Lời giải: Nội dung câu hỏi thay đổi nhưng giả thiết cho khác đi Gọi H là hình chiếu của S lên mpSBC SH là đường cao tứ diện, do khối chóp đều nên SA=SB=SC suy ra HA=HB=HC hay H là tâm đ
Trang 1HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT
Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a,b có diện tích
Tam giác thường biết cạnh đáy và chiều cao
Hình thoi biết hai đường chéo a,b
Hình bình hành biết cạnh a và đường cao hA
Một số công thức khác tính diện tích tam giác
Trang 2b) THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Thể tích khối lăng trụ bằng tích số diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ đó.
Cho tam giác ABC và đường thẳng d cắt AB,AC lần lượt tại B’,C’ khi đó
Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A’B’C’ khi đó
Trang 3HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT
§ 2 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Bài 1 Tính thể tích tứ diện đều ABCD có các cạnh đều bằng a.
Lời giải: (Mục đích: HS nắm vững bài tập cơ bản HHKG)
Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) AH là đường cao tứ diện,
do tứ diện đều nên AB=AC=AD suy ra HB=HC=HD hay H là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và H là trọng tâm của tam giác
BCD
Tam giác AHB vuông tại H nên ta được:
Bài 2 Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh
bên và cạnh đáy kề nhau bằng 45o.
Lời giải: (Nội dung câu hỏi thay đổi nhưng giả thiết cho khác đi)
Gọi H là hình chiếu của S lên mp(SBC) SH là đường cao tứ diện,
do khối chóp đều nên SA=SB=SC suy ra HA=HB=HC hay H là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trọng tâm của tam
Dạng 1: Tính thể tích của khối chóp đều
Cách giải:
Xác định đường cao của khối chóp và tính độ dài đường cao
Tính diện tích đáy của khối chóp
Chú ý: Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của
đa giác đáy
B
C
D A
M H
S
Trang 4Nối AH cắt BC tại M ta có M là trung điểm của BC và
Tam giác SBC cân có hai góc 45o nên tam giác vuông
Tam giác SHM vuông tại H
Bài 3 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy
đều bằng a.
Lời giải:(Mục đích cho học sinh nắm vững bài tập cơ bản)
Giả sử có hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi H là hình chiếu của
S lên mặt phẳng ABCD do SA=SB=SC=SD suy ra
HA=HB=HC=HD suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp hình
vuông ABCD hay H là giao điểm của hai đường chéo
;
Tam giác SHA vuông tại H nên
(Mở rộng bài toán ta có thể cho độ dài cạnh đáy và góc hợp bởi hai cạnh bên…)
Để tính thể tích của khối chóp tam giác ta cần chọn đỉnh của khối chóp sao cho tính độ dài đường cao dể nhất Dựa vào tính chất của khoảng cách ta có
Hai tam giác có cùng cạnh đáy và chiều cao bằng nhau thì diện tích bằng nhau
Hai khối chóp có cùng mặt đáy và chiều cao bằng nhau thì thể tích chúng bằng nhau
Nếu M là trung điểm của AB thì
Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang43
M A
B
H A
D S
S =S
A
B
A'
Trang 5HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT
Bài tập sau đây minh họa điều trên
Bài 4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD
a) Tính thể tích khối chóp đều S.ABCD theo a.
b) Tính thể tích tứ diện AMNP.
Lời giải:
(Mục đích HS phải chọn đỉnh và đáy khối chóp thích hợp)
a) Do hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông
vậy SAC là tam giác đều cạnh nên chiều cao của khối chóp có độ dài
.b) Do CD//(SAB) mặt khác M là trung điểm SA nên
sử dụng tỉ số thể tích cho hai khối chóp SMND và SABD ta được
Bài 4 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều biết
a) Cạnh bên bằng a và góc giữa hai cạnh bên kề nhau bằng 2.
b) Cạnh đáy bằng a góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng .
Bài 5 Tính thể tích của khối chóp lục giác đều có cạnh đáy a và cạnh bên 2a.
P
M
N H
S
D
C B
A
Trang 6Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC) đáy ABC là tam giác vuông tại B Gọi H,K là hình chiếu của A lên SB,SC cho SA=AB=BC=a
c) Ta tính thể tích khối chóp S.AHK theo trên ta có tam giác AHK vuông tại H
Tam giác SAB vuông cân có AH là đường cao
Tam giác SAK vuông tại A có AK là đường cao
Vậy diện tích đáy của khối chóp S.AHK là
Chiều cao khối chóp
Dạng 2 Tính thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Cách giải
Đường cao của khối chóp là cạnh bên vuông với đáy
Tìm cách tính được diện tích đáy và chiều cao
Trang 7HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT
Thể tích khối chóp S.AHK là
(Ta có thể giải bài trên bằng tỉ số thể tích)
Bài 2 Cho tứ diện S.ABC có SA(ABC) đáy ABC là tam giác cân tại A cho SA=AB=a góc ABC= Gọi H, K là hình chiếu của A lên SB và SC
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và .
b) Tính thể tích khối chóp A.BCKH.
Lời giải: (Mục đích mở rộng bài toán 1)
a)
Vì tam giác ABC cân tại A nên
b) Tam giác SAB và SAC vuông cân tại A nên H,K lần lượt là trung điểm của SB,SC
sử dụng tỉ số thể tích ta được
Gọi H là hình chiếu của C lên SB, K là trung điểm của SD
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh rằng tam giác CHK đều.
c) Tính thể tích khối chóp C.BDKH.
Lời giải:
b) Tam giác SCB vuông cân tại C nên CH là đường cao và là đường trung tuyến, mặt
khác tam giác SCB bằng tam giác SCD nên CH=CK=
S
D
A B
C
K
H
Trang 8Vì H,K là trung điểm của SB,SD nên HK là đường trung bình của tam giác SBD HK=
BD= vậy tam giác CHK đều
c) Ta sử dụng tỉ số thể tích của khối chóp S.CBD và khối chóp S.CHK
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
, AB=BC=a,AD = 2a, SA vuông góc với đáy và
SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.
với SH là chiều cao của khối chóp
của tam giác vuông cân ABM
Vậy
Chú ý: có thể giải bài toán trên bằng tỉ số thể tích.
Bài 5 Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC vuông góc nhau từng đôi một
và OA=a;OB=b;OC=c.Gọi H là hình chiếu của O lên mp(ABC).
a) CMR H là trực tâm của tam giác ABC.
N M
S
D
C B
A
Trang 9HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT
d) Tính diện tích toàn phần và thể tích tứ diện.
Lời giải (Mục đích học sinh nắm các tính chất của tứ diện có ba cạnh vuông góc đôi một )
a) Ta chứng minh AHBC thật vậy:
BCOA (do OA(OBC))
BCOH (do H là hình chiếu của O)
BC(AOH) hay BCAH
Tương tự ta chứng minh được BHAC hay H là trực tâm của tam giác ABC
b) Do OA,OB,OC vuông góc nhau từng đôi một nên các tam giác OAB;OBC;OAC làcác tam giác vuông
Theo trên BC(AOH) nên BCOM
Tam giác OBC vuông tại O có OM là đường cao nên
Tam giác AOM vuông tại O có OH là đường cao nên
Trang 10
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy AD và BC Mặt
phẳng SAD vuông góc với mặt đáy của hình chóp cho AB=BC=CD=a, SA=SD=AD=2a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Lời giải
a) Kẻ SH vuông góc AD do (SAD)(ABCD) nên SH(ABCD)
vậy SH là đường cao của khối chóp
Mặt khác SA=SD=AD nên H là trung điểm của AD và SH=
.Nối HB,HC tứ giác ABCH là hình bình hành do AH song song và bằng BC ta lại có AB=BC nên AHBC là hình thoi vậy AB=HC=a hay tam giác HCD đều
Vậy ABCD là nữa lục giác đều
.b) Khối chóp S.ABC có chiều cao SH và diện tích tam giác ABC bằng với diện tích
tam giác ABH và bằng
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông
góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o ,SA=SB Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
S
Trang 11HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT
Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABCD) do (SAB) (ABCD) nên
H nằm trên AB mặt khác SA=SB nên H là trung điểm của AB và góc
SCH là góc hợp bởi cạnh bên SC và mp đáy
Tam giác HBC vuông tại B
Vậy
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AB=AD=2a, CD=a;
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Tính diện tích tam giác BIC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Lời giải: (Mục đích học sinh biết quy bài toán HKG về bài toán phẳng)
ABCD là hình thang vuông như hình vẽ
a) Do hai mp(SIB) và (SIC) cùng vuông góc với mp(ABCD) nên SI là đường cao của khối chóp S.ABCD
Từ I kẽ IHBC khi đó SHBC vậy góc SHI là góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và
Xét tam giác IBC ta có
Tam giác SIH vuông tại H
Vậy
C D
C D
Trang 12Bài 1 Cho tứ diện ABCD biết ABC là tam giác vuông tại A có
; cho và tam giác DBC vuông
Tính thể tích tứ diện theo a
(bài toán yêu cầu học sinh phải có nhận xét tốt về chân đường cao
của khối chóp có ba cạnh bên bằng nhau)
Lời giải: Gọi I là hình chiếu của D lên mp(ABC) do DA=DB=DC nên I trùng với tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC suy ra I chính là trung điểm của BC
Tam giác DBC vuông cân tại D nên
Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A cho AB=3; AC=4 góc hợp
bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng 60o tính thể tích khối chóp.
(bài toán yêu cầu HS có nhận xét tốt về chân đường cao và công thức diện tích tam giác )
Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC) Từ H kẽ
HA’,HB’,HC’ lần lượt vuông góc với BC,CA,AB khi đó các góc
SA’H, SB’H, SC’H là các góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy.do các góc
này đều bằng 60o nên HA’=HB’=HC’ hay H là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác ABC
Ta có
Độ dài đường cao của hình chóp
Dạng 4: Thể tích khối chóp bất kỳ
Cách giải:
Xác định đỉnh khối chóp cho phù hợp nếu là khối chóp tam giác
Xác định chân đường cao nằm ở vị trí nào trên mặt đáy
Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy, nếu các mặt bên hợp với đáy những góc bằng nhau thì chân
đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy
D
C
A
B I
B'
C'
B
A C
S
H A'
Trang 13HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT
Bài 1 Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằnga.
Đáp số
Bài 2 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ biết rằng mp(A’BC) tạo với đáy một góc 30o
và tam giác A’BC có diện tích bằng 8 tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải: (Mục đích học sinh nhớ lại công thức diện tích đa giác chiếu)
Kẽ AH BC do lăng trụ đều nên AA’(ABC) suy ra A’HBC hay
Dạng 5 Tính thể tích khối lăng trụ
Cách giải
Đường cao của lăng trụ đứng là độ dài cạnh bên, lăng trụ xiên là hình chiếu
của một đỉnh lên mặt đối diện
Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy
H C B
A
C' B'
A'
Trang 14Tam giác AA’H vuông tại A nên
Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a.
hình chiếu của A’ lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M
của đoạn BC Góc hợp bởi AA’ và mp(A’B’C’) bằng 30o Tính thể tích lăng trụ theo a.
Lời giải: (Mục đích HS làm quen với lăng trụ xiên)
Do M là hình chiếu của A lên mp(ABC) nên góc hợp bởi AA’ và mp(A’B’C’) là góc
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C cho A’C=a
góc hợp bởi(A’BC) và mặt phẳng đáy bằng Tìm để lăng trụ có thể tích lớn nhất.
Lời giải (Mục đích học sinh làm quen với bài toán tìm GTLN-GTNN trong hình học )
Ta có BCAC; BCAA’ BC(A’AC) vậy BCA’C hay
là góc hợp bởi mp(A’BC) và mp(ABC)
đặt Xét hàm số trên (0,1)
suy ra
Vậy thì thể tích lăng trụ lớn nhất bằng
C'
B' A'
Trang 15HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT
Bài tập 5 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a AC’=2a
Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài tập 6 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3 Gọi O’ là tâm của
tam giác A’B’C’ Biết O’ là hình chiếu của B lên (A’B’C’) , cho cạnh bên của lăng trụ bằng Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài tập 7 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60o biết
rằng tam giác A’B’C’ vuông tại B’, A’B’=3, B’C’=4 B’H’ là đường cao của tam giác A’B’C’ và H’ là hình chiếu của điểm B lên (A’B’C’) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
§3 THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Bài 1: Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh đáy bằng a cạnh bên 2a Tính thể
tích và diện tích xung quanh khối nón ngoại tiếp hình chóp.
Lời giải:
Lục giác đều ABCDEF cạnh a nên nó nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=a
Xét tam giác SAD có SA=SD=2a=AD suy ra tam giác SAD đều vậy đường cao
chính là đường cao của hình chóp
Bài 2: Một hình nón có đường sinh bằng a góc ở đỉnh bằng 90 o Cắt hình nón bởi một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (P) và đáy hình nón bằng 60 o
a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối nón.
b) Tính diện tích thiết diện.
Dạng toán1: Tính thể tích, diện tích của khối nón
Cách giải:
Xác định đường cao bán kính của khối nón
Áp dụng công thức phù hợp
O S
Trang 16a) Giả sử ta có hình nón đỉnh S trục SO mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAB gọi M là trung điểm AB.
Góc ở đỉnh của hình nón bằng 90o nên OSA=45o suy ra OS=OA=
b) Tam giác SAB cân tại S có M là trung điểm AB SMAB
Tam giác OAB cân tại O OM AB
vậy góc giữa (P) và đáy hình nón là góc SMO
Tam giác SOM vuông
Tam giác OAM vuông tại M:
Bài 3: Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao Một
khối cầu có thể tích bằng thể tích khối nón thì khối cầu có bán kính bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Khối nón sinh bởi tam giác đều cạnh a nên có bán kính R=a/2 và chiều cao
Gọi R’ là bán kính khối cầu khi đó
O
A S
C
B
M
Trang 17HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT
vậy bán kính khối cầu
Bài 4: Cho hình nón đỉnh S đáy là hình tròn tâm Obán kính R, góc ở đỉnh bằng 120o trên
đường tròn đáy lấy một điểm A cố định và một điểm M di động Tìm độ dài AM theo R để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất
Lời giải:
Gọi x=AM góc ở đỉnh hình nón là 120o nên
xét hàm số
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta được
dấu bằng xãy ra khi
vậy tam giác SAM có diện tích lớn nhất khi AM=
Bài 5 : Khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp khối nón tính thể tích khối nón
Dạng toán2: Tính thể tích, diện tích của khối trụ
Cách giải:
Xác định đường cao bán kính của khối trụ
Áp dụng công thức phù hợp
O S
A M
I
Trang 18Bài 1: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông cạnh 2a
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh khối trụ theo a.
b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp khối trụ
Lời giải:
a) Thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a nên hình trụ có bán
kính R=a và chiều cao h=2a
b) Giả sử có lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp khối trụ do ABCD là hình
vuông có đường chéo 2a
Vậy thể tích lăng trụ là
Bài 2: Một khối trụ có bán kính R và chiều cao
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối trụ theo R.
b) Cho hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục hình trụ là 30o Tính khoảng cách giữa AB và trục hình trụ.
Lời giải:
a)
b) Từ A kẻ đường sinh AA’//OO’ , gọi M là trung điểm của A’B
OO’//AA’ suy ra góc hợp bởi AB và trục hình trụ là góc A’AB
Mặt khác OO’//(A’AB) nên khoảng cách giữa trục OO’ và AB là khoảng cách từ O đến mp(A’AB) hay chính là độ dài đoạn OM
Tam giác AA’B vuông tại A’
Tam giác OA’M vuông tại M
Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang57
A
A' O'
A
A O
O' B'
C'
B
Trang 19HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT
Vậy khoảng cách trục hình trụ và AB là
Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh a chiều cao bằng 2a
a) Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ.
b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ
Lời giải :
a) Tam giác ABC đều cạnh a nên có đường cao bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC là
Thể tích khối trụ
b) Gọi I là trung điểm của trục hình trụ OO’ khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là
Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ là
Bài 4: Một khối hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c nội tiếp trong khối trụ Tính thể tích
B'
