Phan Hữu Thiêm — Dạng 2: CHỨNG MINH ĐĂNG THỨC HỆ SỐ TỔ HỢP 7zzz24 Tính tổng các tổ hợp Dé chứng minh một đẳng thức, bất đẳng thức về hệ số tổ hợp hoặc tính tổng các tổ hợp người ta thư
Trang 1Phan Hữu Thiêm — Dạng 2: CHỨNG MINH ĐĂNG THỨC HỆ SỐ TỔ HỢP 7zzz24 Tính tổng các tổ hợp
Dé chứng minh một đẳng thức, bất đẳng thức về hệ số tổ hợp hoặc
tính tổng các tổ hợp người ta thường sử dụng các phương pháp sau đây
I Phương pháp 1
Sử dụng định nghĩa tổ hợp
69 Trung tâm Đào tạo và bồi dưỡng y tế, 1998
Cho hai số nguyên n và m thỏa mãn 0 < m < n Chứng minh rằng
mC" =n0™}
Giai
Goi A = (1, 2 , n} Ta tinh sé tap con sồm m phân tử của A
Theo định nghĩa tổ hợp, số tập con gồm m phân tử của A là Cả
Mặt khác, chúng ta lại có taể tính số tập con gồm m phân tử của A
như sau
~ Mỗi tập con B của A gồm m phân tử và chứa 1 có dạng
B={1\UB'
trong dé B’ 1a tap con cia A’ = A \ [1], B có m - 1 phân tử Do A'
gồm n - 1 phân tử nên A' có C™} tap con P,
Vậy có C"Ì tập con B của A gồm m phản tử và chứa 1
~ Lập luận tương tự, có C:Ì tập con của A gồm m phần tử mà chứa
2, , cuối cùng có CP"È tập con của A gồm m phân tử và chứa n
-|
~ Như vậy số tap con cia A gdm m phan tila —®=L
m
(Trong quá trình đếm như trên, mỗi tập con m phan tit da dugc dém
m lần)
m-l nÊn 1
Vậy ta có Cy = hay mC" =nC”"! (đpem),
Chú ý Bài này còn có cách giải bằng cách sử dụng công thúc tính
tổ hợp (xem cúch giải bài 7)
II Phương pháp 9
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton
70 ĐHQG HCM, 97 (Khối D), Đại học Y dược, TP.HCM,
Với n là số nguyên dương chứng minh rằng
Côn +Cốn + +Cộn = C), +, + + Cặn
Gidi
Ta có:
O= (1-1) =C), - Ch, +05, — CỔ, + — C2" ¿ 02
Suy ra Cy +05, + +03" =Cb, + C3, + 4 C301
71 ĐHQG HN, 97 (Khối D)
Tinh tong Cy) +C1, +08, +9; +019 +CHt trong đó ck là số tổ hợp chập k của n phần tử
Giải
Ta có CR =C"~È „đọ đó
6 cỗ al _ ad n§ a8 a9 c9
Ôi =Ci¡,Ôni =Cnị,Ôn =Cị,Cni =Cĩy,C1 =Ch,C] = CỘ:
Vay Cy, +Cy, +Ơn +Ơn +0 +01 =s|Uh +Chy + +4C1 +0]
" 11,11 210
=s(1*1) =2 =2" =1024
72 DHBK HN, 98 Viết khai triển Newton của biểu thức (3x-1)” Từ đó chứng minh rằng
l4að _ „l6 _sl6
31901 ~8 01+3” tủy ~ +[ =2
Giải
* Viết khai trién Newton
16
(ax-1)!° = ¥ Cfg(3x) oS) =
k=0
-¢9,315y15 cau chattel
* Cho x = 1 ta được
318 - (3~1)}Ê 01318 01g35 +(03” -„„+018 (đpcm)
73 ĐH Dân lập kỹ thuật công nghệ TP.HCM, 1999
; Ak 1à 428 A
Tinh tong ch +Clo +i từ) +c, trong dé Cy là số tổ hợp chập k của n phân tử.
Trang 2Phan Hữu Thiém
Giải
Lind al 9 nIÚ\ laố _
dị +cị+0Ä,dị +01=2|0Äo+Cụ +-.+C +01) 210
lạlgq l„ø
—9⁄⁄_—Œtn =d86
2 2 10
II Phương phap 3
Sử dụng công thức Pascal và công thức tính tổ hợp, chỉnh hợp
74 Đại học Dân lập kỹ thuật công nghệ TP HCM, 1998;
Đại học Thủy lợi, 1998
Chứng minh rằng với 3 < k < n ta có
Ch +3Ch 7 +3Ch + CK 3 = CK,
Giai
Ta có
cả 808” +09; G879 <04+04-14GE10E7)+CE2 +02
n+l
Ôn¿1 † 2Ứn¿1 tỮn,1 = (Chat + Cy | † [ii + ‘| =
=Chio+Chya =Ciyg (dpem)
75 Trung tâm Đào tạo và bồi dưỡng cán bộ y tế, 1998
Cho hai số nguyên dương n và m thôa mãn 0 < m < n Chứng minh
rằng:
1) mCP =nCm'1,
2) C„ =Cm 1+ Om 1+ +0m1 m1,
Giải
1) Chúng ta đã giải bài này bằng cách sử dụng định nghĩa tổ hợp Ở
đây chúng ta sẽ giải bằng cách sử dụng công thức tính tổ hợp Ta có
nC@} =n ¬ —~ xẻ = =m — = mCp'
(đpcm)
_3) Áp dụng công thức Pascal ta lần lượt có
C?? =Cj'¡+Cj ti
my = Chie + Cre
mại =Cm+Cm
Cộng từng vẽ và rút gọn ta đượC
CTP?ˆ =CTéjl +Cm- 2 + +CTm 1+ cm
Mà C™ =C™-} =1 nén
CPˆ =Cm1 +Cm-2 4+ 40M14+Cm 1 (đpem)
Dang 2: CHUNG MINH DANG THUC HE SO TO HOP
Trang25
76 Đại học Y dược TP HCM, 1998, 2001
Chứng minh rằng với 0 < k < n ta có C?a.x.Cðn x <(Cðn }
Giải Cách 1 Theo công thức tính tổ hợp, ta có
(2n+k)(2n + k—1) (n+k+1)
n _
n (2n -k)(2n -k~1) (n— k+1)
n _ (2n)(2n-1) (n+1)
Vi vay:
Con+kC2n-k = a ee
_ (2nŸ -k? (an ~1Ÿ -k? |.|(n+ 1 _k?|
(mỹ
2n)” (2n ~1)Ÿ (n +1 2
< Pay (nn) (ns) =(C3,) (dpem),
(mỹ
Cách 2 Xét dãy số uy =C?,.„ C? v, ta có
n
Uket — Consks1-Con-k-1
n
Uk Cộn+k: Còn k
Sử dụng công thức tính tổ hợp ta được (2n+k+1)! (2n-k-1)!
Ug - nn+k+1) nn-k-1)!-
Ux (2n+k)! (2n~-k)!
n!(n+k)! n!(n-k)!
_ (2n+k+1)! (n+k)! (2n~k-1)! (n-k)!
(2n+k)! (n+k+l)! (2n-k)! (n-k-1)!
_(2n+k+1)(n-k) [(n+k+1)+n](n-k) (n+k+1)(2n-k) (n+k+1)[(n-k)+n]
(n+k+1)(n-k)+n(n-k)
(n+k+1)(n-k)+n(n+k+1) <1 Vn,keN n>k>0
Vậy dãy số uy là dãy giảm Do đó
Trang 3Phan Hữu ThiỀm
U, $Uy = Co, CF, , hay Consk Conk S <(Chn- } dpcem
77 Dai hoc Quéc gia TP HCM, 1997
Chứng minh rằng với 4 < k < n thì
CR +4CK~Ì +6CỀ^? ‡ AC + CR4 = CA 2
Giỏi
Lân lượt áp dụng công thức Pascal, ta có
Chea = Chea + Cava
= (Cho +Cni2}+ (Cheb +Cn3]
= (Cha Cha) +2(ChL + Chet} +( Cha + Ôn
=(ch +ck)+3(Cht +Ch?)+8(Ck? +Ch*)+(C 9+ Cr)
= ck + 4ck + eck? + 4ck-3 + ck4 (dpcem)
Xem cách giải khác ở bài 93
78 ĐHQG TP HCM, 1998, khối D
Cho k,n e Ñ với k <n Chứng minh rằng
'ak ,ak+1 _ ak+l
Cy + Cy = Ôn]
Giải
Áp dụng công thức tính tổ hợp, ta có
Hã- Kỳ an) a k-1)!
_ n[k+1)+(an-k)]_ n!ln+1)
—— (k+1)!ín—k)l (k+1)!{n - k)!
CỀ + CR+! -
(n+1)! k+l
——————————= ( +i) — y Chi (dpem) đ
79 Đại học Thủy lợi, 2000
Chứng minh rằng với mọi n nguyên và n > 2, ta luôn có đẳng thức
ˆ¬ -
AZ AR AG An on
Gidi
Theo công thức tính chỉnh hợp, ta có
Ag =k(k-1)
Do đó
=1." (đpcm)
80 Đại học Hồng Đức, 2000
cho k, n là các số tự nhiên và 5 < k < n
Chứng minh rằng
C§CƑ + CC] L+ +CR~ỗ = ck (1)
Giải
VT= Cả +õCn '+10Cn 2 +10Cˆ ° +ðC⁄ t+ C45
-|q :CE1)¿4(ce1 tỐp la 6[O +0 ]+4[Cx 5 +0 2)é|Cï £+Cy 5)
= Cha +4Chay 60h + 40K + C8
=(Cha LƠ i} 3|0n1 + t] + (Chi +03 ?)+ t0 +ƠN t]
= Cho +8C np +8Œt,2 +) |
=(GR.2 +n.2]+2|Cm:2 +Cá:2]+|Chy2 + q3)
= Ck ,3 + 20573 + C83
= (Chea +03 }+(Chg + C13
=Chia+Cnig = Chis = VP (dpem)
Chú ý: Xem thêm cách giải bằng phương pháp 5
81 Đại học Quốc gia Hà nội, 2000
Chứng minh rằng Choy +8 < củ +0 ,0<k< 200
k nguyên, trong đó CÈ là số tổ hợp chập k của n phần tử
Giải
Sử dụng công thức Pascal, bất đẳng thức cần chứng minh tương
1001 Cite s Choos (1)
* Trước hết ta chứng minh (1) cho trường hợp 0 < k < 1000
Muốn vậy ta chứng minh
CŠooa <CZg0s với mọi 0 < k < 1000 (2)
Trang 4Phan Hữu Thiểềm
Thật vậy
k!(2002-k)! (k+1)!(2002-k -1)!
©———<~Ì_¿k+¿1<2009~k
2002-k k+1
©2k<2001, dúng với mọi 0 <k < 1000
Từ (2) ta có dãy tăng
Cng < Chọng < < CĐ < <C300) với mọi 0 < k < 1000
* Bây giờ ta xét trường hợp 1000 < k < 2000
Đặt l = 2000 - k thì 0 < l < 1000 Theo chứng minh trên ta có
City < C200
Thay thé 1 = 2000 - k, ta duoc
2002-(k+1) _ 1001
200p < 2002
CR <CljiD) với mọi 1000 < k < 2000
Từ hai trường hợp trên suy ra điều phải chứng minh
82 Trung tâm đào tạo và bồi dưỡng cán bộ Y tế, 2001
Chứng minh
0 @2001 ml — 3000 k a9001-k 52001 n0 2002
Côn02 Cố + C2oos Coo01 + + C2002 oo99-_ + C2002 C1 = 1001.2
Gidi
Ta có
_ 2002! (2002-k)!
2002-k “" k!(2002-k)! (2001-k)!
_ 2002(2001!)
_ kl(2001-k)! = 9009 CŠooy
Do đó
CSoos.C2002 + C2ooa.C2001 + + Cðooa.C200a-+ + + Cổpg2 CC =
= 2002(C2o01 + Coon + + C3901 ) = 2002.27 = 1001.2.27001
- 10012200 _ (đpem)
IV Phương pháp 4
Sử dụng đạo hàm hoặc tính phân
83 Đại học Y dược TP HCM, 1993; Đại học Tài chính
Kế Toán HN 1995; ĐHQG TP HCM, 1997
1 DẦU
Tính tích phân I, = II ) dx (với neNÑ)
Từ kết quả đó suy ra
Gidi
Ta tinh tích phân I„ bằng hai cách
* Cách 1: Sử dụng khai triển nhị thức Newton cho (1-x’)" va 4p dung qui tắc tích phân của tổng, ta có
lạ = fice -0lx” + +(-1}" Cáx”" ly
13 _1\ñ an 2n+l
= G0x_ ch ee Cox
L -1)"Cr
-c0 Ứn, | ) Cr (i)
3 2n+1
* Cách 2: Thực hiện phép đổi biến, bằng cách đặt x = sint Ta có
J2 12
I, = [ cos2 ttt dt = [ cos 4(1-sin” t}dt (n > 1)
mf 2 {2
= Ỉ cos nh at- [ cost sin? t dt
n/2
2l =lỦ =f sint d(cos?*t] =
2n
1/2 1 m2
=ln-1 ' em cs -—[ cos” dt
2n 0 2n
1
= Ih-1 “Sạn
Vay ta cé I, =I,_;-—I,, do dé ay Va CO dy = 4y-1 2n" 0 I, =——I,) (ii n Paap tt
Dễ thấy lạ = 1 Từ đó lzŠD =5
lạ=—la=“ — —,
72 85 7
Ï[.=—.—.- —— (ili)
" 3517 9n+l
Từ (¡) và (11) ta có
2n
2n+l
Nhận xét Công thức truy hôi (II) có thể chúng mình bằng phương phúp tích phân từng phân (không cân đổi biến số) như sau
Trang 5Phan Hữu Thiểm
Đặt °-poSƑ 2 |ea§ẻƑ (-2x)dx
dv = dx v=x
Do đó
n
I, =x(1-x") ran [ x?(1-x?)" dx
=-2n f(a x? - 1)(1 -x? y" dx
= -2n { (1- x? | dx+2n {(i-2 yo dx
=-2nla +2nl_
2n
Vay I, =-2nl, +2nI,_) >I, = map
n+
84 Dai hoc Hang hai, 1997
Chứng minh đẳng thức sau đây
n4"~-1C0 -(n-1)4"? cl +(n-9)4n-3C? ¬ ` cele
=C} +4C2 + +n2n-1Cn,
Giải
Xét hàm số f (x) = (x—1)”
Dé dang c6 f (x) = n (x-1)"" Do dof (4)=n 377, (i)
Mat khac
F(x) = COxm che ty ce yn? ~ +(-1)"7 C?"1x+(~1)” Cn
Do đó
f'(x)=nCpx" -(n-1)Ox"2 +(n -9)C2x"-3 + +(-1)"7 cet)
Suy ra
f'(4)=nC04"”1~(n~1)C]4""2 +(n~2)C24°2+ +(—1)°Cn "9
So sánh (¡) và (11) ta được
n4"-1C9 ~(n—1)4"“2?CÌ +(a~2)4"3G2 + +(—1)”Cn h=n8®! đi)
Tiếp tục xét hàm s6 g(x) = (1 + x)”
Ta 2ó 2 (x) =n (1+x)"’ Do dé g’ (2) =n 3°" (iv)
Mat khac
g(x) = Ca + CÍ x+ C2x” + + CC] x"
Do đó
g'(x) =a +2C2x+ +nCh „n1
Suy ra g'(2) = CÌ +4C2 + + nCn gut ww)
Từ (iv) và (v) ta có
CỊ +4C2 + +n2""1Cn =ng"”Ì (vị)
Từ Gii) và (vi) thu được đẳng thức cần chứng minh
8ã Đại học Giao thông vận tải, 1996
Chứng minh rằng với mọi neÑ ta có
2C? lot 2? ~ 1 oe 98 tot cy crgn = 1+)
Giải
Ta cé (1-x)" =C° -Chx+C2x? + +(—1)20nxn
Lấy tích phân cả 2 vế với cận từ 0 đến 2 ta được:
Ji-»"% = fcr -Clx +C2x? +.„+(=1)°CPx”)dx
: 1 v2 2v3 _1)ạnenn+l 2
@|- 250-0] - C0x- Ca, „ Chx „cUO0x
1 n 0 1123, „223 (-1)" -non+l
©——|(-I) +1|=2CŒ2 -—CŒC; 2ˆ+—C22”- +———€n2
(đpem)
86 Đại học luật, 1997; Đại học Bách khoa HN, 1997
a) Tinh I= fx(1-x7] dx
0
b) Chứng minh rằng
Giải
a) Đặt t=1-x2 = dt =—2xdx = xdx =-S
aoa x=O>te=l Doi can:
Ko
b) Ta có
xịt-z? J" = x(Cp -C!x? +C2x! = +(-1" Cax "Ì=
=xC0 -CÍ x9 + C2 x5 - +(-1)" cnx2nl
Do đó
Trang 6Phan Hữu Thiểm
1
- ars DÌA0 9 lata Lag -1)"
I= ph | dx=| “Cpa? hx ha
1 ~=Π| Lee (-1)" n
m+2 2° 4 2 gn 2n+2 tạ (pm)
87 Đại học ngoại ngữ HN, 1996; Đại học Kiến trúc Hà
Nội 1999, Đại học Sư Phạm, TPHCM 9000
Chứng minh rằng
n+]
tei y2oty 4 tin 2 1
Gidi
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có
(1+ x)" =C? +C}x+C2x”+ + C?x"
Lấy tích phân hai vế với cận từ 0 đến 1 ta được
fa + x)" dx = [(c? +CÌx+ C2 x? + Cn x? Jax
1 n+l
on+l _1
>
n+l
=C? +5Cn +3Cn + # 1 1 Ch (dpem)
88 Dai hoc An ninh - Đại học Cảnh Sát, 1998
Cho f(x)=(1+x)" , neN, n22
1) Tinh f’ (1)
2) Chimg minh rang
2.1.C2 +3.2.C3 +4.3.C4 + 4-n(n-1).C? = n(n - 12"?
Giải
1) fœ) = n{ + x)*ˆ!,f'(x) = nứa - D0 +x)?
2) Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có
(1+x)" = CO+ Chx + C2 x? + CBxP 4.4 CR x”
Do dé
f'(x) = Cả + 2C2x + 3Cổ + + nCnxn-1
f" (x) =2.1.C +3.2.CỔ x+ + n(n-1) CP x"?
Vậy f" (1) = 2 1 Cá + 3.2 Cả + n (n-1) CP (ii)
So sánh (i) va (ii) ta c6 diéu phải chứng minh
89 Dai hoc Bach khoa HN, 1999
Tính tổng S= CÌ -2 C2 +3 CỔ -4Cổ + + (1 n CR
(n là số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2, ck là số tổ hợp chập k của n
phần tử)
Giải
| Xét đa thức f(x)=(1- x)”
Khai triển nhị thức Newton, ta có f(x) = (x)= C8 - Ch + Cổ x” - .+ (-1}°CP x"
Lấy đạo hàm ta được
f(x) = - nd-x t= - Obs 202-4 Pn ce x”
Thay x = 1 vao (*) thi (*) tré thanh
f'()=0= - Ca +2Œ2 - +(-1)” nCn Vậy § = C; - 2C2 - + (—1)""1nCP = 0,
90 Đại học Kinh Tế quốc dân Hà Nội, 2000
Chứng minh rằng
2ml Cl ÿ 2n C2 +a, 203 Cả + 4204 CỔ ‡ +nCP=n 301
Giai
Ta có
(Q+x)"= C2 2" + CL 2) xe C2 22 x” + + Ơn x"
Lấy đạo hàm 2 vế, ta được
n(2+x)"”= C} 91 +2 G2 292 x+ 3 Cả 295 x2 ¿402 24 x3 ¿,
+n(Cn „ml Cho x = 1, ta có ng"? = 20-1CI + 271 C2 + 3.23 C3 + 4.2102 + + nC?
(đpem)
91 Dai hoc An Ninh, 2000
Tinh Téng
S = Cfoog + 2 Cooo + 3 Cổoog + + 2001 C3033
Giai
Xét da thite f(x) = x (1 + x)?
Trang 7Phan Ha Thêm Dạng 2: CHỨNG MINH ĐĂNG THỨC HỆ SỐ TỔ HỢP 7zzzz30
f(x)= x(C2ooo + C390 X + C2000 x” + + C2000 2000) Với k, n là các số nguyên và 4 < k < n, ta có
= Cổooo X + C2ooo x” + Cổpoo XỔ + +C2000 XP (1 +x)o"4 _ (1+x)" (t+x)4
000 oC? +4 † Cy X+ + ck, xen g c4 x14 -
' ¬0 1 C2 2 2001 C2090 x2
f'{x) = Cjooo + 2 C2ooo + 3 Cấooo X” + + 2000
Vì vậy f'(1) = Cđopo + 2 Cöpog + 3 Cổpgg + + 2001 C2000 (¡) =(c? tt CE ARE + CE SRE + CARE? 4 CT gh] cok + + 02x"),
Mat khac „(1+ 4x + 6x + 4x” + x‘) (*)
f(x) - x(1+ xm nên f'(x) _ (1 + x)?00 +2000(1+ x)}999 Hệ số của x` ở vế trái và vế phải của đẳng thức (*) lần lượt là
Chg va CE + 40% 4 60? 4 ack 3 4 okt
= (1+x)!9? (2001x + 1)
Do đó f'(1)= 2002 9 (ii)
Ck +4081 + 60K? 44083 4Ck4 = 0K, pom)
9 - 2009 2 1989
giải khác nhau mà mỗi đẳng thức cụ thể thường chỉ chúng mình
~ ,
- được khi chúng ta biết sử dụng thích hợp một trong các phương
99 Đại học Sư phạm TP HCM, 2001 pháp đã được tổng kết trên đây Qua cúc đề thi đã được giải ta rút
ra một số nhận xét như sau:
hợp đều có thể giải được bằng cách sử dụng công thức tính tổ hợp mặc dâu
Cn.j” + 2Cn.3”^+30n.3””+ + na =n4 độ phức tạp tính toán có khác nhau
- Khi trong đẳng thức thấy xuất hiện day di tat cd cdc hệ số tổ hợp
+ y) với x va y nào đó
Ta có
n2 003n 4 13L, ¿ 0250-22, C9 n3 8 ch ~ Phương pháp đạo hàm thường dùng khi gặp biểu thức dạng ) kŒ
J+x)”" =C3'+ 3” x+ “x“+(Xx””x”+ + ÔPX
( ) n n n n n hoặc 3 k(k-1)C§
Ấ ò ế ta dược
: +2
lay dao ham tả 2 về, Ì ~ Phương pháp tích phân thường dùng khi gặp biểu thức dạng
n(3 +x)" = C).3") + 202.3" ?x + 3033" 3x? + + nC2x™! (+)
Gy hoặc „
k+l] ˆ “—(k+l)(k+2) Thay x = 1 vao (*) ta có:
> ond 3 on-3 n - 0ó nhiều đẳng thức vừa chứng minh được bằng cách sử dụng công n4"! - ch am 2Cn.J' 72 + 8Cn 3”'+ +nÉn (dpem) thức Pascal vừa chứng minh được bằng cách đồng nhất hệ số của xỶ của
hai đa thức bằng nhau
V Phương pháp 5
C Dạng 3 Tính hệ số của x" trong một
Đồng nhất hệ số của x" của hai đa thức bằng nhau khai trì én
93 Dai hoc Quéc gia TP.HCM, 1997
Với k và n là các số nguyên sao cho 4 < k < n,
Sử dụng khai triển nhị thức Newton
Chứng minh rằng
Ch + 4C} ! + 6CR 2? 44.083 4 Ok4L Gk,
Trang 8Phan Hữu Thiểm
94 Đại học Kinh tế quốc dân, 1997
12
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của [x 2)
x
Gidi
Ta có
1)? ak k ol Se ok _2k-12
GHI
Số hạng không chứa x là số hạng ứng với k thỏa mãn điểu kiện 9k -
12=0 © k=6 Vậy số hạng không chứa x là
C8, =924,
95 Học viện Kỹ thuật Quân sự, 1997
Đa thức P(x) = (1 + x) + 9 (1 + x) + 3 (1 +x)” + + 20 (1+ x)” được
viết dưới dạng
P(x) = aạ + AIX + A;X” + + a;oX” Tìm ays,
Giải
Cách 1
Hệ số của x trong khai triển của (1 + x)" là ck Do dé hé sé cua x”
trong khai triển của 15 (1 + x) là 1515, trong khai triển của 16 (x +1)!®
là 16015, ., trong khai triển của 20 (1 + x)" là 20038 Vay:
ays = 15.012 +16.C13 +17.C19 +18cl8 +19¢13 +20.c15
=15+16.C1s +11.Cũ; +18.Cỷa +19.Cƒo +20Cỗo
17.16 18.17.16 +
=1õ+1616+17.* 5 +18 19 1918.17.16 „2 20.19.18.17.16
= 400995
Cách 2
P(x) = (1+) [1 + 2 (1+x) + 3 (1+x) + + 20 (1+x)!] =
= (1+x) {(1+x) + (1+x} + + (1+x)'†
21 47
X
21(1+x)” x-(1+x)” +1
x?
=(1+x)
- a |(1+x}”(21x~1- x)+1]
Z lỗ ta Aa “9? ˆ oa 9 #
Do đó a ” là hệ số của x`” trong khai triển của đa thức Q(x)=(1+x)” (20x-1)=| C4164 CH + (20-1)
Vay ays = 20.048 - ch? = 400995
96 Dai hoc An ninh - Đại học Cảnh sát, 1998 Khai triển và rút gọn đa thức
P(x) = (14x)? + (L4x)' + (14x) + (14x)? + (14x)
ta được
P(x) = ayox"? + agx” + agx® + + AJX + A0,
Tinh ag
Giải
Cách 1
Hệ số của x” trong các khai triển của (14x)°, (1+x)", (1+x)' lân lượt là
Cả, Cổ, Của Dó đó
ag = + Cỗ + CŸn =1+C? + C?y =1+9+45 = 55
Cách 2
+x)|(1+x} ~1 +x) -(14x)°
opel lộ Pa} a Pn
Do đó hệ số aạ là hệ số của x” trong khai triển của (1zx)"
Vay ag = Cj; =55 Nhận xét Cách giải thứ nhất sẽ trở nên rất công kénh khi da thitc
P(x) la tong cla nhiều đơn thức (1 +x⁄} Trong khi cách giải thứ hai van cho bết quả ngắn gọn Chẳng hạn, xét vi dụ sau đây:
Cho P(x) = (1+x) + (1xx) + + (1+#)” Tính hệ số của xỶ trong khai triển của P(x)
- Nếu giải theo cách 1 chúng ta phải tính các hệ số tổ hợp
3
08, C9, Chor» Cio
~ Ta giải theo cách 2:
(1+ x)" (ux) “1 (+#” -(1+x)"
Hệ số của x'là C3, = 20160075.
Trang 9Phan Hữu Thiểm
97 Đại học Sư phạm Qui nhơn, 1998
Tính các hệ số của xŸ và x? trong khai triển của biểu thức
(x+1) + (x-2)",
Giai
„ Hệ số cia x? trong (x+1)° la CF va trong (x-2)' Ia Œ (-2)
Do đó hệ số của x” trong khai triển của Pí) = (x+1 + (x+1} là
2 +03 (-2)° =-662
» Tuong tu, hé sO cia x® trong (x+1)° 1a oH và trong (x-2)” là
C?(-2)' Do đó hệ số của x” trong khai triển của P(x) la
Cỷ + Cỷ(-9}" = 560
98 Đại học Hàng hải, 1998
Cho (x2)! - ao + ayX + agX” + + Argo
a) Tinh a7
b) Tinh S = Ap + a1 + + Broo:
c) Tinh M = ap + 2a, + 3a3 + + 100ajq9
Giải
Dat f (x) = (x-2)'? = (2-x)!™
a) Khai triển nhị thức Newton ta có
£ (x) =Chqg 21? - Chg 2? x+ Chop 2 x” — t ]D0X D9
Vay ag7 =-C}402° = -C#9.8=- 8 =-1293600
b) S =f (1) = (1-2) =1
c) f (x) = 100 (x-2)”
f (x) = ay + Qaox + + 100aro9 x” (ii)
Tw (i) va (ii) cho x = 1 ta cé
ay + 2a + + 100ayo9 = 100 (-1)™
Vay M = -100
99 Cao đẳng Sư phạm Hà nội, 1999
2
5 Trong khai triển của [a 5| tìm hệ số của sé hang chita x”
X
Giải
Cách 1, Số hạng thứ k+1 trong khai triển của biểu thức đã cho là
2
kía 3Í ĐT skzõ-k, k J5-k-%
Số hạng chứa x'” khi và chỉ khi k thỏa mãn phương trình 15 - 5k =
10 © k = 1 Vậy hệ số của số hạng chứa x” là C‡3' (-2)' =-810
x -2
10
5 Cách 2 Ta có [a 3 = é
Do đó, hệ số của số hạng chứa x' của biểu thức đã cho là hệ số của số
hạng chứa x”” của biểu thức (3x -2)° va bing C234 (-2) =-810
100 Học viện Hành chính Quốc gia, 2000 Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (xˆ+1)" bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax'” trong khai triển đó
Giải Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có
n
[1+3"] =O Ch CPx CR + COAT (*)
Thay x =1 vào (*) ta được
C? +C! + C2 + +) = 20, Theo giả thiết CŨ +C} + C2 + +CP =1024, do đó 2° = 1024 2°=2" © n= 10
Vì vậy hệ số a của sé hang ax’? trong khai trién cia (x’+1)"? là
a = Cũn =210
101: Đại học Thủy lợi, 2000
Cho da thức:
P(x) = (1+x) + (1+x) + (1+x)! + + (1+x)!
có dạng khai triển là
P(x) = ao + aIX + agX” + agX) + + at
Hãy tính hệ số aạ
Gidi Cách 1
Hệ số của x” trong khai triển của (1+x), (1+x)°, (1+x)' lần lượt
› f9 a9 9D a9 a9 n0
la Cg, Cig, Cir, (lọ, Cia, Cra
Trang 10-Phan Hữu Thiểm
Do đó hệ số của x9 trong khai triển của P(x) là
= 1+Cly +Cñ + CPo +Ơïa +C?4
=1410+ 11.10 + 12.11.10 + 13.12.11.10 + 14.13.12.11.10
= 11 + 55 + 220 + 715 + 2002 = 3003
Cách2 P(x)= tỷ e x) 1 _ (ay (esa)
Do đó hệ số của x” trong khai triển của P(x) là hệ số của x'” trong
khai triển của (1+x)'Š Nghĩa là,
ag = 19 - Cỗ, - —— = 3003
102 ĐHQG HN, 2000 (Khối B)
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức sau
1ï
1 43
if 2 | ,
Gidi
Số hạng thứ k+1 trong khai triển của biểu thức đã cho là
Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn phương trình
Vậy số hạng cân tìm là số hang thứ 9 trong khai triển của biểu thức
đã cho và bằng
Cổ; =24310
103 DHSP Qui nhon, 2000
Cho hàm số P(x) = (1 + 2x + 3x)", X4c dinh hé s6 cia x’ trong khai
triển của P(x) theo các lũy thừa của x
Giải
Cách 1 P(x)=|[1+x(2+ 3x)] = fy + Clox(2+3x)+CPox” (2+3x)" +
———
+Ciox® (2+ 3) ++ CHP (2+ 3x)” Dễ dàng thấy xỶ chỉ xuất hiện
Dạng 2 : CHỨNG MINH ĐĂNG THỨC HỆ SỐ TỔ HỢP 7zzz33
Ciox? (2+ 3x)” và C?ox°(2+ 3x)
_ Do đó hệ số của xỶ trong khai triển của P(x) là
12Cƒg + 8C?o = 1500
Cách 2 Giả sử P(x) = ao + aiX + a;X” + aaX” + + aaoX”.,
Khi đó P(x) = ai + 2asx + 3asx? + + Wax”,
P°() = 2a; + 3.2aax + + 20.19a;ogx!Š,
P”(x) = 3.2aa + 4.3.2a4X + + 20.19.18aaoxỶ"
P"(0)
6
Vay a3 =
Mặt khác
P(x) = 10 (14+2x+3x”)” (6x+2)
P”(x) = 90 (1+2x+3x2)* (6x+2)? + 6 10 (1+2x+3x?)
P”{x) = 720 (1+2x+3x?)” (6x+2)? + 12 90 (1+2x+3x?” (6x+2)
+6.10 9 (1+2x+3x”)” (6x+2)
=P”(0) = 720 2” + 12.90 2+6 10.9 2 = 9000
Do đó aa ““Ă =1500
104 ĐH Đà lạt, 2000
Cho a và b là hai số dương và n là số nguyên dương Xác định hạng
tử có hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton (a+b)"
Giải
Ta có
(a+b): = Coa" + Cla" b+ C2a" 2b” + + CRa" kbỀ ¿ + hp
Dễ thấy lot} om=C™! néun=2m+1
ann néu n = 2m
Nghĩa là hạng tử có hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton (a+b) là
Cma"-®ị” nấu n = 2m + 1 hoặc n = 2m
105 ĐH Nông nghiệp I, 2000
40
Tìm hệ số của xỶ! trong khai triển của f(x) -[x+]
x Gidi
Số hạng thứ k+1 trong khai triển của fx) là