Chuyên đề LTĐH Hình học không gian

Đây là chuyên đề Luyện thi đại học phần Hình học không gian tổng hợp Tài liệu này được biên soan rất công phu, các bài tập được phân dạng. Các bài tập được giải đầy đủ, chi tiết. tài liệu này hỗ trợ rất tốt cho các em luyện thi kỳ thì THPT quốc gia. Tài liệu này cũng dùng làm tài liệu tham khảo rất tốt co giáo viêndạy toán. Đặc biệt có thể in tài liệu này làm tài liệu dạy thêm rất tốt

đường thẳng song song là các khái niệm cơ bản trong hình học phẳng, còn các khái niệm khác như : “ Đường thẳng đến mặt phẳng (đường – mặt) hay mặt phẳng đến mặt phẳng (mặt – mặt)” (ở đây các mối quan hệ giữa

đường – mặt, mặt – mặt là song song) đều được chuyển qua khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng (điểm – mặt) Do đó trên thực tế , ta thường chỉ gặp hai lớp câu hỏi về khoảng cách là: “khoảng cách giữa một

điểm tới một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau “ Sau đây ta sẽ đi tìm hiểu

chi tiết về hai lớp câu hỏi này

I Bài toán gốc

1 Nội dung:

Tính d M( , ( )) ?

Trong đó M là hình chiếu vuông góc của một điểm nằm trên mặt phẳng ( ) (thường là đỉnh của hình đa

diện) xuống mặt đáy

Trước khi đi giải quyết bài toán, ta nhắc lại các kiến thức cơ bản theo sơ đồ sau:

Khái niệm khoảng cách giữa điểm và điểm (điểm – điểm), điểm và đường thẳng (điểm – đường), hai

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

Bước 1: Tìm giao tuyến của đáy và mặt bên : (mặt đáy) (SBC)BC

Bước 2: Kẻ MI BC (IBC)

Bước 3: Dựng MH SI (HSI), khi đó: ( ,(d M SBC))MH

Chú thích: Nếu tam giác MBC vuông tại B (hoặc C ) thì I B (hoặc I C )

II Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác đều cạnh a Hai mặt phẳng (SAC), (SAB) cùng vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và đáy bằng 600 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC)

SCA SA ACtanSCAa 3

Gọi I H, lần lượt là hình chiếu vuông góc

của A trên BC SI, , khi đó:

15( , ( ))

5

a

d A SBC 

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thang vuông tại A và D Biết ADDCa AB, 2a;

SA vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAD) bằng 0

30 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Trang 2

Gọi K là trung điểm của AB, khi đó

ADCK là hình vuông nên:

2

AC

CK  a , suy ra tam giác ACB vuông tại C hay ACCB

Mặt khác SACBCB(SAC) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC

Nhận xét: Ở ví dụ 2 do ACBC , nên việc dựng hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC) chỉ là công việc dựng hình chiếu của A trên SC như cách làm trên

Ví dụ 3 Cho hình hộp ABCD A B C D có ABCD là hình vuông cạnh ' ' ' ' a Hình chiếu vuông góc của A'

xuống mặt đáy (ABCD) là trung điểm M của AB và góc tạo bởi đường thẳng AA' và mặt phẳng

(ABCD) bằng 0

60 Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AA C' ) theo a

Giải:

MA là hình chiếu vuông góc của AA' trên mặt phẳng(ABCD)

Nên ta có A AM' 600 là góc tạo bởi AA' và mặt phẳng(ABCD)

Suy ra A AB' là tam giác đều cạnh

3'

Bài 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ; ABa Biết mặt phẳng (SAB)

và mặt phẳng (SAC) cùng vuông góc với đáy, góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng

0

60 Tính theo a khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC)

Bài 2 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a

Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’)

Bài 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, 0

120

M là trung điểm của cạnh BC và SMA450 Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDC)

Bài 4 Cho lăng trụABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, ADa 3 Hình chiếu

vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt 1

phẳng (ADD A1 1)và (ABCD) bằng 600 Tính theo a khoảng cách từ tâm của hình chữ nhật ABCD đến

mặt phẳng (A CD 1 )

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB AD2a , CD = a; góc

giữa hai mặt phẳng (SBC)và (ABCD)bằng 0

60 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng

(SBI)và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính khoảng cách từ I tới mặt phẳng (SBC)

Bài 6.Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có ' ' ' BB'a, góc giữa đường thẳng BB'và mặt phẳng

(ABC)bằng 0

60 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC600 Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt

phẳng (ABC)trùng với trọng tâm G của tam giác (ABC) Tính theo a khoảng cách từ G tới mặt phẳng

(BCC B' ')

Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3và mặt phẳng

(SAB)vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CD, và H là hình

chiếu vuông góc của S trên AB Tính theo a khoảng cách từ H tới mặt (SMN)

Bài 8 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác vuông tại ' ' ' A, ACa 3,BCa 7 Gọi M

là trung điểm của ABvà MA C' 600 Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) là

trung điểm H của MC Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (MA C' ')

Bài 9 Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , ABa,BCa 3 Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm H của tam giác ABC Góc giữa hai mặt phẳng

(SAB) và (ABC) bằng 0

60 Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAC)

Bài 10 Cho hình chóp S ABC có BAC1200, BCa 3,

2

a

SA Gọi M là trung điểm của BC và

BC vuông góc với mặt phẳng (SAM) Biết góc tạo bởi SM và mặt phẳng (ABC) bằng 0

60

Tính theo a khoảng cách giữa trung điểm của AM đến mặt phẳng (SAC)

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ; ABa Biết mặt phẳng (SAB)

và mặt phẳng (SAC) cùng vuông góc với đáy, góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng

Suy ra góc tạo bởi SB và mặt phẳng (ABC) là ABS 600

Gọi I K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC SI,

Bài 2 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a

Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’)

C

B A

H D'

C'

B' A'

B A

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trang 6

1 2 1 2 12 22 42 62 6

a AK

Do ABCD là hình thoi cạnh a và BAD1200

nên ABC ADC, đều là các tam giác đều cạnh a

4

a

d A SCD 

Bài 4 Cho lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, ADa 3 Hình chiếu

vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt 1

A

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; ABAD2a , CD = a; góc

giữa hai mặt phẳng (SBC)và (ABCD)bằng 0

60 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng

(SBI)và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính theo a khoảng cách từ I tới mặt phẳng

55

Gọi I là trung điểm của AC Do B G' (ABC), suy ra

góc tạo bởi BB' và mặt phẳng (ABC) là B BG' 600

M I

S

H

B A

Trang 8

a

d G BCC B 

Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3và mặt phẳng

(SAB)vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CD, và H là hình

chiếu vuông góc của S trên AB Tính theo a khoảng cách từ H tới mặt (SMN)

I K

M H

D

C B

A

Bài 8 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác vuông tại ' ' ' A, ACa 3,BCa 7 Gọi M

là trung điểm của ABvà MA C' 600 Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của MC Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (MA C' ')

Gọi N là trung điểm của BC , suy ra MN // AC mà AC // A C ' '

Từ (*) và (2*) suy ra: HK(MNA') hay HK(MA C' ')d H MA C( , ( ' '))HK

Xét tam giác vuông A HN ta có: '

'

32

a a

Bài 9 Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , ABa,BCa 3 Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm H của tam giác ABC Góc giữa hai mặt phẳng

(SAB) và (ABC) bằng 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAC)

Giải:

Ta có SH (ABC) ABSH (1)

Trang 10

Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên AB, suy ra ABEH (2)

Từ (1) và (2), suy ra : AB(SEH),

suy ra góc tạo bởi (SAB) và (ABC) là : SEH 600

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BC AC,

SA Gọi M là trung điểm của BC và

BC vuông góc với mặt phẳng (SAM) Biết góc tạo bởi SM và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính theo a

khoảng cách giữa trung điểm của AM đến mặt phẳng (SAC)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác SAM đều

Khi đó, gọi H là trung điểm của AM SHAM

mà SH BC (do BC(SAM))SH (ABC)SH AC

Kẻ HI  AC ( IAC)AC(SHI)

Dựng HK SI ( KSI) HK(SAC)d H SAC( , ( ))HK

M

K I

S

C

B

A H

Ta có SAM là tam giác đều cạnh 3

I Kĩ thuật chuyển điểm – đỉnh

1 Kĩ thuật chuyển điểm

Khi bài toán yêu cầu tính khoảng cách từ một điểm K (xếp vào điểm tính Khó) không phải là chân

chiều cao của khối đa diện tới mặt ( ) (không thuộc bài toán gốc) lúc này ta sẽ chuyển sang điểm D

(chuyển về bài toán gốc) là chân chiều cao của khối đa diện (xếp vào điểm tính Dễ) qua mối quan hệ sau:

Trong nhiều trường hợp việc tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng ta không dùng được kĩ

thuật chuyển điểm, cũng như không chuyển về được bài toán gốc Lúc này ta có thể nghĩ tới kĩ thuật

chuyển đỉnh nhờ công thức h 3V

S

 (1) (với khối chóp) hoặc h V

S

 (2) (với khối lăng trụ) Ý tưởng trên

được hiểu như sau: “Ta sẽ quy bài toán tìm khoảng cách về bài toán tìm chiều cao của một hình chóp

(hoặc hình lăng trụ) và giả sử là tìm khoảng cách từ đỉnh A Ban đầu ta đi tính thể tích của khối chóp

(hoặc lăng trụ) theo một con đường khác mà không dựa vào đỉnh A mà chuyển qua đỉnh A' A (chiều

cao được chuyển qua đỉnh khác) , sau đó tính diện tích đáy đối diện với đỉnh A' và sử dụng một trong

hai công thức (1) , (2)”

(sẽ được giải thích rõ hơn trong hình vẽ ở phần video bài giảng cũng như các ví dụ đi kèm)

II Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SD vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) Góc tạo bởi SB và mặt đáy bằng 0

60 Gọi K là trung điểm của BC Tính:

a Khoảng cách từ C đến (SAB) b Khoảng cách từ K đến (SAB)

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

42( , ( ))

b Gọi DK AB{ }I DK (SAB){ }I Do KB// 1

2

IK BK DA

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABC có SBa SC, 2 ,a BSC600 Gọi M là chân đường cao kẻ từ đỉnh A

của tam giác ABC và AM 2a Biết hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm thuộc đường thẳng AM , góc tạo bởi SB và đáy ABC bằng 300 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng

32

SABC SBC

a V

B A

S

Trang 14

A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB Góc tạo bởi A C và mặt phẳng đáy ' (ABC) bằng 60 Tính theo a khoảng cách từ trung điểm M của BC đến mặt phẳng (ACC A' ')

Giải:

Gọi H là trung điểm của ABA H' (ABC), suy ra

góc tạo bởi A C và mặt phẳng đáy ' (ABC) là A CH' 600

Do HM là đường trung bình trong tam giác ABC

Ví dụ 4 Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S xuống

mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC Góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 0

C'

B' A'

C

B A

Do BC(SAI) nên góc tạo bởi (SBC) và mặt đáy là SIA300

Ta có ABC là tam giác đều cạnh a ,

M

H S

C

B A

Trang 16

a

SD , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ

A đến mặt phẳng (SBD)

Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a, SABC2a Biết hai mặt phẳng

(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Bài 3 (B – 2013). Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

Bài 4 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại ' ' ' A và

ABa BC a Biết hình chiếu của B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC và góc giữa đường thẳng CC và mặt phẳng ' ( ' 'A B C') bằng 0

SMA Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SDC)

Bài 6 Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC là hình chóp đều cạnh a Gọi M là trung điểm của cạnh

AB, hình chiếu vuông góc của S trùng với trọng tâm của tam giác MBC , biết 2

SA Gọi M là trung điểm của BC và BC

vuông góc với mặt phẳng (SAM) Biết góc tạo bởi SM và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính theo a

khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng (SAC)

Bài 8 Cho hình hộp ABCD A B C D có ABCD là hình vuông cạnh ' ' ' ' a Hình chiếu vuông góc của A'

xuống mặt đáy (ABCD) là trung điểm M của AB và góc tạo bởi đường thẳng AA' và mặt phẳng

(ABCD) bằng 600 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AA C' ) theo a

Bài 9 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB2a,ADa 5 ; góc giữa đường

thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 300 Gọi Mlà trung điểm của cạnhAB Biết hai mặt phẳng

(SBD) và (SMC)cùng vuông góc với mặt phẳng(ABCD) Tính theo a khoảng cách từ C đến (SMD)

Bài 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, 13

Tam giác SCD vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) Tính theo a

khoảng cách từ trọng tâm của tam giác ABD tới mặt phẳng (SAB)

Bài 1.(A, A1 – 2004) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1.(A, A1 – 2004) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , 3

2

a

SD , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ

Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, ABa, SABC2a Biết hai mặt phẳng

(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trang 18

Bài 3 (B – 2013). Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

ABa BC a Biết hình chiếu của B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC và góc giữa đường thẳng CC và mặt '

Gọi H là trung điểm của BC

Do tam giác ABC vuông tại A nên H là tâm của đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC B H' (ABC)

H

D

C B

A

Do ABCD là hình thoi cạnh a và BAD1200

nên ABC ADC, đều là các tam giác đều cạnh a

Bài 6 Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC là hình chóp đều cạnh a Gọi M là trung điểm của cạnh

AB , hình chiếu vuông góc của S trùng với trọng tâm của tam giác MBC , biết 2

Trang 20

SA Gọi M là trung điểm của BC và BC

vuông góc với mặt phẳng (SAM) Biết góc tạo bởi SM và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính theo a

khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng (SAC)

M

H D

C B

A

M

K I

S

C

B

A H

Ta có SAM là tam giác đều cạnh 3

Bài 8 Cho hình hộp ABCD A B C D có ABCD là hình vuông cạnh ' ' ' ' a Hình chiếu vuông góc của A'

xuống mặt đáy (ABCD) là trung điểm M của AB và góc tạo bởi đường thẳng AA' và mặt phẳng

(ABCD) bằng 600 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AA C' ) theo a

Giải:

MA là hình chiếu vuông góc của AA' trên mặt phẳng(ABCD)

Nên ta có A AM' 600 là góc tạo bởi AA' và mặt phẳng

(ABCD) Suy ra A AB' là tam giác đều cạnh

MH MA MI  a a  a  

(3)

30 Gọi M là trung điểm của cạnhAB Biết hai mặt phẳng

(SBD) và (SMC)cùng vuông góc với mặt phẳng(ABCD) Tính theo a khoảng cách từ C đến (SMD) Giải:

Trang 22

Suy ra HD là hình chiếu của SD xuống (ABCD)nên góc tạo bởi SD và (ABCD) là SDH300

Gọi ACBD{ }O ,Hlà trọng tâm tam giác ABC nên 2 2 1

9( 5)

khoảng cách từ trọng tâm của tam giác ABD tới mặt phẳng ( SAB )

a a

Sơ đồ trên được hiểu như sau:

 Tổng quát: Dựng mặt phẳng ( ) chứa 2 và song song 1, khi đó ta chuyển khoảng cách giữa hai đường chéo nhau về khoảng cách từ điểm tới mặt qua chuỗi đẳng thức:

d(   1, 2) d( 1, ( )) d M( , ( )) MH

Lúc này ta quay về việc tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

(đã được đề cập đầy đủ ở các bài học trước)

 Nếu   1 2 : +) Dựng mặt phẳng ( ) chứa 2 và vuông góc 1

+) Từ 1 ( )  M , kẻ MN  2 khi đó d(  1, 2) MN

2 Chú ý

+) Thường trong đề bài sẽ có một trong hai đường 1 hoặc 2 nằm dưới mặt đáy của khối đa diện Giả

sử 1

thuộc đáy, khi đó thường ta sẽ chọn mặt phẳng phụ ( ) chứa 2 và song song với 1

+) Nếu cả hai đường  1, 2 đều không thuộc đáy ta sẽ cần lựa chọn mặt phẳng phụ ( ) một cách “linh hoạt” tùy vào dữ kiện bài toán Các bạn sẽ thấy rõ điều này ở các ví dụ minh họa và bài tập đi kèm.

KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG CHÉO NHAU

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

a E

A

B Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên tạo với đáy (ABCD) một

góc 600 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng:

1. SA và CD 2 SH và CD

Giải:

Do S ABCD là hình chóp đều nên

gọi AC BD H SH(ABCD), suy ra góc tạo bởi

HE  HI SH  a  a  a   (4)

Ví dụ 2 (THPT QG – 2015) Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông

góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 Tính theo a

khoảng cách giữa hai đường thẳng SB AC,

Giải:

Suy ra tam giác SAC vuông cân tại A

M

D

H

C B

A S

Trang 26

Ta đi tính AI có thể theo một trong các cách sau:

Ví dụ 3. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB Tam giác SAB

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), biết SD2a 5, SC tạo với đáy

Theo giả thiết SM (ABCD), do đó góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABCD) là SCM 600

Ta có ABCD là hình vuông nên MCMD , khi đó xét tam giác SMC và SMD ta có:

MD//AEMD//(SAE) d MD SA( , )d MD SAE( , ( ))d M SAE( , ( )) (1)

Ví dụ 4 (A – 2010) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt

là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

S

Trang 28

Ví dụ 5.Cho lăng trụ ABC A B C có các mặt bên đều là hình vuông cạnh ' ' ' a Gọi D E, lần lượt là trung điểm của cạnh BC A C, ' ' Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng

1) B C và ' ' A B' 2) DE và AB'

Giải:

Do lăng trụ ABC A B C có các mặt bên đều là hình vuông cạnh ' ' ' a

Nên ABC A B C là lăng trụ đứng với hai đáy là tam giác đều cạnh a ' ' '

a S

K

C' A'

B'

I

D H

B A

Bài 2 (D – 2014) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam

giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách giữa hai đường

thẳng SA BC,

Bài 3 (A, A1 – 2012). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S

trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

Bài 4 (A – 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt

phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua

SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 0

60 Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

Bài 5 (D – 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, ABBCa, cạnh bên AA'a 2 và M là trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C

Bài 6 Cho hai tam giác đều ABC ABD, không cùng nằm trên một mặt phẳng Biết ABa và CDa Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

Bài 7 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh ' ' ' a Điểm A' cách đều ba điểm A B C, , Góc giữa AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A B' và '

CC

Bài 8. Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa BD, a 3 Mặt bên SAB là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M là điểm thuộc cạnh SD sao cho

2

MD MS Tính theo a khoảng giữa hai đường thẳng AD và MC

Bài 9 Cho hình hộp ABCD A B C D có ' ' ' ' A ABD là hình chóp đều, ' ABAA'a Tính theo a khoảng

cách giữa hai đường thẳng AB' và A C ' '

Bài 10 Cho hai tia chéo nhau Ax By, hợp với nhau góc 600, nhận ABa làm đoạn vuông góc chung Trên tia By lấy điểm C sao cho BCa Gọi D là hình chiếu vuông góc của C lên Ax Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG CHÉO NHAU

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trang 30

C B

A S

K H

A

S

Giải: ( Ta sẽ chỉ ra được BCSA nên sẽ dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA BC, )

Bài 3 (A, A1 – 2012). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S

trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt

Bài 4 (A – 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt

phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua

SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 0

60 Tính

600

I

D K

khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

Bài 5 (D – 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, ABBCa, cạnh

bên AA'a 2 và M là trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C

Giải:

Gọi N là trung điểm của BB', khi đó B C' //MN B C' //(AMN)

Suy ra d B C AM( ' , )d B C AMN( ' , ( ))d C AMN( , ( ))d B AMN( , ( )) (1)

Bài 6 Cho hai tam giác đều ABC ABD, không cùng nằm trên một mặt phẳng Biết ABa và CDa

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

Giải:

600

I

2a 2a

S

C'

A' B'

I N

M H

C

Gọi M là trung điểm của AB Do ABC ABD, là các tam giác đều

Gọi N là trung điểm của CD , khi đó: MNCD

Mà MN AB (theo (*)), suy ra MN là đoạn vuông góc chung của

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của BC , khi đó A ABC là hình chóp đều '

Suy ra A H' (ABC), suy ra góc tạo bởi AA' và mặt phẳng (ABC) là góc A AH' 600

Tam giác ABC đều cạnh a nên

Trang 34

Bài 8. Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa BD, a 3 Mặt bên SAB là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M là điểm thuộc cạnh SD sao cho

A S

Gọi AC DH  T , khi đó T là trọng tâm của tam giác ABD DT 2 DM MT

Trong tam giác SAD , kẻ MN // DA (NSA) Ta có AD SH AD (SAB)

77

Bài 9 Cho hình hộp ABCD A B C D có ' ' ' ' A ABD là hình chóp đều, ' AB AA'a Tính theo a khoảng

cách giữa hai đường thẳng AB' và A C ' '

C B

A

Trang 36

Gọi H là trọng tâm tam giác ABD

Do A ABD' là hình chóp đều, nên A H' (ABD) hay A H' (ABCD)

AO AH  AO Khi đó

Bài 10 Cho hai tia chéo nhau Ax By, hợp với nhau góc 600, nhận ABa làm đoạn vuông góc chung

Trên tia By lấy điểm C sao cho BCa Gọi D là hình chiếu vuông góc của C lên Ax Tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng AC và BD

Giải:

Dựng tia Az song song và cùng chiều với By, khi đó:

(Ax By, )(Ax Az, )xAz600

Qua B , dựng đường thẳng song song với AC cắt đường

thẳng Az tại điểm E , khi đó ACBE là hình bình hành

Suy ra CK(ADK)CKAD Mặt khác CD AD (giả thiêt), do đó :

AD(CDK)ADDK hay tam giác ADK vuông tại D

K

E

z y

A

Ta có ABCK là hình vuông nên 0

cos 60

2

a

AK BC a ADAK Xét tam giác ADE, ta có:

3