1 Cho a, b, c, d là các s th c không âm và a + b + c + d = 1 Ch ng minh r ng: 3 2 1
8
Ch ng minh
B T đ bài 3 2 1
6a a
8
Vì a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1 a, b, c, d (0; 1)
Ta có: 6a3 a2 5a 1 148a3 8a2 5a 1
1 4a 1 3a 1 0 a 0;1 8
Hay 6a3 a2 5a 1 a 0;1
8
T ng t ta đ c: 6b3 b2 5b 1;6c3 c2 5c 1;6d3 d2 5d 1
C ng v theo v các b t đ ng th c ta đ c: 6a3 a2 5 a b c d 1
2 Gi s a, b, c là các s th c d ng có t ng b ng 1 Ch ng minh r ng: a 2 9
10
1 a
Ch ng minh
Do a, b, c > 0 và a + b + c = 1 a, b, c (0; 1)
2
3a 1 4a 3
50
2
36a 3
50
1 a
T ng t ta có: b 2 36b 3
50
1 b
c 36c 3
50
1 c
2
36 a b c 3.3
1 a
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Bài 22 Ph ng pháp ti p tuy n thu c khóa h c B i
d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , b n
c n h c tr c bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này
Trang 23 Cho 2 s th c d ng x, y sao cho x + y = 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
2
x P
1 y
Ch ng minh
Ta có
P
Vì x, y > 0 và x + y = 1 nên x, y (0; 1)
2
12 5x 5
25
x 2x 2
Th t v y B T trên t ng đ ng 2 x2 720x2 120x 5
625
x 2x 2
72x 156x 105x 25x 1 0
2 1
x 18x 21x 1 0
2
đúng y (0; 1)
12 5 x y 2 5 2 5
P
D u b ng có khi x y 1
2
V y MinP 2 5
5
4 Cho a, b, c là các s th c d ng Ch ng minh r ng:
2 2
a b c 6
5
a b c
Ch ng minh
Không m t tính t ng quát ta gi s a + b + c = 3 a, b, c (0; 3)
Khi đó ta c n ch ng minh 3a2 a2 6
5 2a 6a 9
2
a 1 18a 9
25 2a 6a 9 25 2a 6a 9 25 2a 6a 9
2
2
3a a 9a 1 a 0;3
25 2a 6a 9
T ng t ta có: 3b2 b2 9b 1; 23c c2 9c 1
2b 6b 9 2c 6c 9
2 2
a b c 9 a b c 3 6
a b c
5 Cho a, b, c là các s th c không âm thõa mãn a + b + c = 3 Ch ng minh r ng:
a b c 3 2abc
Ch ng minh
Trang 3Vì a, b, c > 0 và a + b + c = 3 a, b, c (0; 3)
B T c n ch ng minh đ c vi t l i: b c 3
2bc
2bc b c 3 a
V y ta ph i ch ng minh: 1 3 2
2
3 a
u tiên ta ch ng minh: 1 a 3 a 1 2 a 5 0
3 a 4 2
T ng t ta có: 1 b 3; 1 c 3
3 b 4 2 3 c 4 2
3 2
a b c 3.3 1
2
6 Cho a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác Ch ng minh r ng:
a b c a b c abb c c a
Ch ng minh
Không m t tính t ng quát gi s a + b + c = 1
Khi đó ta c n ch ng minh: 2
5a 1
1 a a a a
2 2
3a 1 2a 1 5a 1 18a 3
a 1 a
a a
Ta có: 1 = a + b + c > 2a (do b + c > 1) a < 1
2 T ng t c ng có b; c < 1
2
a, b, c (0; 1
2)
Do đó
3a 1 2a 1 0 a 0;1
2
a 1 a
5a 1 18a 3 a 0;1
2
a a
T ng t v i b, c r i c ng 3 B T v theo v
2
5a 1 18 a b c .33 9
a a
7 Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn a4
+ b4 + c4 = 3 Ch ng minh r ng: 1 1
4 ab
Ch ng minh
Ta có:
4
2
Trang 4Mà
2 2 2 2 2
8 2a 8 2b 4 a
Tóm l i ta có: 1 1 2
4 ab 4 a
Ta ph i ch ng minh 1 2 1
4 a
i bi n (a4
; b4; c4) thành (x, y, z) Bài toán tr thành:
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3 Ch ng minh r ng: 1 1
4 x
L i gi i cho bài toán nh :
Do x, y, z > 0 và x + y + z = 3 x, y, z (0; 3) x , y, z0; 3
Ta c n ch ng minh f(x) + f(y) + f(z) 1
Trong đó hàm đ c tr ng f t 1
4 t
t (0; 3)
Ph ng trình ti p tuy n c a hàm f t 1
4 t
t i đi m M(1; 13) là
t 5 y
18
Gi s f(t) y t (0; 3) 2
t 1 2 t 0
đúng t 0; 3
t 5 x y z 3.5
8 ( H 2003) Cho các s d ng x, y và z tho mãn x + y + z 1 Ch ng minh r ng
82
Ch ng minh
Xét hàm s 2
2
1 ( ) , (0;1)
x Vì r ng đ ng th c x y ra khi 1
3
x y z nên chúng ta xét đ
th c a hàm s f x ( ) và ti p tuy n c a nó t i đi m 1
3
x Ta có
4
2
3
x
x
Ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s t i đi m 1; 82
suy ra đ th hàm s lõm trên kho ng (0;)
Do đó t i đi m 1 ; 82
ti p tuy n n m phía d i đ th , b i v y ta có
Trang 52
x T ng t đ i v i y z , và c ng l i ta đ c
khi và ch khi 1
3
x y z
Nh n xét Cái hay c a k thu t này ch :
- Th nh t, ta có th đánh giá m t bi u th c thông qua bi u th c b c nh t
- Th hai, ta có th ch n v trí c a ti p tuy n sao cho b t đ ng th c x y ra d u b ng
Giáo viên : Lê c Vi t
Ngu n : Hocmai.vn