Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.. b Tìm
Trang 1HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN 1 VECTO VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
; b 0; 2;1
Tính 2a2b ; b5a ; a b . ; a b;
;
Tìm vectơ b cùng phương với a biết a b . 20
bvà tạo với tia Oz một góc tù.
(a) a 2;6; 1
, b 4; 3; 2
, c 4; 2;2. (b) a 2; 4;3
, b 1; 2; 2
, c 3; 2;1
a. Chứng minh A , B , C , D đồng phẳng và tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
b. Tính độ dài các đường chéo và góc giữa hai đường chéo
a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác
b. Tính thể tích tứ diện ABCD
a. Chứng minh ba điểm A , B , C không thẳng hàng.
b. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
c. Tìm toạ độ điểm D biết ABCD là hình bình hành
d. Tính độ dài đường cao của tam giác ABC
e. Tính các góc của tam giác ABC
f. Xác định toạ độ tực tâm của ABC
g. Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
và D1; 2;1.
a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác
b. Tính thể tích tứ diện ABCD
a) Tính diện tích tam giác ABC
Trang 2b) Tìm tọa độ điểm D trên Oz sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 4
c) Tìm tọa độ điểm E trên Oyz sao cho AE BC/ /
d) Tìm tọa độ điểm H trên Ox sao cho DH AC
e) Cho BF là phân giác trong của tam giác ABC Xác định tọa độ điểm F
Chứng minh 4 điểm A B C D, , , đồng phằng và tính diện tích ACD
(a) Tìm tọa độ điểm D trên (Oxy) sao cho BD song song với AC.
(b) Tìm tọa độ điểm E trên (Ox) sao cho DE vuông góc với AB.
(c) Tính diện tích tam giác ABC.
(d) Tìm tọa độ điểm S trên Ox sao cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 1.
(e) Cho CF là phân giác trong của tam giác ABC Xác định tọa độ điểm F.
(a) Tìm tọa độ điểm M thuộc Oz sao cho MA=MB.
(b) Tìm tọa độ điểm N thuộc Oz sao cho A, B, C, N đồng phẳng.
(c) Tìm tọa độ đỉnh D thuộc Oy biết tứ diện ABCD có thể tích bằng 15.
2; 1; 2
(a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B , C , D không đồng phẳng.
(b) Tính độ dài đường cao DK của tam giác BCD
(c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD , từ đó suy ra dộ dài đường cao AH của tứ diện.
(d) Xác định tọa độ trọng tâm, trực tâm tam giác ABC
(e) Tìm trên mặt phẳng Oxy
điểm M sao cho MA MB MC
, tam giác ABC vuông tại A
Trên SA BC, lần lượt lấy các điểm M N, sao cho AM CN t trong đó 0 t 2a
a) Tính độ dài đoạn MN
b) Tìm t để MN ngắn nhất.
c) Tìm t để MN là đoạn vuông góc chung của SA và BC
a) Chứng minh rằng SASBC
, SBSAC
, SC SAB
b) Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB Chứng minh rằng SMNP là tứ
diện đều
2 2
2
T MA MB đạt giá trị nhỏ nhất ?
Trang 3Câu 18: Cho hai điểm A ( 1;6;6), B(3; 6; 2). Tìm điểm M thuộc mặt phẳng Oxy
sao cho biểu thức
T MA MB đạt giá trị nhỏ nhất ?
Trang 4HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
GIẢI PHẦN 1 VECTO VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
lycan0984@gmail.com
; b 0; 2;1
Tính 2a2b ; b5a ; a b . ; a b;
;
Lời giải
Tác giả: Trần Lê Hương Ly; Fb: Trần Lê Hương Ly
2a2b2 2;3; 1 2 0; 2;1 4;2;0
b5a0; 2;1 5 2;3; 1 10;13; 4
a b 2.0 3 2 1.17
a b; 1; 2; 4
a2 ;5b a 3b
Ta có a2b2;3; 1 2 0; 2;1 2; 1;1
5a 3b5 2;3; 1 3 0; 2;1 10;21; 8 Suy ra a2 ;5b a 3b 13;26;52
Tìm vectơ b cùng phương với a biết a b . 20
Lời giải
Tác giả: Trần Lê Hương Ly; Fb: Trần Lê Hương Ly
Giả sử bx y z; ;
Vì vectơ b cùng phương với a nên tồn tại số k sao cho x2 2k ; yk ; z4k
Lại có a b . 20 Suy ra 8k k 16k20 Suy ra
4 5
k
Vậy
b
nguyentuyetle77@gmail.com
bvà tạo với tia Oz một góc tù.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuyết Lê ; Fb: Nguyen Tuyet Le
Trang 5Gọi tọa độ của vectơ cx y z; ;
Theo giả thiết ta có:
3
j 0
c
a c c c
0 (2)
3 0 (3)
0 (4)
x y z
z
Từ (2), (3) suy ra x2z , y z , thay vào (1)
ta được
2 3 2
z
Kết hợp điều kiện (4) ta có: 6
6 2 6 2
x
y
z
c
Cách 2: do cô Hoàng Minh Tuấn ( pb) đề xuất
Do ca, cb nên tồn tại số p sao cho: cp a b ; 4 ; -2 ; -2 p p p
Vì
4
Từ đó
6 ; ;
hoặc
6 ; - ;
c
Mặt khác c tạo với Oz một góc tù nên c k . 0 Vậy
6 ; - ; -
nguyentuyetle77@gmail.com
(c) a 2;6; 1
, b 4; 3; 2
, c 4; 2;2
(d) a 2; 4;3
, b 1; 2; 2
, c 3; 2;1
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuyết Lê ; Fb: Nguyen Tuyet Le
Để xét sự đồng phẳng của ba vectơ a , b , c ta xét tích hỗn hợp T a b c,
Nếu T thì ba vectơ 0 a, b, c đồng phẳng
Nếu T thì ba vectơ 0 a, b, c không đồng phẳng
(a) Ta có a b ; 15;0; 30
a b c, 15 4 0 2 30 2 0
Vậy ba vectơ
a , b , c đồng phẳng
(b) Ta có a b, 2;7;8
a b c; 2.3 7 2 8.1 0
Vậy ba vectơ a , b , c đồng phẳng
nvanphu1981@gmail.com, lyvanxuan@gmail.com
Trang 6Bài 5. Cho ba điểm A2; 5; 3
; B3;7; 4
;C x y ; ;6
Tìm x ; y để A , B , C thẳng hàng
Lời giải
Tác giả: Mai Ngọc Thi ; Fb: Mai Ngọc Thi
1; 2;1
AB
; ACx 2; y 5; 3
Ta có :
x y
2 3 5 3 2
x y
5 6
x y
a. Chứng minh A , B , C , D đồng phẳng và tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
b. Tính độ dài các đường chéo và góc giữa hai đường chéo
Lời giải
Tác giả: Mai Ngọc Thi ; Fb: Mai Ngọc Thi
a. AB 0; 4;0
;AC 3; 4;0
;AD 3;0;0
AB AC
; AB AC AD, 0.3 0.0 0 12 0
Vậy A , B , C , D đồng phẳng.
AB AC
nên A , B , C không thẳng hàng.
0; 4;0
DC
nên DC AB
hay tứ giác ABCD là hình bình hành.
Mặt khác : AB AD . 0.3 4.0 0.0 0
nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
b.AC 32 42 ; 5 BD AC 5
5.5
25
AC BD, 73 44'
vungoctan131@gmail.com
a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác
b. Tính thể tích tứ diện ABCD
Lời giải
Tác giả:Vũ Ngọc Tân; Fb: Vũ Ngọc Tân
a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác +) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông
Ta có: AB 5;0; 10
,AC 3;0; 6
, BC 8;0; 4 Xét AB AC 24 0 24 0
nên ACBC nên ABC vuông tại C
Trang 7Vậy ABC vuông tại C
+) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Theo công thức:
ABC ABC
ABC
S
P
Ta có : AB5 5,AC3 5,BC 4 5,
khi đó vì ABC là tam giác vuông tại C nên
ABC
Chu vi tam giác ABC :
5 5 3 5 4 5
6 5
ABC
AB AC BC
Vậy
30
5
6 5
ABC ABC
S r P
b. Tính thể tích tứ diện ABCD
Theo công thức:
1
6
ABCD
V AB AC AD
Ta có: AB 5;0; 10
, AC 3;0; 6
, AD 1;3; 5
Với AB AC, 0; 60;0
, AB AC AD, . 0 60.3 0 180
Vậy
ABCD
tiendv@gmail.com
h. Chứng minh ba điểm A , B , C không thẳng hàng.
i. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
j. Tìm toạ độ điểm D biết ABCD là hình bình hành
k. Tính độ dài đường cao của tam giác ABC
l. Tính các góc của tam giác ABC
m. Xác định toạ độ tực tâm của ABC
n. Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Lời giải
Tác giả: Đào Văn Tiến;face: Đào Văn Tiến
a. Ta có AB 1;0;1
; AC1;1;1
suy ra AB k AC
Do đó AB
; AC không cùng phương suy ra A , B , C không thẳng hàng.
b. Ta có AB 1;0;1
; AC1;1;1
; BC 2;1;0
2
AB
; 1; 2; 1
AB AC
Trang 8
Chu vi tam giác ABC là p 2 3 5 và
1
; 2
ABC
S AB AC
1 4 1 2
2
c. Gọi D a b c ; ; sao cho A , B , C , D là bốn đỉnh hình bình hành
Ta có AB DC
1 2
0 1
1 1
a b c
3 1 0
a b c
D3;1;0
d. Ta có
1 2
2b h b
2c h c
5
a
h
; h b 2; h c 3
e. Áp dụng công thức hàm số cosin cho tam giác ABCta có
+
2 3 5
2 3 2
90
A
+
cos
51
B
+
cos
39
C
Cách khác: có thể dùng công thức cos Acos AB AC,
AB AC
AB AC
f. Gọi H a b c ; ; là toạ độ trực tâm tam giác ABC
Ta có
AH BC
BH AC
AB AC BH
1 0
a b
a b c
1 0 0
a b c
H1;0;0
Cách khác: Tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm tam giác ABC là A1;0;0
g. Gọi I a b c ; ; là toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có
IA IB
IB IC
AB AC BI
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 2 1
a b c
1 1; ;1 2
Cách khác: Tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm
1 1; ;1 2
I
của BC
a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác
b. Tính thể tích tứ diện ABCD
Lời giải
Trang 9Tác giả: Vũ Ngọc Tân; Fb: Vũ Ngọc Tân
a Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
+) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông
Ta có: AB 5;0; 10
,AC 3;0; 6
, BC 8;0; 4 Xét AB AC 24 0 24 0
nên ACBC nên ABC vuông tại C Vậy ABC vuông tại C
b. Tính thể tích tứ diện ABCD
Theo công thức:
1
6
ABCD
V AB AC AD
Ta có: AB 5;0; 10
, AC 3;0; 6
, AD 1;3; 5
Với AB AC, 0; 60;0
, AB AC AD, . 0 60.3 0 180
Vậy
ABCD
minhphuongk34toan@gmail.com
f) Tính diện tích tam giác ABC
g) Tìm tọa độ điểm D trên Oz sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 4
h) Tìm tọa độ điểm E trên Oyz sao cho AE BC/ /
i) Tìm tọa độ điểm H trên Ox sao cho DH AC
j) Cho BF là phân giác trong của tam giác ABC Xác định tọa độ điểm F
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Minh Phương ; Fb:Minh Phương
a) Ta có AB 3; 3;3 , AC 1; 5;1 AB AC, 12;0;12
Khi đó diện tích tam giác ABC :
2
ABC
(đvdt) b) Gọi D0;0; z
Ta có
ABCD
Vậy điểm D0;0;2
hoặc D0;0; 2
c) Gọi E0; y;z
Ta có
2; y 3; z 1 , 2; 2; 2
Ta cóAE BC khi / / AE BC; cùng phương
Vậy E0;5;1
Trang 10d) Gọi H x ;0;0
Ta có
;0; 2
DH x
hoặc DH x ;0; 2
e) Gọi F x ; y;z
BF là phân giác trong tam giác ABC
2 2 2
2 2 2
2
mà F nằm giữa
3 3 3 3 3 3
x
z
Vậy
;0;
F
Chứng minh 4 điểm A B C D, , , đồng phằng và tính diện tích ACD
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Minh Phương ; Fb:Minh Phương
Ta có: AB1;1; 2 ; AC3;0; 3 ; AD0; 3; 3
AB AD AC
AB AC AD
đồng phẳng 4 điểm A B C D, , , đồng phằng
ACD
( đvdt)
luongchinhhnn@gmail.com
(f) Tìm tọa độ điểm D trên (Oxy) sao cho BD song song với AC.
(g) Tìm tọa độ điểm E trên (Ox) sao cho DE vuông góc với AB.
(h) Tính diện tích tam giác ABC.
(i) Tìm tọa độ điểm S trên Ox sao cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 1.
(j) Cho CF là phân giác trong của tam giác ABC Xác định tọa độ điểm F.
Bài giải
Tác giả:Lương Thị Chính ; Fb: ChínhLương
(a) Gọi D(x;y;0) trên Oxy.
AC BD x y
Trang 11x
y
Vậy
1
2
D
(b) Gọi E(x;0;0)
1
2
DE x AB
ABDE DE AB x x
Vậy
1
2
E
(c)
Diện tích tam giác
(1; 2;2)
AC
,
(1;0;1) , (2; 1; 2)
,
S AB AC
(d) Gọi S(x; 0;0) trên Ox
, (2; 1; 2), ( ; 1; 2)
1
11
2
S ABC
x
x
. [ , ]
(e) Gọi F(x;y;z) là chân đường phân giác trong
Khi đó
AC
BC
C
B
A F
Trang 125
2 5 9 3
5
x
z
(d) Tìm tọa độ điểm M thuộc Oz sao cho MA=MB.
(e) Tìm tọa độ điểm N thuộc Oz sao cho A, B, C, N đồng phẳng.
(f) Tìm tọa độ đỉnh D thuộc Oy biết tứ diện ABCD có thể tích bằng 15.
Lời giải
Tác giả:Lương Thị Chính ; Fb: ChínhLương
(a) Gọi M(0;0;z)
(0;0;1)
M
(b) Gọi N(0;0;z)
Để A, B, C, N đồng phẳng
(0;0;1)
N
(c) Gọi D(0;y;0)
( 2; 1;1)
AD y
23
Vậy D(0; -22; 0); D(0; 23; 0)
Xuanmda@gmail.com, mainghiem7585@gmail.com
2; 1; 2
(f) Chứng minh rằng bốn điểm A, B , C , D không đồng phẳng.
(g) Tính độ dài đường cao DK của tam giác BCD
(h) Tính thể tích khối tứ diện ABCD , từ đó suy ra dộ dài đường cao AH của tứ diện.
(i) Xác định tọa độ trọng tâm, trực tâm tam giác ABC
(j) Tìm trên mặt phẳng Oxy điểm M sao cho MA MB MC
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Mai ; Fb:Mai Nguyen
(a) Ta có
Trang 13 2;1;1
AB
,AC 2;1; 1
, AD 1; 1; 3
AB AC
, AD AB AC. , 2 0
Do đó, bốn điểm A, B , C , D không đồng phẳng.
(b) Ta có:
0;0; 2
, BD 3; 2; 4
, BC BD, 4; 6;0
, BC 2 1
, 2
BCD
S BC BD
2 2
1
2
Mặt khác, ta có:
1 2
BCD
13
BCD
S DK
BC
Vậy DK 13
(c) Thể tích khối tứ diện ABCD là:
,
ABCD
V AB AC AD
Lại có:
1 3
3 ABCD
BCD
V AH
S
13
Vậy
1 13
AH
(d) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là:
1
2
1 3
G
G
G
x
y
z
1 2
; ;1
3 3
Giả sử trực tâm K của tam giác ABC là K a b c ; ; Ta có:
1; ; 1
AK a b c
, BK a1;b1;c 2
, CK a1;b 1;c
.
AK BC
BK AC
AK AB AC
1
c
a b c
3 5 4 5 1
a b c
3 4
; ;1
5 5
(e) Giả sử M x y ; ;0 Oxy, ta có:
2
2 1 2 1
AM x y , BM2 x12 y12 , 4 CM2 x12y12
MA MB MC MA2 MB2 MC2
toán không có điểm M thỏa mãn.
thuy.tranthithanhdb@gmail.com
, tam giác ABC vuông tại A
Trên SA BC, lần lượt lấy các điểm M N, sao cho AM CN t trong đó 0 t 2a
a) Tính độ dài đoạn MN
Trang 14b) Tìm t để MN ngắn nhất.
c) Tìm t để MN là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Lời giải
Tác giả:Trần Thị Thanh Thủy; Fb: Song tử mắt nâu
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có
0;0;0 ; 2;0;0 ; 0; 2;0 ; 0;a 2; 2
2
M N a t a
MN a t MN MN a t t at a
b) Tìm t để MN ngắn nhất.
MN ngắn nhất t3 2 4at2a2 nhỏ nhất
Ta có
2
3
3t 4at 2a t a a a t a
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
3 3
Vậy MN ngắn nhất là
c) Tìm t để MN là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Cách 1
MN là đoạn vuông góc chung của SA và BC khi và chỉ khi MN ngắn nhất