CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

Tích phân là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán 12, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh Đại học, cao đẳng và nay là kì thi THPT Quốc Gia. Với mục đích cung cấp cho học sinh lớp 12 các phương pháp tính tích phân và một số ứng dụng của phép tính tích phân trong toán học và trong thực tế, góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập. Chuyên đề này đã: + Hệ thống ngắn gọn các kiến thức về vi phân, nguyên hàm và tích phân. + Đưa ra các phương pháp tính tích phân: Tích phân đổi biến số, từng phần, tích phân của hàm số hữu tỷ, vô tỷ, tích phân hàm lượng giác, hàm siêu việt ... + Giới thiệu các ứng dụng của tích phân trong toán học và thực tế: Tính diện tích, thể tích. + Cung cấp các bài tập phong phú về số lượng, đa dạng về các dạng toán tích phân. + Hệ thống các bài tập tự luyện giúp học sinh tự luyện tập, củng cố kỹ năng giải toán.

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM  TÍCH PHÂN

Với mục đích cung cấp cho học sinh lớp 12 các phương pháp tính tích phân và một số ứng dụng của phép tính tích phân trong toán học và trong thực tế, góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập

Chuyên đề này đã:

+ Hệ thống ngắn gọn các kiến thức về vi phân, nguyên hàm và tích phân

+ Đưa ra các phương pháp tính tích phân: Tích phân đổi biến số, từng phần, tích phân của hàm số hữu tỷ, vô tỷ, tích phân hàm lượng giác, hàm siêu việt

+ Giới thiệu các ứng dụng của tích phân trong toán học và thực tế: Tính diện tích, thể tích.+ Cung cấp các bài tập phong phú về số lượng, đa dạng về các dạng toán tích phân

+ Hệ thống các bài tập tự luyện giúp học sinh tự luyện tập, củng cố kỹ năng giải toán

Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM

Số tiết dạy: 12 tiết (4 buổi)

A Mục tiêu bài dạy:

1 Kiến thức:

+ Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số

+ Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm

1 Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại x (a; b) Cho số

gia x tại x sao cho x + x(a; b) Ta gọi tích f ’(x).x hoặc y’(x).x là vi phân của hàm số

y = f(x) tại x ứng với số gia x Ký hiệu: dy hoặc df(x)

Vậy: dy = y’x hoặc df(x) = f ’(x).x

Ta có: hàm số y = x thì: dy = dx = x’.x = x Vậy dy = y’.dx hoặc df(x) = f ’(x)dx

2.Các hệ thức thường dùng:

dx = d(x + C) kdx = d(kx + C)

21

x dx d x  C

2 Định lí : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) ta có:

+ C = const, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó

+ Ngược lại mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b) đều có thể viết dưới dạng:

+) Dấu �được gọi là dấu tích phân

+) Biểu thức f x dx ( ) gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và đó là vi phân của mọi nguyênhàm của f x ( ).

Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp Nguyên hàm của những hàm số hợp

�

2

1

cotsin x dx  x C

1

cotsin u du  u C

1

cotxsin

2

1

tanxcos

Sự tồn tại của nguyên hàm:

Định lí: Mọi hàm số f x ( )liên tục trên   a b ; đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

C CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:

SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

I Phương pháp chung: Đưa về nguyên hàm cơ bản:

1) Kiến thức sử dụng:

+) Các tính chất của nguyên hàm

+) Bảng các nguyên hàm

+) Các phép biến đổi đại số.

2) Phương pháp: Tính � f x dx ( )

Ta biến đổi, phân tích, tách hàm số f x ( )ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Biến đổi hàm số f x ( )  1 1f x ( )  2 2f x ( )   n nf x ( ) Với f xi( ) có nguyênhàm trong bảng công thức và i là các hằng số

II PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

A Phương pháp đổi biến dạng 1.

Để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1 tìm nguyên hàm của hàm số f(x) chúng ta thực

hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt x (t), trong đó (t)là hàm số mà ta chọ cho thích hợp.

Bước 2: Lấy vi phân dx '(t) dt

Bước 3: Biểu thị f x dx  theo t và dt Giả sử f x dx g t dt   ( )

Bước 4: Khi đó �f x dx  �g t dt( )

3 Lưu ý: Các dấu hiệu để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1.

1 sin 1 ln

2 Phương pháp thực hiện:

Để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2 tìm nguyên hàm của hàm số f(x) chúng ta thực

hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn t (x), trong đó (x)là hàm số mà ta chọ cho thích hợp, rồi xác định(t)

x  (nếu có thể)

Bước 2: Xác định vi phân dt '(x) dx

Bước 3: Biểu thị f x dx  theo t và dt Giả sử f x dx   f  x .' x dx g t dt ( )

Bước 4: Khi đó �f x dx  �g t dt( )

3 Lưu ý: Các dấu hiệu để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2.

2

Hàm f  cos sin x  x hoặc hàm số lẻ với sin x Đặt t  cos x

Hàm f  sin cos x  x hoặc hàm số lẻ với cos x Đặt t  sin x

1 tan

2 3

1

x t

3 Trường hợp sử dụng:

+) f x   có chứa hàm số lôgarit.

+) f x   có dạng tích của hai loại hàm số khác nhau.

+) f x   có chứa tham số nguyên tự nhiên n ( ít gặp ).

4 Chú ý: Khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm chúng

ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau đây:

+) Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.

+) Ta thường đặt v x'  là các hàm số lượng giác; hàm số mũ cơ số e; hàm đa thức

+) Thứ tự ưu tiên chọn u như sau:

Số 1: Hàm lôgarit.

Số 2: Hàm lũy thừa

Số 3: Hàm lượng giác

Số 4: Hàm số mũ

+) nguyên hàm � vduđược xác định dễ dàng hơn so với � f x dx ( )

5.Bài tập: Tích các nguyên hàm sau:

11 cos ln(1 cos ).

I � x  x dxĐặt

ln 1 cos cos

x

A Mục tiêu bài dạy:

1 Kiến thức:

+ Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niutơn – Laipnit

+ Biết các tính chất của tích phân

2 Kỹ năng:

+ Tìm được tích phân của một số hàm số bằng định nghĩa hoặc phương pháp tính tích phân từng phần

B KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1 Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số liên tục trên một khoảng   a b ; Giả sử F(x) là một

nguyên hàm của f(x) trên   a b ; Hiệu số: F(b)  F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) Ký hiệu: ( )

2 1

1

73

I �  x dx x  x  x 

3

2 3

2 8

2

12

x x

4 4

1(sin 4 sin )2

Bước 1: Chọn x   ( ) t , Trong đó  ( ) t là hàm số được lựa chọn thích hợp

Bước 2: Lấy vi phân dx  '( )dt t , giả sử '( ) t liên tục

Bước 3: tính các cận  và  tương ứng theo a, b với a      và b     thì:

Vậy I = 2 2 2

1 cos 2cos

(Dạng 1)

Đs: 5 2 2

3

I 2

III Phương pháp đổi biến dạng 2:

1 Phương pháp: Giả sử tích phân có dạng: ( ) ( ( )) '( )

2 Các dấu hiệu để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2.

Hàm f x  n1 xn Đặt tx n1

2

Hàm f e  x .ex Đặt t e x

Hàm f  cos sin x  x hoặc hàm số lẻ với sin x Đặt t  cos x

Hàm f  sin cos x  x hoặc hàm số lẻ với cos x Đặt t  sin x

1 tan

2 5

1 ( 1).

6

dt I

t t

e dx e

1 Trường hợp sử dụng:

+ f(x) có chứa hàm log

+ f(x) có dạng tích của hai loại hàm số khác nhau

+ f(x) có chứa tham số nguyên tự nhiên ( ít gặp)

Phần còn lại của f(x)dx sau khi chọn u là dv

4 Bài tập: Tính các tích phân sau:

dv dx x

1 sin 2

cos

x dx x

Trường hợp 2: Bậc của f(x) � bậc của g(x).

Chú ý: Sơ đồ trên được chú thích như sau:

Trường hợp 1: Bậc của f(x) < bậc của g(x).

Khi đó hãy tìm các hằng số A, B sao cho: 2

f( )g( )

*) g(x) vô nghiệm (Trường hợp này chỉ gặp trong bài toán tính tích phân):

Trong trường hợp này ax2 + bx + c có dạng a[(x + p)2 + q2], do đó hãy đặt x p q   tan t để

suy ra kết quả

3) g( x ) là đa thức bậc 3: Chỉ có các khả năng sau của Q(x)

*) g(x) có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, tức là: g(x) = a(x  x1)(x  x2)(x  x3)

Khi đó hãy tìm các hằng số A, B, D sao cho:

f( )g( )

x  x x x x  x x

*) g(x) có nghiệm kép x1 và nghiệm đơn x2, tức là: g(x) = a(x  x1)2(x  x2)

Khi đó hãy tìm các hằng số A, B, D sao cho: 2

*) g(x) chỉ có 1 nghiệm đơn x1, tức là g(x) = (x  x1)(ax2 + bx + c)

Khi đó hãy tìm các hằng số A, B, D sao cho: 2

1

f( )g( )

Trường hợp 2: Bậc của f(x) � bậc của g(x).

*) Nếu bậc f(x) lớn hơn bậc g(x), khi đó ta thực hiện phép chia f(x) cho g(x) để được thương

11

1

d x x x

dt I

2 sin 2cos cos 2sin1

b/ Tính I = 4

0

( )( )

g x dx

4sin (sin cos )

2/ Dạng: �sinm xcosn xdx

 Nếu m hoặc n lẻ đặt t = cos x hoặc t = sin x

 Nếu m, n đều chẵn và có ít nhất một trong hai số là âm thì đặt t = tan x

 Nếu m, n đều dương, chẵn ta dùng công thức hạ bậc.

Ví dụ: Tính các tích phân:

a/ 4 4

6 0

sin

cos

x dx x



0sin x.cos xdx



b/

4 2

3 6

cos

sin

x dx x

3/ Nếu tích phân có dạng: �f(sin , cos )x x dx thỏa mãn:

+ f(sin x, cos x) =  f(sin x, cos x) thì đặt t = cos x

+ f(sin x, cos x) =  f(sin x, cos x) thì đặt t = sin x

+ f(sin x, cos x) = f(sin x, cos x) thì đặt t = tan x

cos

1 cos

x dx x







�

VIII Sử dụng các phép biến đổi lượng giác:

Sử dụng các công thức: hạ bậc; biến đổi tích thành tổng…

Ví dụ: Tính các tích phân:

x dx

coscos 1

x dx x

x dx

 Nhân lượng liên hợp

 Sử dụng phương pháp đổi biến số

a x

t

2 2

t���� ���2

 Đưa về các nguyên hàm cơ bản.

 Sử dụng phương pháp đổi biến số

e dx I

x x

x



Đặt t 2 ln x

1 cos 2 2

0

ln(cos )

.cos

2 1

XI LỚP CÁC TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

1 Nếu f(x) liên tục , là hàm lẻ trên [a; a] thì ( ) 0

( Số tiết dạy: 9 tiết = 3 buổi)

A Mục tiêu bài dạy:

1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

y= f(x), x=a, x =b và trục hoành là

b

a

S= �f(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b a

0 y

Trường hợp 1 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng

giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x), x=a, x =b là

b a

dấu để tính tích phân.

Trường hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng

giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x) là S f(x) g(x) dx

b

a

= � - Trong đó a b, là

nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x)=g(x) (a�a < b �b)

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình f(x)=g(x) tìm các giá trị   ,

Trường hợp 1 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

y= f(x)� " �� �0, x � �a;b , y=0, x =a và x=b (a<b) quay quanh trục Ox là

b

2

a

V = p�f (x)dx

Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  sin x, trục hoành và hai đường0,

x  x   Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox

Giải: Áp dụng công thức

b 2 a

(p ) : y =x +2 quay quanh Ox

Giải: Hoành độ giao điểm là nghiệm pt: 4  x2  x2 2 � x  � 1

 

1

2 0

Hoành độ giao điểm 4



 có đồ thị (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạnbởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C )

Bài 2 ( TN – 2006): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex,

Bài 2:Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y2=

x

e ,y=0,x=0,x=1 khi nó quay quanh trục 0x

Bài 3: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường

y=sin xcosx,y=0,x=0,x=

khi nó quay quanh 0x

Bài4:Tính thể tích tròn xoay khi phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường cong y=x2 và y=

x quay quanh trục 0x

Bài 5 Tính V   (H) : y x x  ln ; y 0;  x e khi H qqOx  , ( ) 

Bài 6 Tính V   y  x sinx; y 0;0 x  � �  , khi qqOx 

Bài 7:Cho hàm số y=3 5

x x

0

sin osx 2

Bài 4: Ta có V=

1 4 0

 � �  � �



ĐỀ THI TÍCH PHÂN TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY (2003-2015)

2 0

2) KB – 2003

2 4

4 3

I 

2 2

9) KA – 2005

2 0

I 

10) KD – 2006 1

2 0

( 2) x

I �x e dx I 5 32e211) KB – 2006 ln 5

ln 3 x 2 x 3

dx I

sin

4sin 2 2(1 sin cos )

x dx I

tancos 2

3 ln( 1)

I  e 23) KB-2010

2 1

ln(ln 2)

1 sincos

sin ( 1) cossin cos

( 1)1

33) KA - 2013 2 2

2 1

36) KD - 2014

4 0

I 

37) KB - 2014 2 2

2 1