Chinh phục hệ phương trình

Ngoài ta chúng ta còn có thể giải quyết bài toán bằng cách “khảo sát hàm số”; cách này sẽ được trình bày ở những phần sau: Bài giải chi tiết  Biến đổi phương trình 1... Kết luận: Hệ phư

Trang 1

CHINH PHỤC HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHIÊN BẢN 2.0 do GIA ĐÌNH LOVEBOOK biên soạn

Anh em tham gia: Bùi Văn Cường, Lương Văn Thiện, Nguyễn Xuân Tùng, Mai Văn Chinh, Phan Ngọc Đức, Lê Nhất Duy, Đinh Thị Thu Hà, Ngô Lương Thanh Trà, Ngô Lương Thanh Trà, Hoàng Trung Hiếu

Một số thông tin phiên bản 2.0:

Số trang: 500 trang khổ A4 (phiên bản 1.0 – 368 trang)

Ngày phát hành: 25/09/2015

_

Đặt trước sách Lovebook phiên bản 2.0: https://goo.gl/XeHwk5

Giải đáp các thắc mắc trong sách Lovebook: http://goo.gl/A7Dzl0

Tài liệu Lovebook chọn lọc:http://goo.gl/nU0Fze

Kênh bài giảng Lovebook: https://goo.gl/OAo45w

Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên Lovebook: goo.gl/ol9EmG

Trang 2

Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn

LỜI NÓI ĐẦU

Các bạn đang cầm trên tay một cuốn sách tham khảo về luyện thi Đại Học – Cao Đẳng phần Hệ Phương Trình! “Vâng, lại là một quyển Hệ phương trình nữa!” Tôi chắc chắn là sẽ có không ít bạn, thậm chí

là phần lớn các bạn học sinh sẽ có suy nghĩ như vậy khi cầm quyển sách này trong tay! Thực ra suy nghĩ đó rất đúng; lý do là vì trên thị trường hiện nay, có quá nhiều, tìm ở đâu cũng thấy có những quyển sách tham khảo về phần Hệ Phương Trình luyện thi Đại Học – Cao Đẳng Và chất lượng các sách thì do có quá nhiều sách nên các quyển sách cũng chỉ có chất lượng bình bình với nhau Nhưng, tôi xin nhấn mạnh một điều rằng bạn không nên coi quyển sách này giống các quyển sách khác Nói ít làm nhiều, xin mời bạn cùng theo dõi và đánh giá bài tập ví dụ mẫu ngay sau đây Bài tập này được trích trong đề thi Đại Học khối A năm 2014 Bài giải đã tập hợp tất cả tâm lực của chúng tôi Bạn sẽ nhận ra sự khác biệt nằm ở đây

{x√12 − y + √y (12 − x2) = 12 (1)

x3− 8x − 1 = 2√y − 2 (2)Hướng dẫn:

Bài toán này có một phương trình gây nhiều chú ý, đó là phương trình (1) Các số 12 xuất hiện nhiều lần trong phương trình (1) không phải ngẫu nhiên, khi mà vị trí xuất hiện của chúng luôn đi kèm với dấu + Do

đó chắc chắn chúng ta sẽ phải xử lý phương trình (1) trước; sau đó mới thay kết quả thu được từ phương trình (1) vào phương trình (2)

 Xử lý phương trình (1)

Một lời khuyên là: khi bế tắc ở một phương trình, chúng ta hãy nghĩ đến Bất đẳng thức! Và khi đã nghĩ đến Bất đẳng thức, chúng ta có thể nhanh chóng nhận thấy các cách giải quyết phương trình (1) lần lượt xuất hiện

 Cách 1: Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Với những bạn có kiến thức về Bất đẳng thức ở mức khá, sẽ không quá khó để có thể nhận ra rằng nếu sử dụng Bất đẳng thức này vào phương trình (1), ta sẽ thấy ngay được kết quả mà không phải thông qua một bước biến đổi lắt léo nào Cụ thể biến đổi:

[√12 − y x + √y (12 − x2)]2≤ (x2+ 12 − x2)(12 − y + y) = 144

⇒ x√12 − y + √y (12 − x2) ≤ 12 Vậy là dấu “=” sẽ phải xảy ra! Phương trình (1) được giải quyết trong 1 dòng!

Các bạn có thể tìm dạng tổng quát của Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki trong phương pháp đánh giá bằng Phương pháp tọa độ

 Cách 2: Từ kết quả của cách 1, dựa vào điều kiện xảy ra dấu “=”, chúng ta có thể tiến hành nắn để sử dụng Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm Cụ thể biến đổi:

⇒ x√12 − y + √y (12 − x2) ≤ 12

Do đó, dấu “=” phải xảy ra Cách giải quyết này cũng rất dễ hiểu

 Cách 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Để tạo ra sự đồng bộ về bậc giữa các thành phần trong phương trình (1), chúng ta sẽ tiến hành phép đặt ẩn phụ là a = √12 − y Khi đó y = 12 − a2, cũng sẽ khớp với √12 − x2 Và một khi đã tiến hành đặt ẩn phụ không hoàn toàn, chúng ta chỉ còn lại cách xử lý là bình phương lên để khử căn, rồi tiến hành biểu diễn các ẩn qua nhau

Phương trình (1) sẽ trở thành:

x a + √(12 − x2)(12 − a2) = 1

Trang 3

⇔ {(12 − x2)(12 − a2) = (12 − xa)2

⟺ {(x − a)12 ≥ x a2 = 0 ⟺ {xa ≤ 12x = a

⇒ x = √12 − y ⇒ {x2= 12 − y x > 0Cách giải quyết này rất không có sự góp mặt của môt yếu tố cao siêu nào như hai cách đầu Tuy nhiên để có thể nhìn ra sự “đẳng cấp” giữa x và √12 − y thì cũng không phải dễ dàng

 Cách 4: Nhân biểu thức liên hợp

- TH1: Nếu x √12 − y = √(12 − x2)y; từ phương trình (1) ta suy ra:

x √12 − y = √(12 − x2)y = 6 ⇔ {

x > 0

x2(12 − y) = 36y(12 − x2) = 36⟺ {

x > 0

x2= y = 6 Thử lại không thỏa mãn phương trình (2)

- TH2: Với x √12 − y − √(12 − x2)y ≠ 0;

Nhân cả 2 vế phương trình (1) với x √12 − y − √(12 − x2)y ta được:

[x √12 − y + √(12 − x2)y] [x √12 − y − √(12 − x2)y] = 12 [x √12 − y − √(12 − x2)y]

2

x 12 y

0 x

2

x y 12 )y x (12

2

12 y x y 12 x

Cách xử lý này có lẽ sẽ ít được nghĩ đến, vì khó có thể định hình được rằng sẽ tạo ra được một hệ phương trình với hai ẩn { x√12 − y

√(12 − x2)y

 Xử lý phương trình (2)

Sau khi đã xử lý xong phương trình (1) bằng một trong số các cách giải quyết trên, kết quả thu được là:

y = 12 − x2Đem thế vào phương trình (2), chúng ta thu được một phương trình vô tỉ không mấy dễ nhìn:

x3− 8x − 1 = 2√10 − x2Đến đây, chúng ta sẽ tiến hành “ép nghiệm” để giải quyết bài toán Ngoài ta chúng ta còn có thể giải quyết bài toán bằng cách “khảo sát hàm số”; cách này sẽ được trình bày ở những phần sau:

Bài giải chi tiết

 Biến đổi phương trình (1)

 Cách 1: Bất đẳng thức Cô-si:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số không âm ta có:

x√12 − y ≤ |x|√12 − y ≤x2+ 12 − y2

Trang 4

√y (12 − x2) ≤y + 12 − x2

2Cộng theo vế 2 bất đẳng thức lại, ta có:

x√12 − y + √y (12 − x2) ≤x2+ 12 − y2 +y + 12 − x2

2 = 12 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: {x2x = |x|= 12 − y⟺ {y = 12 − xx ≥ 0 2

 Cách 2: Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

[√12 − y x + √y (12 − x2)]2≤ (x2+ 12 − x2)(12 − y + y) = 144

⇒ x√12 − y + √y (12 − x2) ≤ 12 Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi:

x √12 − x2=√12 − y

x > 0

x2= y = 6 Thử lại không thỏa mãn phương trình (2):

- TH2: x √12 − y − √(12 − x2)y ≠ 0

Nhân cả 2 vế phương trình 1 với x √12 − y − √(12 − x2)y ta được:

[x √12 − y + √(12 − x2)y] [x √12 − y − √(12 − x2)y] = 12 [x √12 − y − √(12 − x2)y]

 Biến đổi phương trình (2)

Thay y = 12 − x2 vào phương trình (2) ta được:

Trang 5

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {x = 3y = 3

Nguồn gốc: Chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng, bài toán này được ta ra dựa trên tinh thần của việc sử dụng Bất đẳng thức; nếu bắt nguồn ý tưởng từ cách 3 và 4 thì khó lòng mà căn chỉnh sao cho sẽ tạo

ra được các kết quả như ý muốn

Vậy là chúng ta đã theo dõi xong Suy nghĩ của bạn bây giờ cảm thấy thế nào? Quyển sách này khác những quyển sách khác về Hệ phương trình mà bạn đã từng đọc qua ở điểm nào? Những điều này chắc hẳn mỗi người sẽ có một câu trả lời cho riêng mình Và tôi xin nói với bạn rằng, khi bạn đã cầm quyển sách này lên trên tay, có nghĩa là bạn có duyên với quyển sách, và không nên lãng phí duyên nợ này Tôi tin chắc bạn

sẽ không cảm thấy thất vọng trong quá trình sử dụng quyển sách này như những quyển sách đã từng làm bạn thất vọng trước đây! Các bạn hãy coi chúng tôi như là một người bạn vô hình để có thể chỉ đường, dẫn lối cho các bạn khi các bạn gặp phải vướng mắc trong quá trình sử dụng quyển sách!

Quyển sách này trình bày đa số các bài tập theo một khung mẫu: Đề bài – Hướng dẫn – Bài giải chi tiết – Nguồn gốc Các bài tập trong sách đều được nêu rõ nguồn gốc xuất xứ để tạo ra (nếu có) Việc này có tác dụng gì trong quá trình luyện thi? Chúng tôi sẽ định hướng lời giải trước trong phần Hướng dẫn, sau đó tiến hành giải chi tiết bài toán trong phần Bài giải chi tiết, cuối cùng là nêu ra Nguồn gốc và cách để có thể tạo ra một bài toán như vậy Tác dụng của phần Nguồn gốc lớn hơn nhiều so với phần Bài giải chi tiết; vì khi

đã biết được nguồn gốc xuất xứ và cách tạo ra bài toán, bạn không những có thể giải được bài toán một cách chuẩn xác, mà còn có thể hiểu được rõ bản chất của bài toán và có thể tạo ra vô số các bài toán tương tự khác để phục vụ luyện tập thêm Đôi khi bạn còn có thể biến tấu một hoặc một số thành phần nào đó của quá trình tạo ra bài toán để có thể tạo ra một bài toán có hình dạng khác đi so với bài toán ban đầu; điều này có tác dụng rất lớn để hình thành phản xạ giải toán của bản thân bạn Bạn sẽ không thấy quá bỡ ngỡ khi người ra đề chỉ biến đổi đôi chút những đề bài cũ; vì bạn đã “đi guốc trong bụng” họ rồi

Về cách sử dụng quyển sách làm sao cho đạt được hiệu quả cao nhất có thể, tôi xin nêu ra một cách thức sử dụng quyển sách này, bao gồm hai loại hình là Cá nhân và Nhóm! Các bạn có thể tham khảo hoặc tự tìm ra cho mình cách sử dụng cuốn sách sao cho hiệu quả nhất đối với bản thân

Về mặt cánhân: Bạn nên đọc qua hết phần lý thuyết tôi nêu ra ở đầu những phương pháp Khi nghiên cứu các ví dụ, bạn không nên xem ngay những phần diễn thuyết của tôi bên dưới đề bài, việc làm này sẽ làm hạn chế tư duy của bạn nếu bạn quá làm dụng vào lời giải Bạn nên nháp để tìm lời giải cho riêng mình, vì không có gì có thể tốt bằng lời giải do chính bạn tự thân nghĩ ra! Khi không nghĩ được ra lời giải cho riêng mình, bạn có thể xem phần Hướng dẫn Bạn nên xem từ từ, vừa xem vừa nghĩ xem suy nghĩ của mình bị mắc ở chỗ nào mà không thể giải được; vì có thể suy nghĩ của bạn bị mắc ở một chi tiết nào đó mà chúng tôi nêu ra trong phần hướng dẫn Sau khi đọc xong phần hướng dẫn, thay vì đọc tiếp Bài giải chi tiết, bạn nên tự mình tìm lời giải cho bài toán trên tinh thần đã đọc và hiểu phần Hướng dẫn Khi vẫn gặp vướng mắc trong quá trình trình bày lời giải, bạn có thể xem phần Bài giải chi tiết Phần này cũng nên xem từ từ xem mình đang mắc ở chỗ nào Sau khi đã tiếp thu được lời giải chuẩn của bài toán, bạn nên tự trình bày lại lời giải của bài toán theo ý mình; hoặc cũng có thể tự tìm cho mình một cách giải quyết khác cho bài toán Nếu bạn có thể tìm được thì đó là một điều rất đáng quý! Cuối cùng, khi đã trình bày xong, bạn hãy nên suy nghĩ xem “do đâu mà lại có những bài toán như vậy, người ra đề tạo ra bài toán này như thế nào, liệu có thể tạo ra những bài toán tương tự cùng những biến thể khác không,….?”! Rồi bạn hãy trình bày các suy nghĩ đó của bạn về bài toán ra một chỗ riêng Sau khi đã xong (hoặc chưa nghĩ ra được nguồn gốc), các bạn hãy xem phần Nguồn gốc được nêu ra ở sau cùng của bài toán để xem suy nghĩ của chúng ta có giống nhau không! Bạn có thể tiếp thu thêm được các khía cạnh về nguồn gốc mà tôi đã nêu ra, hoặc cũng có một số khía cạnh khác về nguồn gốc của bài toán mà tôi không biết nhưng bạn lại tự mình tìm ra được!

Trang 6

- Về mặt nhóm: Các bạn có thể tự lập ra cho mình một nhóm các bạn cùng sử dụng sách để có thể luyện tập thêm được nhiều hơn nữa (lợi ích ngoài lề là rèn khả năng làm việc nhóm) Các bạn sẽ cùng nhau sử dụng quyển sách này, mỗi bạn sẽ phải hoàn thành phần “cách thức sử dụng theo cá nhân” mà tôi đã trình bày ở trên Sau đó, mỗi bạn hãy tạo ra nhiều đề bài tương tự đi kèm các biến thể do bạn tùy chỉnh, rồi gửi cho nhau làm; người này sẽ làm ví dụ do người khác đặt ra Càng nhiều người thì càng có nhiều biến thể xuất hiện Và đương nhiên cũng không nên biến thể bài toán thành

“quá khích” mà biến nó thành đánh đố! Điều này không có chút tác dụng nào trong việc luyện tập,

dễ gây tâm lý sợ sệt khi giải toán!

1 Loss leaves us empty - but learn not to close your heart and mind in grief Allow life to replenish you When sorrow comes it seems impossible - but new joys wait to fill the void

Sự mất mát khiến chúng ta trống rỗng - nhưng hãy học cách không để sự đau khổ đóng lại trái tim và tâm hồn mình Hãy để cuộc đời đổ đầy lại bạn Dưới đáy u sầu, dường như điều đó là không thể - nhưng những niềm vui mới đang chờ đợi để lấp đầy khoảng trống

_Pam Brown _

2 Love begins with a smile, grows with a kiss, and ends with a teardrop

Tình yêu bắt đầu với nụ cười, lớn lên với nụ hôn, và kết thúc bằng giọt nước mắt

_Khuyết danh _

Trang 7

Phản xạ hệ phương trình

Cuốn sách này là sự đúc kết rất nhiều kinh nghiệm, kỹ năng và tất cả “mẹo” của các anh chị sau nhiều năm gắn bó với HPT Đây có đây sẽ là một trong những cuốn sách HPT hay, đầy đủ, chi tiết và mang nhiều tâm huyết tình cảm của những người viết nhất hiện nay Nhưng giữa vô vàn những phương pháp đã được phân tích, trình bày ở đây, khi gặp một HPT bất kì chắc hẳn thật khó khăn để lựa chọn được một phương pháp để sử dụng Đầu tiên là có thể giải được bài toán và hơn cả là sẽ giải bài toán một cách thật

“đẹp” Chính vì lí do ấy, bài viết này nhằm cung cấp cho các em một cách nhìn tổng quan nhất, một lối tư duy logic nhất khi tìm kiếm lời giải cho một HPT bất kì Bài viết này nhằm hướng dẫn cho các em cách quan sát,

tư duy và đưa ra những nhận định, đánh giá và rút ra chìa khóa của bài toán Do đó bài viết chưa thực sự đầy đủ các phương pháp (PP) Vì vậy các em hãy tự rèn luyện để hình thành một “PHẢN XẠ” nhanh và đầy

đủ nhất của riêng mình!

Bài viết này gồm 2 phần:

A Điểm lại một số phương pháp thường dùng nhất trong đề thi Đại Học, Học Sinh Giỏi

B Tư duy giải Hệ Phương Trình

A Tổng quan một số phương pháp giải hệ phương trình

Trong đề thi đại học có một số PP thường gặp:

1 Phân tích thành nhân tử

Chỉ xin đề cập tới 2 phương pháp thường gặp nhất:

- Phương pháp nhẩm nghiệm, đặc biệt là dùng máy tính để nhẩm nghiệm như đã trình bày ở phần Phụ lục 2: Hướng tư duy PNĐ

- Phương pháp dùng phương trình bậc 2 để giải Hệ phương trình:

Đây là một phương pháp khá hữu ích trong các bài Hệ phương trình ở mức độ thi đại học

* Đặc điểm nhận dạng: Khi trong Hệ phương trình có xuất hiện phương trình bậc 2 với 1 ẩn (giả sử là ẩn x),

ta xem đây là phương trình bậc 2 ẩn x, tham số y và giải bình thường như một phương trình bậc 2

Lưu ý: Nếu tính ∆ mà không biểu diễn được dưới dạng bình phương thì phương pháp này không dùng được

Nhận thấy phương trình (1) bậc 1 với cả x và y, phương trình (2) bậc 3 với x, bậc 2 với y Do đó xem (2) là phương trình bậc 2 với y, x là tham số:

(2) ⇔ y2− (x2+ 2x + 1)y + (2x3+ x2) = 0

I (D–2012) Giải hệ phương trình: {2x3− x2y + xxy + x − 2 = 0 (1)2+ y2− 2xy − y = 0(2)

Trang 8

y = √5

{x =

−1 − √52

Phương pháp này rất quen thuộc, đặc biệt chú ý đến Phương pháp chia để làm xuất hiện ẩn phụ:

Kĩ thuật này có 1 số dấu hiệu nhận dạng như phương trình có các tích xy, x2 y2, f(x)g(y) … tuy nhiên tất

cả các dấu hiệu này đều không đặc trưng mà chủ yếu dựa trên kinh nghiệm và tư duy của người giải Do đó hãy tự làm một số ví dụ và rút ra kinh nghiệm cho mình:

1) {x2+ 1 + y(y + x) = 4y

(x 2 + 1)(y + x − 2) = y 2) {

1 + x 3 y 3 = 19x 3

y + xy 2 = −6x 2 3) {

x(x + y + 1) − 3 = 0

(x + y) 2 − 5

x 2 + 1 = 0(D − 2009)

4) {(x4− 2x3+ x2)(1 + y2− 2y) = 16y2x 2 y − 2xy + y 2 − 10y + 1 = 0Cách xác định biểu thức đem chia sẽ được giới thiệu trong Phương pháp Đặt ẩn phụ

3 Hàm số

*Cơ sở lý thuyết:

Với f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục trên 𝔻 ta có:

1 Hàm số f(x) đơn điệu trên 𝔻 thì:

+) f(x) = a có không quá 1 nghiệm trên 𝔻 (nếu f(α) = a thì x = α (α ∈𝔻))

- Từ Hệ phương trình biến đổi về dạng f(u) = f(v)

- Chứng minh hàm đặc trưng f(t) đơn điệu trên 𝔻 Suy ra f(u) = f(v) ⇔ u = v

- Từ u=v kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ phương trình để giải Hệ phương trình

Trang 9

1 Cố gắng cô lập biến để chuyển phương trình thành F(x) = G(y) nếu có thể

Cô lập biến phương trình (1): (1) ⇔ (x + 2)√x2+ 4x + 7 + x + 2 = −y√y2+ 3 − y

2 Nếu có thể, hãy cố định một vế làm hàm đặc trưng và biến đổi vế còn lại theo hàm đặc trưng này

Xét tiếp ví dụ II sau khi cô lập biến ta được PT (1)⇔ (x + 2)√x2+ 4x + 7 + x + 2 = (−y)√(−y)2+ 3 +(−y)

Dế thấy VP đơn giản và gọn hơn Do đó cố định VP và chọn f(t) = t√t2+ 3 + t là hàm đặc trưng

Khi đó VP = f(−y)

Ta tìm cách biến đổi VT về dạng f(u(x))

Dễ thấy ở đây u(x) = x + 2 khi đó VT = (x + 2)√(x + 2)2+ 3 + (x + 2) = f(x + 2)

Phương trình trở thành f(x + 2) = f(−y)

{(x + 2)√x2+ 4x + 7 + y√y2+ 3 + x + y + 2 = 0 (1)

√x2+ y + 1 = x − y + 1 (2)Điều kiện: {xx − y + 1 ≥ 02+ y + 1 ≥ 0(∗)

Với x; y thỏa mãn (∗): (1) ⇔ (x + 2)√x2+ 4x + 7 + x + 2 = (−y)√(−y)2+ 3 + (−y)(3)

Xét hàm số f(t) = t√t2+ 3 + t trên ℝ có f′(t) = √t2+ 3 + t2

√t2+ 3+ 1 > 0∀ t ∈ ℝ

Do đó f(t)đồng biến trên ℝ

Lại có (3) ⇔ f(x + 2) = f(−y) ⇔ x + 2 = −y ⇔ y = −x − 2

Kết hợp với phương trình (2)ta được { y = −x − 2

Kết hợp với điều kiện (∗)ta suy ra hệ phương trình có nghiệm (−1; −1)

3 Tìm các dấu hiệu đối xứng: bậc, căn bậc 2, bậc 3, hệ số…

Kí hiệu: deg(f(x)): bậc của hàm f(x)

Trang 10

Chương I: Bổ sung kiến thức khi giải hệ phương trình

Hệ phương trình gồm hai hay nhiều phương trình (thường là hai) Thực chất của việc đi giải hệ phương trình là việc tìm ra liên hệ giữa hai phương trình trong hệ với nhau Ta có thể làm việc đó bằng cách

xử lý từng phương trình riêng lẻ, hoặc là xử lý đồng thời cả hai phương trình Để có thể xử lý được thì ta cần phải được trạng bị những phương pháp biến đổi cơ bản khi giải hệ phương trình Bước cuối cùng của việc giải hệ phương trình là việc giải phương trình Các kỹ thuật giải phương trình cũng cần được đầu tư và chú ý Tôi sẽ không đề cập đến những thứ quá cơ bản, mà chỉ đề cập đến những thứ thực sự cần thiết, tránh gây dài dòng nhiều chữ

Trong phần này, chúng tôi sẽ lần lượt trình bày theo các phần sau:

BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

I: BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG LẬP PHƯƠNG

II: LƯỢNG GIÁC HÓA

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

I: DẠNG ĐẶC BIỆT

II: DẠNG TỔNG QUÁT (ĐỌC THÊM)

BÀI 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ - NHÂN LIÊN HỢP – HẰNG ĐẲNG THỨC

BÀI 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC

I: ÉP NGHIỆM

II: KHẢO SÁT HÀM SỐ

Trang 11

Bài 1: Phương trình bậc ba

Như các bạn đã biết, không có công thức nghiệm cho phương trình bậc ba trong chương trình THPHƯƠNG TRÌNH; do đó nếu trong quá trình giải mà bạn chẳng may gặp phải một phương trình bậc ba thì chắc chắn rằng phương trình đó luôn có thể giải được bằng những kiến thức của THPHƯƠNG TRÌNH (với điều kiện là đề bài không được nhầm lẫn) Ở đây ta chỉ đề cập đến những phương trình bậc ba không

có nghiệm hữu tỉ (hoặc không nhẩm được nghiệm) Khi gặp những phương trình đó, ta có thể đánh giá nó

vô nghiệm trong tập xác định, lượng giác hóa, biến đổi hai vế về dạng lập phương,…

Việc đánh giá phương trình bậc ba vô nghiệm trong tập xác định thực ra chỉ là khảo sát hàm số bậc

ba đó trên miền xác định; rồi từ bảng biến thiên, ta sẽ có thể suy ra phương trình vô nghiệm trong tập xác định cho trước

I: Biến đổi hai vế về dạng lập phương

Cách làm của phương pháp này là đưa phương trình bậc ba đã cho về một đẳng thức có dạng A3 =

B3 (với A và B là hai đa thức cùng một biến) Cách làm này tưởng chừng như quá cơ bản, nhưng sự thật là rất ít học sinh nghĩ đến phương pháp này khi gặp một phương trình bậc ba không có khả năng nhẩm nghiệm!

Hướng dẫn:

Chắc chắn là việc cố gắng tìm nghiệm chẵn cho phương trình này đã phá sản khi mà máy tính không thể cho ra nghiệm chẵn ở cả phần Equation và Solve Điều này khiến đa số các bạn chán nản Nhưng thực chất của bài toán là đây:

⇒ Để có thể sử dụng được phương pháp này trong giải phương trình bậc ba thì điều quan trong và bắt buộc là diễn biến hệ số của ba số cuối phải là thành phần của một khai triển lập phương (trong trường hợp diễn biến hệ số của ba số đầu trùng với hệ số trong khai triển lập phương thì bài toán lại không có gì đáng nói)

Nguồn gốc: Bài toán trên có thể tạo ra không khó Người ra đề sẽ đi từ biểu thức A3 = B3 (với A và B

là hai hàm bất kỳ cùng biến số) Đương nhiên phương trình A = B phải luôn có thể giải được Để bài toán trở nên khó khăn, người ra đề sẽ nắn để cho phương trình A = B có nghiệm lẻ

Ví dụ như (x + 1)3= 2x3⇔ x3− 3x2− 3x − 1 = 0 là một sản phẩm của quá trình

Bạn hãy thử sức với bài tập tương tự sau

Trang 12

Nghiệm: x = 1

√4

3

− 1

II: Lượng giác hóa

Tinh thần của phương pháp này xoay quanh hai công thức lượng giác sau (thực chất chỉ cần sử dụng một): { sin 3x = 3 sin x − 4 sin3x

cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x Nếu ta đặt {t = sin xt = cos x thì từ phương trình bậc ba với ẩn t, ta có thể đưa về phương trình lượng giác đơn giản Để cụ thể, ta xét ví dụ sau

Hướng dẫn:

Việc tìm nghiệm hữu tỉ trong phương trình trên là không thể, vì Equation hiển thị đúng 3 nghiệm

vô tỉ! Nên chắc chắn ta chỉ có thể giải bằng phương pháp nhẩm nghiệm thông thường Việc đưa hai vế về dạng lập phương cũng không có kết quả, vì không có hạng tử bậc hai Với hướng làm Lượng giác hóa, tuy rằng diễn biến bậc của phương trình đã thỏa mãn (3; 1), nhưng diễn biến hệ số của phương trình không phải (4; -3); vậy nên ta sẽ phải tạo ra diễn biến hệ số (4; -3) Muốn vậy, ta sẽ đặt x = acos t rồi đi tìm a để

có được diễn biến hệ số thích hợp Tuy nhiên, do |cos t| ≤ 1 nên giá trị tuyệt đối của tất cả các nghiệm không được vượt quá |a|

a3cos3t − 3a cos t = α(4 cos3t − 3 cos t) Điều này tương đương với a3

3a=

4

3⇒ a = 2 Vậy ta có lời giải như sau:

3 Giải phương trình: x3− 3x + 1 = 0

Trang 13

Chương II: Các phương pháp giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình là tìm mối liên hệ giữa hai phương trình với nhau Ngoài những hệ phương trình có phương pháp giải tổng quát như các hệ đối xứng, hệ đẳng cấp thì có nhiều phương pháp được biểu diễn dưới nhiều bài toán khác nhau; nhưng tóm gọn lại cũng chỉ là những phương pháp: thế, đặt ẩn phụ, khảo sát hàm đại diện,… Bằng việc sử dụng các biến đổi như: đưa về phương trình tích, dùng hằng đẳng thức, nhân liên hợp, cân bằng bậc – hệ số,

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tất cả các phương pháp để giải quyết một hệ phương trình Bao gồm các phương pháp thường xuyên được sử dụng trong các đề thi thử và đề thi Đại học

BÀI 1: CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP

II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT BẬC HAI

II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT BẬC CAO

BÀI 3: PHƯƠNG PHÁP THẾ

BÀI 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

BÀI 5: PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐẠI DIỆN

BÀI 6: PHƯƠNG PHÁP ẢO HÓA (PHỨC HÓA)

BÀI 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ (HOẶC BẤT ĐẲNG THỨC)

Chân lý cuối cùng của ở cuộc đời này là tình yêu có nghĩa là sống và sống là yêu

_Voltaire _ Read more: http://www.goctraitim.vn/2013/09/45-cau-danh-ngon-hay-ve-tinh-

yeu.html#ixzz3kdzbfRmt

Trang 14

Bài 1: Các hệ phương trình cơ bản

I- Hệ phương trình đẳng cấp

Đây là những hệ phương trình mà ta sẽ có thể nhận ra được sự tồn tại của những yếu tố đồng bậc xuất hiện ở cả hai phương trình Sự đẳng cấp ở đây có thể là tương đồng về bậc ở hai vế tương ứng của hai phương trình, hoặc là tương đồng về sự lệch bậc giữa hai vế của từng phương trình Cách đơn giản nhất để giải quyết những hệ phương trình này là thực hiện nhân theo vế hai phương trình cho nhau để cân bằng bậc, hoặc cũng có thể chia theo vế hai phương trình cho nhau rồi tiến hành đưa phương trình thu được về một ẩn

Hướng dẫn:

Cái nhìn đầu tiên của chúng ta khi gặp hệ trên là từng vế tương ứng của hai phương trình là đồng bậc với nhau Nên nếu ta tiến hành nhân để cân bằng bậc thì sẽ đưa về phương trình đẳng cấp, và có thể đơn giải biểu diễn x theo y (hoặc ngược lại) Cụ thể, ta sẽ nhân vế bậc cao của phương trình này với vế bậc thấp của phương trình kia

Bài giải chi tiết Nhân chéo theo vế hai phương trình trong hệ với nhau, ta được:

Phương trình ⇔ 5x2(x2− y2) = 12y2(x2+ y2) ⇔ 5x4− 17x2y2− 12y4= 0

⇔ (5x2+ 3y2)(x − 2y)(x + 2y) = 0 ⇔ [x = −2y x = 2y

 Với x = 2y; (1) ⇔ 2y 3y2= 6y ⇔ [y = ±1 ⇒ x = ±2 y = 0 ⇒ x = 0

 Với x = −2y; (1) ⇔ −2y 3y2= 6y ⇔ y = 0 ⇒ x = 0

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {x = 0y = 0 ; {x = 2y = 1 ; {x = −2y = −1

Lưu ý:Ta cũng có thể giải bằng cách chia tương ứng hai vế của hai phương trình cho nhau rồi tiến hành đặt ẩn t = x

y Tuy nhiên để làm được theo cách này thì ta phải xét trường hợp y = 0 Do đó cách làm này sẽ rườm rà hơn cách trên

Nguồn gốc: Việc tạo ra một đề bài như trên không hề khó khăn; ta sẽ đi từ một phương trình bậc cao bất kỳ (và phải giải được) rồi thêm một ẩn nữa vào để nó thành đẳng cấp; cuối cùng là tách thành hai phương trình theo ý bạn muốn!

Trang 15

Bài 3: Phương pháp thế

Nguyên tắc để áp dụng phương pháp Thế là kết nối những cái chung tồn tại ở hai phương trình Cái chung đó có thể là đã có sẵn trong đề bài; cũng có thể là bạn phải biến đổi sơ qua một vài dấu tương đương

để làm nó xuất hiện,… Nhưng cho dù là thế nào thì công việc đầu tiên cũng phải là tạo ra những cái chung;

và cái chung ở đây có thể là một biểu thức bất kỳ, một hạng tử chứa biến, đôi khi còn là hệ số tự do

Hướng dẫn:

Ta có thể nhận ra cái chung đáng chú ý xuất hiện nhiều lần ở đây là tích xy Nếu tiến hành rút xy theo y từ (2) rồi đem thế vào (1) thì ta sẽ thu được một phương trình chỉ có ẩn y Tuy nhiên, trước khi rút thế, ta phải xét điều kiện mẫu bằng 0

Với y =1

5 thì (2) ⇔ 0 =

8

5(vô lý) Với y ≠1

5, (2) ⇔ xy =

1 + 3y5y − 1 (3) Thế (3) vào (1) ta được:

(1) ⇔ (3y + 15y − 1+ 1)

3

= 2y3(9 − 5.3y + 1

5y − 1) ⇔ ( 8y

5y − 1)

3

= 2y3.30y − 14

5y − 1 ⇔ 521

(5y − 1)3=60y − 28

5y − 1 ⇔ (5y − 1)2(15y − 7) = 128 ⇔ 75y3− 65y2+ 17y − 27 = 0 ⇔ (y − 1)(75y2+ 10y + 27) = 0 ⇔ y = 1 (thỏa mãn y ≠1

5) Khi đó: (3) ⇔ x = 1

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {x = 1y = 1

Các bạn có thể tham khảo cách giải khác trong cuốn “90 đề toán tập 2 – GSTT”

Nguồn gốc: Để tạo ra được hệ phương trình trên, ta cần đi từ một phương trình một ẩn bất kỳ (1), tiến hành thay một ẩn bất kỳ trong (1) bằng một hệ thức bất kỳ (2), khi đó ta sẽ thu được phương trình (1’)

từ (1) bằng phép đặt (2) Kết hợp hai phương trình (1’) và (2) lại ta sẽ được hệ phương trình cần lập

Tiêu biểu ta có thể thử xây dựng một hệ phương trình đơn giản như sau:

Từ phương trình (2x − 1)(x − 2)2= 5, ta sẽ biến đổi lung tung như sau:

Phương trình ⇒ (x − 2)2= 5

2x − 1⇒ x − 2 = √

52x − 1 ⇒ x =√2x − 1 + √5

67 (Trích “90 đề toán tập 1 – GSTT”): Giải hệ phương trình:

Trang 16

Tiếp theo ta có thể thay thế theo ý thích, giả dụ như √5(2x − 1) = y + 1 hoặc một phép thay thế bất kỳ Khi

Việc xuất hiện số 9 ở (1) không giúp ta có thể tiến hành phân tích thành nhân tử Do đó, khi gặp một

số không có tác dụng, ta nên để nó sang một vế riêng Đặc điểm tương tự cũng xuất hiện tương tự ở số 6 trong (2) Sau khi xử lý xong những số vô tác dụng, ta sẽ nhìn ra được điểm chung xuất hiện là có chứa một cái gì đó liên quan đến x

x

y Do đó, ta sẽ biến đổi cả hai phương trình về đều chứa

xx

y Bài giải chi tiết

Với x = 0 ⇒ y = 0 Nên (0; 0) là nghiệm của hệ

Hướng dẫn:

Cách làm bài này cũng giống hoàn toàn với Ví dụ 67, đó là rút xy theo x từ phương trình (2) rồi đem thế vào phương trình (1) Tuy nhiên, chắc hẳn là đa số các bạn đều sẽ hơi ngại ngần khi đặt bút nháp thử cách này; nguyên nhân là do sẽ dẫn đến một phương trình bậc 4 (không phải lúc nào cũng có nghiệm hữu tỉ) Đương nhiên, chúng ta sẽ có một cách giải khác cũng tạm khoa học (ít ra là hơn cách rút thế) cho bài toán này (tôi sẽ giới thiệu sau), nhưng không phải lúc nào chúng ta cũng đi tìm cách giải hoa mĩ Và trong bài toán này, nếu bạn kiên trì nháp thì phương trình bậc bốn đó sẽ cho ra nghiệm chẵn x = −4 và x = 0 Kết quả cũng tương tự với việc rút y theo x hoặc là rút (x2+ xy) theo x từ phương trình (2) Việc làm trực tiếp thế này có thể còn nhanh hơn việc bạn ngồi nghĩ cách giải khoa học!

68 Giải hệ phương trình:

69 (K.B – 2008): Giải hệ phương trình:

Trang 17

Bài 4: Phương pháp đặt ẩn phụ

Nhà toán học Polya đã từng nói “Yếu tố phụ giống như là nhịp cầu dẫn đến điều thú vị”; trong hệ phương trình cũng vậy! Đôi khi người ra đề cố tình che giấu đi những thứ đẹp đẽ bằng việc ngụy trang chúng bởi những thứ cồng kềnh Và khi ta đã phát hiện ra mánh che giấu đó thì vấn đề sẽ được giải quyết nhanh chóng Trong giải hệ phương trình, để có thể sử dụng được phương pháp đặt ẩn phụ thì ngoài việc tìm ra những cái chung đều có ở cả hai phương trình, chúng ta còn phải nhìn ra được những thứ xuất hiện nhiều lần trong hệ; nếu nó không xuất hiện nhiều lần thì ta còn phải làm cho nó xuất hiện nhiều lần, rồi tiến hành đặt ẩn mới là những cái nhiều lần đó! Nói chi bằng làm, ta hãy trải nghiệm qua vài ví dụ mở đầu

Hướng dẫn:

Nhìn qua ta thấy hệ trên khá khó chịu Có lẽ những cái ngoặc được nhóm vào chả có chút tác dụng

gì để tìm ra liên hệ, có khi nó còn che giấu một điều gì đó; do đó, sao ta không phá tung hết ra!

Hệ phương trình ⇔ { x2y4+ 2xy2+ 1 + y4− 2xy5= 0

3x2y6− 2xy2− x2y4− 2xy5− 1 = 0Sau khi phá tan ra, ta có thể nhìn thấy rằng ngoài số hạng xy5 ra thì còn có hằng đẳng thức (xy2+ 1)2 ở cả hai phương trình Khi có thể nhóm được hằng đẳng thức thì bạn nên thử nhóm vào, đôi khi nó sẽ dẫn tới hướng giải

⇔ { (xy2+ 1)2− 2xy5+ y4 = 03x2y6− 2xy5− (xy2+ 1)2= 0Đến đây thì chắc hẳn là ai cũng đã nhìn ra được hai ẩn mới là (xy2+ 1)2 và xy5 Công việc bên trên là phá

đi những thứ ngụy trang và làm cho những cái chung xuất hiện nhiều lần; vấn đề có vẻ đã được giải quyết! Vậy, khi dấu ngoặc không có tác dụng, ta nên phá ngoặc ra

Chắc hẳn nhiều bạn vẫn thấy thắc mắc là y4 và x2y6 thì nhét được vào ẩn nào được? Hướng giải quyết là: hãy coi chúng là “tham số”, và ta sẽ đi giải hệ phương trình bậc nhất đối với hai ẩn mới là (xy2+ 1)2 và xy5! Bạn có thể đặt chúng là A hay B tùy ý; không đặt ẩn cũng không sao; miễn là ta có thể giải đúng là được! Có không ít bài toán cần được (nhiều khi chỉ được) giải quyết kiểu này (coi những thứ thừa thãi là tham số)

⇔{

ẩn như trên là không thành công? Tuy nhiên, cái hệ này khác cái hệ ban đầu ở chỗ là: hệ ban đầu có thể thế hay xử lý được phương trình nào đâu, còn hệ này thì ta có thể xử lý ở phương trình thứ hai bằng cách giản ước đi y4 ở cả hai vế! Sau đó, ta sẽ thu được một phương trình bậc hai với ẩn là xy! Sau khi tìm được xy rồi,

ta chỉ việc thay lên phương trình trên của hệ này, nghiễm nhiên sẽ khử được ẩn x! Bài toán đã được giải quyết hoàn toàn

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

Hệ phương trình ⇔ { x2y4+ 2xy2+ 1 + y4− 2xy5= 0

3x2y6− 2xy2− x2y4− 2xy5− 1 = 0

Trang 18

⇔ { (xy2+ 1)2− 2xy5+ y4= 03x2y6− 2xy5− (xy2+ 1)2= 0⇔

∗ xy = 1:

(1) ⇔ 2(y + 1)2= 3y4− y4⇔ y4= (y + 1)2

⇔ (y2+ y + 1)(y2− y − 1) = 0

⇔[

y =1 + √5

2 ⇒ x =

√5 − 12

y =1 − √5

2 ⇒ x = −

1 + √52

∗ xy =1

3:

(1) ⇔ (y + 3)2= −7y4 (phương trình vô nghiệm)

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:

 Với y = 0 không thỏa mãn hệ

y2− x2− 2xy − 1

y4= 0

⇔{

a2= 2b − 13b2− 4b + 1 = 0

Trang 19

x =−1 + √5

2 ⇒ y =

−1 − √52

x =−1 − √5

2 ⇒ y =

−1 + √52 (thỏa mãn)

Nguồn gốc: Để tạo ra hệ phương trình trên, ta sẽ đi từ một hệ phương trình (u; v) bất kỳ (có thể giải được); sau đó tiến hành phép đặt {u = u(x; y)v = v(x; y); ta sẽ đưa hệ đã cho về hệ hai ẩn (x; y) Thực hiện càng nhiều các phép đặt ẩn mới, ta sẽ thu được hệ phương trình càng có tính lắt léo Hướng giải xuôi chắc chắn là sẽ đưa về hai ẩn (u; v) Đối với hệ phương trình trên thì ý tưởng tạo ra nó được xuất phát từ cách giải thứ hai; còn cách giải thứ nhất thật ra cũng giống cách giải thứ hai (khác nhau ở chỗ có đem chia hay không), tuy nhiên ngoài việc dễ nhìn ra hơn thì cách giải đầu tiên còn mang một tinh thần khác hoàn toàn nằm ở việc coi ẩn thừa làm tham số

Sau đây là một số các bài toán có thể giải bằng việc chia một lượng nhất định để có thể đặt ẩn phụ

Đa số mỗi phương trình trong các bài này thường có một hạng tử mang hệ số không đẹp cho lắm, và việc của chúng ta là để cho cái hệ số đó đứng một mình

Trang 20

Bài 5: Phương pháp khảo sát hàm số đại diện

Phương pháp khảo sát hàm đại diện là phương pháp thường được sử dụng trong đề thi đại học những năm gần đây Tuy nói là “khảo sát hàm số” nhưng việc tư duy biến đổi để tìm ra hàm số đại diện thì không phải là đơn giản Bạn cần nhận ra dấu hiệu của nó và thêm bớt một vài lần để nắn ra được đúng hàm

số thỏa mãn

Nguồn gốc của những bài hệ giải bằng phương pháp hàm số là đi từ hàm số! Ta sẽ đi từ một hàm số đơn điệu (chỉ đồng biến hoặc nghịch biến) trên một miền xác định Sau đó, ta sẽ tiến hành hai phép đặt đồng thời {t = tt = t1(x; y)

2(x; y) để đưa về phương trình (x; y) Phương trình kia của hệ cũng chỉ là thế kết quả t1 = t2 của phương trình trên vào một phương trình một ẩn bất kỳ có thể giải được

Trong những phần trước, cũng có một số phần đã đề cập và sử dụng phương pháp hàm số để đánh giá, và tư tưởng đánh giá đó sẽ thông suốt cả ở phần này

√5 − 2y Công việc tiếp theo chắc chắn là đem thế vào (2) Tuy nhiên, nên thế theo x hay thế theo y? Nhận thấy rằng nếu thế theo y thì trong căn lại có căn ( 3 − 2√5 − 2y) vô cùng lằng nhằng; do đó, ta sẽ thực hiện thế theo x Khi đó ta được:

(2) ⇔ 16x4− 24x2+ 8√3 − 4x − 3 = 0 Phương trình này giải thế nào? Chắc chắn một điều là kiểu gì cũng sẽ ra đến phương trình này, vì không còn cách nào khác có thể xử lý hệ ban đầu ngon bằng việc khảo sát hàm đại diện như trên rồi Chúng ta sẽ thực hiện gạn điều kiện thật nghiêm ngặt để xử lý phương trình này Từ 2x = √5 − 2y có thể suy ra x ≥ 0, kết hợp với điều kiện ban đầu thì ta được x ∈ [0; ] Công việc bây giờ là mò nghiệm trong tập xác định; và ta

tìm được một giá trị là x = Bây giờ, chỉ còn hai con đường duy nhất có thể đi tiếp, đó là “ép nghiệm” và

“khảo sát hàm số” Ta sẽ thử lần lượt cả hai hướng

2

129 (K.A – 2010): Giải hệ phương trình:

Trang 21

⇔ (2x − 1) [8x3+ 4x2− 10x − 5 −

√3 − 4x + 1] = 0 Công việc còn lại, và cũng mang nhiều nguy cơ nhất của hướng đi này là chứng minh cái ngoặc to kia vô nghiệm trong tập xác định! Do cái phân số kia dương, nên ta sẽ thử đi chứng minh hàm số bậc ba bên ngoài cũng âm trên tập xác định (nếu điều này không xảy ra thì nói chung rất khó để giải quyết; nhiều khi cũng là không thể) Thật may là khi khảo sát hàm g(x) = 8x3+ 4x2− 10x − 5 trên tập xác định thì giá trị của nó luôn âm; vậy là cái ngoặc to kia luôn âm trên tập xác định của x Và bài toán được giải quyết

 Hướng 2: Khảo sát hàm số: Hướng này thường được sử dụng nếu hướng trên không khả thi,

vì đây là biện pháp cuối cùng Và bây giờ ta sẽ thử xem hướng này có khả thi không

Vậy là trong bài toán này, cả hai hướng xử lý của chúng ta đều khả thi, và hướng nào cũng khoa học

√3 − 4x + 1] = 0

⇔{

x =1

2⇒ y = 2 (thỏa mãn)8x3+ 4x2− 10x − 5 − 16

√3 − 4x + 1= 0Xét hàm số g(x) = 8x3+ 4x2− 10x − 5 với x ∈ [0;34] có g′(x) = 24x2+ 8x − 10 = 0 ⇔ x =1

√3 − 4x + 1= 0 vô nghiệm trên [0;3

4]

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất ( ; 2)

3452

12

Trang 22

2 là nghiệm duy nhất của phương trình ⇒ y = 2

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {x = 12

y = 2

⇒ Để có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm đại diện thì ta phải nhìn ra được sự tương đồng giữa các hạng tử, rồi nắn ra hàm số Sau khi đem thế ngược lại và được một phương trình mới, nếu không đơn giản để giải quyết, ta cần nhìn lại để gạn điều kiện

Về phần phương trình hệ quả được tạo thành, ta có thể thấy ngay rằng chắc chắn nó sẽ không được tạo ra

từ cách xét đạo hàm, vì việc chọn một hàm số rồi nắn ra nguyên hàm sao cho thỏa mãn không phải đơn giản Cách đơn giải nhất để tạo ra phươn trình hệ quả là đi từ phương trình tích được tạo ra từ kỹ thuật “ép nghiệm”

Trang 23

Bài giải chi tiết:

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x, y   1;1

Điều kiện:

1x

Trang 24

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

Trang 25

  2

1x

f t  t 3t trên 2; có   2  

f ' t 3t 6t3t t2   0 t 2 Suy ra f t  đồng biến trên 2;

Nên       2 2  2

3 f x f m  x mx x  y 1    y 1 x 2(thỏa mãn)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x, y   2;1

Trang 26

Bài 7: Phương pháp tọa độ

Đánh giá qua bất đẳng thức

Nội dung của phương pháp là sử dụng các tính chất trong giải tích vector của hình học phẳng Oxy cũng như hình học không gian Oxyz để giải quyết các bài tập hệ phương trình Phương pháp này cũng gần tương tự như việc dùng Bất đẳng thức để đánh giá Các Hệ phương trình trong đề thi đại học, nếu có giải bằng việc sử dụng Bất đẳng thức, ngoài Bất đẳng thức Cô-si ra thì cũng chỉ sử dụng đến các Bất đẳng thức vector (sẽ được giới thiệu sau đây) để tránh đi xa khỏi chương trình Sách giáo khoa

Tôi sẽ không nói qua kiến thức cơ bản, vì những kiến thức sử dụng trong phương pháp này là rất cơ bản, chúng ta không được phép quên những kiến thức đó!

Hướng dẫn: Nhìn vào hệ ta thấy, pt(1) không có chút tác dụng gì để khai thác trước; còn pt(2) tuy

to xác hơn nhưng lại dễ dàng nhìn ra có hằng đẳng thức ẩn chứa trong đó:

(2) ⇔ √(x + 1)2+ 4 + √(y − 1)2+ 1 = √(x + y)2+ 9

Ta nhớ đến công thức tính độ dài của một vector |u⃗ | = √a2+ b2; và chợt nhận ra rằng trong phương trình trên, một vế là tổng độ dài của hai vector, vế kia là độ dài của một vector Tuy nhiên, có sự trùng hợp là tổng các tọa độ tương ứng của hai vector vế trái lại chính bằng tọa độ của vector vế phái! Do đó, nếu vế trái là u⃗

và v⃗ thì vế phải sẽ là (u⃗ + v⃗ ) Ta sẽ xử lý cụ thể như sau:

Xét u⃗ = (x + 1; 2); v⃗ = (y − 1; 1) ⇒ u⃗ + v⃗ = (x + y; 3)

Khi đó, (2) ⇔ |u⃗ | + |v⃗ | = |u⃗ + v⃗ |

Mà ta luôn có |u⃗ | + |v⃗ | ≥ |u⃗ + v⃗ |; dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u⃗ và v⃗ cùng hướng

Nên ta có x + 1

2 =

y − 1

1 ⇔ x = 2y − 3 Công việc cuối cùng chỉ là thay ngược lại vào (1) rồi giải phương trình bậc hai một ẩn!

Ta có (2) ⇔ √(x + 1)2+ 4 + √(y − 1)2+ 1 = √(x + y)2+ 9

Xét u⃗ = (x + 1; 2); v⃗ = (y − 1; 1) ⇒ u⃗ + v⃗ = (x + y; 3)

Khi đó, (2) ⇔ |u⃗ | + |v⃗ | = |u⃗ + v⃗ |

Mà ta luôn có |u⃗ | + |v⃗ | ≥ |u⃗ + v⃗ |; dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u⃗ và v⃗ cùng hướng

𝐊ế𝐭 𝐥𝐮ậ𝐧: Hệ phương trình có nghiệm là: {x = −1y = 1 {x = −

72

y = −14Nguồn gốc: Việc tạo hình các hệ phương trình như trên thực chất đi từ hai thành phần |u⃗ |, |v⃗ | và

|u⃗ + v⃗ | Phương trình còn lại của hệ có thể chọn bất kỳ theo ý thích Ý tưởng của bài toán đã quá rõ ràng khi khai thác theo hướng trên Mấu chốt nằm ở điều kiện xảy ra dấu bằng của Bất đẳng thức vector Do đó, ta

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	1,84 MB