Chủ đề 8 hình học không gian

Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm của đáy là O.. Tính thể tích củakhối chóp .S ABCD biết rằng BM DN với M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC và SA...

Câu 1. Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SAABC ,

SA AB a AC   a Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB SC; Tính

cosin góc giữa hai mặt phẳng AHK và ABC

SE

 

Câu 2. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD A B C D.     có cạnh đáy bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

côsin góc giữa đường thẳng B D và mặt phẳng B D C  

y

x

C B

D

B'

D'

C' A

Gắn hệ trục tọa độ B xyz như hình vẽ Đặt AA  x 0

Câu 3. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang vuông tại A và B ,AB BC a ,   AD2a

Cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SB SC, Biết thể tích

E

O K H

N

M

I A

a NI ION

cot

23

a FO FOE

a FE

Câu 4. Cho hình lăng trụ đều ABC A B C. ¢ ¢ ¢ có tất cả các cạnh bằng a Điểm M và N tương ứng là

trung điểm các đoạn AC , BB¢ Côsin góc giữa đường thẳng MN và (BA C¢ ¢)

A B

H

● Phương pháp:

Gọi a là số đo góc giữa MN và (BA C¢ ¢)

, K là hình chiếu vuông góc của N lên (BA C¢ ¢)

Chọn D

E D

B S

+ Gọi E là trung điểm của BC , ta có DE // AC và SD AC,  SD DE,   , với

Câu 6. Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D.    có đáy ABCDlà hình thoi cạnh a , góc

 120o

BAD  và AA   Gọi O là giao điểm của A C a   và B D  M N, lần lượt là trung điểm

của AA và BB, I là một điểm nằm trên đoạn thẳng MN Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OI và AC.

A

217

a

2114

a

143

a

146

Ta có OM / /AC MN, / /B C  nên mặt phẳng OMN/ /AC B  suy ra

 ;     ;    ;   1  ;  

2

d OI AC d OMN AC B  d O AC B   d A AC B  

.Đáy ABCDlà hình thoi cạnh a có góc BAD 120o nên tam giác A B C   đều cạnh a , lấy K

là trung điểm của B C   ta có B C A K , mặt khác B C AA suy ra B C AA K  Từ đó

;

34

a a

Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm của đáy là O Gọi M và N lần

lượt là trung điểm của SA và BC Biết rằng góc giữa MN và ABCD bằng 60 0, cosin góc

Tác giả: Đào Văn Tiến; facebook: Đào Văn Tiến

Lời giải Chọn C

N O A

a S

B

D S

Gọi P là trung điểm AO ; Q là giao điểm của MC và SO , từ Q kẽ tia song song với MN

trong mpMBC cắt BC tại R , trong mặt phẳng đáy từ R kẻ tia song song với AC cắt BD

tại S

MP//SO nên MPABCD, suy ra MNP600

Ta tính PN bằng cách vẽ thêm hình phụ như bên, theo định lí Ta-lét

, theo định lý Pytago ta tính được

104

a PN

Tam giác MPN vuông tại P có 

102

 NP a MN

cosMNP

Dễ thấy Q là trọng tâm tam giác SAC nên

23



CQ MC

Vì QR MN nên theo định lý Ta-lét ta suy ra //

Câu 8. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hai mặt bên SAB , SBC là các

tam giác vuông cân tại A và C Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

A

63

a

62

a

33

a

32

Gọi H là chân đường cao của hình chóp, vì ABSA nên ABHA suy ra CDHA, tương tự ta có

ADHC Do đó H là trực tâm tam giác ACD , tam giác ACD đều nên H là trọng tâm tam giác ACD Ta có HA HC HD   SA SC SD a   , do đó tứ diện SACD là tứ diện đều nên

và SBD

cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD

Tính thể tích củakhối chóp S ABCD biết rằng BM DN với M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh

SC và SA

A

3

28 53

a

3

7 59

a

3

28 59

a

3

14 59

C

B

A S

F

H B

N M S

G C

E

Tứ giác BEDF là hình bình hành suy ra H là trung điểm của đoạn EF

Gọi G là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDFG Xét tam giác EGF ta có

S 

52

C

A'

C '

Vì CC' ( ABC) nên (BC ', (ABC))CBC '

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có AM BC. Đặt BC x thì

3 510

a

5 33

a

55

2 2 2

SM SI MI nên SMI vuông tại S

SM SI SH

a



Câu 12. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Hai điểm M N chạy tương ứng trên các đoạn AB và CD,

sao cho BM =DN Gọi ,m n lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN Khi đó giá trị của

Khi đó ta có: BMuuur=x BA.uur và DNuuur=x DC.uuur

Ta có: DNuuur=x DC.uuurÛ BNuuur uuur- BD=x BC BD(uuur uuur- )Û BNuuur=x BC.uuur+ -(1 x BD).uuur

Do đó: MNuuur=BNuuur uuur- BM =x BC.uuur+ -(1 x BD x BA).uuur- .uur

1 1max ( ) (0) (1) 1, min ( ) ( )

2 2

MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng

22

a

n=

khi M N lần lượt là trung điểm của AB và CD.,

MN đạt giá trị lớn nhất bằng m=a khi M º B N, º D hoặc M º A N, º C.

Câu 13. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có độ dài cạnh đáy bằng a Góc giữa A BC  và

ABC bằng 60 Gọi  M N, là trung điểm của BC và CC Tính khoảng cách giữa . A M và

a

C

6 6565

a

D

3 6565

2

AME AME

Hình phụ bổ sung :

Câu 14. Cho hình lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác đều ABC cạnh a Gọi M là trung điểm của

AB , tam giác A CM cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và CC, biết rằng thể tích khối lăng trụ ABC A B C.    là

3

38

V  a

A

2114

2 393

2 3913

217

+ Gọi H là trung điểm của CM , ta được A H CM  A H ABC

+ Dựng HK A M  HK AA B B  

 HK d H AA B B ,    

Khi đó d C AA B B ,     2d H AA B B ,    2HK

2

38

23

4

ABC A B C ABC

a

3 24

a

2 67

a

3 27

Kéo dài BC và DA cắt nhau tại E

Từ B kẻ BI ( I DE ) song song với HC Từ H kẻ HJ BI J ( BI); HKSJ (K SJ)

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,AC a Tam giác SAB cân và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy bằng 60 o

A.

60929

a

60958

a

80929

a

80958

Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân nên SH AB Vì tam giác SAB nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy nên SH  ( ABCD ) Suy ra góc giữa SD và mp(ABCD) là

SDH   SH HD HD

Dễ thấy tam giác ABC đều cạnh a nên ABC60o  HAD 120o

Theo định lí Cô sin:

a

HD 

hay

213

D

C B

A S

Đường thẳng AH cắt (SBC) tại B nên

a

HI 

Vậy

609( ,( )) 2 ( ,( )) 2

29

a

d A SBC  d H SBC  HI 

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B;

AB = BC = 4a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) bằng a 10 Tính

cosin của góc giữa hai đường thẳng SC và HD.

D K

Câu 18. Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C có cạnh đáy bằng ' ' ' a, A B' vuông góc với 'B C (tham

khảo hình vẽ) Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng A B' và 'B C theo a

A.

6.6

a

d 

B

3.3

a

d 

C

2.2

Gọi E là điểm đối xứng với A qua B.Ta có ' 'A B EB là hình bình hành  A B B E' / / '

Cách khác ( Được đề xuất bởi Fb: Nguyễn Thị Hồng Gấm)

Gọi E là giao của ' A M và AC

34

207

AI AA AK

K H I

Gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên AD suy ra K là trung điểm của AD

H là hình chiếu vuông góc của K lên AC

I là hình chiếu vuông góc của D lên AC

Góc giữa mặt phẳng (MAC) và mặt phẳng (ABCD) là ·MHK

4

a HK MHK

MK

Câu 21. Cho lăng trụ ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Tam giác A BC đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC

, M là trung điểm CC Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA và BM.

A

2 22cos

11

 

B

11cos

11

 

33cos

11

 

D

22cos

Gọi H, H  lần lượt là trung điểm của BC , B C   Do tam giác A BC đều và nằm trong mặtphẳng vuông góc với mặt phẳng ABC nên suy ra A H ABC

Ta có CC//AA  CC BM, 

Tam giác ABC và tam giác A BC đều cạnh a nên

32



Câu 22. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB a , BC a 3 Tam

giác ASO cân tại S , mặt phẳng SAD vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa SD và

ABCD

bằng 60 Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng

A

32

a

32

H

S

O I

E

60

K

Gọi I là trung điểm OA , vì ASO cân tại S nên



2 33

a HD

a IB

+) Trong mặt phẳng ABCD

, dựng hình bình hành ABEC thì BE AC// , BESBE

 //

AC SBE

 d SB AC ,  d AC SBE ,   d I SBE ,  

Mà

34

a

2 2163

a

2121

a

418

N M

A

ách 1:

+Tính d B MNC ,  

.Mặt phẳng ( MNC )cắt các cặp mặt đối của hình hộp theo các cặp giao tuyến song song.

Nên thiết diện tạo bởi mp MNC ( ) và hình hộp là hình bình hành MNCQ.

H L K

BN

AM 

23

KB KA

a BH

a

2 2163

a

2121

a

418

N M

Nên thiết diện tạo bởi mp MNC ( ) và hình hộp là hình bình hành MNCQ.

H L K

a

2 67

a

35

a

67

* Trên các cạnh SB và SC lần lượt lấy các điểm B C', ' sao cho SB'SC'SA a

Do SA SB 'SC' nên chân đường cao H của hình chóp a S AB C là tâm đường tròn ' '

ngoại tiếp tam giác AB C , suy ra H là trung điểm của '' ' C A

Đường cao của S AB C là ' '

2

23

;( )

7

7 34

S ABC ABC

Góp ý của cô Lưu Thêm:

Cho hình tứ diện S ABC có SA a SB b SC c ,  ,  và BSC , CSA , ASB Khi đó công thức tính thể tích khối tứ diện S ABC là:

Gọi H , I J, lần lượt là hình chiếu của A trên SBC, SB SC, .

Suy ra SBSHI, SCSHJ

, do đó SIHJ là tứ giác nội tiếp đường kính SH

Ta có SI acos , SJ acos , suy ra

2 2 2 cos cos2 cos2 2cos cos cos

H S

a

b c

H S

a

b c

Công thức (**) là công thức Hê rông tính thể tích tứ diện.

Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A,

3

 

3arccos5

 

C  60o D.

2arccos

 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

+) Gọi O là trung điểm BC ABC cân tại A H thuộc đường thẳng AO

+) Tam giác ABH cân tại H, BAH 60  o  ABH đều H đối xứng với A qua O

8 315



4 315

Lời giải

Tác giả : Lưu Thị Thêm,Tên FB: Lưu Thêm

Chọn B

a a

O

H

C B

A

O I

K

S

Gọi K là trung điểm của BC.

2

 

B.

14arccos

Chọn A

H

F

K I

E C

a

AI 

,

104

+) Nhận xét: Gọi K là trung điểm AD  KAB KBC KCD, , là các tam giác đều cạnh 2a.

+) Gọi H là hình chiếu của S trên ABCD.

+) SA SB SO   HA HB HO   H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABO

3 3sin

.+) d C SAE ,  .S SAE SH S ACE * 

cos

2 .23

SE SA EA ESA

Câu 30. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh bằng a Trong các mặt phẳng chứa đường thẳng

CD, gọi   là mặt phẳng tạo với BDD B 

một góc nhỏ nhất Tính d A ,  

A.

66

a

62

a

63

3 342

a

6 342

a

12 342

Gọi O là tâm của tam giác ABC P, là trung điểm của BC

Suy ra SBC , ABC  SP AP,  SPA 60

Câu 32. Cho hình tứ diện ABCD có thể tích bằng 22018, cạnh AB 22017 , CD  Khoảng cách giữa2

AB và CD thuộc khoảng 11;12 Gọi  là góc giữa AB và CD Mệnh đề nào sau đâyđúng?

Câu 33. Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S ABCD cạnh bên bằng 200m ,

góc ASB   bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS như15

hình vẽ Trong đó điểm L cố định và LS 40 m Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu métdây đèn led để trang trí?

Ta sử dụng phương pháp trải đa diện

Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau

J K L

Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng AL LS

Từ giả thiết về hình chóp đều S ABCD ta có  ASL 120

Ta có AL2 SA2 SL2 2 cosSA SL ASL2002402 2.200.40.cos120 49600

Nên AL  49600 40 31

Vậy chiều dài dây đèn led cần ít nhất là 40 31 40 mét

Câu 34. Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc Gọi ,  ,  lần lượt là góc giữa

các đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng ABC

như hình vẽ

B A

Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3 cot 2  3 cot 2  3 cot 2

Chọn D

h

c b

a α

A

O

B

C H

Gọi H là trực tâm tam giác ABC , vì tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc nên

 

, sin

OH OC