NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG

Các phương pháp tìm nguyên hàm, tính tích phân.. Dạng 1 : Tìm nguyên hàm, tính tích phân bằng định nghĩa.. Dạng 2 : Xác định nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.. Dạn

CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

3 Các phương pháp tìm nguyên hàm, tính tích phân

Dạng 1 : Tìm nguyên hàm, tính tích phân bằng định nghĩa

Dạng 2 : Xác định nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 3 : Xác định nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dx=F x =F b −F a



+ Áp dụng ĐN, tính chất, bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm, tính tích phân

+ Áp dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp từng phần để tính tích phân

+ Sử dụng máy tính cầm tay để giải bài tập về nguyên hàm, tích phân

C BÀI TẬP

Dạng 1: Áp dụng ĐN, tính chất, bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm, tính tích phân

Bài 1.Tìm nguyên hàm của các hàm số.

a f(x) = 2

2 2

)1(

++

−2 13

3

b f(x) = 3 4

x x

33

5 3 4 2 3

c f(x) =

321

x

x − => f(x) =

1 1

g f(x) =

2sin

− +

−d) 12

2os

cosx dx

Ta có ( ) 2

( ) 2 1

f x = x+ dx=x + +x C; Vì f(1) = 5 nên C = 3; Vậy : f(x) = x2 + x + 3 b) f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3; Ta có: f(x) = ( ) 3

3+

12

( osc x 3sinx)dx s inx + 3cosx 2

02

A 9x5−10x3+5x C+ B 9x5+10x3−5x C+

C 15x5−10x3+5x C+ D 15x5+10x3−5x C+

Câu 4 Nguyên hàm (cosx+sin )x dx bằng

A sinx + cosx + C B sinx – cosx + C

C –sinx + cosx + C D –sinx – cosx + C

x

x

− + − + Câu 6 Nguyên hàm ( 3 5 4)

Câu 7 Nguyên hàm

2 2 2

(x 1)

dx x

x

x

+ − + Câu 8 Nguyên hàm A=2 3x 2x dx bằng

ln16

x C

+ D 18

ln18

x C

+ Câu 9 Nguyên hàm cot x dx2 bằng

A tanx + x + C B –tanx + x + C C –cotx – x + C D cotx + x + C Câu 10 Nguyên hàm tan x dx2 bằng

A cotx – x + C B cotx + x + C C tanx – x + C D tanx + x + C Câu 11 Nguyên hàm 3sin2

2

x dx

++

A ln2 – ln3 B ln3 – ln2 C 6ln3 – 3ln2 D 3 + 6ln2 – 3ln3 Câu 18 Tích phân 1 2

04

x dx x

3ln

3ln

5

BUỔI 2 DẠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Bước 2: Đổi cận: x = a  t = (a) ; x = b  t =  (b)

Bước 3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

+ Biết cách đặt ẩn phụ

+ Biết biểu diễn nguyên hàm theo ẩn phụ, đổi cận đối với tích phân

+ Biết sử dụng tính chất, công thức vào giải toán

x

C

+ +

e e

−

−

d) D =

2

2 0

x C

424

x C

320

x C

+ Câu 2 Nguyên hàm sin4x c osxdx bằng

x C

+ C cos x C5 + D sin5x + C

Câu 3 Nguyên hàm

1

x x

e dx

x +

x dx x

x C

−

4 4(3 )16

x C

Câu 10 Nguyên hàm 1 x

e dx x

A −e x +C B e x + C C 2e x + C D 3e x +C

Câu 11 Nguyên hàm 1

ln xdx x

1x x 1 .dx

2 0

2.1

dx x

34ln

54ln3

23

I = u

Câu 22: Biết sin x cos 1

4

a o

BUỔI 3 DẠNG 3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

=> (1−x)cosxdx= (1−x)sinx+sinxdx= −(1 x)sinx−cosx C+

Bài 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

23



2

+ cosx 2

0



= 2

 -1

dv cos x

x x− x + C

Câu 2 Nguyên hàmx.2x dx bằng

A 2 12

.2ln2 ln 2

A

2 2

x C+ B sinx x c x C+ os +

C sinx x−sinx C+ D

2os2

x

x− e + C D 1( ) 3

33

x x x



−



A  − 3 B. + 3 C 2  − 3 D 2  − 3

Câu 17 Tính tích phân

2

0(x 1) sin 2xdx

+

2 4

2 4

 −

Câu 18 Tính tích phân

2 3 0

+

BUỔI 4 CHỦ ĐỀ 2 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

b a

Giả sử S(x) là hàm liên tục trên [a; b] Khi đó thể tích của (T) là : V = b

a dx x

Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

a) Đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = -2, x = 2

Ta có:

2 1 1

Ta có: 1( ) ( )

1 0 0

22

1

0

2 2 0

2

2 3 1

3 4

−

=

2,01

13

3 2

3

x x

x y

x x x y

S(H)=2 − + − − −

0

2 3

)1()133(x x x x dx=2 − + −

0

2 3

24

3x x dx x

Bài 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

a)Trục tung, trục hoành và đồ thị hàm số : 2 1

1

x y x

+

=+ (Đề thi TN năm 2004-2005)

Đồ thị giao với trục hoành tại điểm 1; 0

Bài 4 Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox

a) Đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành, đường thẳng x =

2

, x =

0

2

)2cos1(2cos

dx e

e v

xdx du

dx e dv

x u

2 2

2

212

V =

1 1

2 2 0 0

Tính I =

1

2 0

D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1 Cho hình (H) giới hạn bởi y = sin x; x = 0; x = π và y = 0 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi

quay hình (H) quanh trục Ox

Câu 9: Cho hình thang cong (H)giới hạn bới các đường y=e y x, =0,x=0 và x =ln 4 Đường thẳngx=k(0 k ln 4) chia (H) thành hai phần có diện tích là S1 S2 và như hình vẽ bên Tìm

5

(đvtt) D.72

Câu 17 Diện tích hình giới hạn bởi

3+

a b Khi đó, 2

Câu 20 Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=2x−x y2, =x Thể tích của khối tròn xoay thu

được khi quay hình này quanh trục trục Ox:

Câu 21 Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=x x2, = y2 Thể tích của khối tròn xoay thu

được khi quay hình này quanh trục trục Ox:

1

Thông hiểu

2

Vận dụng thấp

3

Vận dụng cao

4

Tích phân

Câu 1,2,3,4 1,6

5,6

Ứng dụng hình học

của tích phân

Câu5,6,7,8 1,2

10 4,0

4 1,6

Câu 6 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=f1(x), y = f2(x) liên tục trên [a;b]



0sin

3.4

1 3 0

1 3 0

−t dt

Câu 13 Tìm tích phân 2( )

2 11

=  − x

A e2 +e. B e2 −e. C 2e – 3 D 2e2−3e

Câu 14 Đổi biến u = sinx thì 2 4

sin cos0



u du C

1 4 0

−

Câu 17 Gọi S là miền giới hạn bởi (C): y= x2, trục Ox và hai đường thẳng x= 1, x= 2 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục Ox là:

−

1

Câu 24 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= − và Parabol 4 x 2

2

x

y = là:

A 22.

26

25

28.3

Câu 25 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x2 - 4,

y = 2x - 4 quay quanh trục Ox