Chuyên đề hình giải tích trong không gian oxyz 9 trang đề

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng Oxy sao cho uuuurMN.. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng P.. Trong

CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KG OXYZ

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019 (Sản phẩm của tập thể thầy cô Tổ 6-STRONG TEAM)

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

, cho hai vectơ ar =(0;1;3)

−

25

2.5

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ

thì tam giác MNP vuông tại N?

để hai vectơ ur=2ar+3mbr

và v ma br= r−r

vuông góc là

A

± 26+ 26

± +26 26

±

26 26

± 2

6

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;0)

, B(2;1; 2)

, C(−1;3;1)

Bánkính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

3 105

105

A Điểm C B Điểm A C Điểm B D Điểm D

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′

a

2 54

a

2 64

a

2 154

A

317

y t z

y t z

y t z

y t z

các góc bằng nhau Biết rằng điểm M luôn thuộc đường tròn ( )C

cố định Tìm tọa độ tâm của đường tròn ( )C

3:

Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;3; 1− )

và mặt phẳng ( )P x: −2y+2z=1

Gọi N làhình chiếu vuông góc của M trên ( )P

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN

đi qua M , N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2)

đến mặt phẳng ( )P

đạt giá trị lớnnhất Tìm tọa độ véctơ pháp tuyến n

r của mặt phẳng ( )P

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi ( )P

là mặt phẳng đi qua điểm M(1;4;9)

, cắt cáctia Ox Oy Oz, , tại A B C, , sao cho biểu thức OA OB OC+ +

Câu 25. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng (Oxy)

sao cho uuuurMN

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng( )P

Lập phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P

và( )Q

A

3 52

A

5212162

đi qua điểm A(−1;4;2)

và vuông góc với hai đường thẳng1

đi qua điểm A(− −3; 1;2)

, vuông góc với đường thẳng1

và cắt mặt phẳng ( )P

theo giao tuyến là đường tròn ( )C

có tâm

(1; 2; 4)

bán kính r= 13

, biết rằng tâm mặt cầu ( )S

có hoành độ dương Phương trìnhmặt cầu ( )S

Đường thẳng d đi qua A và cắt mặt cầu ( )S

tại haiđiểm phân biệt M N, Độ dài nhỏ nhất của MN là

Câu 44. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai đường thẳng

là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất Tính

.Gọi M là điểm thuộc ∆

vàN là điểm thuộc thuộc ∆′

sao cho đườngthẳng MN song song với mặt phẳng ( ):P x y z− + =0

, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N lên Δ sao

cho khối tứ diện HKNM có thể tích nhỏ nhất.Khi đó, giá trị T = −a 2b c+

Câu 50. Cho mặt cầu

2 2 2( ) :S x +y + −z 2x− =2 0

P=

32

P= D P= −3

Câu 53. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P

đi qua A(−1; 2;0)

và cách điểm B(1; 2; 2− − )

bằng

Câu 55. Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi ( )P

là mặt phẳng cắt các tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại( ;0;0 ,) (0; ;0 ,) (0;0; )

Câu 56. Cho hình chóp S ABC.

, có SC

vuông góc với đáy (ABC)

, tam giác ABC

vuông tại A, cácđiểm M N, lần lượt thuộc SA BC, sao cho AM CN=

Biết SC CA AB a= = = 2

Tìm giá trịcủa MN

ngắn nhất?

A

6.6

a

B

63

a

C

62

a

36

Câu 61. Viết phươngg trình mặt cầu (S) tâm I(4,2, 1− )

B

112

C

32

D 2

Câu 63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A a( ;0;0 ,) (B 0; ;0 ,b ) (C 0;0;c)

với, ,

a b c

là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2;4;5)

Biết rằng mặt cầu( ) ( ) (2 ) (2 )2

T =

max

3542

T =

max

142

T =

max

2032

của tứ diện ABCD đến O.

132

262

BẢNG ĐÁP ÁN

11.C 12.A 13.D 14.D 15.D 16.D 17.A 18.B 19.A 20.B

21.B 22.D 23.A 24.D 25.A 26.C 27.A 28.C 29.A 30.B

31.A 32.C 33 34.A 35.B 36.D 37.D 38.A 39.D 40.D

41.D 42.A 43.C 44.C 45.A 46.B 47.B 48.C 49.C 50.D

51.A 52.C 53.B 54.A 55.D 56.B 57.A 58.D 59.B 60.B

61.B 62.B 63.A 64.B 65.B 66.B 67.B 68.D

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

, cho hai vectơ ar =(0;1;3)

Tác giả: Nguyễn Minh Thắng; Fb: https://www.facebook.com/nmt.hnue

−

25

2.5

thì tam giác MNP vuông tại N?

Tam giác MNP vuông tại N ⇔uuuur uuurMN NP. = ⇔ − −0 6 2m+ + = ⇔ =4 2 0 m 0.

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơar =(2;1; 2− )

và br=(0;− 2; 2)

Tất cảgiá trị của m để hai vectơ ur=2ar+3mbr

và vr=ma br−r

vuông góc là

A

26 26

26 26

± +

26 26

±

26

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;0)

, B(2;1; 2)

, C(−1;3;1)

Bánkính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

3 105

105

A Điểm C B Điểm A C Điểm B D Điểm D

Suy ra A, B, D, E đồng phẳng Vậy điểm C là đỉnh của hình chóp

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′

có tọa độ các đỉnh(0;0;0)

Diện tích nhỏ nhất của tam giác MDC′

là

A

2

34

a

2

54

a

2

64

a

2

154

a

Lời giải

Tác giả: Đoàn Tấn Minh Triết; Fb: Đoàn Minh Triết

MDC

a MinS∆ ′ =

khi

32

, bán kính21

R=

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm

10; 3;

A

317

y t z

y t z

y t z

y t z

các góc bằng nhau Biết rằng điểm M luôn thuộc đường tròn ( )C

cố định Tìm tọa độ tâm của đường tròn ( )C

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên ( )P ⇒AMH =BMK

.Khi đó: A, B, I, H, E, K, Fđều là các điểm cố định

* Ta chứng minh: M di chuyển trên đường tròn tâm F, đường kính IE:

Gọi N là điểm đối xứng của M quaK ⇒ ∆HMN

cân tại M

E

nằm trên trung tuyến HK và

23

Phương trình đường cao BK là:

3 2

2 22

.( ) 2 3 2( 2) (2 2 2 2) (2 2) 4 0

I − 

Tâm H của đường tròn ( )C

là hình chiếu vuông góc của I trên ( )P

của đoạn AB

qua I

và nhận uuurAB=(0; 4;0− ) = −4 0;1;0( )làm vectơ pháp tuyến

y t z

16

V = abc

.Phương trình mặt phẳng

2;( ) ;( )

.Gọi I(4; 3;1− )∈∆

, H(2+ − +t; 1 2 ;t t)

là hình chiếu của I lên 1

d

.1

· (· ;( ))

và ·INK = IK IN≤IH IN

( Không đổi)

Vậy (· ;( )∆ P )

lớn nhất khi K ≡H( ) (P :13 x 2) 10(y 1) 7(z 6) 0 3x 10y z 36 0

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN

đi qua M(1;3; 1− )

và vuông góc với mặt phẳng ( )P

là1

cũng là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn MN

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN đi qua

Câu 20. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2− )

, N(−1;1;3)

Một mặt phẳng( )P

đi qua M , N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2)

đến mặt phẳng ( )P

đạt giá trị lớnnhất Tìm tọa độ véctơ pháp tuyến n

r của mặt phẳng ( )P

.Khi đó ta có uurKI = − − +( t; 1 2 ;t t)

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi ( )P

là mặt phẳng đi qua điểm M(1;4;9)

, cắt cáctia Ox Oy Oz, , tại A B C, , sao cho biểu thức OA OB OC+ +

chứa d và song song trục Oy

nên véc tơ pháp tuyến được xác định:

và tiếp điểm tạo thành hình nónGọi (AB P,( ))= ⇒α d B P( ,( ) )= AB.sinα

đạt giá trị lớn nhất A B I H, , , đồng phẳng(AIB) ( )P

Mặt phẳng ( )P

tiếp xúc với ( )S ⇔d I P( ,( ) ) =R 2 2

6 21

Thay tọa độ điểm M(0 ; 5 ; 1− )

vào đường thẳng d ta được

2 3 2

1

2 3 2= = =

Vậy điểm(0 ; 5 ; 1− )

2+2 2 = 2 1+ + +1 + +5 +2 2 + +2 + +3 

( )2 2

18t 36 53 18t t 1 35 35

Dấu bằng xảy ra khi t= − ⇒1 M(− − −1; 1; 1)

Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho ar =(1; 1;0− )

r và

x y z

dấu bằng xảy ra khi N

là giao điểm của đường thẳng A B' với mặt phẳng (Oxy)

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng( )P

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )P

nên d nhận véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng( )P

Câu 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )P : 3x y z− + + =4 0

và( )Q : 2x−5y+ =6 0

Lập phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P

và( )Q

A

3 52

nên tam giác OBC là tam giác

và 2

d ⇒ A t( ; 1 2 ; − + t t)

và( ;1 2 ;1 3 )

và nhận ur =(1; 4; 2− )

là VTCP nên d có phương trình là:

d

có VTCP ur=(3;1; 2− )

và B(4; 1;0− )∈d2

.Vậy d là đường thẳng đi qua I và có VTCP là vectơ ur=(3;1; 2− )

nên d có phương trình là:

3 32

khi t=2

.Khi đó, A(1; 2; 2) ∉( )P

; uuurAB= − − −( 3; 3; 3)

Vậy d là đường thẳng đi qua A và có VTCP là vectơ ur =(1;1;1)

nên d có phương trình là:1

22

đi qua điểm A(−1;4;2)

và vuông góc với hai đường thẳng1

d

u u u d

đi qua điểm A(− −3; 1;2)

, vuông góc với đường thẳng1

d

là uuur2 =(5;3;2)

Gọi B= ∆ ∩d2 ⇒B(3 5 ;1 3 ; 1 2 + t + t − + t)

.(6 5 ;2 3 ; 3 2 )

AB

⇒uuur= −

.Đường thẳng ∆

đi qua điểm A(− −3; 1;2)

và nhận uuurAB=(6;2; 3− )

làm VTCP nên có phương trình là

+ Với t= ⇒0 M(−2;1; 5− ⇒) AMuuuur=(0;0; 6− ) ⇒ ∆

:

211

x y

và cắt mặt phẳng ( )P

theo giao tuyến là đường tròn ( )C

có tâm(1; 2; 4)

bán kính r= 13

, biết rằng tâm mặt cầu ( )S

có hoành độ dương Phương trìnhmặt cầu ( )S

là:

Gọi I a b c( ; ; ) (a>0)

là tâm mặt cầu ( )S

.( )P

Mặt cầu ( )S

có tâm I(1; 2; 3− )

và bán kínhR

Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;0; 2− )

và mặt cầu( ) ( ) (2 ) (2 )2

Đường thẳng d đi qua A và cắt mặt cầu ( )S

tại haiđiểm phân biệt M N, Độ dài nhỏ nhất của MN là

có tâm I(2;1; 1− )

là trung điểm của AB, có bán kính R=IA= 6

.Vậy phương trình ( )S

3

4

t t

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất Tính

.Gọi M là điểm thuộc ∆

vàN là điểm thuộc thuộc ∆′

sao cho đườngthẳng MN song song với mặt phẳng ( ):P x y z− + =0

có một vectơ pháp tuyến là nr(1; 1;1− )

Vì MN song song với( )P

nên 0

MN n= ⇒ = −t u

uuuur r

2 2

0

.7

, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N lên Δ sao

cho khối tứ diện HKNM có thể tích nhỏ nhất.Khi đó, giá trị T = −a 2b c+

A m − −m

và véctơ chỉ phương ur(1; 2;1).−

Đường thẳng MN qua điểm M( 1; 4;1)−

có véctơ chỉ phương MNuuuur(4; 6; 1).− −

Góc giữa hai đường thẳng này là

Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và HK là

uuuurr

Đường thẳng Δ véctơ chỉ phương ur(1; 2;1).−

VìHlà hình chiếu của M lên Δ nên

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm A (2;1;1)

, B(0;3; 1− )

và điểm Cnằm trênmặt phẳng (Oxy)

sao cho ba điểm A B C, , thẳng hàng Điểm Ccó tọa độ là

tọa độ H là nghiệm của hệ pt:1

00

0 (0;0; 1)1

1 0

x y

Tác giả: Mai Liên; Fb: Mai Liên

Chọn A

là trực tâm của tam giác

( Vì ) Vậy

Câu 52. Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , và mặt

giá trị của đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó tổng bằng:

Do đó nhỏ nhất khi nhỏ nhất là một trong hai giao điểm của đường thẳng qua

và mặt cầu với là tâm của

x z y

x y z

Vậy là điểm cần tìm

Câu 53. Trong không gian tọa độ , cho mặt phẳng đi qua và cách điểm

một khoảng lớn nhất có phương trình là , với Nếu thì giá trị của bằng

Câu 54. Trong không gian tọa độ , cho hai điểm , và mặt phẳng :

Gọi điểm thuộc sao cho nhỏ nhất Khi đó giátrị bằng

Vì không đổi nên nhỏ nhất khi nhỏ nhất

là hình chiếu của lên Khi đó đường thẳng qua và vuông góc với nên có phương trình:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng và ứng với t là nghiệm của phương trình:

.Giao điểm tìm được chính là hình chiếu của lên Vậy nên

Câu 55. Trong không gian tọa độ , gọi là mặt phẳng cắt các tia lần lượt tại

sao cho và diện tích tam giác lớn nhất.Mặt phẳng đi qua điểm nào sau đây?

A B C D

Lời giải

Tác giả: Lê Thị Mai Hoa, Fb: Mai Hoa.

Chọn D

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên Khi đó:

Kiểm tra thấy đi qua điểm

Câu 56. Cho hình chóp , có vuông góc với đáy , tam giác vuông tại , các

điểm lần lượt thuộc sao cho Biết Tìm giá trịcủa ngắn nhất?

,

M N SA BC, AM CN= SC CA AB a= = = 2

MN

6.6

Suy ra Min khi

Nhận xét: Hình vẽ chọn hệ trục tọa độ sai, vẽ lại hình

Câu 57. Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ', 2AA'= AB

, đáy là hình vuông Tìm thuộc

Nhận xét: Hình vẽ trên hệ trục lại chọn sai so với lời giải

Câu 58. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông, đường cao

và vuông góc với đáy, Gọi thuộc , là đườngcao tam giác Giả sử , xác định để lớn nhất

Nhận xét: Một lần nữa hình vẽ lại chọn sai tọa độ so với lời giải

Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng và

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A cắt và vuông góc với

B và chéo nhau, vuông góc với

C cắt và không vuông góc với

D và chéo nhau nhưng không vuông góc.

Lời giải

Tác giả: Lương Thị Hương Liễu; Fb: Lương Hương Liễu.

Chọn B

đi qua điểm , có véctơ chỉ phương là

đi qua điểm , có véctơ chỉ phương là

Suy ra và chéo nhau

Vậy và chéo nhau, vuông góc với

Câu 60. Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng và

Tính giá trị biểu thức , biết hai đường thẳng và trùng nhau

Vì nên cùng phương với

Vậy đường thẳng và trùng nhau khi và chỉ khi nằm trên

Câu 62. Trong không gian cho hai đường thẳng , Gọi là mặt

cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng và Bán kính mặt cầu

112

32

∆ uuur2 = − −(1; 2; 1)

Ta có

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng và có đường kính bằng

độ dài đoạn nên có bán kính

Câu 63. Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm với

là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm Biết rằng mặt cầu

cắt mặt phẳng theo giao tuyến là một đường tròn

có chu vi Giá trị của biểu thức bằng

Ta có nên (1)

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng

Khi đó giao tuyến của với mặt cầu là đường tròn tâm có chu vi bằng suy rabán kính

Từ (1), (2) ta có Do đó (3) phải xảy ra đẳng thức hay

Khi đó nên là vectơ pháp tuyến của

Câu 64. Trong không gian , cho ba điểm , , và đường thẳng

Gọi là mặt phẳng chứa sao cho , , ở cùng phía đối với

mặt phẳng Gọi , , lần lượt là khoảng cách từ , , đến Giá trị lớn nhất

k a k b k c

mặt cầu luôn tiếp xúc với Biết có bán kính là Tính

( )d α :x 2y z 4 0, m

qua và vuông góc với

: đường tròn tâm là hình chiếu của trên

Ta có (Vì 4.2-3.1-2-3=0)

,

đường thẳng Điểm nằm trên đường thẳng sao

cho từ kẻ được ba tiếp tuyến , , đến mặt cầu ( , , là các tiếp

Gọi là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu

Đặt khi đó , , do đó vuông tại nên trung điểm của là tâm đường tròn và , , thẳng hàng

Mà nên

Câu 68. Trong không gian với hệ tọa độ , xét tứ diện có các cặp cạnh đối diện bằng nhau

và khác phía với so với đồng thời , , lần lượt là giao điểm của các trục