâm I' 2;0 , ' 3  R 

 ,2   

MA MB V B  A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mà B C'  AC''

là ảnh của C'

qua VM,2 

Nên C'' : x52 y2 36

Mà A C

nên tọa độ A là nghiệm của hệ

25 37 72 10x 11 0

37 2x 2 1 0

1 0

x

x y

 



 

 













Vậy

25 72

;

37 37

A 

  hoặc A1;0 Vì A M 

25 72

;

37 37

A 

Đường thẳng  nhận MA

làm VTCP  1 VTPT của  là n6;1  : 6xy 6 0

Vậy: S    a b c 1

Cách 2:

 qua M1;0  :m x 1ny0,m2n2 0

 C

có tâm I 1;1 ,R 1

C'

có tâm I' 2;0 , ' 3  R 

 

: 6x 6 0 / 6

9







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cách 3:

2

MA MB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B là trung điểm AM Gọi A x y ;    C  x2 y2  2x 2 y 1 0 1 

Vậy tọa độ A là nghiệm của hệ

 

 

1 2





 Giải tiếp tương tự cách 1 Email: quangtqp@gmail.com

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác , ABC có trọng tâm G2; 3 

và B1; 1 Đường thẳng : x y  4 0 đi qua A và đường phân giác trong của góc A cắt BC tại điểm I sao cho diện tích tam giác IAB bằng

4

5 diện tích tam giác IAC Biết điểm A có hoành độ dương , khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng BC là

A 5x3y11 0 B 3x 8y 5 0

C 5x3y11 0 D 3x 8y 5 0

Lời giải

Tác giả: Phí Văn Quang Tên FB: QuangPhi

Chọn A

+ Gọi A t t  ; 4  với t  0

:x-y-4=0

I

G

C B

A

Do G2; 3 

là trọng tâm tam giác ABC nên:







+ Vì AI là phân giác trong của tam giác ABC nên d I AB ;  d I AC ; 

, khi đó

5

25AB 16AC

25 t 1 t 5  16 2 t 5 2t 2 

2

39t 54t 93 0 t 1

31 13

t 

(loại)  C4; 7 

+ Khi đó BC đi qua B1; 1 và có vectơ chỉ phương BC  3; 8 

nên có phương trình

1 3

1 8

 





 

Suy ra đường thẳng BC có phương trình tổng quát là 5 x3y 11 0

Đường thẳng nối 2 tiếp điểm của Elip

Email: trichinhsp@gmail.com

Câu 12. Trong mặt phẳng Oxy

cho  E : 9x225y2 225

Qua điểm T6; 4

có 2 tiếp tuyến tiếp xúc với Elip  E

tại A và B Đường thẳng qua 2 điểm A, B có dạng y ax b  , trong đó giá trị của

a thuộc khoảng nào?

A 2; 1 

B 1;0

C 0;1

D 1; 2

Lời giải

Tác giả : Nguyễn Trí Chính,Tên FB: Nguyễn Trí Chính

Chọn B

 E b x: 2 2a y2 2 a b2 2

0

x x mt d

y y nt





 tiếp xúc  E b x: 2 2a y2 2 a b2 2

tại M x y0 0; 0

Thì chứng minh được phương trình  d

có dạng   0 0

xx yy d

a  b 

Chứng minh kết quả:   0 0

xx yy d

a  b 

 E b x: 2 2a y2 2 a b2 2

Xét phương trình: b x2 0mt2a y2 0nt2 a b2 20 1 

Ta tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm kép

1  b x 2x mt m t a y 2y nt n t  a b 0

2x mtb m t b 2y nta n t a 0

     (do b x2 20 a y2 02 a b2 2)

m b n a t x mb y na t

 2

Có nghiệm kép khi x mb0 2y na0 2 0, chọn my a n0 2; x b0 2

  2  2 

d x b x x y a y y

d xx b yy a a b

Áp dụng:

Đường thẳng  d

tiếp xúc  E

tại M x y0 0; 0

thì phương trình  d

có dạng:

9xx 25yy 225

Do  d

đi qua T6;4

, nên có 54x0100y0 225

Có A, B lần lượt là tiếp điểm Suy ra







Suy ra phương trình AB là: 54x100y 225 0

27 9

50 4

Chọn B

(Khi phản biện một vài Thầy Cô nói chương trình lớp 10 cơ bản không nêu vấn đề elip Nhưng

ta khai thác lý thuyết cơ bản xử lý bài tiếp tuyến của elip vẫn được)

Chủ đề: Đường thẳng nối 2 tiếp điểm-Đường tròn

Nguyễn Trí Chính Email: trichinhsp@gmail.com

Câu 13. Trong mặt phẳng Oxycho đường tròn  C x2y2 4x 4y 8 0 Qua điểm T8;6 có 2

tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn  C tại A và B Đường thẳng qua 2 điểm A, B có dạng

axby  , thì b thuộc khoảng nào?1 0

A 1;0

B 2; 1 

C 0;1 . D 1; 2.

Lời giải

Tác giả : Nguyễn Trí Chính,Tên FB: Nguyễn Trí Chính

Chọn A

Đường tròn  C

có tâm I2; 2

, bán kính R 4

Có TA TB  TI2 R2 6

12

10

8

6

4

2

2

I

B

Suy ra A, B thuộc đường tròn tâm T8;6

, bán kính r 6

Suy ra phương trình đường tròn  T :x2 y216x12y64 0

A,B là điểm chung của  C

và  T

Suy ra phương trình đường thẳng AB là

12x8y 72 0

1 0

6x 9y

Chọn A

(Đã phản biện và chỉnh sửa)

Email: doanphunhu@gmail.com

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O và ngoại tiếp đường

tròn ( )I Các đường thẳng , , AI BI CI lần lượt cắt đường tròn ( ) O tại điểm thứ hai là , , D E F Viết phương trình đường thẳng BC , biết D4; 2 ,  E5;5 , F3;5

A 3x 4y 2 0 B 3x4y 2 0 C 3x 4y  2 0 D 3x4y  2 0

Lời giải

Tác giả :Đoàn Phú Như,Tên FB: Như Đoàn

Chọn A

Đường tròn  O ngoại tiếp tam giác DEF nên có phương trình x12y 22 25

Gọi I a b ; 

, vì I là trực tâm tam giác DEF nên

4;4 4

I b

FD IE







 

 

Đường tròn  D

tâm D4; 2 

, bán kính ID 6có phương trình x 42y22 36

Ta có  O cắt  D tại ,B C nên tọa độ , B C thỏa mãn hệ







 12  22 25



 

 Vậy đường thẳng BC có phương trình : 3 x 4y 2 0

+) Chứng minh I là trực tâm tam giác DEF

K

I F

E

D

O A

A B

C D

M

N

P Q

Ta có

AKF  sd FA ECD  sd FBD AE AKE DAEF

, tương tự BEFD nên I là trực tâm tam giác DEF

+) Chứng minh D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC

Ta có

BID sd BD AE  sd DC CE BDE

nên tam giác DBI cân đỉnh D Mặt khác

vì D là điểm chính giữa cung BC nên DB DC Vậy D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC

Mail: chienmath@gmail.com

Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16, các cạnh AB, BC,

CA, AD lần lượt qua các điểm M(4; 5), N(6; 5), P(5; 2); Q(2;1) Viết phương trình đường thẳng AB?

C. x y  9 0 D x y  1 0;x y  9 0

Lời giải Chọn B

Tác giả: Nguyễn Viết Chiến FB: Viết Chiến

Suy ra MP PQ     0 MP  PQ 

Tứ giác AMPQ nội tiếp 1 đường tròn

MAP MQP

+Mặt khác ta có:

2

QM QP

QM QP

 

 

( do (1))

 ABCD là hình vuông

+ Vì SABCD  16  AB2  16  AB  4.

+Giả sử AB có VTPT n   ( ; ), ( a b a2  b2  0) Viết phương trình AB qua M và có VTPT

( ; )

n   a b là: ax + by -4a – 5b = 0

+ Viết phương trình BC qua N và vuông góc AB là: -bx + ay -5a + 6b = 0

0 4a 4

0

a b

b



 Với a = 0 ta suy ra phương trình AB: by  5 b  0( b  0)  y  5 0 

 Với b = 0 ta suy ra phương trình AB: ax 4a 0(   a  0)  x  4 0 

Email: ngbdai@gmail.com

Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có góc B nhọn, đỉnh A   2; 1 Gọi

, ,

H K E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh BC BD CD Phương trình, ,

đường tròn ngoại tiếp tam giác HKElà  C x: 2y2 x 4y  Tính tổng các hoàn độ3 0 đỉnh , ,B C D biết H có hoành độ âm, C có hoành độ dương và C nằm trên đường thẳng

3 0

x y  

Họ tên: Nguyễn Bá Đại Fb: DaiNB

Lời giải

I

H

K E

Gọi I là tâm hình bình hành, ta có Inằm trên đường tròn  C

Ta có

1 0

x y





 Vậy Inằm trên đường thẳng x y 1 0

Tọa độ I là nghiệm của hệ

1

y x

x

 







Ta có ,H E nằm trên đường tròn C'

đường kính AC : C' : x2y22y 3 0