Dai so to hop(HOT)

Bài tập 2: Một trờng phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên Toán.. Thành lập 1 Đoàn gồm 2 ngời dự Hội nghị sao cho có một học sinh chuyên tin và một học sinh chuyên T

Chuyên đề: Đại số tổ hợp

************ @ ************

Bài tập 1:

Bạn Q có 4 chiếc áo dài và 3 quần trắng Khi đến trờng bạn Q có bao nhiêu cách mặc trang phục (Đ/S: 12).

Bài tập 2:

Một trờng phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên Toán Thành lập 1 Đoàn gồm 2 ngời dự Hội nghị sao cho có một học sinh chuyên tin và một học sinh chuyên Toán Hỏi có bao nhiêu cách lập một Đoàn nh trên (Đ/S: 216).

Bài tập 3:

Cho một tập A = {1,2,3, 4,5} có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau đợc tạo nên từ tập hợp A (Đ/S: 60 số).

Bài tập 4:

Cho tập hợp A = {0,1,2,3,4,5} có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau

đợc tạo từ các chữ số trong tập hợp A (Đ/S: 600 số).

Bài tập 5:

Cho tập hợp A = {1,2,3,4,5,6,7,8}

a Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau đợc tạo nên từ tập hợp A ?

b Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 ?

Bài tập 6 (ĐHSPI - 2000)

Từ các số 0,1,3,5,7 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5

Bài tập 1:

Cho tập A gồm 6 chữ số tự nhiên: 0,1,2,3,4,5,

a Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và đều là số chẵn

(Đ/S: 312 số)

b Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5

(Đ/S: 216 số).

Bài tập 2:

Cho tập hợp A = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số có nghĩa đôi một khác nhau chia hết cho 5 và luôn có chữ số 0 ? (Đ/S: 2520 số).

Bài tập 3:

Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau tạo từ các số 1,2,3,4,5,6 mà các số đó nhỏ hơn 345 ? (Đ/S: 50 số).

Bài tập 4:

Một mạng đờng giao thông nối các tỉnh A, B, C, D, E, F và G nh hình vẽ, trong

đó chữ số 2 viết trên cạnh AB có nghĩa là: Có 2 con đờng nối A và B Hỏi có bao… nhiêu cách đi từ A đến G (Đ/S: 2538 cách).

Bài tập 5: (Huế - 99)

Ngời ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0,1,2,3,4,5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng

a Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số đợc tạo thành ? (Đ/S: 288 số lẻ)

b Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số (Đ/S: 312 số).

Bài tập 6:

Cho các số 1,2,5,7,8 có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ

5 chữ số đã cho sao cho:

a Số tạo thành là 1 số chẵn (Đ/S: 24 số chẵn)

b Số tạo thành là 1 số không có chữ số 7 (Đ/S: 24 số)

c Số tạo thành là 1 số nhỏ hơn 278 (Đ/S: 20 số)

III Chỉnh hợp

Bài tập 1:

Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau đợc lấy ra từ tập A ? (Đ/S: A5

7 = 2520 số).

Bài tập 2:

Có bao nhiêu số máy điện thoại có 7 chữ số bắt đầu bằng chữ số 8 sao cho:

a Có chữ số đôi một khác nhau (Đ/S: 60480 số máy)

b Các chữ số này tuỳ ý (Đ/S: 1.000.000 số máy)

Bài tập 3:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau ?

(Đ/S: A 3

9

4

10 −A = 4536số)

Bài tập 4:

Cho 8 số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Từ 8 chữ số trên có thể lập đợc bao nhiêu số mỗi số có

4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10 ? (Đ/S: 1260 số).

IV Hoán vị

Bài tập 1:

Tìm các số có 5 chữ số đợc viết bởi đúng 5 chữ số: 1,2,3,4,5

Bài tập 2:

Tính số các số có 5 chữ số đợc viết bởi đúng 5 chữ số cuối là 2 số chẵn

(Đ/S: 3!.2! = 12).

Bài tập 3:

E

F C

B

5

7

Cho các số 0,1,2,3,4,5 Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số

5 lặp lại 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần ? (Đ/S: 358203! = 5880 số n).

Bài tập 4:

Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau Hỏi trong tất cả các chữ số đã thiết lập đợc có bao nhiêu chữ số mà 2 chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau ? (Đ/S: 720 - 240 = 480 số cần tìm).

Bài tập 5:

Ngời ta viết các số có 6 chữ số bằng các số 1,2,3,4,5 nh sau: Trong mỗi số viết

đợc có 1 chữ số xuất hiện 2 lần còn các chữ số khác xuất hiện 1 lần Hỏi có bao nhiêu

số nh vậy ? (Đ/S: 5.360 = 1800 số).

Bài tập 6:

Trong một phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Ngời ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:

a Các học sinh ngồi tuỳ ý (Đ/S: 10! = 362.8800)

b Các học sinh nam ngồi 1 bàn và các học sinh nữ ngồi 1 bàn

(Đ/S: 5!5!2! = 28.800)

V Tổ hợp

Bài tập 1:

Lớp 11A1 có 54 học sinh trong đó có 27 nam và 27 nữ, chọn ra một đội gồm 7 tình nguyện viên tham dự mùa hè xanh, trong đó phải có 4 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy (Đ/S: C 3

27

4

27.C )

Bài tập 2:

Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 3 nữ Có bao nhiêu cách chọn 5 ngời để làm ban đại diện sao cho:

a Không phân biệt nam và nữ (Đ/S: C5

8 = 56 cách)

b Có đúng 3 nam (Đ/S: C3

5.C2

3 = 30 cách)

Bài tập 3:

Có 10 ngời gồm 6 nam và 4 nữ

a Có bao nhiêu cách chọn một tổ hợp có 5 ngời (Đ/S: C10

5 = 252)

b Trong đó có nhiều nhất 3 nữ

(Đ/S: C5

6 C0

4 + C4

6 C1

4 + C3

6 C2

4 + C2

6 C3

4 = 246)

Bài tập 4:

Từ 12 học sinh u tú của một trờng THPT ngời ta muốn chọn 1 Đoàn đại biểu 5 ngời (gồm Trởng đoàn, th ký và 3 thành viên) đi dự trại hè quốc tế Hỏi có bao nhiêu cách chọn Đoàn đại biểu nói trên ?

Bài tập 5:

Một hộp đựng 12 bóng đèn, trong đó có 4 bóng đền bị hỏng; lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn (không thứ tự) ra khỏi hộp Có bao nhiêu cách để lấy để có 1 bóng bị hỏng

(Đ/S: 112).

Bài tập 6:

Có 5 tem th khác nhau và có 6 bì th cũng khác nhau Ngời ta muốn chọn từ đó ra

3 tem th và dán 3 tem th ấy vào 3 bì th cũng đã chọn Một bì th chỉ dán một tem th Hỏi

có bao nhiêu cách làm nh vậy

(Đ/S: 1200 cách)

Bài tập 7:

Một ngời muốn chọn 6 bông hoa từ 3 bó hoa để cắm vào 1 bình hoa Bó thứ nhất

có 10 bông hồng, bó thứ 2 có 6 bông thợc dợc và bó thứ 3 có 4 bông cúc

a Hỏi ngời đó có bao nhiêu cách (Đ/S: 38760 cách)

b Nếu ngời đó muốn chọn đúng 2 bông hồng, 2 bông thợc dợc và 2 bông cúc thì ngời đó có bao nhiêu cách chọn ?

(Đ/S: 4050 cách)

Bài tập 8:

Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử 3

ng-ời đi dự Hội nghị sinh viên trờng sao cho trong 3 ngng-ời có ít nhất một cán bộ lớp

(Đ/S: 384 cách)

Bài tập 9:

Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ; có 6 học sinh đợc chọn ra để lập

1 tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau:

a Nếu phải có ít nhất là 2 nữ (Đ/S: 5.4123.695 cách)

b Nếu chọn tuỳ ý (Đ/S: 8.145.060 cách).

Bài tập 10:

Cho đa giác đều A1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đờng tròn (O) Biết ràng tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1,A2 ,A… 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật

có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2….,A2n Tìm n

*****************Hết*****************

chuyên đề : Đại số tổ hợp

********** @ **********

I Giải các phơng trình

1) 2A2

x + 50 = A2

n

A = 20n

3) 3

n

A + 5 2

n

A = 2(n + 15) 4) A10x +A x9 = 9A x8

2n 20C n

23

24 4 3

1

4

=

n

n

C A

A

. 5 5

−

+

x x

x

P A

P

1

1 − x+ =

x A A

9) C x1 + 6C x2 + 6C x3 = 9x2 − 14x 10) 2 72 6 ( 2 2 )

x x x

11) C5x C6x C7x

14 2 5

=

5 2 2 3

1 4

1 + − − − =

C

13) Tìm m, n ∈ Z+ biết: : : 1 5 : 5 : 3

1 1

1

+ +

+

m n

m

C

II Giải các bất phơng trình.

4

2

3 1

4

1 − − − − <

)!

1 (

15 )!

2 (

4 4

−

<

n

A n

2

2x − x ≤ C x+

x A

2

3 + − ≤

Px x

A x 42 )!

2 (

4

4 ≤ +

7) 2 2 3 2 30

1 + <

2

2x − x < C x +

x A

4

2

3 1

4

1 − − − − <

1

1 − x+ ≤

x A

n

n

n P C

2 1

2

1 ≥

−

−

III Giải các hệ phơng trình sau:

1)









=

−

=

+

80 2

5

90 5

2

y x

y x

y x

y x

C A

C

A

2)









+

=

=

+

−

−

−

−

−

−

1 )

(

2

3 ) (

2

)

(

1 3

1

1 1 2

1 2

1

y y

x

x

y y

x x

y y

x

x

C

C

C C C

C

3)















+

−

−

+

−

=

−

=

−

−

−

−

−

−

−

3

1 ) 1 )(

2 (

6 )

( ) 1 ( 4

1 1

3 2

2 2 3

1 1

1 1

y y

C C

x x

A C

A C

y y x

x

y y

x x

y y

x x

IV Bài tập luyện tập.

Bài tập 1:

Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 tìm tất cả các số có 4 chữ số tạo từ các số trên

Bài tập 2:

Từ các số 0,1,2,7,8,9

a Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau

b Có bao nhiêu chữ số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau

Bài tập 3:

Từ các số 0,4,5,7,9

a Tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau

b Có bao nhiêu số lớn hơn 5000

c Có bao nhiêu số chia hết cho 5

Bài tập 4:

Từ các số 0,1,2,3,4,5,6

a Có bao nhiêu chữ số chẵn có 5 chữ số khác nhau

b Có bao nhiêu chữ số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400

Bài tập 5:

Từ các số 1,2,3,4,5

a Tìm tất cả các số có 3 chữ số khác nhau nằm trong {300;500}

b Các chữ số không cần khác nhau

Bài tập 6:

Tìm tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau n = a1a2a3a4a5a6

Sao cho a1 +a6 = 10; a2 + a5 = 10; a3 + a4 = 10

Bài tập 7:

Cho các số 0,1,2,3,4,5,6 Hãy lập các số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho

a Chữ số đầu tiên là 5 và chia hết cho 5

b Một trong hai chữ số đầu tiên là 2 và chia hết cho 5

Bài tập 8:

Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập đợc bao nhiêu số mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10

Bài tập 10:

Cho các số 1,2,3,4,5,6,7,8

a Có bao nhiêu tập con của A thoả mãn điều kiện chứa 1 mà không chứa 2

b Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập A và không bắt đầu từ số 123

****************Hết***************

Bài tập 16: ∀n ∈ N và n ≥ 2 thì: A A A A n n

n

9 1

1 1 1

2 2

4

2 3

2 2

−

= + + + +

13) M = 4(1 13)!23

+

+

+

n

A

A n

4

2 3

2 3

2 2

2

(KD2005)

6

3

8 5 +

+

x

C (x ∈ Z*)