Chuyên đề về hình học không gian

 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.. b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt

CHUYÊN ĐỀ 3: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

A LÝ THUYẾT

I HÌNH HỌC PHẲNG

1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường

4/ Diện tích của đa giác

a/ Diện tích tam giác vuông

 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh

góc vuông

b/ Diện tích tam giác đều

 Diện tích tam giác đều:

34

 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương

 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2

 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng

d/ Diện tích hình thang

 Diện tích hình thang:

S Hình Thang 1

2

 .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo

vuông góc

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

nhau bằng ½ tích hai đường chéo

 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại

trung điểm của mỗi đường

II HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Quan Hệ Song Song

a/ Chứng minh đường thẳng d // mp  với ( ) d ( )

 Chứng minh: d // 'd và d'( )

 Chứng minh: d ( ) và   // ( )

b/ Chứng minh mp( ) // mp 

 Chứng minh mp ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp  

 Chứng minh mp ( ) và mp   cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng

c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

 Hai mp ( ),  có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a b, thì

 Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương

với hai đường thẳng đó:

 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u,

2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên

2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến

 



( );  ( , )a b 

d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

 Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)

này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia

f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng

g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó

 Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến mp  

chứa d' và song song với d

 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song     , 

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao

trùng với tâm của đa giác đáy

Nhận xét:

 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

b/ Hai hình chóp đều thường gặp

* Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Khi đó:

 ĐáyABC là tam giác đều

 Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO SBO SCO

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO

 Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều

+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy

* Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABCD

 ĐáyABCDlà hình vuông

 Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:SAO SBO SCO SDO

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO

SA ABC thì chiều cao làSA

b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt

đáy:

Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác

chứa trong mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABCD có mặt bênSAB 

vuông góc với mặt đáyABCD thì chiều cao 

của hình chóp là chiều cao củaSAB

c/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy:

Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt

bên cùng vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABCD có hai mặt bên

SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy

ABCD thì chiều cao là  SA

d/ Hình chóp đều:

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và

tâm của đáy

Ví dụ: Hình chóp tứ giác đềuS ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuôngABCDthì có đường cao làSO

1/ Thể tích khối chóp: 1

.3

h Chiều cao của khối chóp

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là

’

C

Khối tứ diện đều:

Khối chóp tứ giác đều

cho cạnh dài hình bình hành, 3 ô cho cạnh ngắn và 5 ô cho chiều cao SA (hoặc SO đối với hình chóp đều)

Vẽ hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

A

C

D

M O

O

C D

B A

S

+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau +Tất cả các mặt đều là các tam giác đều

+ O là trọng tâm của tam giác đáy

Cách xác định góc

Góc giữa đường thẳng mặt phẳng trong hình chóp, lăng trụ:

Tìm hình chiếu d / của d lên mặt phẳng (P)

Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d /

Góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp, lăng trụ :

Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

Hình chóp đều

- Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

+ SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông đáy

+ Mặt phẳng trung trực đoạn SA (hoặc cạnh bên khác) cắt SO tại I  I là tâm mặt cầu cần tìm

Thí dụ 1 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B BAC,  30 ,0 SAAC a và

SA vuông góc với mp ABC .Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách

Bài giải tham khảo

.sin 30sin 30

23

a

b/ Biết mp SAC hợp với mp ABC một góc600 Tính thể tích

khối chóp S ABC

Bài giải tham khảo

a/ CM: SI mp ABC 

 DoSABvuông cân tại cóSIlà trung tuyến SI cũng

đồng thời là đường caoSI AB

2

 TrongABC vuông tạiC có KI là đường trung bình

Thí dụ 4 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình

chiếu vuông góc của A'xuống mp ABC là trung điểm của AB Mặt bênAA C C' ' tạo với đáy một góc bằng 45 Tính thể tích của khối lăng trụ này

Bài giải tham khảo

 GọiH M I, , lần lượt là trung điểm của các đoạn

DoIH là đường trung bình trong đều AMB, đồng

thời BM là trung tuyến nên cũng là đường cao

mp AA C C một góc 300 Tính thể tích của khối lăng trụ theo a

Bài giải tham khảo

 Trong tam giác vuôngABC : AB AC tan 600 a 3

 Trong tam giác vuôngABC ': AC AB.cot 300 a 3 3 3a

 Trong tam giác vuông ACC ':

 GọiOlà tâm của mặt đáy thìSO mp ABCD 

nênSOlà đường cao của hình chóp và gọiM là trung điểm

 Thế   2 , 3 vào  1 2 4 3

ABCD

a

C BÀI TẬP

Bài 1 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Tính

thể tích của hình chóp

Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,  BAC= 300 ,SA = AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính V S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 4 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích của hình chóp

Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

thể tích khối chóp S.ADE

Giải

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 6 Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SA= a, SB hợp với đáy một góc 300 Tính thể tích của khối chóp S.ABC Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 7 Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB Mặt bên ( AA C C  ) tạo với đáy một góc bằng 45 Tính thể tích của khối lăng trụ này Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 8 Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I là trung điểm cạnh AB 1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuông góc với mặt đáy (ABC)

2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 9 Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2, SAa 3 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Tính thể tích của khối lăng trụ theo a

Giải

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 11 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp đã cho Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 12 Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SA= a, SB hợp với đáy một góc 300 Tính thể tích của khối chóp S.ABC Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 13 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 6, đường cao h = 2 Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 14 Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB Mặt bên ( AA C C  ) tạo với đáy một góc bằng 45 Tính thể tích của khối lăng trụ này Giải ………

………

………

………

………

SCB  , BC = a, SAa 2 Gọi M là trung điểm SB

1) Chứng minh rằng (SAB) vuông góc (SBC) 2) Tính thể tích khối chóp MABC

Câu 16 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, mặt

(A BC ) tạo với đáy một góc 30 và tam giác A BC0  có diện tích bằng a2 3 Tính thể tích

khối lăng trụ ABC A B C   

Giải

Câu 17 Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAB là tam giác vuông

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I là trung điểm cạnh AB

1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuông góc với mặt đáy (ABC)

2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Câu 18 Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2, SAa 3

Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Giải

………

………

………

C  Đường chéo BC' của mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một góc 300

Tính thể tích của khối lăng trụ theo a

Câu 21 Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón tương ứng

Bài 1 (Đề tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2015)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

ABCD , góc giữa đường thẳng  SC và mặt phẳng ABCD bẳng  0

Bài 2 (Đại học khối A, A1 năm 2014)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 3

2

a

SD  , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp  S ABCD

và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD 

Bài giải

………

………

Bài 3 (Đại học khối B năm 2014)

Cho hình lăng trụ ABC.A' B' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' lên

mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng  A' C và mặt đáy bằng 0

60Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A' B' C ' và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

ACC' A' 

Bài giải

Bài 4 (Đại học khối D năm 2014)

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều

cạnh a và mặt phẳng SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABC và khoảng

cách giữa hai đường thẳng SA,BC

Bài 5 (Đề cao đẳng năm 2014)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với

đáy một góc bằng 0

45 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ điểm B đến

mặt phẳng (SCD)

Bài 6 (Đề khối A, A1 năm 2013)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,  0

30

ABC  , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách

Bài 7 (Đề khối B năm 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Bài 8 (Đề khối D năm 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,  0

Bài 9 (Đề cao đẳng năm 2013)

Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có AB và đường thẳng A'B tạo với đáy một góc a 0

60 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B'C' Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và

độ dài đoạn thẳng MN

Bài giải

Bài 10 (Đề khối A, A1 năm 2012)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA2HB Góc giữa đường thẳng SC với mặt đáy

(ABC) bằng 0

60 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và

BC theo a

Bài giải

Bài 11 (Đề khối B năm 2012)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA2a, ABa Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a

Bài giải

Bài 12 (Đề khối D năm 2012)

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, tam giác A'AC vuông cân, A' Ca

Tính thể tích khối tứ diện ABB'C' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD') theo a

Bài giải

………

………

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016

Bài 1 Cho hình chĩp S ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B , BC  , cạnh bên a SA 2a

Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy Gĩc giữa mặt phẳng SBC và đáy 

bằng 60 Tính theo a thể tích khối chĩp 0 S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA , BC

AB a ; cạnh bên SA vuông góc với đáy; mặt phẳng SBC tạo với đáy góc  45 Tính theo a thể 0

tích khối chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB , AC

Bài 3 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền bằng 3a Hình

chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC và 2SB a 14 Tính

theo a thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC 

Bài 4 Cho lăng trụ ABC A B C có mặt phẳng ' ' ' A BC vuông góc với mặt phẳng '  ABC Hai tam 

giác A BC và '  ABC là những tam giác đều có cạnh bằng 2a Tính theo a thể tích khối lăng trụ 

Bài 6 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác SAC cân tại S và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc SBC bằng  60 Tính theo a thể tích khối chóp 0 S ABC và

Bài 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,  BAD 600 Hình chiếu vuông góc

của S xuống mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn AC thỏa mãn  AC 3AH; mặt phẳng

SBD tạo với đáy góc  60 Tính theo a thể tích khối chóp 0 S ABCD và khoảng cách giữa hai đường