Chuyên Đề 01 hình học không gian

Chuyên Đề 02 hình học không gian

I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1) Góc giữa hai véc tơ

+ Khi u↑↑ v →( )u v; =00

+ Khi u↑↓ v →( )u v; =1800

+ Khi u⊥ ←→v u v =0

Ví dụ 1 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a

a) Tính góc giữa hai véc tơ (AB BC ; ).

b) Gọi I là trung điểm của AB Tính góc giữa hai véc tơ (CI AC ; ).

12

Do ∆ABC đều nên CI ⊥AI ⇔CI AI =0

Tài liệu tham khảo:

01 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Thầy Đặng Việt Hùng

34

232

II GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1) Khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Một véc tơ u 0≠ mà có phương song song hoặc trùng với d được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d

2) Góc giữa hai đường thẳng

Khái niệm:

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a′; b′ lần lượt song song với a; b Kí hiệu (a;b )

Từ định nghĩa ta có sơ đồ a// a (a;b) (a ;b)

Các xác định góc giữa hai đường thẳng:

- Lấy một điểm O bất kì thuộc a

- Qua O, dựng đường // b →(a,b) (= a,∆ )

Chú ý:

Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:

Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot

Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác

vuông tại A Biết SA a= 3;AB a AD= ; =3 a Tính góc giữa các đường thẳng sau:

Để xác định góc giữa hai đường thẳng SD và BC ta sử dụng

phương án 2, tìm đường thẳng song song với một trong hai

đường thẳng SD, BC và song song với một đường còn lại

Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được:

Do AB và CD là các cạnh của tứ diện nên chúng chéo nhau,

để xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tạo các

đường thẳng tương ứng song song với AB, CD và chúng cắt

Do MP, NP là các đường trung bình nên ta có MP = NP = a

Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆MPN ta được

Ngoài việc khởi tạo P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là

trung điểm của BD, cách giải khi đó cũng tương tự

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a SA vuông góc với

Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30o

b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là

hình thoi Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a →DI a 2.=

mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI

Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AD và AC Biết AB=2 ,a CD=2a 2,MN=a 5

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC=a 2 Tính góc giữa (SC AB, ), từ đó suy ra góc

giữa SC và AB

III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu (a b; )=90o←→ ⊥a b

Chú ý:

Các phương pháp chứng minh a ⊥ b:

Chứng minh (a; b)=90o

Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau, u.v 0.=

Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD trong đó = = = = o = o = o

AB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 Gọi I và J lần lượt

là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với cả hai đường AB và CD

b) Tính độ dài IJ

Hướng dẫn giải:

a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,

∆ACD vuông cân tại A

Từ đó BC BD a,CD a 2= = = →∆BCD vuông cân tại B

Chứng minh IJ vuông góc với AB

Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân tại A, B nên

Chứng minh IJ vuông góc với CD

Do các ∆ACD, ∆BCD đều nên CI = DI → IJ ⊥CD

b) Áp dụng định lý Pitago cho ∆AIJ vuông tại I ta được

Ví dụ 2 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB=BSC=CSA

Chứng minh rằng SA ⊥⊥⊥ BC, SB ⊥⊥⊥ AC, SC ⊥⊥⊥ AB

SA.SC SA.SC.cos SA;SC

SA.SB SA.SB.cos SA;SB SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC

Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB

Ví dụ 3 Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆∆∆BCD

a) Chứng minh AO vuông góc với CD

b) Gọi M là trung điểm của CD Tính góc giữa

BC và AM

AC và BM

Hướng dẫn giải:

a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng

Gọi M là trung điểm của CD Ta có

AO.CD= AM MO CD AM.CD MO.CD+ = +

Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay

O là giao điểm của ba đường cao) Khi đó

Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC

Từ đó (BC;AM) (MI;AM) AMI

MI là đường trung bình nên MI = a/2

2 3

Ví dụ 4 Cho hình lập phương ABCD.A′′′′B′′′′C′′′′D′′′′ cạnh a Đặt AB=a, AD=b, AA′=c

a) Tính góc giữa các đường thẳng: (AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C ′ ′) ( ′ ′) ( ′ ′ ′ )

b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là một điểm sao cho OI=OA+OA′+OB+OB′+

+OC OC+ +OD OD + Tính khoảng cách từ O đến I theo a

c) Phân tích hai véc tơ AC , BD theo ba véc tơ a, b, c Từ đó, chứng tỏ rằng AC′′′′ và BD vuông góc với nhau ′

d) Trên cạnh DC và BB′′′′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a)

Chứng minh rằng AC′′′′ vuông góc với MN

Hướng dẫn giải:

Nhận xét:

Để làm tốt các bài toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của hình lập phương:

Tất cả các đường chéo ở các mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng a 2 (nếu hình lập phương cạnh a)

Các đoạn thẳng tạo bởi các kích thước của hình lập phương luôn vuông góc với nhau (dài, rộng, cao)

a) Tính góc giữa: (AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C ′ ′) ( ′ ′) ( ′ ′ ′ )

Do đó ∆ACB′ đều →ACB′=60o ⇔(A C ,B C′ ′ ′ )=60 o

b) Tính độ dài OI theo a

Với O là tâm của hình vuông ABCD thì OA OC 0 OA OC OB OD 0

Khoảng cách từ O đến I chính là độ dài véc tơ OI, từ đó ta được OI = 4OO′ = 4a

c) Phân tích hai véc tơ AC , BD theo ba véc tơ a, b, c ′

Theo tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có

a.b 0a.c 0b.c 0

AC BD′ = a b c b a+ + − =a.b b+ +c.b a− −a.b c.a b− = −a =AD −AB = ⇔0 AC BD′ ⇔AC′⊥BD

d) Chứng minh rằng AC′′′′ vuông góc với MN

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3, SA = 2a và vuông góc với đáy Tính

góc giữa các đường thẳng sau:

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Biết SA vuông góc với (ABCD), AB = BC = a; AD = 2a, SA=a 3 Tính góc giữa

a) (SB; CD)

b) (SC; AB)

c) (SD; BC)

d) (SB; CK), với K là điểm thuộc đoạn AB sao cho BK = 2KA

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống

(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với 1

a) Tính góc giữa hai đường thẳng (AI; SC)

b) Gọi J là trung điểm của SB, N là điểm trên đoạn AB sao cho AN = 2NB Tính góc giữa hai đường AC và

JN

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a AD; =a 3 Hình chiếu vuông góc

của đỉnh S xuống (ABCD) là trung điểm H của OD, biết SH = 2a Tính góc giữa

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Gọi I là trung điểm của BC Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AI với HI+2HA= và 0 SH =a 3.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng (SA; BC)

b) Tính góc giữa hai đường thẳng (AB; SI)

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống

(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC với 1 ; 2

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống

(ABCD) là trung điểm H của AB Biết SH =a 3 Tính góc giữa

Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC)

là điểm H thuộc AB sao cho 1

3

AH = AB Biết diện tích tam giác SAB bằng

2

3.2

a

Tính góc giữa

a) (SA; BC)

b) (SB; AC)

DẠNG 1 CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Đường thẳng song song với mặt phẳng:

Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó

song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng

Tính chất giao tuyến song song:

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a, b

song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt

phẳng phải song song với a và b

Tính chất để dựng thiết diện song song:

Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); một

mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến thì

phải song song với a

Viết dạng mệnh đề:

( ) ( ) ( ) ( )

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

+ Định nghĩa: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng

(P) khi nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong

+ Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc

với (P) ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với hai đường

+ Hệ quả 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với một

đường thẳng a và một mặt phẳng (P) thì khi đó đường

thẳng a hoặc song song với (P) hoặc nằm trong (P)

Tài liệu bài giảng:

03 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P1

Thầy Đặng Việt Hùng

Viết dạng mệnh đề:

( )

( ) ( )

+ Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông góc

xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P) vuông góc

với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy

a) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC)

b) Gọi M, N là trung điểm của SC, SD Chứng minh MN ⊥ (SAD)

c) Cho SA=a 3. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CN

Ví dụ 2 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Kẻ OH ⊥ (ABC)

a) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn

b) Chứng minh OA ⊥ BC; OB ⊥ AC; OC ⊥ AB

c) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC

d) Chứng minh rằng 1 2 = 12 + 12 + 12

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại A

a) Chứng minh rằng tam giác SAC vuông

b) Tính SA, SB, SC biết ACB=α;ACS =β;BC=a

Ví dụ 4 Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A với ; 6

c) Gọi G1 ; G2 là trọng tâm các tam giác ABC và DBC Chứng minh rằng G1G2 ⊥ (ABC)

Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Gọi B1; C1; D1

là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC, SD

a) Chứng minh rằng B1D1 // BD và SC ⊥ (AB1D1)

b) Chứng minh rằng các điểm A, B1, C1, D1đồng phẳng và tứ giác AB1C1D1 nội tiếp đường tròn

c) Cho SA=a 2 Tính góc giữa hai đường thẳng SB và AC1

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC Biết

SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng

a) SO ⊥ (ABCD)

b) IJ ⊥ (SBD)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD) Gọi H, I, K lần

lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD

a) Chứng minh rằng rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC)

b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)

c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và

2

SC=a Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD

a) Chứng minh rằng SH ⊥ (ABCD)

b) Chứng minh rằng AC ⊥ SK và CK ⊥ SD

Bài 5. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác

vuông cân đỉnh S Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ Chứng minh rằng SH ⊥ AC

c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM ⊥ SA Tính AM theo a

Bài 6. Cho ∆MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2

điểm C, D ở hai bên điểm A Gọi C′ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC′

a) Chứng minh rằng CC′ ⊥ (MBD)

b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB Chứng minh rằng K là trực tâm của ∆BCD.

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông có đường cao

AB = a ; AD = 2a và M là trung điểm AD

a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C

b) Kẻ SN vuông CD tại N Chứng minh rằng CD ⊥ (SAN)

DẠNG 2 XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1) Khái niệm

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt phẳng

2) Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Giả sử cần xác định góc giữa hai mặt phẳng d1 và d2, ta thực hiện theo các bước sau

- Tìm hình chiếu d′ của d lên (P)

- khi đó, (d P, ( )) (= d d ′, ), và bài toán quay về tìm

góc giữa hai đường thẳng

Chú ý:

Thông thường đường thẳng d cho dạng đoạn thẳng

(MN chẳng hạn), khi đó để tìm hình chiếu của MN ta

tìm hình chiếu của từng điểm M và N xuống (P), tức

là tìm các điểm H, K sao cho MH ⊥ (P), NK ⊥ (P)

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA=a 6

Tính góc giữa

a) SB và CM, với M là trung điểm của AD

b) SC và DN, với N là điểm trên đoạn BC sao cho BN = 2 NC

c) SC và (ABCD)

d) SC và (SAB)

e) SB và (SAC)

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S xuống

mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, cho SG = 2a Tính góc giữa

a) SA và BD

b) SC và (ABCD)

c) AD và (SAC)

d) SD và (ABCD)

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a, AD = 2a

Cạnh SA vuông góc với đáy, SA=a 2 Tính góc giữa

a) SC và (SAB)

Tài liệu bài giảng:

03 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P2

Thầy Đặng Việt Hùng

c) SD và (SAC)

d) AC và (SAD)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc Gọi I là trung

điểm của AB

a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD)

b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD) Từ đó suy ra góc của SC với (SAD)

c) Gọi J là trung điểm CD, chứng minh (SIJ) ⊥ (ABCD)

d) Tính góc hợp bởi SI với (SDC)

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA

và BC Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 600

a) Tính độ dài đoạn MN

b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA=a 6 và vuông góc với đáy Tính góc giữa

a) Xác định và tính đường cao của lăng trụ trên

b) Xác định và tính góc giữa A′A với (ABC)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA vuông (ABC) tại A; SA = AC = a ; AB

= 2a Xác định và tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau

a) SA; SC ; SB với (ABC)

b) BC; BA; BS với (SAC)

c) CH; CA; CB; CS với (SAB) với CH là đường cao tam giác ABC

d) Biết AK là đường cao tam giác SAC xác định và tính góc giữa AK; AS; AC với (SBC)

DẠNG 3 XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (nâng cao)

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a, AD = 3a

Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH = 2HB, biết

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BAD=120 0 Gọi H là trung

điểm OA, biết các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với đáy, SH =a 2 Tính góc

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a Gọi M là trung điểm OA, điểm

N thuộc CD sao cho 1

Tài liệu bài giảng:

03 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P3

Thầy Đặng Việt Hùng

c) (SDI) và (ABCD), với I là trung điểm của BC

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a 2, I là trung điểm của BC Hình chiếu vuông

góc của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc AI với IH+2AH =0 và SH = 2a Tính góc giữa

Bài 3. Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) và SA = a

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC

Tài liệu bài giảng:

04 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – P1

Thầy Đặng Việt Hùng

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a; AD = 3a

Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB với 1

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BAD=120 0 Gọi H là trung

điểm của OA Biết các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc giữa mặt

phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600 Tính góc giữa

a) SD và AC

b) (SBC) và (ABCD)

c) AC và (SAD)

Ví dụ 3 Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC Gọi I, J lần lượt là

trung điểm AB, BC Tính góc của 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI)

Hướng dẫn giải:

Do SA = SB = SC ⇒ AB = BC = AC ⇒ ABC là tam

giác đều

Trong ABC, gọi H là giao điểm của SJ và CI, khi đó H

là trọng tâm, đồng thời là trực tâm ABC đều

Ta có, (SAJ) ∩ (SCI) = SH Để xác định góc giữa hai mặt

phẳng (SAJ) và (SCI) ta tìm mặt phẳng mà vuông góc với

SH

Do ABC đều nên AH ⊥ BC, (1)

Lại có, SA, SB, SC đôi một vuông góc nên SA ⊥ (SBC) ⇒

Do ABC đều nên CHJ =900−HCJ =900−300=600

Vậy ((SAJ),(SCI)) (= AJ CI, )=CHJ =600

Ví dụ 4 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a

a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy

b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy

Hướng dẫn giải:

Giả sử hình chóp tam giác đều là SABC Do đặc tính của hình

chóp tam giác đều tất cả cạnh bên bằng nhau, tất cả cạnh đáy

bằng nhau Từ đó SA = SB = SC = 2a và ABC là tam giác đều

cạnh 3a

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) Theo tính

chất đường xiên và hình chiếu, vì SA = SB = SC nên HA =

HB = HC ⇒ H là trọng tâm của ABC

a) S.ABC là chóp tam giác đều nên các cạnh bên nghiêng đều

với đáy, ta chỉ cần tính góc giữa SA và (ABC)

A ∈ (ABC) nên hình chiếu của A xuống (ABC) là chính nó Do

SH ⊥ (ABC) nên H là hình chiếu của S xuống (ABC) Khi đó,

HA là hình chiếu của SA lên (ABC)

Suy ra, (SA ABC,( )) (= SA,HA)=SAH =α

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó AI là trung tuyến của

a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD trong hình vuông ABCD ta có 1 2

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=4 ;a AD=4a 3 Tam giác SAB

vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Biết rằng SA = 2a Gọi I là trung điểm của BC

Tính góc giữa

Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và SA vuông góc với (ABCD) Tính SA theo a để góc giữa

+ Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0

+ Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

Để chứng minh (P)⊥ (Q) ta chỉ ra trong (P) có chứa một đường thẳng d mà d ⊥ (Q)

+ Tính chất 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến ; a là

đường thẳng nằm trong (P), khi đó nếu a ⊥ thì a ⊥ (Q)

+ Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và

(Q) cũng phải vuông góc với (R)

Viết dạng mệnh đề:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với (ABCD)

a) Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC)

b) Gọi H, I lần lượt là trung điểm AB và BC Chứng minh rằng (SHC) ⊥ (SDI)

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi O, I, J là trung điểm của BC, AB và AC Trên đường thẳng

vuông góc với (ABC) tại O ta lấy điểm S Chứng minh rằng

a) (SBC) ⊥ (ABC)

b) (SOI) ⊥ (SAB)

c) (SOI) ⊥ (SOJ)

Ví dụ 3 Cho tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau AC = AC = BC = BD =

a và CD = 2x Gọi I, J là trung điểm của AB, CD

a) Chứng minh IJ ⊥ AB và CD

b) Tính AB và IJ theo a và x

c) Xác định x để (ABC) ⊥ (ABD)

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với (ABC) Gọi I là trung điểm của SC

a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC)

Tài liệu bài giảng:

05 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Thầy Đặng Việt Hùng

b) Chứng minh (ABI) ⊥ (SBC)

Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Biết SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N lần lượt

là hai điểm trên BC và DC sao cho ; 3

AB=a BD= Trên đường thẳng vuông góc với

(P) tại giao điểm của 2 đường chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB = a Chứng minh rằng

Tam giác ASC có trung tuyến SO bằng một nửa cạnh đối diện AC ⇒ ASC vuông tại S

b) Để chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) ta không thể sử dụng cách truyền thống là chứng minh một đường thẳng nằm trong

mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia được Ở đây, tác giả đi chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 900

Ta có (SAB) ∩ (SAD) = SA Vấn đề bây giờ là tìm mặt phẳng nào để vuông góc với SA

Chúng ta đi tính góc BHD để xem BHD là góc nhọn hay tù hay vuông!!!

Xét tam giác vuông SOA có đường cao OH: 1 2 12 12 1 2 1 2 32

Tam giác BHD có OH là trung tuyến và 1

23

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với (ABCD) Biết ABCD là hình

vuông và SA = AB Gọi M là trung điểm của SC Chứng minh rằng

a) (SAC) ⊥ (SBD) b) (SAD) ⊥ (SCD) c) (SCD) ⊥ (ABM)

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SH ⊥ đáy với H thuộc đoạn BC

a) Chứng minh (SBC) ⊥ (ABC)

b) Kẻ HI ⊥ AB, HK ⊥ AC Tứ giác AIHK có đặc điểm gì?

c) Chứng minh (SHI) ⊥ (SAB) và (SHK) ⊥ (SAC)

d) Kẻ HM ⊥ SI, HN ⊥ SK Chứng minh HM ⊥ (SAB) và HN ⊥ (SAC)

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Hai (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy

a) Chứng minh SA ⊥ (ABCD)

b) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD)

c) Cho SA = 2a Kẻ AH ⊥ (SBC) Tính AH?

Bài 4 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh AC’ ⊥ (A’BD) và (ACC’A’) ⊥ (A’BD)

Bài 5 Cho ∆ABC vuông tại A Dựng BB′ và CC′ cùng vuông góc với (ABC)

a) (ABB′) ⊥ (ACC′)

b) Gọi AH, AK là các đường cao của các tam giác ABC và AB′C′ Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCC′B′)

và (AB′C′) cùng vuông góc với (AHK)

Bài 6 Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I Dựng đoạn

I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỀM TỚI MỘT MẶT PHẲNG

Dạng 1 Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) chứa đường cao

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC=2 ;a BD=2a 2 Gọi H là trọng tâm

tam giác ABD, biêt rằng các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc

giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Tính khoảng cách

a) từ C đến mặt phẳng (SHD)

b) từ G đến mặt phẳng (SHC), với G là trọng tâm tam giác SCD

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a M là trung điểm của CD, hình chiếu vuông

góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của AM Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 600 Tính khoảng cách

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a Hình chiếu vuông góc của

S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AB sao cho HB=2HA Biết góc giữa SC và (ABCD) bằng 450 Tính

khoảng cách

a) từ D đến (SHC)

b) từ trung điểm M của SA đến (SHD)

H ướ ng d ẫ n: (Các em t ự v ẽ hình nhé)

Tài liệu bài giảng:

06 KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN – P1

Thầy Đặng Việt Hùng

a a

I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỀM TỚI MỘT MẶT PHẲNG

Dạng 2 Khoảng cách từ H tới mặt phẳng (P), với H là chân đường cao

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tâm O, cạnh a 2. Biết SA = 2a và SA ⊥

(ABCD) Tính khoảng cách

a) từ A đến (SBC)

b) từ A đến (SCD)

c) từ A đến (SBD)

d) Gọi M là trung điểm của BC, tính khoảng cách từ A đến (SCM); từ A đến (SDM)

e) Gọi I là trung điểm của SB, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DMI)

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=2 ;a AD=3 a

Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AC Biết góc giữa mặt phẳng (SBC)

b) Gọi M, N là trung điểm của AB, BC Tính khoảng cách từ O đến (SMN)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2 ;a AD=a 3 Biết tam giác SAB

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

a) từ A đến (SBC)

b) từ A đến (SCD)

c) từ A đến (SBD)

d) Gọi M là trung điểm của AB, tính khoảng cách từ A đến (SCM); từ A đến (SDM)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB =

b Tính khoảng cách

a) từ S đến (ABCD)

b) từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB

c) từ D đến (SHC)

Tài liệu bài giảng:

06 KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN – P2

Thầy Đặng Việt Hùng

d) từ AD đến (SBC)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a; AD=a 2 Gọi M là trung điểm của AB

Hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với đáy Biết SH =a 6, với H là giao điểm của AC và

DM Tính khoảng cách từ H đến (SAD)

I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỀM TỚI MỘT MẶT PHẲNG

Dạng 3 Khoảng cách từ điểm A bất kì tới mặt phẳng (P)

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3,SA=2a và SA

vuông góc với (ABCD) Tính khoảng cách

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3 hình chiếu

vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của OB, với O là tâm đáy Biết góc giữa SC và mặt phẳng

c) Gọi I là trung điểm của AB Tính khoảng cách từđiểm I đến (SBC)

d) Gọi J là trung điểm của AC Tính khoảng cách từđiểm J đến (SBC)

e) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từđiểm G đến (SBC)

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) và

Tài liệu bài giảng:

06 KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN – P3

Thầy Đặng Việt Hùng

e) Gọi G2 là trọng tâm của ∆SDC Tính khoảng cách từ điểm G2 đến (SBC)

Bài 3 Cho tam giác ABC đều cạnh a Trên đường thẳng Ax vuông góc với (ABC), lấy điểm S sao cho

3

=

SA a , K là trung điểm của BC

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);

b) Gọi M là điểm đối xứng với A qua C Tính khoảng cách từ điểm M đến (SBC)

c) Gọi G là trọng tâm ∆SCM Tính khoảng cách từ điểm G đến (SBC)

d) I là trung điểm của GK Tính khoảng cách từ điểm I đến (SBC)

Bài 4 Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và

(SAB) vuông góc với (ABCD) Gọi I là trung điểm của cạnh AB, E là trung điểm của cạnh BC

a) Chứng minh (SIC) ⊥ (SED)

b) Tính khoảng cách từ điểm I đến (SED)

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến (SED)

d) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SED)

Bài 5 Cho hình chóp SABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA=a 6, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong

đường tròn đường kinh AD = 2a

I KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Dạng 3 Hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau

Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3 và SA vuông góc với

(ABCD) Biết góc giữa (SCD) và đáy bằng 600 Tính khoảng cách

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=2 ;a AD=3 a Hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB với 1

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB

e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SE với E là điêm thuộc AD sao cho AE = a

Tài liệu bài giảng:

06 KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN – P4

Thầy Đặng Việt Hùng

II KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Dạng 2 Hai đường thẳng d1 và d2 bất kỳ

Ví dụ điển hình:

Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) và góc giữa

(SBC) và đáy bằng 600 Tính khoảng cách

a) giữa hai đường BC và SD

b) giữa hai đường CD và SB

c) giữa hai đường SA và BD

d) giữa hai đường SI và AB, với I là trung điểm của CD

e) giữa hai đường DJ và SA, với J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ = 2JC

f) giữa hai đường DJ và SC, với J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ = 2JC

g) giữa hai đường AE và SC, với E trung điểm của cạnh BC

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3, tam giác SAB

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB Tính khoảng cách

a) từ A tới mặt phẳng (SBD) b) giữa hai đường SH và CD

Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a Gọi I là trung điểm của BC, hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn AI sao cho 1

c) giữa hai đường SB và AM, với M là trung điểm của SC

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a 2; AD=2a Biết tam giác SAB

là tam giác cân tại S và có diện tích bằng

2

66

a Gọi H là trung điểm của AB Tính khoảng cách

a) từ A đến (SBD)

b) giữa hai đường thẳng SH và BD

c) giữa hai đường thẳng BC và SA.

Tài liệu bài giảng:

06 KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN – P5

Thầy Đặng Việt Hùng

III LUYỆN TẬP VỀ KHOẢNG CÁCH ĐIỂM

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D với AB = 3a; CD = 2a và

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với với AB=a 3; AD = 2a Gọi I là

trung điểm của AD, H là điểm trên BI sao cho BH = 3HI Biết SH ⊥(ABCD); (SCD ABCD; )=600 Tính

Tài liệu bài giảng:

06 KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN – P6

Thầy Đặng Việt Hùng

c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt các cạnh SA, SD theo thứ tự tại E, F Cho biết AD cách (P) một khoảng là

2

2

a

, tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) và diện tích tứ giác BCFE

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD=600 Gọi O là giao điểm của AC

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a; AD=a 2. Gọi M là trung điểm của AB

Hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với đáy Biết SH =a 6, với H là giao điểm của AC và

DM

a) Tính khoảng cách từ H đến (SAD)

b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, biết AC = a, ABC =30 0 Tam giác SBC là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB)

IV LUYỆN TẬP VỀ KHOẢNG CÁCH ĐƯỜNG

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với với AB=a 3; AD = 3a Gọi M là

một điểm trên BC sao cho BM = 2MC, N là điểm trên cạnh AD sao cho AM ⊥BN Biết

0(SBC ABCD =; ) 60 và SN ⊥(ABCD) Tính khoảng cách

a) giữa AB và SC

b) giữa BC và SD

c) giữa AB và SD

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a Gọi M là trung điểm của BC,

hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là H∈AMsao cho 1

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a 2; AD=2a. Biết tam giác SAB

là tam giác cân tại S; nằm trong mp vuông góc với đáy và có diện tích bằng

2

66

a Gọi H là trung điểm của

AB Tính khoảng cách

a) từ A đến (SBD)

b) giữa hai đường thẳng SH và BD

c) giữa hai đường thẳng BC và SA

Bài 3. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B biết

Tài liệu bài giảng:

06 KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN – P7

Thầy Đặng Việt Hùng

Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB Dựng IS ⊥ (ABCD) và 3

Bài 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), SA=a 3

Gọi E là điểm đối xứng của B qua A, tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Bài 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=SB=SC=SD=a 2 Tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC.

V BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH LĂNG TRỤ

Dạng 1: Khoảng cách của lăng trụ đứng

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh 2a Biết ( 'A BC ABC; )=600

a) Tính góc giữa hai đường thẳng BC' và AA '

b) Tính góc giữa hai đường thẳng B C và AM, v' ới M là trung điểm của BB '

c) Tính khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( 'A BC )

d) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (AA B v' ), ới E là trung điểm của B C '

e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và ' CC '

f) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BF và A C , v' ' ới F là trung điểm của CC '

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụđứng ABCD A B C D có ' ' ' ' đáy là hình thoi với AC=2 ;a BD=3 a Gọi O là tâm

đáy Biết góc giữa đường thẳng A C và m' ặt phẳng (ABCD) bằng 600 Tính khoảng cách

a) từđiểm B đến mặt phẳng ( 'A CD )

b) từđiểm O đến mặt phẳng (MCD), với M là trung điểm của AB '

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và BD '

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A C và BD '

e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A C và AB '

c) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’) và tính khoảng cách từ A’ đến (ABC’)

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′⊥ (ABC) và AA′ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC =

2a, AB=a 3

a) Tính khoảng cách từ AA′đến mặt phẳng (BCC′B′)

b) Tính khoảng cách từ A đến (A′BC)

c) Chứng minh rằng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khoảng cách từ A′đến mặt phẳng (ABC′)

Tài liệu bài giảng:

06 KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN – P8

Thầy Đặng Việt Hùng

V BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH LĂNG TRỤ

Dạng 2: Khoảng cách trong lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A’ lên

mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của OB Biết ( 'A BC ABC =; ) 600

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AA và BC '

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC '

c) Tính khoảng cách từ G tới mặt phẳng (AA B , v' ) ới G là trọng tâm tam giác B C C ' '

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABCD A B C D có ' ' ' ' đáy là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3 Gọi O là tâm

đáy Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của OA Biết

0( 'A CD ABCD =; ) 60

a) Tính góc giữa hai đường thẳng BB và AC '

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và BC '

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A B và AC '

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC A B C có ' ' ' đáy là tam giác vuông tại A, góc B bằng 300 Hình chiếu vuông

góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC Biết ( ) 0

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AA và BC '

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC '

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC '

Đ/s: cos( '; ) 7

7

AA BC =

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABCD A B C D có ' ' ' ' đáy là hình vuông cạnh a Gọi M, N là trung điểm của DC và

AD Hình chiếu vuông góc của của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AM và BN Biết góc

giữa hai mặt phẳng (ADD A ABCD =' '; ) 600 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B C và BN '

Tài liệu bài giảng:

06 KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN – P9

Thầy Đặng Việt Hùng

VI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Ví dụ 1: (Đề thi Đại học khối A – 2012)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là

điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và

(SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng SM và song song với

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB và AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =a 3 Tính

thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc

với mặt phẳng (ABC) Biết SB=2a 3 và SBC =30 0 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể

tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a

Tài liệu bài giảng:

06 KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN – P10

Thầy Đặng Việt Hùng

Bài 2 (Đề thi Đại học khối B – 2007)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung

điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính

(theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC

Bài 3 (Đề thi Đại học khối D – 2007)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, BAD= ABC=90 ,0 AB=BC=a AD, =2 ,a SA=a 2 và SA

vuông góc với đáy Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính

Cho lăng trụđứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA'=a 2 Gọi M là

trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a AA, '=2 ,a A C' =3 a Gọi

M là trung điểm của đoạn thẳng A'C', I là giao điểm của AM và A'C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC

và khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (IBC)

3 , ( )

Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật vớiAB=a AD; =a 3 Hình chiếu vuông góc

của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và

(ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từđiểm B1đến mặt phẳng (A1BD ) theo a