Bai 21 DABTTL BDTJensen

Bài 1 Ch ng minh r ng: 1 2 n n

a a a a ,a , ,a 0 n

(B t đ ng th c AM – GM)

Ch ng minh:

 N u Min{a1, a2, …, an} = 0 thì a1a2 an = 0 suy ra (đpcm)

 Xét tr ng h p còn l i: Min{a1, a2, …, an} > 0

t f(x) = – lnx v i x > 0 Ta có f ' x  1;f " x  12 0



 f(x) là hàm l i v i x > 0 S d ng b t đ ng th c Jensen ta có:

1 2 n

n

D u b ng x y ra  a1 = a2 = … = an

Bài 2 Cho a1, a2, an; b1, b2, …, bn là 2n s th c Ch ng minh:

a a   a b b   b  a b a b   a b

(b t đ ng th c BunhiaCôpski)

Ch ng minh:

Xét f(x) = x2 f’(x) = 2x  f’’(x) = 2 > 0  f(x) l i trên 

S d ng b t đ ng th c Jensen v i 1, 2, …, n≥ 0 ta có:

 

n

k 1





1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

2

     

1 1x 2x2 nxn 1 2 n 1 1x 2x2 nxn

BÀI 21 B T NG TH C JENSEN

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: LÊ C VI T

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Bài 21 B t đ ng th c Jensen thu c khóa h c B i

d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , b n

c n h c tr c bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này

t 2 i

i i i

i

a

b ; x

b

   và th vào b t đ ng th c trên ta có:

a b a b   a b  a a   a b b   b

k

2

Ch ng minh:

k

k 1

x

u

x 

 trong đó xn + 1 = x1 u1u2…un=1

Bây gi đ t tk= lnk, suy ra t1 + … + tn = 0

t

e

1 e

  f(t) là hàm s l i trên 

k

n



  





Bài 4 Ch ng minh: b c a c a b a bc 2a b c a b c, a, b,c 0

3

 

Ch ng minh:

B t đ ng th c ln b c a c a b a bc ln 2a b c a b c

3

 

Xét f x  ln a   b c x v i 0 < x < a + b + c

S d ng b t đ ng th c Jensen ta có:

     

ln

V y a ln b c b ln c a c ln a b ln 2a b c

Bài 5 Ch ng minh r ng: a b c 3 , a,b,c 0 1 

Ch ng minh: t S = a + b + c, khi đó (1) a b c 3

Xét f x  x

S x

  v i x  (0, S)

Ta có  

 2   3

 f(x) là hàm s l i trên (0, S) S d ng b t đ ng th c Jensen ta có:

3

 

D u b ng x y ra  a = b = c

Giáo viên : Lê c Vi t

Ngu n : Hocmai.vn