phuong trinh vo ty

Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.?. Tìm để phương trình đã cho có nghiệm... PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ.. Dạng 1: Đưa về hệ phương trình bình thườn

PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA

Giải các phương trình sau:

1) x2 −4x+6 = x+4 2) x2 −2x+4 = 2−x 3) (x− 3) x2 − 4 =x2 − 9 4) 3x2−9x+1=x−2 5) x2 −3x+2−3−x=0 6) 3x2−9x+1= x−2

7) 3x−3 3x−1=5 8) 4− 1−x = 2−x 9) 3 x+1+3 x−1=3 5x

10) 3 x+5+3 x+6 =3 2x+11 11) 3 x+1+3 x+2+3 x+3=0 12) x−1− x−2 = x−3 13) x+3− 7−x = 2x−8 14) 5x−1− 3x−2− x−1=0 15) x+2− 3−x = 5−2x

16) y−14− 12−y =0 17) x2 +6x+16+ x2 + x =2 x2 +2x+4

18) x2+3x+2+ x2 +6x+5= 2x2 +9x+7 19) x+1= x+9−2

20) x2 +9− x2−7 =2 21) 3x2 +5x+8− 3x2 +5x+1=1

2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Các phương trình có dạng A.B+ A.B+C= 0

Bài 1 Giải các phương trình sau: 7) 5x2 +10x+1=7−x2 −2x

1) (x+1)(x+4)=5 x2 +5x+28) 2) (x−3)2+3x−22= x2−3x+7 3) x(x+5)=23 x2 +5x−2−2 4) x2 −4x+2=2 x2 −4x+5 5)−4 (4−x)(2+x) =x2 −2x−12 6) (4+x)(6−x)=x2 −2x−12

Bài 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm?

a) ( 1 + 2x)( 3 −x) = 2x2 − 5x+ 3 +m b) −x2 +2x+4 (3−x)(x+1) =m−3

Bài 3 Cho phương trình: −x2 +2x+4 (3−x)(x+1) =m−2

a Giải phương trình khi m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm?

3 x

1 x ) 3 x ( 4 ) 1 x )(

3 x

−

+

− + +

a Giải phương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình có nghiệm?

Dạng 2: Các phương trình có dạng: A± B±( A± B)2 +C =0

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) (QGHN-HVNH’00) + x−x = x + 1−x

3

2

b) 2x+3+ x+1=3x+2 2x2 +5x+3- 2

2

4 x 4

−

− +

=

− + +

2

1 2 2

5

x

x x

2

1 2 2

3

x

x x x

h) z−1+ z+3+2 (z−1)(z+3) =4−2z i) 3x−2+ x−1=4x−9+2 3x2 −5x+2 (KTQS‘01)

Bài 2 Cho phương trình: 1+x+ 8−x − (1+x)(8−x) =a (ĐHKTQD - 1998)

a Giải phương trình khi a = 3 b Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.?

Bài 3 Cho phương trình: 3+x+ 6−x− (3+x)(6−x) =m (Đ59)

a Giải phương trình với m = 3 b Tìm m để phương trình có nghiệm?

Bài 4 Cho phương trình: x+1+ 3−x − (x+1)(3−x) =m (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000)

a Giải phương trình khi m = 2 b Tìm để phương trình đã cho có nghiệm

Bài 5 Tìm a để PT sau có nghiệm: 2+x+ 2−x− (2+x)(2−x) =a

Tất cả bài tập 2, 3, 4, 5 ta có thể sáng tạo thêm những câu hỏi hoặc những bài tập sau:

Dạng 3: Một số dạng khác.

4 3 1 7 3 1

3

3 1

2 − x+ =− x +x +

4) 10 x3 +8 =3(x2 −x+6) 5) 4 x− x2 −1+ x+ x2 −1 =2 6) 0

2

12 2 2

12 2

=

−

−

−

−

x x

x x

x

35 1

−

+

x

x

1

3 1

1 1 1

3 1

1

2 2

2 2 2

−

=

−

+

−

⇔

−

−

=

x x

x x x

x x

x x

x

(Đ141) 11)

4

2

2

+

= +

x

Dạng 4: Đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn ban đầu.

1) (4x−1) x2+1=2x2+2x+1 2) 2(1 −x) x2 + 2x− 1 =x2 − 2x− 1 3) x2 +x+12 x+1=36 4) 1+x− x2 = x2 −1− x+1 5) 4 1+x−3=x+3 1−x+ 1−x2 6) sinx+ sinx+ sin 2x+ cosx= 1

x

1 x 3 x

1 1 x

1

x

x

2 + − − − − − = 8) 43. 4x−x2 sin2 x+2y +2cos(x+ y) =13+4cos2(x+ y)

3 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.

1) x2 +10x+21=3 x+3+2 x+7−6 4) 8) x2+8x+15 =3 x+3+2 x+5−6

2) n (x+1)2 +3n (x−1)2 +2n x2 −1=0 (với n ∈ N; n ≥ 2) 5) x

x

x x

4 2

4 7 2

= +

+

3) x2 −x−2−2 x−2+2= x+1 6) (x+2)(2x−1)−3 x+6=4− (x+6)(2x−1)+3 x+2 7) x−2 x−1−(x−1) x+ x2−x =0 (1) (HVKT QS - 2001)

4 PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC

1 (ĐHSPHN2’00) x(x−1)+ x(x+2) = x2 2 x2 −3x+2+ x2 −4x+3= x2 −5x+4

3 x2 −2002x+2001+ x2 −2003x+2002 = x2−2004x+2003 4 2 x(x−1− x(x+2) = x2

5 x(x−1)+ x(x−2) =2 x(x+3) 8) x2−3x+2+ x2−4x+3≥2 x2−5x+4 (Đ8)

6. x(x−1)+ x(x−2) = x(x+3) 9 x2 +3x+2+ x2 +6x+5= 2x2 +9x+7 (BKHN- 2001)

5 PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.

1 x2 − x+5− x2 −10x+50 =5 2 x+3−4 x−1+ x+8−6 x−1=1

3

2

3 1

2 1

5 x+2 x−1− x−2 x−1 =2 (HVCNBC’01) 6 x4 −2x2 +1=1−x (Đ24) 8 4 x+2 = x+1+4

7 x− 4x−4 + x+ 4x−4 =2 8 x+15−8 x−1+ x+8−6 x−1=1

6 PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP

Giải các phương trình sau:

1) x(x−1)+ x(x−2) =2 x(x+3) 2) 2 x(x−1)− x(x+2) = x2 3) 2x+2− 2x−1=x

4)

x x x

x

21 21

21 21

=

−

−

+

− +

+

x x

x x

−

=

− +

−

−

−

−

6 5 7

5 7

3 3

3 3

6) x2 − x+2+ x2−4x+3 =2 x2 − x+4 7) x2 −1+ x2 − x−2 = x2 + x+3+ x2 −x+2

8) 3x2−7x+3− x2−2 = 3x2−5x−1− x2−3x+4

9) x2 − 2003x+ 2002 + x2 − 2004x+ 2003 = 2 x2 − 2005x+ 2004

7 PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ

Giải các phương trình sau:

1) 3x2 + 6x+ 7 + 5x2 + 10x+ 14 = 4 − 2x−x2 2) 6 18

11 6

15

2

2

+

−

= +

−

+

x x

x x

3) x2 − 6x+ 11 + x2 − 6x+ 13 + 4 x2 − 4x+ 5 = 3 + 2 4) x2 −3x+3,5= (x2 −2x+2)(x2−4x+5)

5) 2x2−8x+12=3−4 3x2 −12x+13 6) x2 −2x+5+ x−1=2 7) 2( 1−x+ x) =41−x+4 x

8)

x

x x

x x

x

2 1

2 1 2 1

2 1 2 1 2

1

−

+ + +

−

= + +

10) x2−2x+3= 2x2 −x+ 1+3x−3x2 11) x−2+ 10−x =x2 −12x+52

8 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ Dạng 1: Đưa về hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại một.

1) 3 2−x =1− x−1 (ĐHTCKTHN - 2001)

2) 3−x+x2 − 2+x−x2 =1

3) x+ x+1− x2 +x =1 (ĐHDL HP’01)

4) 4 5−x+4 x−1= 2

5) x2 − x+3+ x2 − x+6 =3

6) 3 x+34−3 x−3=1 (Đ12)

7) 4 x+497−x =5

8) 314+x+3 12−x=2

9) 3 (x+ 8 ) 2 +3 (x− 8 ) 2 + 3 x2 − 64 = 4

10) x+ 17−x2 +x 17−x2 =9

2

1

2 + =

−x x

12)31+ x +31− x =2

8

65

2 3 2

3 x2+ = x − +

2

1 x

2

1

3

15) 3 7 + tgx + 3 2 − tgx = 3

16)3 24 + x + 12 − x = 6

1 x x 34

x 34 1 x 1 x x 34

3 3

3 3

= +

−

−

− +

− +

−

18) 1 + 1 − x 2[ (1 − x)3 − (1 + x)3]= 2 + 1 − x 2

19)3 2+x+x2 +3 2−x−x2 =3 4 20) 3 (3x+1)2 +3 (3x−1)2 +3 9x2 −1=1 21)3 (2−x)2 +3 (7+x)2 −3 (2−x)(7+x) =3 22) 2x+ x+1+1+ 2x− x+1=2 x+1+1 23)3 sin2x+3 cos2x =3 4

24)sinx+ 2−sin2x+sinx. 2−sin2x=3

2

1 x cos 2

1

4

26)4 10+8sin2x−4 8cos2x−1=1 27) 17+x− 17−x =2 (DL Hùng vương- 2001)

28) x−1+1= 6−x (CĐ mẫu giáo TW1- 2001)

29) x2 +x−5+ x2 + x−4 =5

30)

2

1 1 x x 1 x

x2+ + − 2 − + = (Đ142)

31) x3 35−x3(x+3 35−x3)=30 32) x 2 + x + 8 − x 2 + x + 1 = 1

33) x2 + x+2−2 x2 + x−6 =1

Dạng 2: Đưa phương trình đã cho về hệ đối xứng loại hai

1) x3+1=23 2x−1 2) x3 +2=33 x−2 3)(x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x + 4

4) x2−1= x+1 5) −x2 +2= 2−x 6) x2+ 5−x =5 7) 5− 5+x = x

28

9 x 4 x

x2 + = + > (ĐHAN-D) 9) 4− 4+ x = x 10) 3 x 9 (x 3)3 6

+

−

=

−

11) x2 + 5+x =5 12) x3−33 x+2 =2 13) x2 + 1+x =1 14) 3+ 3+ x =x

9 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM.

1 Các bước:

 Tìm tập xác định của phương trình

 Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó

 Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến(nbiến) của hàm số để kết luận nghiệm của phương trình

2. Ví dụ Giải phương trình sau: 3 2x+ 1 + 3 2x+ 2 + 3 2x+ 3 = 0 (1)

Giải:

Tập xác định: D = R Đặt f(x) = 3 2x+ 1 + 3 2x+ 2 + 3 2x+ 3

3 , 1 , 2

1

; 0 ) 3 2 (

2 )

2 2 (

2 )

1 2 (

2 )

(

'

+

+ +

+ +

x x

x x

f









∪











− −

∪











∪











2

3 2

3 , 1 1

, 2

1 2

1 ,

Ta thấy f(-1)=0 ⇒ x=-1 là một nghiệm của (1) Ta có: ) 3

2

3 (

; 3 ) 2

1

f

Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):

x

-∞

2

3

− -1

2

1

− +∞

f’(x)   

F(x) +∞

0 3 -∞ -3

Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0 ⇔ x = -1 Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm x = -1

Bài tập tương tự:

Giải các phương trình sau:

1) 3 x+ 2 + 3 x+ 1 = 3 2x2 + 1 + 3 2x2 2) (2x+ 1)2 + (2x+ 1)2 + 3 + 3x(2 + 9x2 + 3)= 0

Từ bài 2, ta có bài tập 3

3) (2x+1)(2000+ (2x+1)2 +1999)+x(2000+ x2 +1999)=0 4) x+3+ x+19 = y+3+ y+19 5) (ĐH.B’02) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

6) (ĐH.A’08) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:

m x x

x

x+ 2 + 2 6 − + 2 6 − =

4

10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ.

Ví dụ Giải phương trình sau: x3 + (1 −x2)3 =x 2 − 2x2 (1)

Giải:

Tập xác định: D = [-1; 1] (2)

Do (2) nên đặt x = cost (*), với 0 ≤ t ≤π (A)

Khi đó phương trình (1) trở thành: cos 3t+ (1 − cos 2t)3 = cost 2 ( 1 − cos 2t) (3)

Với t ∈ (A), ta có: (3)⇔cos3t+sin3t= 2cost.sint⇔(cost+sint)(1−sint.cost)= 2cost.sint(4)

Đặt X = cost + sint (5), X ≤ 2 (B)⇒ X2 = 1 + 2sint.cost ⇒ sint.cost =

2

1

2 −

X

Phương trình (4) trở thành phương trình ẩn X:

2

1

2 2

1 1







X













+

−

=

−

−

=

=

⇔









= + +

=

⇔

= + +

−

⇔

1 2

1 2 2 0

1 2 2

2 0

1 2 2 2

2 2

X X X

X X

X X

X X

Ta thấy chỉ có nghiệm X = 2 và X = - 2 + 1 là thoả mãn điều kiện (B)

+ Với X = 2, thay vào (5) ta được:

, 2 4

2 2 4

1 4 sin 2 4 sin 2 2 cos









 +

⇔

=











 +

⇔

=

Vì t ∈ (A) nên ta có t =

4

π

Thay vào (*) ta được: x = cos

4

π

= 2

2 (thoả mãn tập xác định D)

+ Với X = - 2 + 1, thay vào (5) ta được:

2

1 2 4

sin 1 2 4

sin 2 (**) 1 2 cos











 +

⇔ +

−

=











 +

⇔ +

−

=

t

Khi đó, ta có:

2

1 2 2 2

2 2 3 1 2

1 2 1 4

sin 1 4

cos

2 2

−

±

=

−

−

±

=







−

±

=























 +

−

±

=











2

1 2 2 4











 +t π

2

1 2 2 sin

cos 2

2 2

1 2 2 4 sin sin 4 cos

.

Từ (**) và (6) suy ra cost =

2

1 2 2 1

− Thay vào (5), ta được x =

2

1 2 2 1

Nhưng chỉ có nghiệm x =

2

1 2 2 1

− thoả mãn tập xác định D.

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x =

2

2 và x =

2

1 2 2 1

Bài tập tương tự. 1) 4x3−3x= 1−x2 (HVQHQT- 2001) 2) x3 + (1 −x2)3 =x 2(1 −x2)

2

x 1 2

x 1 x 2

x 1 2 x 1 x

1 x 1

Một số bài tập tham khảo:

1 Giải các phương trình sau:

7 2

−

x

x

15) 6−x− 1−x = −5−2x

2) 25−x2 =x−1 9) 3x+1− x+4 =1 16) 5x−1− 3x−2− x−1=0

3) 4+2x−x2 =x−2 10) 11−x− x−1=2 17) 1− x4 −x2 =x−1

4) x−1= x2 −1 11) 9+x −7=− 16−x 18) 2− x−5 = 13−x

6) x2 −2x+4 = 6−x 13) x+5− 2x+14 = x−7 20) 312−x+3 4+x =4

7) x2 +5x−4 = x−1 14) −x2 +9x+9− x = 9−x 21) 3 x−1+3 x−2 =3 2x−3

2 Giải các phương trình sau:

1) x2 −6= 2x2 −8x+12+4x 9) 2x2 + (x+1)(2−x) =1+2x

2) (x+5)(2−x)=3 x2 +3x 10) x2 +x+2+ x2 +x+7 = 3x2 +3x+13

3) 5x−8 7x2 −5x+1=7x2 +8 11) (4x−1) x2 +1=2(x2 +x)+1

4) (x+1)(x+4)−3 x2 +5x+2 =6 12) x2 +3x+1=(x+3) x2 +1

5) x+3+ 6−x =3+ (x+3)(6−x) 13) 2(x−1) 2x2 +1=2x2 +2x−2

6) 3+2 x−x2 =3( x+ 1−x) 14) x2 −3x+3+ x2 +3x+6 =3

7) 2x+3+ x+1+16=3x+2 2x2 +5x+3 15) x2 +7+x + x2 +x+2 = 3x2 +3x+19

3 Giải các phương trình sau: (ẩn phụ → hệ)1) x+3 = x −3

2) 3−x2 +x+ 3+x2 +x =1 3) x2 +3+ 10−x2 =5 4) 3x2 −2x+15+ 3x2 −2x+8 =7

4 Giải các phương trình sau (Đánh giá) 1) x2 −2x+5+ x−1=2

3) x−3+ 5−x =x2 −8x+18 2) 1−x2 +23 1−x2 =3 4) 4 x+ x+4 2−x+ 2−x =4

5 Tìm m để phương trình có nghiệm

1) x−1+ 3−x− (x−1)(3−x) =m 2) x+1+ 1−x =a 4) 2 (x+2)(4−x)+x2 =2x−m

6 Tìm m để phương trình có nghiệm

1) 4−x + x+2 =m 4) x+ 2−x =m 2)4 x+4 2−x =m 5) 1−x2 +23 1−x2 =m 3) 4 x−1+ x−1+4 3−x + 3−x =m 6) 4 x+ x+4 2−x+ 2−x =m

7 Giải phương trình, hệ phương trình:

a) 7−x + x−5 =x2 −12x+38 b) 5−2x + 2x−3=3x2 −12x+14 c) x2 + x+2004 =2004 d)









= + +

= +

+

1 1

1 1

y

x

y x

e)









= +

= + + 7

4 1

y x

y x

2

1 2

1 1

2

= + +

x