Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Dùng cho ôn thi đại học, ôn thi kỳ thi quốc gia môn toán, ôn thi học sinh giỏi Tuyển chọn công phu, đã được kiểm tra trên nhiều nhóm học sinh, đáp án và lời giải chuẩn 100% File word lời giải chi tiết

2 2

II CÁC DẠNG TỐN

1 TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

– Nắm vững bảng các nguyên hàm;

– Nắm vững phép tính vi phân.

+ Tìm họ các nguyên hàm của hàm số y=f(x): f(x)dx F(x)+C  (*)

+ Từ điều kiện cho trước ta tìm được C ;

+ Thay giá trị của C vào (*) ta tìm được nguyên hàm cần tìm

VD1 Cho hàm số y 1 cot2x Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số, biết rằng đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm M(

x dx x

 Đổi biến dạng 1 Đặt x = (t)khi tích phân có dạng :

I b

a

)(')()

I b

a

)(')()

x a





hoặc

x a

x a





x = a.cos2t

))(

I = = cost dt = sint + C

1 cos tcos t

Vì x = tant và sint = tant.cost = tant 2

xsint =

x







3 Tìm nguyên hàm :

1 23

dx I

x



Đặt u  1x x u 2  và 1 dx2udu

2 2

BÀI TẬP

1 Tìm họ nguyên hàm:

3 2

p x axdx

 u dvp xsin( )axdx



( ) cos

2

2

dx x

x x x

1ln(

2

x

x x

1

1ln

2

2 2

2

2 2

x v

x

dx dx

x x x

x du

dx x

x dv

x x u

Dạng p x( )sinaxdx ; p x( ) cosaxdx :

Nếu bậc của p(x) bằng hoặc lớn hơn 3 ta nên giải theo phương pháp sau:

B1 Ta có : I p x( ) cosxdxA x( )sinx B x ( ) cosx C , (1)

Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm được A(x) và B(x)

B3 Thay A(x) và B(x) vào (1) rồi kết luận.

(Có thể áp dụng cách này cho các dạng axcos

Vậy I  ( x3x24x1) cosx(3x2 2x4)s in x C

 + sin

x dx

 - sin

x dx

f(x)dx= G(t)



II Phương pháp tích phân từng phần:

Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:

Phương phỏp: Giả sử bậc của P(x) nhỏ hơn bậc Q(x) (nếu ngược lại ta lấy tử chia cho mẫu)

Phõn tớch mẫu Q(x) thành tớch cỏc nhị thức bậc nhất và tam thức bậc 2 theo từng trường hợp:

Tìm C , D , C , D bằng ph ơng pháp hệ số bất định

4)

Trong cỏc dạng trờn, khi tớnh toỏn ta thường gặp 2 dạng sau:

dxTÝnh tÝch ph©n I=

4 -

(2x+2)dx TÝnh tÝch ph©n: I=

Nhân hai vế cho (x+1)(x+2), ta được: 1 = (A+B)x + 2A + B

Dạng toán 2: Tích phân các hàm vô tỉ : có hai phương pháp

I Phương pháp hữu tỉ hóa:

Dạng 1: Đối với tích phân dạng n ax+b

Ví dụ 1: Tính tích phân

2

3 0

2

3

2 2

5 3

, , , , ta đặt t= , trong đó k là bội số chung nhỏ nhất của n , n , , n

=1- 3-(ln 2+t -ln 2-t ) =1- 3- ln3-ln(2+ 3)+ln(2- 3) =1- 3-ln3+2ln(2+ 3).

Ví dụ 2 Tính tích phân

1

2 0

dx I=

Ví dụ : Tính tích phân:

1

2 0

dxI=

II Phương pháp lượng giác hóa:

Nếu trong biểu thức dưới dấu tích phân có chứa:

dxb) L=

1

2 2 0

1) Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cosx, đặt t = sinx

2) Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với sinx, đặt t = cosx

3) Hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với sinx, cosx, ta đặt t = tanx

2 2

-4

sin xdxI=





Giải

2) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng p(x).f(x) trong đó p(x) là một đa thức, f(x) là một hàm

lượng giác thì cách giải chung là:

4) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng p(x).ln(f(x)) trong đó p(x) là một đa thức hoặc là hàm số

lượng giác, thì cách giải chung là:

1 1

e 3 1

1

e 4

3 1

* TÝnh I x ln xdx :

dxdu

§Æt

v4

2 0

Dạng toán 6: Một số lớp tích phân đặc biệt

Tính chất 1 : Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [-a; a] với a > 0, thì

Hàm số dưới dấu tích phân là hàm lẻ nên theo tính chất 2 ta có : I = 0.

Giải trực tiếp như sau:

-





Tính chất 3 : Nếu hàm f(x) liên tục và là hàm chẵn trên đoạn [-a; a] với a > 0, thì

Sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1, ta tính được :

Tính chất 6: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [0; a] với a > 0, thì

§æi cËn: Khi x=0 t=a; khi x=a t=0

f(x)dx=- f(a-t)dt f(a t)dt f(a x)dx.

Giải

§æi cËn: Khi x=0 t= ; khi x= t=0

I= xf(sinx)dx=- ( -t)f[sin( t)dt ( t)f(sin t)dt ( x)f(sin x)dx f(sin x)dx I

§æi cËn: Khi x=0 t= ; khi x= t=0

 du 3(1 tan v)dv; 9+4u  2 2   9 9 tan v2  9(1 tan v)  2

1 cos 16x sin 6x cos x sin 6x cos x sin 6x cos x

vµ do f(x)= lµ mét hµm sè lÎ trªn [- ; ] nªn theo TC 2 ta cã I=0

1 cos 16x

BÀI TẬP

Tính tích phân

2008

0 I= 1-cos2xdx

HD 3) Sö dông tÝnh chÊt 1 ta chØ cÇn chøng minh: (lnx)2 ln x, víi x [1;2] 

x f

y

,

0

) (

dx x f

dx x f

a x

x f

y

x f y

,

) ( ) (

dx x f x f

S 1( ) 2( )

Chú ý 2: Khi muốn khử bỏ dấu cần xét dấu

)()

f  hoặc vẽ hình hoặc giải phương trình

0)()

1 x  f x 

f tìm thêm nghiệm thuộc khoảng a; b

rồi cho dấu ra ngoài tích phân tương tự chú ý 1

Thay đổi vai trò của x và y cho nhau, ta được các công thức tương tự với x là hàm số của y

II Các dạng toán:

1 Bài toán cho trước cận của tích phân:

Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 - x - 2, y = 0, x = -2, x = 0.

Tính diện tích phần hình phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường y = xe x , y = 0, x = -1, x = 2.

2 Bài toán không cho trước cận của tích phân:

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y 2 = x 3 và y 2 = (2-x) 3



BÀI TẬP

(ĐH Bách khoa Hà Nội - Năm 2001)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

* Chuyển hai PT về dạng hàm số (với đối số thích hợp); xác định cận của tích phân

* Tính diện tích của hình phẳng theo công thức (2)

3 Sử dụng hình vẽ để định cách giải

Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:y= 4-x2 vµ y= x2

(ĐH Khối B - Năm 2002)

Giải

Hoành độ giao điểm của hai đường trên là

nghiệm của phương trình:

x y

x f y

, 0

) (

a x

x f

y

x f y

,

) ( ) (

OxVật thể thu được có thể tích là

f1( ) 2  2( )2



Chú ý 3: Trường hợp này không thể làm

theo công thức sau

a

V=g (y)dy (5)TH4) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y=a, y=b quay xung quanh trục Oy tạo nên khối tròn xoay có thể tích:

Hình phẳng quay xung quanh trục hoành:

Ví dụ 3: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = xlnx, y = 0, x = e Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.

v3

* Tìm tọa độ giao điểm của các đường cho trong đầu bài để suy ra cận của tích phân.

* Viết PT f(x,y) = 0 (nếu cĩ) thành hàm số của y theo x

* Sử dụng cơng thức (3) hoặc (4) để tính thể tích của khối trịn xoay được tạo thành

BÀI TẬP

1 (TSĐH A-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : yx2 4x 3 và y=x+3

2 (TSĐH B-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y 4 x2

4

2

xy

4 2



3 (TSĐH A-2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y(e1) ;x y 1 e x.x

4 (TSĐH B-2007) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y x ln ;x y0;x e

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox

1

1)'(

u u

1

')'

4 (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu

5 (cosx)’ =  sinx (cosu)’ =  u’.sinu

d tanx cos x

d(cotx) sin x

dx d(ln x) x

d( x )

Các cơng thức từ 13-17 khi giải tốn cần trình bày lại Cĩ thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm hai vế.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

B CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

I – Phương pháp đổi biến số:

1) Đổi biến dạng t = u(x):

Bước 1: Chọn t = u(x), trong đĩ u(x) là hàm số mà ta chọn sao cho thích hợp (Xem bảng bên dưới) Bước 2: Lấy vi phân dt = u’(x)dx

Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt

Bước 4: Khi đĩ I = g )(t dt Tính tích phân này theo biến t Sau đĩ trả lại biến x.

2

1tancos

2) Đổi biến dạng x =  (t)

Bước 1: chọn x =  (t), trong đó (t) là hàm số mà ta chọn sao cho thích hợp

Bước 2: Lấy vi phân dx =  ’(t)dt

Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt

Bước 4: Khi đó I = g )(t dt Tính tích phân này theo biến t Sau đó trả lại biến x.

Một số dấu hiệu nhận biết và cách đặt:

1

x a

4

x a

x a





hoặc

x a

x a

x

f x dx a





 trong đó f(x) là hàm số chẵn

0

( )

( )1

x

f x

dx f x dx a

Bước 3: Khi đó: I u v  vdu

Một số dấu hiệu nhận biết và cách đặt :

Khi tính tích phân có dạngf(x).g(x)dx với f(x) và g(x) là những hàm cơ bản không cùng loại ta thường

dùng tích phân từng phần Cụ thể như sau:

1) Dạng : f(x) là đa thức, g(x) là sin, cos hoặc mũ Đặt u = f(x) dv = g(x)dx.

2) Dạng : f(x) là đa thức, g(x) là lôgarit …….……… Đặt u = g(x) …… dv = f(x)dx.

3) Dạng : f(x).g(x)dxe axcos(bx)dx Đặt: u = cos(bx) dv = e dx ax

dx bx e

b

a

f x dx x

cos

dx x

2

( )sin

b

a

f x dx x

sin

dx x

Tích phân từng phần 2 lần (dạng này gọi là tích phân hồi qui)

C u

Phân tích

c bx x

b A B c

bx x

b x A c bx x

B Ax

.2

2

 Tích phân cĩ dạng : du u + (tíchphândạng3)dx (đã biết cách tính)

2) Tích phân các hàm hữu tỉ dạng tổng quát : dx

x Q

x P

)(

1 1

2 1 2

2 1

F Ex b

x a

B b

x a

A x

Q

x P

Trong đĩ A, B, … làcác hằng số thực chưa biết, để tìm chúng ta quy đồng mẫu số ở vế phải, sau đĩ đồng nhất thức hai tử số ở

VT và VP, hoặc cho x các giá trị đặc biệt đưa đến một hệ phương trình đối với các hệ số đĩ (Phương phápnày gọi là hệ số bất định)

b) Bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x): chia P(x) cho Q(x) phân tích

)(

)(

x Q

x P

đưa về dạng a)

II – Tích phân các hàm số lượng giác:

1) Dạng R(cosx,sinx)dx, với R(cosx,sinx) là biểu thức hữu tỉ đối với sinx, cosx.

1

2sin

,1

22

tan

t

t x t

dt dx

x t

dt t

t x

21

21

21

2.11

2

11

2

Đặc biệt:

 Nếu R là hàm lẻ của sinx (tức là R(-sinx, cosx) = - R(sinx, cosx)) thì đặt t = cosx

 Nếu R là hàm lẻ của cosx (tức là R(sinx, -cosx) = - R(sinx, cosx)) thì đặt t = sinx

 Nếu R là hàm chẵn theo sinx, cosx (tức là R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx))  đặt t = tanx

2 2  2 4 t3 t5 sin x3 sin x5

2) Dạng cosax cos. bxdx , sinax sin. bxdx , cosax sin. bxdx

Phương pháp: Biến đổi các hàm dưới dấu tích phân thành tổng.

2

1cos

cos

 A B cosA B cosAB 

2

1sin

2cos1





Sử dụng đồng nhất thức :

Sử dụng đồng nhất thức :

Sử dụng đồng nhất thức :

Cách 1 : Sử dụng công thức :

Sử dụng đồng nhất thức :a1sinx+b1cosx= A(a2sinx+b2cosx)+B(a2cosx+b2sinx)

Để ý : a2sinx+b2cosx= 2 2

2 2

x a c bx

các dạng:

a) R1u, 2 u2du Đặt u tant với

22

b ax x



n ax b u

x

2 ) (

2

Ô end cùng dấu với a

- Bước 2: Chia tích phân I thành các tích phân nhỏ dựa vào bảng xét dấu (ghi kèm dấu)

1

1

)()

()

()

b

a

dx x n

0

0 f(x)dx =

f(x)

Nếu f(x) là hàm lẻ Nếu f(x) là hàm chẵn

MỤC LỤC

II CÁC DẠNG TOÁN

A NGUYÊN HÀM

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO AN GIANG