Vấn đề 1 tọa độ điểm phần 2

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD.. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC là.. Tọa độ điểm DBDAC là nghiệm của hệ phươ

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa

đường cao kẻ từ B có phương trình là 1:x3y18 0 , phương trình đường trung trực củađoạn BC là 2: 3x19y 279 0 , đỉnh C thuộc đường thẳng : 2d x y   và biết5 0

 1350

BAC  Giả sử ( ; )A a b , tính tổng a2  b

Lời giải Tên Facebook: Nguyen Tuyet Le

Vì B 1:x3y18 0,C d: 2x y   Giả sử (18 3 ; ); ( ;2 5)5 0 B  b b C c c Suy ra,tọa độ trung điểm

2

x y

Do A nằm giữa C và H nên chỉ có trường hợp A(4 :8)

Vậy

24

248

a

a b b

H là trung điểm của BC nên

Gmail: Linhphuongtran79@gmail.com

Câu 3. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, cạnh 2

AD

AB BC 

Biết đường thẳng chứa cạnh

CD có phương trình 3 – 4 0 x  y  và A(-2; 0) Điểm B(a;b) với b>0 khi đó a 2 +b 2 =?

C D

M

N

Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh

BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN 2ND Giả sử

( ) tan BAM tan DAN· · ··

1 tan BAM.tan DAN

PAM=90 - BAM DAN+ =45

Ta có PAM· =450=PBM· nên tứ giác ABMP nội tiếp.

Suy ra APM 180· = 0- ABM· =900hay MP^AN

Đường thẳng MP đi qua M và vuông góc với AN nên

Câu 5. Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC ), nội tiếp đường tròn tâm I Gọi ,H E lần lượt là hình

chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng BC , điểm H trên đường thẳng AI; K và7

;12

M  

  lần lượt là trung điểm của các cạnh AB BC Phương trình đường thẳng đi qua các,

điểm ,H K là 4 x y  9 0 Biết tung độ của H lớn hơn

Ta lại có MK là đường trung bình của tam giác ABC suy ra HEMK

Các tam giác ABH ABE vuông suy ra , HK AKEK, cho nên MK là đường

trung trực của cạnh HE suy ra MH ME

Phương trình đường thẳng HK là 4x y  9 0 nên H a ;9 4 a

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC là

Tọa độ trực tâm tam giác ABC là Tọa độ trọng tâm tam giác

ACD là Gọi lần lượt là hoành độ của các điểm A, B, C, D.

Lời giải Chọn D

Họ và tên Trần Thanh Hà- Fb Hà Trần

G I

H

D A

+ Đường thẳng BH qua và vuông góc với AC nên có phương trình:

hay Giả sử Ta có

Suy ra hoặc Do B, G nằm khác phía AC nên

Câu 7. Cho tam giác ABC cân tại A Đường thẳng AC có phương trình 3x y  5 0 Gọi H là trung điểm

BC , D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của HD Đường thẳng BD đi quaE(8; -5), AM có phương trình 11x 7y 5 0 Giả sử B(a; b) khi đó a + b bằng

Do đó M là trực tâm AHF nên ta có AM HF  AM BD

Đường thẳng BD qua E(8; -5) và vuông góc với AM nên có phương trình 7x11y1 0

Tọa độ điểm DBDAC là nghiệm của hệ phương trình

Đường thẳng HD qua D và vuông góc với AC nên có phương trình x3y 1 0

Tọa độ điểm M HDAM là nghiệm của hệ phương trình

M là trung điểm HD nên H(-1; 0)

Đường thẳng BC đi qua H vuông góc với AH có phương trình x y  1 0

Tọa độ điểm BBDBC là nghiệm của hệ phương trình

HAivAnxinh99@gm Ail.Com Face Hải Vân

Câu 8. Trong mặt phẳng toạ độ với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn  

C x y  , đường thẳng

    và điểm A3; 0 Gọi M là một điểm thay đổi trên  C và B là điểm sao

cho tứ giác ABMO là hình bình hành Trọng tâm G của tam giác ABM thuộc  và G cótung độ dương Tính diện tích tam giác ABM

Δ

K I

G B

O M

A

OG OI

Kẻ GK/ /AM , K OA , ta có:

43

OK  OA

 (4; 0)K GK/ /AM  GKOB.Suy ra G thuộc đường tròn đường kính OK

và C thuộc đường thẳng : d x 2y 4 0. Gọi tọa độ điểm ( ; )A x y khi đó tính A A 2 2

  vuông cân tại F Do đó IEC 45o

+) Theo giả thiết C d x :  2y 4 0 nên giả sử C m2 4;m

m m

+) Đường thẳng AB đi qua B  1; 4

và vuông góc với AC nên có phương trình : x  1

+) Ta có A AB AC   A( 1;1)  Đáp án B

C á C h 2:

+) Gọi F là trung điểm của BM Ta có :

1/ /2

31;

2

C d AC C   

  ( Loại vì ,C I phải cùng phía đường thẳng EF )

+) Với a  0  phương trình của AC y   (Khi đó phương trình : 1 0 EF x   ).: 1 0

Gọi H là hình chiếu của B trên AC Đường tròn đường

kính BH cắt AB BC, lần lượt tại D E, Giả sử tọa độ của các đỉnh A C, là A x y C( ; ), (x ,y )A A C C

biết đường thẳng DE có phương trình: 7x y  6 0 và điểm H có tọa độ nguyên.Tính tổng

Với a 1 B( ; ) (loại vì B,M cùng phía 5 1 DE)

Gọi I là tâm đường tròn đường kính BH I DE I(t; t7  6)

y Vậy A( ; ), B( ; ), C( ; ) hoặc 4 21 3 2 0 4 2 A( ; ), B( ; ), C( ; ) A(4;-2), B(- 2 0 1 3

Daothihongxuandhsphnk55b@gmail.com

Câu 11. Trong mặt phẳng cho tam giác có , trực tâm , tâm đường tròn ngoại

(Tác giả : Đào Thị Hồng Xuân,,Tên FB: Hong Xuan)

Lời giải Chọn D

BHC CH AB B; DAB CH / / DB/ / D

CD sao cho MC2MD Tìm tọa độ đỉnh A của hình vuông ABCD biết đường thẳng AM

có phương trình 2x y  4 0 và đỉnh A có tung độ âm

là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AC.

Đường thẳng AC đi qua I3; 1 

Đường thẳng AC đi qua I3; 1 

có véc tơ pháp tuyến n  3; 4  có phương trình

Câu 13. Cho đường tròn  C x: 2 y2 2x 2y  , đường tròn1 0  C' :x2 y2 4x 5 0  Cùng đi

qua điểm M1;0

Phương trình đường thẳng :ax by c  0 , ,a b c Z a b ; ,  1

điqua M lần lượt cắt    C , C'

tại ,A B khác M sao cho MA  2MB

Tính tổng S  a b c

A S  13 B 1S . C S  0 D S  10

Tác giả :Tăng Duy Hùng,Tên FB: Hùng Tăng

Lời giải Chọn B

372x 2 1 0

10

x

x y



 Giải tiếp tương tự cách 1

Email: quangnam68@gmail.com

Câu 14. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( ) : (C x 3)2(y1)2 25

Đường phân giác trong góc BAC cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A và D. Đường tròn tâm D bán kính DB cắt đường thẳng AB tại 2 điểm B và

Gọi I là tâm của đường tròn (C)  I(3;1)

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC

x y

- Tứ giác AC1HB1 và CB1HA1 nội tiếp nên ∠ C1B1H = ∠ C1AH và ∠ A1B1H = ∠ A1CH

Mà ∠ A1CH = ∠ C1AH ( cùng phụ với ∠ABC ) nên ∠ C1B1H = ∠ A1B1H

Suy ra B1H là phân giác trong của ∠ C1B1A1

Chứng minh tương tự C1H cũng là phân giác trong của ∠ B1C1A1

Do đó trực tâm H của tam giác ABC cũng chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A1B1C1.Đặt B C1 1a C A; 1 1 b A B; 1 1 c

a b c

a y b y c y y

- Cạnh AB đi qua C1 và vuông góc với H C1 nên có phương trình: 3x – y + 8 = 0

- Cạnh AC đi qua B1 và vuông góc với H B1 nên có phương trình: x + y – 4 = 0

Từ đó tính được tọa độ đỉnh A là (–1; 5)

Email: ho AinAm2732003@gm Ail.Com

Câu 16. Cho tam giác ABC với A(3;6), AB AC . 60 2 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(1;3), bán kính R =5.

F E

G

d

H M

C B

A

Gọi P là trung điểm của BC và G, I lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Đường cao AH // d và H(2; 0) nên phương trình của AH là x = 2

Vậy hoành độ của A là a = 2

Gọi giao điểm của CM và AH, d lần lượt là E, F Ta tính được

2(2; )7

E

và

1(3; )7

Theo tính chất đường thẳng Euler ta có GH = 2GI, dùng tam giác đồng dạng suy ra GE = 2GF

Từ đó tính được G là

8( ; 0)3

Gọi tọa độ B(p; n) vì tung độ B, P bằng nhau, suy ra C(6 - p; n) (P là trung điểm của BC)

Vì C thuộc đường thẳng CM suy ra 3p7n10

IA = IB suy ra m2  1 (p 3)2 n2 Giải hệ ta được

147

n n

m m

Email: Phungthan.ddn@gmail.com

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có B( 1; 4) Gọi D, E( 1; 2) lần lượt là chân

đường cao kẻ từ A, B và Nlà trung điểm của AB Biết

Gọi M là trung điểm BC

Ta có NAE NEA ( Vì NElà trung tuyến của tam giác vuông EAB )

EDM NAE (2) (cùng bù với BDE )

Từ (1) và (2) ta có MNE EDM  , suy ra MEND nội tiếp đường tròn

Email: lntien. C3lqDon@kh Anhho A.eDu.vn

Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC với đỉnh A(2; –3), phương trình đường phân giác

trong BD là 2x y  1 0 và phương trình đường trung tuyến CE là    x 6y 5 0 Toạ độ đỉnh

A   

Phương trình cạnh BC qua A’ và B là: 193x124y 229 0

C là giao điểm của CE và BC nên

Câu 20. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B4; 3 

, M là trung

điểm của BC , Dlà giao điểm của đường phân giác của MAC và BC Biết rằng CB3CD ,

đường thẳng ADcó phương trình là 3x 2y 5 0 Tọa độ của đỉnh A là

A A1; 1 . B A1; 4 . C A3; 2. D A3; 7 .

Lời giải Chọn A

Gọi F là điểm đối xứng với Aqua M , G là giao điểm của FC và AD

Ta có AF 2AM AC suy ra tam giác AFC cân ở A

Mà ADlà đường phân giác của MAC nên AGFC BAAD

Suy ra A là hình chiếu của B lên AD Vậy A1; 1 

Email: Samnk.thptnhuthanh@gmail.com

Câu 21.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. gọi H là hình chiếu vuông góc

của A lên BC, các điểm M  2; 1  , N lần lượt là trung điểm của HB và HC; điểm

1 1

;

2 2

K     

  là trực tâm của tam giác AMN Giả sử C x y  C; C tính S  2 xC  yC , biết rằng

A có tung độ âm và thuộc đường thẳng d x :  2 y   4 0.

A S 5 B S 0 C S 5 D S 9

Lời giải

Tác giả : Nguyễn Khắc Sâm,Tên FB: Nguyễn Khắc Sâm

Chọn B

+ Gọi I là trung điểm của AH ta có MI / / AB  MI  AC

+ Suy ra I là trực tâm của AMC  CI  AM

+ Mà NK  AM  NK CI / / nên K là trung điểm của IH.

+ Tìm được tọa độ của C   1;2  Vậy S=0 Chọn B

3 . B

21

 Chứng minh M, O’, K thẳng hàng

Từ chứng mình trên dễ thấy tứ giác FAIN là hình bình hành, suy ra F IA FNI KFN , nên

FN song song với AE Do đó KO’ đi qua M, vì O’ và M lần lượt là trùng điểm nằm trên hai đoạn thẳng song song FN và AE Vậy M, O’, K thẳng hàng

(MO’)  (I) = K K1;1

; I3; 2.

b a  

Chọn phương án A

Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông_Dựa vào tích vô hướng_Huỳnh Đức

Vũ_vutoanpvd@gmail.com

Email: vuto Anpv D@gm Ail.Com

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có M N, là các điểm thỏa mãn

  vuông cân tại N

Gọi H là hình chiếu của N trên  thì NH d N ( ; )  5

B

C A

Câu 24. (Đề ĐH khối A, A1 – 2012) Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N

là điểm trên cạnh CD sao cho CN 2ND Giả sử

Vì ABCD là hình vuông nên

Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm cạnh BC và H là

điểm đối xứng của Bqua đường thẳng AM Biết rằng điểm

tia đối của tia Oy Giả sử B x y 1; 1,C x y 2; 2, tính tổng S x1x22y1y22

A S  1 B

14

S 

C S  5 D

54

Theo giả thiết: MA MB MC MH   nên CH BH  CH / /AM

Kẻ đường thẳng qua Hvuông góc với AH cắt AC tại D

Ta có CHD CHA  900, CHA MAH  (So le trong), MAH MAB (H đối xứng với Bqua

AM ) nên CHD BAM  900 Suy ra CHD MAC 

Mặt khác MAC HCD  ( Đồng vị) nên HDC CHD   DH DC

Suy ra MD là đường trung trực của đoạn thẳng CH  MD CH  MDMA

Ta có 4 điểm ,A M H D thuộc đường tròn đường kính , , AD  I AC

Email: BuiChithAnh1987@gm Ail.Com

Câu 26. Trong hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD cạnh AC có phương trình là: , x7y 31 0, hai đỉnh

2

ABCD ABCD

2 2(14 63;9 2 ) (14 63) (9 2 ) 15 2

Câu 27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1;3) Gọi D là một điểm

trên cạnh AB sao cho AB3AD và H là hình chiếu của B trên CD Điểm

Gọi  là đường thẳng A , song song với BC Kéo dài CD  N

Gọi E là trung điểm BH  tứ giác NAME là hình bình hành

Lấy I là trung điểm BC Do tam giác ABC cân tại A Dễ chứng minh được ANBI là hình

Email: ngonguyenanhvu@gmail.com.

Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại điểm A  2; 0

.Điểm E làchân đường cao kẻ từ đỉnh A.Gọi F là điểm đối xứng với E qua A , trực tâm tam giác BCF

là điểm H  2; 3

.Trung điểm M của đoạn BC thuộc đường thẳng  d : 4x y  4 0

.Biếthoành độ đỉnh B dương Tính S2x B3x C

Xét DCF : AC và FE là đường cao  A là trực tâm  ADFC  1

Mà H trực tâm tam giác BCF  BHFC  2

Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Ox , cho hình bình hành ABCD Điểm M N y ; lần lượt là

trung điểm đoạn AD và BC ; đường thẳng CM có phương trình x 8y13 ; đường thẳng0

AN có phương trình x 8y  130 Biết rằng điểm B a b ; 

có tọa độ nguyên và nằm trênđường thẳng 4x y 1 0 Tính 2 2

F

E A(-2;0)

çè ø Đường tròn ngoại tiếp tam giác

IBC cắt AB , AC lần lượt tại D , E (D¹ B E, ¹ C) Biết A x y( A; A)

, phương trình đường

tròn ngoại tiếp tam giác IBC là x2y2  6x y  3 0 và phương trình đường tròn ngoại tiếp

tam giác ADE là x2 y2 3x 4 0 Tính x A+y A.

Lời giải

Từ giả thiết ta được phương trình DE là 3 x y  7 0

Chứng minh AI DE Phương trình AI là x3y 1 0

Tọa độ A là nghiệm của hệ

10

32

Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho hình chữ nhật ABCD với đường thẳng chứa cạnh AD

có phương trình là d1: 3x y 14 0 Biết điểm (0; 6)E  là điểm đối xứng của C qua AB.Gọi M là trung điểm của CD Biết BDMEI với

2 4( ; )

A

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn tâm I

Câu 33. Cho hình bình hành có góc nhọn, Gọi theo thứ tự là hình chiếu

của xuống Đường tròn ngoại tiếp tam giác có phương trình

Tìm toạ độ biết có hoành độ dương và thuộc đường

Gọi là giao của Ta sẽ chứng minh đi qua

Thật vậy, dễ thấy chính là tâm ngoại tiếp của tứ giác nội tiếp Nên :

Chú ý các tứ giác nội tiếp :

Giả sử với Trung điểm của có toạ độ

(1),(2) HME HKE M (HKE)

Tuy nhiên vì nên Vậy ta được

Email: NguyenNhuHungGH@gm A il C om

Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ , cho tam giác vuông tại ngoại tiếp đường

tròn tâm với tiếp điểm trên Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tạikhác Các đường thẳng qua vuông góc với EC cắt tại Tính hoành độ

Ta sẽ chứng minh rằng là trung điểm của

Gọi là giao điểm của và Ta có do cùng phụ với góc

và do tứ giác nội tiếp

Từ đó có , suy ra , hơn nữa có tam giác vuông tại

+ Đường thẳng đối xứng với đường thẳng BC qua BK, suy ra:

+ Bán kính đường tròn có độ dài bằng khoảng cách từ tới :

+Hơn nữa do thuộc nên ta có hệ :

Email: tambc3vl@gmail.com

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J 4;5

, nội tiếpđường tròn tâm I 6;6

tại điểm thứ hai D có tọa độ thỏa:

D

C

B

I J A

Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và B Gọi M là điểm thuộc

cạnh AB sao choBM 2AM ; N là hình chiếu của M trên CD , biết CM vuông góc với

Ta có tứ giác AMND nội tiếp  ADM ANM ; ADM BMC (cùng phụ với AMD ).

Tứ giác BMNC nội tiếp  BCM BNM

x y

là véc tơ pháp tuyến của BC nên phương trình BC là x y   6 0

Do đó, tọa độ điểm C là nghiệm của hệ

x y

Email: doanphunhu@gmail.com

Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H1;3 Đường tròn  E đi qua

trung điểm các cạnh của tam giác ABC có phương trình : x 22y 22 10. E Đỉnh A

thuộc đường thẳng  d :x 3y20 0. Tọa độ đỉnh C a b ;  với a  Giá trị của S a b0  bằng

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì E là

trung điểm của OH nên O3;1

Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC Gọi ; E F lần lượt là hình chiếu vuông

góc của ;B C lên đường phân giác trong góc A của tam giác ABC Gọi K là giao điểm củacác đường thẳng FB CE Biết đỉnh ; A nằm trên đường thẳng : 2d x y   và các điểm3 0

1( 2;1); ( 1; )