Phân tích, định hướng tư duy giúp học sinh giải quyết các câu hỏi trắc nghiệm khách quan về nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác

Với mục đích giúp học sinh phân loại được mức độ câu hỏi để phân bố thời gian, định hướng tư duy tìm phương án tối ưu, kết hợp với việc sử dụng hợp lý công cụ MTCT để giải quyết các câu hỏi TNKQ về nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác, tôi lựa chọn chuyên đề Phân tích, định hướng tư duy giúp học sinh giải quyết các câu hỏi trắc nghiệm khách quan về nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác

Phân tích, định hướng tư duy giúp học sinh giải quyết các câu hỏi TNKQ về nguyên hàm, tích phân

hàm phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong đề tham khảo, đề minh họa, đề thử nghiệm và đề thi THPT quốc gia môn toán các năm gần đây của Bộ GD&ĐT luôn có bài toán về nguyên hàm, tích phân Trong đó nguyên hàm, tích phân của hàm phân thức hữu tỷ, hàm số lượng giác xuất hiện nhiều, với các mức độ từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng, đặc biệt, các bài ở mức độ vận dụng thì MTCT chỉ giúp học sinh kiểm tra lại kết quả và thực hiện các phép tính thông thường.

Với mục đích giúp học sinh phân loại được mức độ câu hỏi để phân bố thời gian, định hướng tư duy tìm phương án tối ưu, kết hợp với việc sử dụng hợp lý công cụ MTCT để giải quyết các câu hỏi TNKQ về nguyên hàm, tích phân hàm

phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác, tôi lựa chọn chuyên đề "Phân tích, định hướng tư duy giúp học sinh giải quyết các câu hỏi trắc nghiệm khách quan

về nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác" làm đề

tài đóng góp trong buổi hội thảo cụm trường khu vực Phúc Yên

Trong khuôn khổ của chuyên đề, tôi phân tích, định hướng tư duy giúp học sinh giải quyết được các câu hỏi TNKQ về nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác, đồng thời hướng dẫn học sinh sử dụng công cụ MTCT một cách hợp lý để giúp giải nhanh các bài tập TNKQ.

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Nội dung chuyên đề như sau:

Mọi hàm số liên tục trên khoảng K đều có nguyên hàm trên K

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm các hàm số thường gặp Nguyên hàm mở rộng (k 0)

Nguyên hàm các hàm số thường gặp Nguyên hàm mở rộng (k 0)

5) sin dx x cosx C sin(kx b x )d  cos(kx b k  )C

d

cotsin

a) Phương pháp đổi biến số:

Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn  a b Giả sử hàm số ;  x( )t có đạo hàm liên tục trên đoạn    ;  (nếu   thì ta xét đoạn    ;  ) sao cho ( ) a , ( ) b

      và a( )t b với mọi t     ;  Khi đó ( )d ( ( )) ( )d

II Nguyên hàm, tích phân của hàm phân thức hữu tỷ

- Để tìm nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ dạng ( )

1 2 2

Hàm ( )f x là hàm phân thức hữu tỉ có bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số và

là nguyên hàm của hàm số ( )f x trên K thì ( ) F x f x( ) x K

+ Lấy giá trị x x 0 và tính f x ( ).0

+ Tính F x( )0 và so sánh với f x nếu chỉ có một hàm số trong các phương án( ),0

trả lời thỏa mãn F x( )0 f x( )0 thì đó chính là nguyên hàm của ( ).f x

+ Nếu có từ hai hàm số trở lên thỏa mãn F x( )0 f x( )0 , khi đó tiếp tục chọn mộtgiá trị x khác để kiểm tra và loại dần các phương án.1

Áp dụng vào bài toán: Chọn x  0 3

- Kiểm tra hàm số trong phương án B:

2 2

Nhận xét: Cách nhanh nhất với TNKQ là cách 3 với sự trợ giúp của MTCT.

Cách 2: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm để kiểm tra từng hàm số trong các phương án

- Kiểm tra hàm số trong phương án A, có

2 2

Như vậy, ta phải tiếp tục kiểm tra hai phương án B và D

Bằng cách chọn x  ta thấy phương án B không thỏa mãn2

đã chọn giá trị đặc biệt x  Nếu ngay từ ban đầu chọn 0 x  thì ta sẽ chọn được2ngay phương án đúng là D

Câu 4: Nguyên hàm của hàm số ( ) 32 3

Nhận xét: Cách nhanh nhất với TNKQ là cách 3 với sự trợ giúp của MTCT.

Bước 1: Bằng cách kiểm tra (1) 1F  loại được các phương án B và D.

Bước 2 Bằng cách kiểm tra với x  0 :

Nhận xét: Với bài toán này, nên sử dụng cách 2 với sự trợ giúp của MTCT.

2 2

1( )

Cách 2: Sử dụng MTCT để kiểm tra: Cho x  2.

   nên đến đây ta có 2 hướng xử lý:

Cách 2 (biến đổi trực tiếp)

Đến đây ta có hai hướng giải quyết:

- Hoặc biến đổi  2  3x 1 a2b x   a b  x

Nhận xét

- Tại sao trong hệ thức  2 là điều kiện x mà không phải điều kiện

11,

f x là đa thức có dạng bậc n ) đúng với vô số giá trị của x thì vế trái phải đồng nhất

bằng 0 với mọi x   Bởi vậy nên

2 2 1

d1

x x

   

2 2

6 6

d2



 ta được

0 2017

( 2)

d

x

x x

Tổng quát: Bằng cách đổi biến số

III Nguyên hàm, tích phân hàm lượng giác

Để tìm nguyên hàm, tính tích phân hàm số lượng giác thông thường sử dụng cácphép biến đổi lượng giác, đổi biến số hoặc từng phần để đưa về các nguyên hàm, tíchphân dạng cơ bản

Chú ý: Với nguyên hàm dạng sinm cos dn

,

m n   ):

+ Nếu m là số nguyên dương lẻ thì đặt t cos x

+ Nếu n là số nguyên dương lẻ thì đặt t sin x

+ Nếu ,m n là các số nguyên dương chẵn, sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích

thành tổng để biến đổi sinm xcosn x về dạng tổng của sin và cosin với số mũ bằng 1.

Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) sin 3f x  x là

1cos3

A 1 sin 2019

1sin 2019

Câu 19: Biết

3 3

4

2sin dx x a c

Hướng dẫn giải

Định hướng tư duy

* Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân có số mũ của sin x là lẻ nên có thể sử dụngphép đổi biến t cos x

Cách 1: Đặt Biết

3 3 4

2sin dx x a c

* Vì số mũ của sin x bằng 3 nên có thể sử dụng công thức hạ bậc ba để đưa về

bậc 1 đối với sin

Hướng dẫn giải

Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân có số mũ của sin x là chẵn nên sử dụng công

thức hạ bậc, sau đó sử dụng nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính

* Vì số mũ của sin x và cos x bằng 3 nên có thể sử dụng công thức hạ bậc ba để

đưa về số mũ bậc nhất của sin và cos

Nhận xét: Với bài toán này, nên sử dụng cách thứ 3 sẽ tiết kiệm thời gian và việc

biến đổi, tính toán sẽ đơn giản hơn

Hướng dẫn giải

Định hướng tư duy

- Không thể đổi biến t sinx do số mũ của cos x có cả chẵn và lẻ.

- Khi nhân khai triển ta được cos3x 1 cos 2xcos5x cos2x Điều này giúp ta

định hướng đến việc tách thành hai tích phân, trong đó có tích phân 2 2

Định hướng tư duy

- Số mũ của sin x và cos x đều chẵn  sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi để

đưa về tổng của sin và cosin có số mũ bằng 1

- Các biến đổi cơ bản:

Định hướng tư duy

- Số mũ của sin x và cos x đều chẵn  sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi để

đưa về tổng của sin và cosin có số mũ bằng 1

Câu 26: Biết

3

3 4

d

ln 3sin cos

Định hướng tư duy

Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân có sin , cosx x đều có số mũ lẻ nên có thể đổi

biến t sinx hoặc t cosx Trong trường hợp này, vì số mũ của sin x nhỏ hơn số mũ của cos x nên để đơn giản, ta đặt t cosx

2 2

* Nhận xét thấy, mẫu số có tổng số mũ của sin x và cos x là một số chẵn nên ta

có thể đưa về tan x bằng cách biến đổi

- Với bài toán này, nên sử dụng cách 2 sẽ phù hợp hơn.

d

.ln 3sin

0 1 2

1 2 0

Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân chứa tan x nên ta hướng đến việc đổi biến4

đó hướng chúng ta đến biến đổi cos 2xcos2x sin2xcos2x1 tan 2x

Định hướng tư duy

- Mẫu số 1 sin 2 xsinxcosx2 gợi ý ta xét tử số cosx sinx có bằng đạohàm của sinxcosx hay không, nếu được thì sử dụng phép đổi biến t sinxcos x

- Có sinxcosxcosx sinx t sinxcos x

Ta có:

2 2

Định hướng tư duy

- Ta coi tử số cosxsinx là đạo hàm của hàm u để sử dụng kết quả du x d u

Nếu ' cosu  xsinx  usinx cosx Như vậy nếu mẫu số biểu diễn quasinxcosx thì bài toán được giải quyết

- Mẫu số 3 sin 2 x 4 1 sin 2 x  4 sinxcosx2

Ta có: 3sinx5cosx3cosx 5sinx

Giả sử: 19cosx 9sinx a 3sinx5cosx b3sinx5cosx  x

d

ln 3 ln 2cos cos

Cách 2

Ta có

sin

61

Câu 34: Biết 3

4 0

1cos

a b dx

1dcos

d

1 tan

cos

x x

3

x x

2 3 6 6

sincos

sincos

1tan

F 







Câu 7: Cho

1

2 0

d

ln 2 ln 32

d

ln 2 ln 5 ln119

.1

 với , a b là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của , a b

bằng 1 Mệnh đề nào sau đây sai?