Phần còn lại là đơn giản rồi nhé... Vậyx = 1là nghiệm của phương trình... Nhận thấy có sự chênh lệch của căn căn bậc hai và căn bậc ba nên ta thường sử dụng cách nhân liên hợp.
Trang 1DIỄN ĐÀN TOÁN THPT
www.k2pi.net
TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Phạm Kim Chung - THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An
Xin chân thành gửi lời cảm ơn tới thầy giáoChâu Ngọc Hùngđã hướng dẫn và hỗ trợ về kỹ thuật Latex cùng tất cả các thành viên đã tham gia post bài tập, lời giải trên diễn đànwww.k2pi.net
PHẦN ĐỀ RA
Bài 1 Giải phương trình : p9 − 2x
4x + 3
p
15 2
Bài 2 Giải phương trình :p3
3x + 5 =p315x + 12 −p32x − 1
Bài 3 Giải phương trình :(x − 1)2+ 2 (x + 1) r x − 3
x + 1= 12
Bài 4 Giải phương trình :4p
1 − x − 6 = x − 3p1 − x2+ 5p1 + x
Bài 5 Giải phương trình :
p
x + 1
p
x + 1 −p3 − x = x −
1 2
Bài 6 Giải phương trình :x2+p3x4− x2= 2x + 1
Bài 7 Giải phương trình : 4
x+
r
x −1
r
x
Bài 8 Giải phương trình :¡x2+ 6x − 11¢ px − 2 = 5x2
− 10x + 1
Bài 9 Giải phương trình :px + 3 =1
Bài 10 ( Trích đề thi thử số 4-k2pi.net) Giải phương trình :1 + 2
p
x − xpx
µ 1 + xpx
1 + x
¶
Bài 11 Giải phương trình :p3x2− 1 −px3− 2 + x = 0
Bài 12 Giải phương trình :p3x2− 1 +px2− x − xpx2+ 1 = 1
2(7x
2
− x + 4)
Bài 13 Giải phương trình :p3 x2− 2x + 5 + 5 =px − 2 + 2x
Bài 14 Giải phương trình :
r
x −1
x − x
r
Bài 15 Giải phương trình :p2x + 3 +px + 1 = 3x − 16 + 2p2x2+ 5x + 3
Bài 16 Giải phương trình : x +p3
p
x +px +p3+ x −p3
p
x −px −p3
=px
Bài 17 ( Trích đề thi thử số 7-k2pi.net) Giải phương trình :p4
3 (x + 5)−p4x + 13 =p411 − x −p4
3 (3 − x)
PHẦN LỜI GIẢI
Bài 1 1 + 2(4 − x)p
(4x + 1) + 2
p
15 2
p
15
p
4 − x +p4x + 1¢ p
15 2
Đặt :t = 2p4 − x +p4x + 1 ¡p17 < t ≤p34¢ Giải đượct = 5
Bài 2 Xét trường hợp :x =1
2
Với :x 6=1
2Chia cả 2 vế cho]p3
2x − 1và đặt :r 3x + 53
3
r 15x + 12
Bài 3 TH1: Nếux ≥ 3thìP T ⇐⇒ (x + 1)(x − 3) + 2p(x + 1)(x − 3) = 8
TH2: Nếux < −1thìP T ⇐⇒ (x + 1)(x − 3) − 2p(x + 1)(x − 3) = 8
Trang 2Bài 4 Điều kiện:−1 ≤ x ≤ 1Phương trình được viết lại như sau:
1 − x − 5p1 + x = x + 6 − 3p1 − x2
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình:
8x2− 3x − 4 + (6x − 4)p1 − x2= 0
Ta đặtt =p1 − x2thì phương trình trở thành:
8x2− 3x − 4 + (6x − 4)t = 0
Bây giờ ta thêm bớt vào một lượngmt2để tạo ra phương trình bậc2theo t là:
Ta có∆0= (3x − 2)2− m[(8 + m)x2− 3x − 4 − m] = (9 − 8m − m2)x2+ (3m − 12)x + m2+ 4m + 4
Ta mong muốn∆ = (ax + b)2để có điều này thì ta cần:∆ = (3m − 12)2
Giải phương trình này ta thu đượcm = −8 Như vậy phương trình bậc2theot là :
−8t2+ (6x − 4)t − 3x − 4 = 0
Ta có:∆0= (3x − 2)2− 24x + 32 = (3x − 6)2 Phần còn lại là đơn giản rồi nhé
Bài 5 Điều kiện :
−1 ≤ x ≤ 3
x 6= 1
Với điều kiện này phương trình đã cho tương đương với phương trình :
p
x + 1(px + 1 +p3 − x)
1 2
p
3 + 2x − x2
⇔p3 + 2x − x2= 2x2− 4x
⇔
3 + 2x − x2= 4x2(x − 2)2
x ≤ 0 ∨ x ≥ 2
⇔
(x − 1)2(x2− 2x −13
x ≤ 0 ∨ x ≥ 2
⇔
x = 1 +
p 17 2
x = 1 −
p 17 2
Đối chiếu điều kiện ban đầu ta có hai nghiệm vừa tìm được chính là nghiệm của phương trình đã cho
Bài 6 ∗x = 0, thay vào phương trình không thoả mãn
x+ 3
r
x −1
Đặt:t = 3
r
x −1
x PT trở thành:t3+ t − 2 = 0 ⇔ t = 1
Vớit = 1, ta có:x2− x − 1 = 0 ⇔ x =1 ±
p 5
Bài 7 Đặt
r
x −1
x = avà
r
x = bchuyển vế ta cóa − b = b2− a2
Bài 8 Đặtt =px − 2 Pt đã cho trở thành(t − 1)5= 0
Trang 3Bài 9 ĐK :x ≥ 4p2 − 5
p
x + 3 =1
⇔ xpx + 3(px + 3 − 2) + 7(x − 1) = 0 ⇔ x
p
x + 3(x − 1)
p
x + 3 + 2 + 7(x − 1) = 0 ⇔ (x − 1)
Ã
xp
x + 3
p
x + 3 + 2+ 7
!
= 0
Bài 10
Cách 1 : Điều kiện : 0 ≤ x ≤ 2.Phương trình đã cho được biến đổi tương đương thành phương trình :
xp
x + x − x −px −px − 1
p
2¡1 +px ¢ ¡x −px + 1¢
1 + x
⇐⇒
¡p
x + 1 ¢ ¡x −px − 1¢ p
2¡1 +px ¢ ¡x −px + 1¢
1 + x
⇐⇒ x −px − 1
p
2 − x + x − 3=
2x −px + 1
Tới đây ta có : p2 − x + x − 3 < 0, ∀x ∈ [0; 2].Mặt khác ta có : x −px − 1
p
có(2)tương đương với :
x −px − 1 ≥p2 − x + x − 3 ⇐⇒ p2 − x +px ≤ 2 (3)
Ta có(3)luôn đúng vì theo bất đẳng thứcB.C Sta có :p2 − x +px ≤p(12+ 12)(2 − x + x) = 2Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : p2 − x =px ⇐⇒ x = 1.Lại có : x −px + 1
tương đương với :
x −px + 1 ≥ 1 + x ⇐⇒ ¡px − 1¢2≥ 0(luôn đúng) Dấu đẳng thức xảy ra ở(4)khi và chỉ khix = 1.Vậy ta có :
x −px − 1
p
2 − x + x − 3≤ 1
x −px + 1
x ∈ [0; 2]nên(1)xảy ra khi
và chỉ khix = 1.Vậyx = 1là nghiệm duy nhất của phương trình
Cách 2 : Đặt
a =px a ≥ 0
2
+ b2= 2 Ta viết lại phương trình đã cho thành:
1 + 2a − a(2 − b2)
3 − (2 − b2) − b = 2
1 + a3
1 + a2
2
b2− b + 1= 2
1 + a3
1 + a2
⇐⇒ 1 + ab2+ a2+ a3b2= 2b2− 2b + 2 + 2a3b2− 2a3b + 2a3
⇐⇒ a3(b2− 2b + 1) + b2− 2b + 1 + b2− ab2+ a3− a2= 0
⇐⇒ (a3+ 1)(b − 1)2+ (a − 1)(a2− b2) = 0
⇐⇒ (a3+ 1)(b − 1)2+ 2(a − 1)(a2− 1) = 0
⇐⇒ (a3+ 1)(b − 1)2+ 2(a − 1)2(a + 1) = 0
Màa, b ≥ 0nên ta có
(b − 1)2= 0
(a − 1)2= 0
Haya = b = 1 ⇐⇒ x = 1 Vậyx = 1là nghiệm của phương trình
Cách 3 : ĐK :0 ≤ x ≤ 2Đặt :a =px; b =p2 − x ⇒ a2+ b2= 2
1 + 2a − a3
a3+ 1
a2+ 1 ⇐⇒
(a + 1)¡a2
− a − 1¢
(a − 1)2
a2+ 1 ⇐⇒
(a − 1)2
a2+ 1 =
a + b − 2
b2− b + 1 (∗)
Từ giả thiết :a2+ b2= 2 =⇒ a + b ≤p2(a2+ b2) = 2
Trang 4Do đóV T (∗) ≥ 0;V P(∗) ≤ 0 Nên PT ⇐⇒ a = 1
b = a =⇒ x = 1
Bài 11
Điều kiệnx ≥p32
Nhận thấy có sự chênh lệch của căn (căn bậc hai và căn bậc ba) nên ta thường sử dụng cách nhân liên hợp Không khó khăn khi nhẩm nghiệmx = 3
3
p
x2− 1 −px3− 2 + x = 0
2
− 9
3
q
¡x2− 1¢2+ 2p3 x2− 1 + 4
3
5 +px3− 2= 0
⇔ (x − 3)
x + 3
3
q
¡x2− 1¢2+ 2p3x2− 1 + 4
2
+ 3x + 9
5 +px3− 2
⇔
x = 3
x + 3
3
q
¡x2− 1¢2+ 2p3 x2− 1 + 4
2
+ 3x + 9
Ta chứng minh: x + 3
3
q
¡x2− 1¢2+ 2p3 x2− 1 + 4
< 1 ⇔ x < 3
q
¡x2− 1¢2+ 2p3x2− 1 + 1
Vậy nên chỉ cần chứng minh:
x < 3
q
¡x2− 1¢2+ 1 ⇔ x − 1 < 3
q
¡x2− 1¢2⇔ (x − 1)3<¡x2
− 1¢2
⇔ x4− x3+ x2− 3x + 2 > 0 ⇔ (x − 1)2¡x2+ x + 2¢ > 0 .
Điều này luôn đúng vớix > 1
Tiếp theo ta chứng minh:
x2+ 3x + 9
5 +px3− 2> 2 ⇔ x
2+ 3x − 1 > 2px3− 2
⇔¡x2+ 3x − 1¢2
> 2¡x3− 2¢ ⇔ ¡x2+ x¢2
+ (x − 3)2+ 5x2> 0
Điều này luôn đúng
Như vậy ta chứng minh được:
x + 3
3
q
¡x2− 1¢2
+ 2p3x2− 1 + 4
< 1
x2+ 3x + 9
5 +px3− 2> 2
⇒ x + 3
3
q
¡x2− 1¢2
+ 2p3x2− 1 + 4
2+ 3x + 9
5 +px3− 2< 0
Từ đó suy ra(∗)vô nghiệm Vậy nghiệm của phương trình làx = 3
Bài 12 ĐK:[1; +∞) ∪
µ
3
¸
Áp dụng bất đẳng thức bunhia-copski ta có:V T ≤
q
¡x2+ 2¢ ¡5x2− x¢
*)Dấu ’=’ xảy ra⇔ x = −1
Mặt khác:5x2− x > 0∀x ∈ [1; +∞) ∪
µ
3
¸
Do đó:
V P = 1
2£5x2
2.2.
q
¡5x2− x¢ 2.(x + 2)
⇔ V P ≥
q
¡5x2− x¢ (x + 2)
*)Dấu’=’ xảy ra⇔
x = −1
x =4
3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho làx = −1
Bài 13
Cách 1 : Xétf (x) =p3x2− 2x + 5 + 5 −px − 2 − 2xtrên[2; + ∝)
3p3 (x − 1)2+ 42
x − 2− 2 =
2x − 2 − 6p3 (x − 1)2+ 42
3p3 (x − 1)2+ 42
x − 2< 0
Trang 5( Vì ta có:p3
(x − 1)2+ 42≥p3 (x − 1)4+ 4(x − 1)2≥ (x − 1) > 0)
Do vậy PT đă cho có duy nhất nghiệm Mà ta nhận thấy:f (3) = 0 Vậyx = 3
Cách 2 : Điều kiệnx ≥ 2
Phương trình tương đương
³p3
x2− 2x + 5 − 2´−¡px − 2 − 1¢ − 2(x − 3) = 0
2
− 2x − 3
³p3
x2− 2x + 5´2+ 2p3 x2− 2x + 5 + 4
− x − 3
p
x − 2 + 1 − 2(x − 3) = 0
⇔ (x − 3)
x + 1
³p3
x2− 2x + 5´2+ 2p3x2− 2x + 5 + 4
x − 2 + 1− 2
Ta thấy một nghiệmx = 3, tiếp theo chứng minh
x + 1
³p3
x2− 2x + 5´2+ 2p3x2− 2x + 5 + 4
x − 2 + 1 − 2 < 0, ∀x ≥ 2.
Và chỉ cần x + 1
³p3
x2− 2x + 5´2+ 2p3x2− 2x + 5 + 4
Thật vậy, bất phương trình tương đương
x + 1 ≤³p3x2− 2x + 5 + 1´2+ 3 ⇒ x + 1 ≤ ¡px − 2 + 2x − 4¢2
+ 3 ⇔ 4(x − 2)2+ 4(x − 2)px − 2 ≥ 0,∀x ≥ 2
Bài 14
Điều kiện−1 ≤ x < 0, x ≥ 1Phương trình tương đương:
(x2− x − 1)
1
x
µr
x −1
x+ 1
¶ −
1
x
r
x− 1
= 0
[*] Với :x2− x − 1 = 0 ⇔ x =1 ±
p 5 2
[*] Với :x
µr
x −1
x+ 1
¶
− x
r
x− 1 = 0(vô nghiệm khi1 ≤ x < 0, x ≥ 1)
Vì : khi−1 ≤ x < 0thìx
µr
x −1
x−
r
x+ 1
¶
− 1 < 0và khix ≥ 1thìx
µr
x −1
x−
r
x
¶
+ x − 1 > 0
Bài 15
Khi đó, phương trình đã cho trở thành:
a + b = a2+ b2− 20 + 2ab ⇔ (a + b)2− (a + b) − 20 = 0 ⇔ (a + b − 5) (a + b + 4) = 0
⇒¡p2x + 3 +px + 1 − 5 ¢ ¡p2x + 3 +px + 1 + 4¢ = 0
Bài 16
Cách 1 : Đặtpx +p3 = a;px −p3 = b ⇒ 2x = a2+ b2
PT trở thành a
2
p
x + a +
b2
p
x − b =
p
x ⇔¡px − a + b ¢ (x + ab) = 0
suy rapx = a − btừ đó ta tìm x=p4
2
Cách 2 : Đặt
a =
s
1 +
p 3
x
b =
s
1 −
p 3
x
thì ta thu được hệ:
a2+ b2= 2(1)
a2
a + 1+
b2
b + 1= 1(2)
Khai triển(2)và thaya2+ b2= 2thì ta thu được:(a + b − 1)(ab − 1) = 0
Bài 17
Cách 1 : ĐK:−5 ≤ x ≤ 3
Trang 6P T ⇔p4
15 + 3x +p49 − 3x =p4
15 + (x − 2) +p4
9 − (x − 2)
Xét hàm số: f (t ) =p415 + t +p49 − ttrên đoạn[−15;9]có:f0(t ) =1
4
µ 1 (p4
(p4
9 − t)3
¶
⇒ f0(t ) ≥ 0vớit ∈ [−15;−3]và f0(t ) ≤ 0vớit ∈ [−3;9]
Đặt :
u = 3x
v = x − 2
P T ⇔ f (u) = f (v)
Vớix ∈ [−1;3] → u, v ∈ [−3;9]
Vớix ∈ [−5;−1] → u, v ∈ [−15;−3]
⇒ P T ⇔ u = v ⇔ 3x = x − 2 ⇔ x = −1
Cách 2 : Điều kiện :−5 ≤ x ≤ 3Đặt :a =p4
3 (x + 5); b =p4
3 (3 − x); c =p4
11 − x;d =p4
x + 13
Ta có :
a + b = c + d
a4+ b4= c4+ d4
a, b, c, d ≥ 0
Lúc đó :a4+ b4= c4+ d4⇔ (a + b)4− 2ab ¡2a2+ 3ab + 2b2¢ = (c + d)4
− 2cd ¡2c2+ 3cd + 2d2¢
Nên từ (*) suy ra :ab = cdhoặca = b = 0(không xảy ra)
Thay trở lại ta có phương trình :
4
p
9 (x + 5)(3 − x) =p4
(11 − x)(x + 13) ⇔
(
−5 ≤ x ≤ 3
Thử lại ta thấyx = −1là nghiệm của phương trình đã cho !