Bài 1 Cho x, y, z > 0 Ch ng minh r ng:
Ch ng minh:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
cyc cyc
2 2
2 2 cyc cyc
2 2
2 2 cyc cyc
2 2
2
Do đó ta ch c n ch ng minh:
Không m t tính t ng quát gi s x ≥ y ≥ z > 0 Khi đó Sy, Sz > 0
Ta có
2 2
y x
S d ng m nh đ 4 suy ra đpcm ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z
Bài 2 a, b, c > 0 th a mãn abc = 1 Ch ng minh r ng:
2 2 2 2 2 2
3
BÀI 17 PH NG PHÁP SOS
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Bài 17 Ph ng pháp SOS thu c khóa h c B i
d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , b n
c n h c tr c bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này
Trang 2Ch ng minh:
3
a b c a b c a b c a b c
cyc
3abc
S a b c 2bc ca ab ,S b c a 2caabbc ,
c
Không m t tính t ng quát gi s a ≥ b ≥ c Khi đó d th y Sb, Sc≥ 0
a S b S ab ab ab 2c a b ab c a b 0
T đây, s d ng M nh đ 4, ta suy ra đpcm
Bài 3 Cho a, b, c ≤ 0 Ch ng minh r ng:
abc
Ch ng minh:
Ta s d ng các đ ng th c sau:
2 2 2 2 2 2
3
B t đ ng th c đã cho t ng đ ng v i:
2
2 2 2 2 2 2
cyc
Không m t tính t ng quát, gi s a ≥ b ≥ c, suy ra Sa≥ Sb≥ Sc Ta có:
2
Trang 3Ta c n ch ng minh Sb Sc 0 3 1 1 2 162 2
S d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:
3
S d ng M nh đ 2 ta suy ra đpcm
Nh n xét: b ng cách làm t ng t chúng ta ch ng minh đ c b t đ ng th c sau:
abc
ng th c x y ra a = b = c ho c a 2b 2c và các hoán v Chú ý r ng lúc đó 2 2 c ng là
h ng s t t nh t (l n nh t) đ b t đ ng th c đã cho đúng
Bài 4 Cho a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác
Ch ng minh r ng a2 b 1 b2 c 1 c2 a 1 0
Ch ng minh:
Cách 1: Ta có b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i
cyc cyc
1
2
ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c
Cách 2 Ta có b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i
2
2
2
+ Tr ng h p 1 b + c > a ≥ b ≥ c Th thì ta có Sa, Sb > 0, Sb Sc b c 1 0
(do b ≥ c > 0)
Do đó, adg ≥ c > 0) Do đó, áp d ng tiêu chu n 2, ta có đpcm
+ Tr ng h p 2 ≤ b ≤ c < a + b Th thì ta có Sc, Sb > 0
b a
b c
Do đó, áp d ng tiêu chu n 2 ta có đpcm
Giáo viên : Lê c Vi t
Ngu n : Hocmai.vn