Phương trình vô tỷ BoxMath

Trang 1

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

fggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh

Trang 2

Mục lục

4.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình một biến 104.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp 134.3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình 17

5 Phương pháp Hằng số biến thiên, tham số biến thiên 25

Trang 3

1 PHƯƠNG PHÁP NÂNG LŨY THỪA

1 Phương pháp Nâng lũy thừa

Vậy tập nghiệm của phương trình là

S = {2}

2 Giải phương trình:

q

x 3 +1 x+3 −√x + 1 =√

x2− x + 1 −√x + 3Lời giải

Trang 4

Điều kiện x ≥ 0

Phương trình đã cho tương đương:

√3x + 1 −√

vế của phương trình ta nhận được phương trình hệ quả Tìm nghiệm của phương trình hệ rồi thửlại nghiệm ta sẽ được nghiệm của phương trình đã cho

S = {1}

x + 1 = √3

4x2+ 5xLời giải

Lập phương hai vế của phương trình đã cho và biến đổi, ta được:

x3− x2− 2x + 1 = 0(1)Đặt f (x) = x3− x2− 2x + 1, do đó ta được:

Trang 5

Suy ra phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-2;2)

Đặt x = 2 cos α với α ∈ (0; π)

Khi đó, phương trình (1) trở thành:

8cos3α − 4cos2α − 4 cos α + 1 = 0

⇔ 4 cos α(2cos2α − 1) = 4(1 − sin2α) − 1

⇔ 4 cos α cos 2α = 3 − 4sin2

.Vậy, tập nghiệm của phương trình là:

3

√2x − 1 +√3

x − 1 =√3

3x + 1Lời giải

Phương trình đã cho tương đương:

3

p(2x − 1)(x − 1)(3x + 1) = 1

6Vậy tập nghiệm của phương trình là

S = 76

Trang 6

2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

2 Phương pháp đưa về phương trình tích

x =

√22thỏa điều kiện

Vậy tập nghiệm phương trình là

Điều kiện x ≥ 0 Phương trình tương đương:

S = 1

16

Trang 7

2x − 3√3

4x2+ 4x + 1 = x3− 3√3

2x + 1Lời giải

Phương trình tương đương:

3

q(2x + 1)3 − 33

q(2x + 1)2 + 3√3

S =

(√

29 − 32)

Trang 8

1 − x2)(√

1 + x −√

1 − x)2− 1 = 0Trường hợp 1: (2 +√

1 − x2)2 = 0 vô nghiệmTrường hợp 2: (1 +√

1 − x2)(√

1 + x −√

1 − x)2− 1 = 0Đặt t =√

S =

1

√2

Trang 9

3x = x − 6Lời giải

Điều kiện: x ≥ 0

Nhân liên hợp lần đầu cho vế phải phương trình tương đương:

√7x2+ 11x + 6 − 3x

4

√7x2+ 11x + 6 +√

3x = x − 6Tiếp tục nhân liên hợp ta lại được phương trình tương đương:

−2x2+ 11x + 6(√

7x2+ 11x + 6 + 3x)(√4

7x2+ 11x + 6 +√

3x)+ 1 = 0 (∗)

Trang 10

S = {7}

√2x2+ x + 9 +√

2x2− x + 1 = x + 4Lời giải

Điều kiện x > −4

Phương trình tương đương

2x + 8

√2x2+ x + 9 −√

2x2− x + 1 = x + 4

⇔ √2x2+ x + 9 −√

2x2− x + 1 = 2Kết hợp phương trình trên và phương trình đã cho, ta được hệ:

( √2x2+ x + 9 −√

2x2− x + 1 = 2

√2x2+ x + 9 +√

2x2− x + 1 = x + 4Suy ra:

2√2x2+ x + 9 = x + 6 ⇔ 7x2− 8x = 0 ⇔





x = 0

x = 87

Trang 11

3 PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC

So sánh với điều kiện, ta được x = 0; x = 8

S =

0;87

3x2− 4x − 15 = 2√2x2− 2x − 5Lời giải

Điều kiện x ≤ −5

3 hoặc x ≥ 3Nếu √

2x2− 2x − 5 + x = 0 ⇔ x = 1 −√6 thì không thỏa phương trình

3 (thỏa điều kiện)

x = 1 + 5

√2

3 (không thỏa điều kiện)Vậy tập nghiệm của phương trình là

Bài tập: Giải phương trình:

Trang 12

Điều kiện −1 − 2√

2 ≤ x ≤ −1 + 2√

2Đặt t =√

5x2+ 10x + 1, điều kiện t ≥ 0, suy ra: t2 = 5(x2+ 2x) + 1

Phương trình trở thành

t2+ 5t − 36 = 0 ⇔

"

t = −9 (không thỏa điều kiện)

t = 4 (thỏa điều kiện)Với t = 4, ta được:

Điều kiện x ≥ 1

Ta thấy: px −√

x2 − 1.px +√

x2− 1 = 1Đặt t =px −√

x2+ 1Phương trình trở thành

t + 1

t = 2 ⇔ t = 1Với t = 1, ta có

2

Trang 13

4.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình một biến 4 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

x = ±54Thử nghiệm, ta được x = 5

3; x =

S = 5

3;

54

t = −5 (không thỏa điều kiện)

t = 3 (thỏa điều kiện)Với t = 3, ta được

p(x + 1)(8 − x) = 0 ⇔

Điều kiện −1 ≤ x < 0 hoặc x ≥ 1

Với điều kiện, phương trình tương đương

Trang 14

4.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình một biến 4 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Đặt t =

r

x − 1

x, điều kiện t ≥ 0Phương trình trở thành

t2+ 2t − 3 = 0

⇔

"

t = 1 (thỏa điều kiện)

t = −3 (không thỏa điều kiện)Với t = 1, ta được

x = 1 −

√52Thử lại, ta được x = 1 ±

√52Vậy tập nghiệm của phương trình là

S =

(

1 −√5

2 ;

1 +√52)

2 − 1

Do đó, phương trình tương đương:

r3t3+ 5

Trang 15

4.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp 4 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Với t = −1, ta được: r x − 33

3 = −1 ⇔ x = 0Với t = 1

72Vậy tập nghiệm của phương trình là:

S =

0;21772

Điều kiện x ≥ 3 Bình phương hai vế ta được:

x − 3, v = √

x2+ 4x − 5, điều kiện u, v ≥ 0 Phương trình trở thành

−2v2+ 6uv + 20u2 = 0 (1)Với u = 0 không là nghiệm của phương trình (1)

Với u 6= 0, phương trình (1) tương đương:

−vu

2

+ 3vu

+ 10 = 0

x = 21 −

√1612

Trang 16

2(x2+ 2) = 5√

x3+ 1Nhận xét: Ta thấy x3+ 1 = (x + 1)(x2 − x + 1) và x2+ 2 = (x + 1) + (x2− x + 1) Từ đó ta cócách giải sau:

x = 5 +

√372(thỏa điều kiện)

S =

(

5 −√37

2 ;

5 +√372)

x2− 7x + 1 = 4√x4+ x2+ 1Nhận xét: Do x4+ x2 + 1 = (x2 + 1)2− x2 = (x2− x + 1)(x2+ x + 1) nên ta tìm cách biến đổi

2 hoặc x ≥

7 + 3√

52Đặt

Trang 17

(thỏa điều kiện)

)

2x2− 5x + 22 = 5√x3− 11x + 20Nhận xét: Do x3− 11x + 20 = (x + 4)(x2− 4x + 5) nên ta tìm cách biến đổi

3v2− 5uv + 2u2 = 0 ⇔





v = 2u3

x = 5 +

√212

x = 25 +

√8818

S =

(

5 −√21

2 ;

25 +√

8818)

Trang 18

x3− 3x2+ 2p(x + 2)3 = 6xLời giảiĐiều kiện: x ≥ −2

Phương trình được viết lại như sau:

x3− 3x(x + 2) + 2(x + 2)√x + 2 = 0Đặt y =√

Trang 19

4.3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình 4 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Đặt √3

x − 1 = a;√3

x − 2 = b;√3

2x − 3 = cKhi đó, ta có hệ phương trình sau:

S =

1;3

Điều kiện: 0 ≤ x ≤√

2 − 1Đặt p√2 − 1 − x = a và √4

x = b, điều kiện a, b ≥ 0 ta được hệ

4

√2

b = 1 −

p

2√4

8 − 32

Trang 20

!4

Trang 21

Giải hệ trên ta được

Với a = 1

2√

30 ⇔ x = 239

120Thử lại, ta nhận x = 239

120Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Điều kiện x ≥r 5

2 hoặc −1 ≤ x < 0Phương trình đã cho tương đương:

r

x − 1

x −

r2x − 5

x = x −

4x

Trang 22

v =

r

2x − 5x, điều kiện u, v ≥ 0

Ta được hệ phương trình sau:

a = − 12b

b2 = 2 −

√32

b =

√

3 + 12

(Do b > 0)

Trang 23

2 Vậy tập nghiệm của phương trình là

Điều kiện x ≤ −5

3 hoặc x ≥ 3Phương trình tương đương:

3(x2− y2) − 2(x − y) = 0 ⇔

"

x − y = 03x + 3y − 2 = 0 ⇔

"

y = x3y = 2 − 3xVới y = x, ta được

x = 1 + 5

√2

3 (không thỏa điều kiện)Vậy tập nghiệm của phương trình là

Trang 24

2x2 − 6x − 1 =√4x + 5Nhận xét: Bằng cách đặt ay + b =√

4x + 5, ta đưa bài toán về hệ

2 hoặc x ≥

3 +√112Đặt 2y − 3 =√

(x − y)(x + y − 2) = 0 ⇔

"

y = x

y = 2 − xVới y = x, ta được x2− 4x + 1 = 0 ⇔ x = 2 ±√3

Với y = 2 − x, ta được x2− 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ±√2

So sánh với điều kiện ta nhận x = 1 −√

2; x = 2 +√

3x − 5, ta đưa bài toán về hệ

Trang 25

2

+3b

2

4 ≥ 0 nên(2x − 3)2+ (2x − 3)(2y − 3) + (2y − 3)2+ 1 > 0

S =

(

5 −√3

4 ;

5 +√3

4 ; 2)

3

√7x + 1 −√3

Trang 26

Trang 27

5 PHƯƠNG PHÁP HẰNG SỐ BIẾN THIÊN, THAM SỐ BIẾN THIÊN

5 Phương pháp Hằng số biến thiên, tham số biến thiên

x2+√

x + 5 = 5Lời giải

5 = (2x

2+ 1) + (2x + 1)2

x = −1 ±√17

2Kết hợp với điều kiện, ta được x = 1 −

√21

2 , x =

−1 +√172Vậy tập nghiệm của phương trình là

S =

(

1 −√21

2 ;

−1 +√172)

(x + 1)√

x2− 2x + 3 = x2+ 1Lời giải

Với t = x − 1, ta được√

x2− 2x + 3 = x − 1 (vô nghiệm)Vậy tập nghiệm của phương trình là

S = n1 −√

2; 1 +√

2oBài tập: Giải phương trình:

Trang 28

6 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

6 Phương pháp đánh giá

√4x3+ 29x2+ 34x + 24 = 2x2+ 3x + 5Lời giải

Điều kiện: x ≥ −6

p(x + 6)(4x2+ 5x + 4) = 2x2 + 3x + 5Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

p(x + 6)(4x2+ 5x + 4) ≤ (x + 6) + (4x

2+ 5x + 4)

2+ 3x + 5Dấu “=” xảy ra khi

2 (thỏa điều kiện)Vậy tập nghiệm của phương trình là

S =

(

−1 −√52)

Trang 29

Điều kiện: x ≤ −√

2, x ≥√

2Phương trình tương đương:

Theo bất đẳng thức bunhiacôpski ta có:

a +√

2 − a2 ≤ 2

Do đó: vế phải của (1) nhỏ hơn bằng 4

Dấu "=” xảy ra khi

√13x2

Vậy nghiệm của phương trình:

x2+ x = (6x − x2− 2)√x − 1Lời giải

Trang 30

S = {2}

2x2− 11x + 21 − 3√3

4x − 4 = 0Lời giải

4(4x + 12)

⇔8(x − 3)2 ≤ 0

⇔x = 3Vậy tập nghiệm của phương trình là

Ta có x = 10 là nghiệm của phương trình

Nếu x − 10 < 0 thì kết hợp với điều kiện, ta có V T < V P

Nếu x − 10 > 0 thì V T > V P

S = {10}

Trang 31

Điều kiện x ≥ 0.

4

√7x + 15 −√

2x = x − 3 ⇔√4

7x + 15 − 4

√4x2 = 4x

2− (7x + 5)4x + 5Đặt f (x) =√4

7x + 15 −√4

4x2 và g(x) = 4x

2− (7x + 5)4x + 5

r

30 + 14

Trang 32

, ta có:

phương trình f (x) = g(x) co nghiệm duy nhất là x = −2

Trên khoảng 1

4; +∞

, ta có:

phương trình f (x) = g(x) co nghiệm duy nhất là x = 1Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

Trang 33

Do đó, phương trình đã cho tương đương:

f (5x − 6) = f (x) ⇔ 5x − 6 = x ⇔ x = 3

2 (thỏa điều kiện)Vậy tập nghiệm của phương trình là

S = 32

Trang 34

S =

(

−1; ±

√33)

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia 2 vế của (1) cho x3 và chia (2) cho x:





yx

3

= x3+ 2 + 1

x (3)y

x = 3x

2+ 4x − 1

x (4)Cộng (3) và (4) theo vế ta được:

yx

f0(t) = 3t2+ 1 > 0∀t ∈ R

Do đó:

fyx

= f (x + 1) ⇔ y = x2 + x

Trang 35

S =

(

−1; ±

√33)

(9x + 1)√

9x − 1 = 8x3+ 20x2− 41x + 5Lời giải

Điều kiện: x ≥ 1

9Phương trình được viết lại:

(√9x − 1)3+ 5(√

9x − 1)2+ 2√

9x − 1 = (2x)3+ 5(2x)2+ 2.2x(1)Xét hàm f (t) = t3+ 5t2+ 2t với t ≥ 0

x = 9 −

√648Vậy tập nghiệm của phương trình là

S =

(

9 −√65

8 ;

9 +√658)

x4+ 18x3+ 88x2+ 197x + 163 =√

x + 9(x3+ 16x2+ 55x + 84)Lời giải

Trang 36

⇔x =

√

29 − 32Vậy tập nghiệm của phương trình là

S =

(√

29 − 32)

Bài tập: Giải phương trình:

1 2x2− x − 1

8 =

3

r98x2 + 1

Trang 37

8 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

8 Phương pháp lượng giác hóa

√

x2+ 1 = x

2+ 12x +

(x2+ 1)2

2x(x2− 1)Lời giải

α 6= 0

α 6= ±π

4Khi đó phương trình bài cho có dạng:

1cos α =

1sin 2α − 1

sin 2α cos 2α

⇔ 2 sin α cos 2α = cos 2α − 1

⇔ sin α(2 sin2α − sin α − 1) = 0

⇔2 sin2α − sin α − 1 = 0 (Do sin α 6= 0)

⇔



sin α = 1 (Không thỏa điều kiện)sin α = −1

Với sin α = −1

2 , ta được x = tan α = −

√32Vậy tập nghiệm của phương trình là:

S =

(

−

√32)

√

1 − x2 = x

4x2− 1Lời giải

x 6= 2π3

Trang 38

Phương trình trở thành

√

1 − cos2t = cos t

4 cos2t − 1

⇔ √1 − cos2t(4 cos2t − 1) = cos t

⇔ sin t(3 − 4 sin2t) = cos t

S =

cosπ

8; cos

5π

8 ; cos

π4

x3− 3x =√2 − xLời giải

Do đó, nếu phương trình f (x) = g(x) có nghiệm x0 thì x0 ∈ (−2; 2]

Đặt x = 2 cos t, điều kiện t ∈ (0; π) Phương trình trở thành:

4 cos3t − 3 cos t = sin t

2

⇔ cos 3t = cos π

2 − t2

t = −π

5 +

k4π5(k ∈ Z)

S =

cos5π

7 ; cos

3π

5 ; cos

π7

Trang 39

⇔√2

sin t

2+ cos

t2

, điều kiện |u| ≤ √

Do đó, phương trình trở thành

√2u = 2

2, ta được x = 0 (thỏa mãn phương trình)

Tiêu đề	Phương trình vô tỷ
Tác giả	Lê Trung Tín
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	bài viết
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	302,76 KB