Vấn đề 1 biểu diễn véc tơ

cIAuur+aIBuur+bICuur = 0r Lời giải Họ và tên : Dương Bảo Trâm Facebook: Bảo Trâm Chọn A Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’ Ta có ICuur =

VẤN ĐỀ 1 BIỂU DIỄN VÉC TƠ

Email: daytoan2018@gmail.com

Câu 1. Cho tam giác ABC biết AB3,BC4,AC  , I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC6

Gọi , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x IA yIB zICuur uur uur r0.Tính P x y z

uur uur uur uur uur

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác : IE MB BC

uuur uuur uuur uur

, thay AC AB ADuuur uuur uuur  và1

Câu 3. Cho tam giác ABC với các cạnh AB =c BC, =a CA, =b Gọi I là tâm đường tròn nội

tiếp tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng

A aIAuur+bIBuur+cICuur = 0r B. bIAuur+cIBuur+aICuur =0r

C.cIAuur+bIBuur+aICuur =0r D. cIAuur+aIBuur+bICuur = 0r

Lời giải

Họ và tên : Dương Bảo Trâm Facebook: Bảo Trâm

Chọn A

Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’

Ta có ICuur =IAuuur'+IBuuur' (*)

Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác

1uuur uur

uuur uuur uuur

D. DB bDA aDC uuur  uuur  uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Vậy đáp án đúng là câu B.

Email: kimduyenhtk@gmail.com

Câu 5. Cho hình bình hành ABCD , M là điểm thỏa mãn 5AMuuuur+2CAuur =0r Trên các cạnh AB , BC

lần lượt lấy các điểmP Q, sao cho MP / /BC MQ, / /AB Gọi N là giao điểm của AQ và

Đặt ANuuur =xAQ CNuuur uuur , =yCPuuur

Gọi G là trọng tâm ABC, ta có KA KB KC 3KGuuur uuur uuur   uuur (3)

Thay (3) vào (2) ta được 3KG 3KD 0uuur uuur r �KG KD 0uuur uuur r  , suy ra K là trung điểm của GD.

Từ (1) ta có:

MK KA MK KB MK KCKB 3MK 3KD (KA KB KC 3KD) 6MK 6MK            uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuruuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuuurVậy 6MK xMKuuuur uuuursuy ra x = 6

Họ và tên: Nguyễn Thanh Hoài

ABuuur= -a b AMr r uuuur= - b BNr uuur= - ar

Thay vào (1) và thu gọn ta được: (x y a- ) r- (x y b- ) r =x-31ar+34ybr

Câu 8. Cho tam giác ABC , gọi I là điểm trên BC kéo dài sao cho IB3IC Gọi ,J K lần lượt là

những điểm trên cạnh AC AB sao cho , JA2JC KB; 3KA Khi đó BC m AI n JKuuur .uur .uuur Tính tổng P m n  ?

uur uuur uuur uuur uur uuur

uuur uur uuuruuur uuur uuur

Ta có: BCuuur uuur uuur AC AB  10uurAI24uuurJK�m 10;n 24�m n  34 Chọn đáp án B.

uuuur uuur uuur uuur

Gọi I và J là các điểm thỏa mãn BIuurmBC AJuuur uuur, n AIuur.Khi J là trọng tâm tam giác BMN thì tích m.n bằng bao nhiêu?

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

* uuurAJ nAIuurn AB BIuuur uur  n AB mBCuuur uuur n AB m AC AB��uuur uuur uuur ��n(1m AB mnAC)uuur uuur

Câu 10. Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấ y điểm M, trên cạnh BC lấ y N sao cho AM=3MB,

NC=2BN Gọi I là giao điểm của AN với CM Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tamgiác ICN bằng 2

Lời giải

Họ và tên: Hứa Nguyễn Tường Vy

Chọn đáp án B

Đặt BC a BA cuuur r uuur r ; 

AC a c  AM   c CN   a

uuur r r uuuur r uuur r

Do A, I, N thẳng hàng nên CIuurxCAuuur (1 x CN) uuur

Và M, I, C thẳng hàng nên uurAI y ACuuur (1 y AM) uuuur

Mặt khác uuur uur uurAC AICI  y ACuuur (1 y AM) uuuur(xCAuuur (1 x CN) uuur)

S NI

Gọi E là trung điểm BC. M, N là các điểm như hình vẽ.

Vậy uuurNG5GM uuuur

Câu 12. (Đẳng thức vec tơ) Cho tam giác ABC Gọi A', B' ,C' là các điểm xác định bởi

2018 'uuuurA B2019 'uuuur rA C0, 2018 'uuuurB C2019 'uuuur rB A0, 2018 'C Auuuur2019 'C Buuuur r0 Khi đó ,mệnh đề nào sau đây đúng?

A ABC và A B C' ' 'có cùng trọng tâm

Tương tự ta có 4037 'uuuurB B2018uuurBC2019uuur rBA0 ; 4037 'C Cuuuur2018CAuuur2019uuur rCB0

Cộng vế với vế lại ta được

4023 uuur uuur uuuurAA'BB'CC' uuur uuur uuur rBA AC CB  0�uuur uuur uuuur rAA'BB'CC' 0

Vậy ABC và A B C' ' 'có cùng trọng tâm

Câu 13. ( tính độ dài vec tơ) Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi điểm M là trung điểm BC Tính độ

dài của vec tơ 1

2uuurAB uuur uuur uuur uuurAC AN AQ  AP

Gọi L là hình chiếu của A lên PN

MN AC ANL MNB CAB

Câu 14. Cho ABC có M là trung điểm của BC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp Tìm x

để HA HB HC xHO uuur uuur uuur   uuur

Lời giải

Họ và tên: Trần Quốc An Facebook: Tran Quoc An

H O

C B

A

A' M

Tương tự ta chứng minh được BH A CP ' (2)

Từ (1) ,(2) suy ra tứ giác BHCA’ là hình bình hành

Do đó M là trung điểm của HA'

Ta có : uuur uuurHB HC 2HMuuuur uuuurHA'

HA HB HC HA HA     HO x

buiduynam1993@gmail.com

Câu 15. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL Giả sử

ngoài ra còn có CM kAL Biết

2 2

9 4cos

9 4

k A

Mail:quyphucvn@gmail.com Fb:Thanh Lâm Lê

Câu 18. Cho tam giác ABC có AB3; AC  Gọi AD là đường phân giác trong của góc A Biết4

Câu 19. Cho tam giác ABC bất kỳ, gọi M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , AB BC CA , ', , H H

lần lượt là trực tâm các tam giác ABC MNP Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?,

A uuur uuur uuurHA HB HC  3HHuuuur' B HA HB HCuuur uuur uuur  2HHuuuur'

C uuur uuur uuur rHA HB HC  0 D HM HN HPuuuur uuur uuur  3uuuurHH'

Lời giải Chọn B

H là trực tâm tam giác MNP nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ' ABC

Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên BHCD là hình bình hành

suy ra HA HB HC HA HDuuur uuur uuur uuur uuur    2uuuurHH'

Câu 20. Cho tam giác đều ABC tâm O M là một điểm bất kì bên trong tam giác Gọi D, E, F lần lượt là

hình chiếu của M lên BC, CA, AB. Với giá trị nào của k ta có hệ thức:

 

3

= 2

Câu 21. Một giá đỡ hình tam được gắn vào tường (như hình vẽ) Tam giác ABC vuông cân tại B. Người

ta treo vào điểm A một vật nặng 10N Tính độ lớn của các lực tác động vào tường tại B và C?(Bỏ qua khối lượng của giá đỡ)

Hệ chất điểm cân bằng nên FuurB   uurF C  Pur r0�Fur Pur� Fur  Pur 10N

Tam giác ABC vuông cân tại B suy ra

Do OA OC OBuuur uuur uuur  0 nên O là trọng tâm tam giác ABC

Mà O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên tam giác ABC đều Vậy góc �AOB1200

A MBuuur2MCuuuur B MB2MC C MC2MB D MCuuuur 3MBuuur

Lời giải

Họ và tên: Trần Gia Chuân Tên

facebook: Trần Gia Chuân

Chọn B

Cách 1: Giả sử BMuuuurk BC.uuur khi đó

Ta có

 

Mà AM 1.AB2.AC�k2

uuuur uuur uuur

suy ra 3BMuuuur2.uuurBC�MB2MC

Email: cvtung.lg2@bacgiang.edu.vn

Câu 24. Cho tam giác đều ABCnội tiếp đường tròn tâm O, M là một điểm tùy ý nằm bên trong tam

giác đã cho; gọi A B C'; '; 'theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh BC CA;

và AB Khi đó ta có đẳng thức vectơ k MAuuuur uuuuu' MBr uuuuu' MCr' l MO k luuuur, �0,k

l là phân sốtối giản Tính 2k2l2

A 2k2 l2 1 B 2k2  l2 1 C 2k2 l2 14 D 2k2  l2 5

Lời giải

Họ và tên tác giả : Cao Văn Tùng Tên FB: Cao Tung

Chọn B

Từ M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh BC CA AB và các đường thẳng này cắt các ; ;

cạnh của tam giác ABC tại các điểm A A B B C C như hình trên.1, 2, ,1 2, ,1 2

Xét tam giác MA A do tam giác 1 2 ABCđều và tính chất của góc đồng vị nên góc

uuuur uuuuur uuuuur uuur uuur uuuur uuuur

MA MB MC MA MB MC MO �2uuuur uuuuur uuuuurMA' MB' MC'3uuuurMO

uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Câu 26. Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BClấy điểm N sao cho:

uuur uuur uuur

Tương tự: uuurAO y AMuuuur 1 y ABuuur

AB yAM    x y AB  x BN

hay ( x y  )uuurAB yuuuurAM  ( x 1)BNuuur r0 (1)

M

C B

A

23

54

Họ và tên : Nguyễn Văn Quân Tên FB: Quân Nguyễn

Dễ thấy: HA HB HCuuur uuur uuur+ + =2HOuuur nếu tam giác ABC vuông.

Nếu tam giácABC không vuông gọi D là điểm đối xứng của A qua O Khi đó:

/ /

BH DC(vì cùng vuông góc với AC)

/ /

BD CH(vì cùng vuông góc với AB)

Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì HB HC HDuuur uuur+ =uuur (1).Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên HA HDuuur uuur+ =2HOuuur (2).

Từ (1) và (2) suy ra HA HB HCuuur uuur uuur+ + =2HOuuur

Tên facebook: NT AG

Câu 28. Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC, O là một điểm trên đoạn AD sao cho

A MK IN NK IM MN IK.uur uuur uur r0 B INuur.tanN IMuuur.tanM IKuur.tanK 0r

C uurIN.cotN IMuuur.cotM IKuur.cotK 0r D IM IN IKuuur uur uur r  0

Lời giải

Chọn B

Ta chứng minh ID IC

Kẻ AF BC BJ,  AD Tứ giác ABFJ nội tiếp � �

180180

O O

ABF AJF DCB AJF

�

�Khi đó �DCFJ là tứ giác nội tiếp

(Tác giả: Nguyễn Văn Phùng ,Gmail: nvpmaster0808@gmail.com)

Câu 31. Cho tam giác ABC M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho S ABC 3S AMC Một đường thẳng

cắt các cạnh AB AM AC lần lượt tại ,, , B M C� � �, phân biệt Biết rằng AB 2 AC k. AM

AB� AC� AM�.Tìm số k

Ta có 3 3 2

3

ABC AMC

S  S �BC MC�uuuurBM  uuurBC

Đặt uuuurAB'x AB AC y AC AMuuur uuuur uuur uuuuur ; '= ; 'z AMuuuur

Ta có B Muuuuuur uuuuur uuuur' 'AM'AB'z AMuuuurx ABuuur

23

uuur uuuur uuur uuur uuur

Lại có: ' 'B Cuuuuur uuuur uuuur AC'AB' y AC x ABuuur uuur

Câu 32. Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng Bạn An kí hiệu chúng là A A1, 2, ,A n Bạn Bình kí hiệu

chúng là B B1, 2, ,B ( n A1 � B n) Vectơ tổng uuuur uuuuurA B1 1A B2 2   uuuuurA B n n bằng

OBuuur uuuurOB  OBuuuur uuur uuuurOA OA  OAuuuur

Do đó uuuur uuuuurA B1 1A B2 2   uuuuurA B n n uuur uuurA O OA1  1  uuuur uuuurA O OA2  2  uuuur uuuurA O OA n  n 0r

Câu 33. Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M Qua trung điểm S của BD kẻ

SM cắt AC tại K sao cho AK a

CK  Tính: AM22

CM

2 2

Lời giải

Ba điểm K, B, E thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại  sao cho:

Email: lethithuy@thpthv.vn

Câu 35. Cho tam giác ABC vuông tại C, có AC=b BC, = , D là chân đường cao kẻ từ a C. Khẳng định

nào sau đây là đúng?

Câu 36. Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là điểm xác định bởi 5uurIA7uur uur rIB IC 0 Gọi E là

giao điểm của AI và BG Tính tỷ số EA

EI

1.3

Lời giải (Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Huyền Tên FB: Thu Huyen Nguyen)

Chọn B

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

3

IA IB IC   IG

uur uur uur uur

Mà: 5IAuur7IB ICuur uur r 0.

Vậy ta có: 6IAuur6IBuur3IGuur

2BA IG

� uuur uur

/ /2

EI  IG 

�

Email: nghiepbt3@gmail.com

Câu 37. Cho 2 tia Ox, Oy vuông góc Trên tia Ox lấy các điểm A,B sao cho OA = OB = 1 C là điểm

thuộc đoạn OA, N là một điểm thuộc đoạn OB và dựng hình vuông OCMN Trên đoạn CM lấyđiểm Q và dựng hình vuông ACQP Gọi S là giao điểm của AM và PN Giả sử OC  k OA,

AM x

k

Khi x + y =

10

13 thì k =

y kx x

21

1221

2 2 2

k k

k y

k k

k x

13122122

110

13

2

2 2

k

k k

k

k k

k

k y

Câu 38. Cho tam giác ABC Giả sử điểm M nằm trên cạnh BC thỏa các tam giác MAB MAC lần,

lượt có diện tích là S S Khẳng định nào sau đây đúng?1, 2

A S1S AM2uuuurS AB S AC2uuur 1uuur B S1S AM2uuuurS AB S AC1uuur 2uuur

C S2S AM1uuuurS AB S AC2uuur 1uuur D S2S AM1uuuurS AB S AC1uuur 2uuur

1, 2

1, 2

d A BC BM

Điểm K thuộc cạnh AC sao

cho B,I,K thẳng hàng Khi đó m

KA CK n

Gọi điểm K thuộc cạnh AC sao cho uuurAK x AC.uuur

Ta có BKuuur uuurAB x AC uuur và 1 1 1 5 1

44

Câu 40. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, lấy các điểm I, J sao cho IA 2IBuur uur và 3JA 2JC 0uur uur r và thỏa

mãn đẳng thức IJ kIGur uur Giá trị của biểu thức P (25k  2  36)(k 2   k 1) 500 là:

Họ và tên : Nguyễn Quang Huy Fb: Nguyễn Quang Huy

Thật vậy nếu ta gọi M là trung điểm của BC ta có:

IG AG AI AM 2AB (AB AC) 2AB AC AB

uur uuur uur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Mặt khác ta lại có IJ AJ AI 2AC 2AB 6 1( AC 5AB) 6IG

Câu 41. Cho tam giác ABC M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho S ABC = 3S AMC Một đường thẳng

cắt các cạnh AB AM AC, , lần lượt tại B M C', ', ' phân biệt Biết

Ta có S ABC = 3S AMC �BC =3MC � BM = 2BC

3uuur uuur

Đặt ABuuuur'=xABuuur ; ACuuuur'=yACuuur uuuur ; AM '=zAMuuuur

Ta có B Muuuuur' '=AMuuuur'- ABuuuur'=zAMuuuur- xABuuur

B Cuuuuur' '=ACuuuur'- ABuuuur'=yACuuur- xABuuur

Mặt khác B Muuuuur' ', B Cuuuuur' ' cùng phương nên

A MK IN NK IM MN IK.uur .uuur .uur r0 B INuur.tanN IMuuur.tanM IKuur.tanK 0r

C uurIN.cotN IMuuur.cotM IKuur.cotK 0r D IM IN IKuuur uur uur r  0

O O

ABF AJF DCB AJF

�

�Khi đó �DCFJ là tứ giác nội tiếp

Từ đó suy ra I là trực tâm tam giác MNK Nên đáp án đúng là B

Họ và tên tác giả : Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet

uuur uuur uuur uur

, thay AC AB ADuuur uuur uuur  và1

Câu 45. Một đường thẳng cắt các cạnh DA DC, và đường chéo DB của hình bình hành ABCD lần

lượt tại các điểm E F, và M Biết uuurDE m DA uuur, DF n DCuuur uuur ( , m n0) Khẳng định đúng là:

Đặt DMuuuurx DB EM.uuur uuuur;  yFMuuuur

m n



uuuur uuur

(Họ và tên tác giả : Lê Đức Lộc, Tên FB: Lê Đức Lộc)

Email: phuogthu081980@gmail.com

Câu 46. Hình thang cân ABCD có độ dài đường cao AH a AB CD AB a ; / / ,  3;AD a 2;AB DC

uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Câu 47. Cho hình thang ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O vẽ đường

thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tựtại M và N Với AB a , CDb , khi đó MNuuuur bằng:

;

b OM

a b







uuur uuuruuuur

;

.1

a

b ON

a b







uuur uuuruuur

Câu 48. Cho tam giác ABC đều tâm O ; điểm M thuộc miền trong tam giác OBC ; D, E, F lần lượt

là hình chiếu vuông góc của M trên BC , CA , AB Khẳng định nào sau đây đúng?

2

MD ME MF   MO

uuuur uuur uuur uuuur

B MD ME MFuuuur uuur uuur uuuur  MO

C MD ME MFuuuur uuur uuur  3MOuuuur D 3

uuur uuuur uuur