ĐH Huế, 97 1 Có bao nhiêu số tự nhiên được viết trong hệ đếm thập phân gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau?. Phan HữuThiểm Chú ý: Trong bài này ta cần tìm số cá
Trang 1Phan Hữu Thiểm
1.®ại học An Ninh, 1997
Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số
chắn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi
Giải:
Goi A = {0, 1, 2,3, 4, 5, 6}
Cach giai 1:
Số phải tìm có dang aiasaaa¿az
e - THI:as = 0 Ta phải chọn 4 số trong 6 chữ số còn lại: 1, 2, 3, 4, 5,
6 để xếp vào vị tri ay, ag, a3, aq SO cach chon như thế là Ag
e - TH2: a; z 0, để lập nên số thỏa mãn yêu cầu bài toán có thể thực
hiện qua các giai đoạn sau đây
— _ Giai đoạn 1: chọn as, có 3 cách chọn as e {2, 4, 6}
— _ Giai đoạn 2: chọn at, có 5 cách chọn ai € A \ {0, a5}
—_ Giai đoạn 3: chọn a2a3a4 Ta phải chọn 3 chữ số trong 5 chữ số
còn lại thuộc A \ {ay, as} để xếp vào vị trí a2, a3, a4 Số cách chọn
như thé la Ag,
Vậy có 3.5 A‡ số với as # 0 (theo nguyên lý nhân)
Cuối cùng, theo nguyên lý cộng ta được tất cả
Ai +3.5.As = 360 + 900 = 1260
số chấn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi lấy từ tập A
Cách giải 2
e - Trước hết ta tính số các số có dạng a;asasa,a; thỏa mãn yêu cầu
bài toán mà at có thể bằng 0 hoặc khác 0
— _ Gimi đoạn 1: chọn as, có 4 cách chọn a5 e {0, 2, 4, 5)
- Giai doan 2: chon aj, a2, a3, aq Ta phai chọn 4 số trong 6 chữ số
còn lại thuộc A \ {a5} để xếp vào vị trí a, ao, aa, a¿, số cách chọn
như thế là A4 Vậy có 4 A¿ số (kể cả trường hợp ai = 0)
e Bây giờ chúng ta tính các số có dạng 0asaaa¿az
— Giai đoạn 1: chọn a5, có 3 cách chọn as e {2, 4, 6}
- _ Giai đoạn 2: chọn a2, a3, a4 Ta phải chọn 3 số trong 5 chữ số còn
lại thuộc A \ {0, as} để xếp vào vị trí a2, a3, a4, số cách chọn như
Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ Cân lấy một nhóm ỗ người trong đó có 2
nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn
3 (ĐH Huế, 97) 1) Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm
5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau? 2) Hãy tính tổng của tất cả các số tự nhiên nói trên
Giải:
1) Mỗi số gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau ứng với một cách sắp xếp 5 phan tử của tập hợp có 5 phần tử
A = (5, 6, 7, 8, 9} theo mét thứ tự nhất định, tức là một hoán vị của 5 phần tử Vậy có P; = 5! = 120 số thỏa mãn yêu câu bài toán 2) Trong 120 số nói trên có 24 số có dạng ayasasa¿ð (vì mỗi số ayaasa4 ứng với một hoán vị của tập có 4 phản tử A \ {ỗ)) Tương tự có 94 số có dạng ayasaaaxa, Vì vậy tổng các chữ số hàng đơn vị của 120 số đã cho là:
24.(5+6+7+8+9)=24 35 Lập luận tương tự ta cũng có tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn, hàng vạn đều là 24 35
Giải:
Các tam giác có ở đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn thuộc một trong hai loại sau đây:
Trang 2Phan HữuThiểm
—_ Loại 1: Một đỉnh nằm trên (đị) và 2 đỉnh nằm trên (da) có 17 cách
chọn một dỉnh trên (dị) Với một cách chọn một đỉnh trên (dị)
luôn luôn có Co cách chọn 2 dinh trén (dg) Vay co 17 C3) tam
giác loại 1,
—_ Loại 2: Một đỉnh nằm trên (dạ) và 2 đỉnh nằm trên (dị) Lập luận
tương tự như trên ta có 20 Củ: tam giác loại 2 Vậy tổng cộng có
tất cả:
17 C3) +20 Ce, = 3230 + 2720 = 5950
tam giác thỏa mãn yêu câu bài toán
ð (ĐH Thái Nguyên, 97)
1) Cho các số 1,2, 5, 7, 8 Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ
số khác nhau từ 5 chữ số nói trên sao cho:
a) Số tạo thành là một số chắn?
b) Sé tao thành là một số không có chữ số 7?
e) Số tạo thành là một số nhỏ hơn 278?
2) Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ Thầy chủ nhiệm
muốn chọn 3 học sinh để tham gia tổ chức lễ khai giảng Hỏi có
bao nhiêu cách:
a) Chọn ra 3 học sinh trong lớp?
b) Chọn ra 3 học sinh trong đó có 1 nam và 2 nữ?
9) Chon ra ở học sinh trong đó có ít nhất 1 nam?
Chú ý: Nhiều học sinh thường giải câu 3c) như sau:
Việc chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam có thể tiến hành
như sau:
~ _ Trước hết chọn ra 1 nam trong số 25 nam, có 25 cach chon
— Sau dé chon 2 người tùy ý trong số 39 người còn lại Mỗi cách chọn
là một tổ hợp chập 2 của 39 Do đó có:
39-38 C2, = S741 39 1-2
Vậy có 95 741 = 18535 cách chon ra 3 người mà trong đó có ít nhất một nam Đáp số này không đúng Học sinh hãy tìm chỗ sai trong lời giải trên đây và ghi nhớ để không gặp phải sai lâm tương tự khi giải loại toán
Trang 3Phan Hữu Thiểm
Vi x < 600,000 nén a; e B = {1, 2, 3, 4, 5} Chúng ta xét hai trường
hợp:
- THI: ay € {2,4} Đương nhiên, có hai cách chọn a Với mỗi cách
chon a¡ luôn luôn có 5 cách chọn ao vì a € C = {1, 3, 5, 7, 9} Khi
da chọn các số ai và ao thì mỗi cách chọn a2a3244; là một chỉnh
hợp chập 4 của 8 phần tử thuộc tập  \ {ay, ag} Do đó có AS cách
chon agagayas Vay 62.5 Agsd x ma ay € {2, 4}
- TH2: a; € {1,3, ð} Lúc này c6 3 cdch chon ay, do ay là số lẻ nên
với mỗi cách chọn aị ta chỉ có 4 cdch chon ag (ag € C \ {a1})
_ Với môi cách chọn a¿ có Aj, cách chọn aiasaạ vì mỗi cách chọn Z* xe , , 3 7 ` Ke z
a¡a2aạ là một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử thuộc {1, 2, 3, 4, 5
Từ 3 chữ số khác nhau trong mỗi nhóm trên ta lập được 3! số có 3
chữ số khác nhau chia hết cho 3 Do vậy có 4 3! = 24 số thỏa mãn yêu
cầu bài toán
8 ĐH QGHCM, 98
1) Từ một tập thể gồm 12 học sinh ưu tú, người ta cần cử một đoàn di
dự trại hè quốc tế trong đó có 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn và 3 đoàn
2)_ Xét dãy số gồm 7 chữ số, mỗi chữ số được chọn từ các số 0, 1, 2, .,
8, 9 thỏa mãn các điều kiện sau:
e Từ 12 học sinh cử ra một nhóm gồm 5 người: có Ce, cach
e Với mỗi cách cử ra một nhóm 5 người có A2 cách cử trưởng đoàn và phó đoàn
® Vậy có Cá A? = 15840 cách cử đoàn gồm một trưởng đoàn, một phó đoàn và 3 đoàn viên
e Từ 12 học sinh có Củ = 220 cách cử ä đoàn viên
® Với mỗi cách cử 3 đoàn viên có Ab = 72 cách cử trưởng đoàn và phó đoàn
e Vậy có 72 220 = 15840 cách cử đoàn gồm một trưởng đoàn, một phó đoàn và 3 đoàn viên
2) Dãy số phải tìm có dạng: (ai, ag, a3, a4, a5, ag, a7), dat A = {0, 1
© Cé AX, cach chon ag, a5, ag doi mot khac nhau
¢ Vay c6 10.10.5.8.10.9 8 = 2880000 dãy số thỏa mãn yêu cầu
bài toán.
Trang 4Phan HữuThiểm
Chú ý: Trong bài này ta cần tìm số các dây số gồm 7 chữ số thỏa
mãn 3 điều kiện, chứ không phải là tìm số cúc số gầm 7 chữ số, nên
chữ số đầu tiên là a† có thể lấy bằng 0 hoặc khúc không, nghĩa là có
thể lấy aị tùy ý thuộc A
e Với mỗi cách chọn ai có 5 cách chọn aa
e Với mỗi cách chọn a¿ có 5 cách chọn aa
e Với mỗi cách chọn aqasaa có 5 cách chọn aa
e Vay c6 5.5.5.5 = 625 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
10 Đại học dân lập Ngoại ngữ - Tin học, 1998
Œó bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau được tạo nên từ các chữ số 3,
5, 7, 8?
Giải:
Mỗi số có 4 chữ số khác nhau được tạo nên từ 4 chữ số 3, 5, 7, 8
tương ứng với một hoán vị của 4 số ấy Do đó ta có:
Pạ = 24 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
11 Đại học Sư phạm Vĩnh, 1998
Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau:
Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số
còn lại xuất hiện một lần Hỏi có bao nhiêu số như vậy?
Vậy có Cá 4! số mà chữ số 1 xuất hiện 2 lần, các chữ số 2, 3, 4, 5
mỗi chữ số xuất hiện một lần
Ta cũng có kết quả tương tự cho các trường hợp chữ số 2, 3, 4, 5 xuất
hiện 2 lần
Do đó số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
5 Cấ 4! = 1800 (số)
12 Đại học Sư phạm Hà Nội II, 1999
Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ
trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi Cân chọn một nhóm 3 học sinh trong
số 50 học sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hỗ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giai
* Trước hết ta có Cổ = 19600 cách cử 3 người tùy ý từ 50 người
* Bây giờ ta tính số cách cử 3 người mà trong đó có 1 cặp anh em
sinh đôi và thêm một người nữa
— _ Có 4 cách chọn 1 cặp anh em sinh đôi
~ Với mỗi cách chọn 1 cặp anh em sinh đôi có 48 cách chọn thêm một người nữa (cho đủ 3 người)
Do đó có 4 48 = 192 cách cử 3 người mà trong đó có đúng một cặp anh em sinh đôi
Vì vậy số cách cử ra 3 người mà trong nhóm không có cặp anh em
sinh đôi nào là:
1) Mỗi tập con X của tập A chứa 1 và không chứa 2 có đạng:
X = {1} UY trong đó Y là tập con của tap B = (3, 4, 5, 6, 7, 8} Do
đó số các tập con X thỏa yêu cẩu bài toán bằng số các tập con Y của B Mà tập B có 6 phần tử nên B có 2Š - 64 tập con Vậy có 64 tap con X cua A chứa 1 và không chứa 2
Trang 5Phan HữuThiểm
Bây giờ ta tính số các số chẵn có dạng 123aya›
trong đó aj, a9 1a hai phần tử khác nhau của A
e Có 3 cách chọn ap vi ag {4, 6, 8}
® Với mỗi cách chọn a; có 4 cách chọn a¿ vì a e A \ {1, 2, 3, a9}
Do đó có 3 4 = 12 số chắn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi bắt đầu
bởi 123
Vậy có 3360 - 12 = 3348 số chắn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi
mot lay tif tap A va không bắt đầu bởi 123
4.2.6 = 48 ước số dương của 75000
Nhận xét: Thực ra ta có thể giải bài toán tổng quát sau đây cho
kị k
n= p†!Pa”
thừa số nguyên tố (pạ, ps, pạ là cúc số nguyên tố khác nhau từng
pes là sự phân tích số nguyên n thành tích của cúc
đôi, bị, bạ, ks € N) Tìm số cúc ước số dương của n
15 ĐHQG HCM, 99 (Khối D)
Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong dó có 2 cuốn
sách môn Toán, 4 cuốn sách môn Văn và 6 cuốn sách môn Anh văn Hỏi
có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu mọi
cuốn sách cùng môn được xếp kê nhau?
Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế Người
ta muốn xếp chỗ cho 6 học sinh trường Á và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
1) Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì
khác trường với nhau?
2) Bất cứ hai học sinh nào ngôi đối diện nhau thì khác trường với nhau?
- Tiếp tục, có 5 cách chọn học sinh (trong 5 người còn lại cùng
trường với người ở ghế số 1) để xếp vào ghế số 3
- Cũng có 5 cách chọn học sinh (trong 5ð người còn lại cùng trường
với người ở ghế số 2) để xếp vào ghế số 4)
- _ Lập luận tương tự, có 4 4 cách chọn học sinh để xếp vào ghế số 5
và số 6, có 3 3 cách chọn học sinh để xếp vào ghế số 7 và số 8, có
2 2 cách chọn học sinh để xếp vào ghế số 9 và số 10, có 1 1 cách chọn học sinh để xếp vào ghế số 11 và số 12
~ Vậy e612.6,5”.4” 37 2ˆ = 1036800 cách xếp.
Trang 6Phan HifuThiém
- Giai doan 1: Xếp chỗ cho hai nhóm học sinh
Với mỗi cặp ghế đối diện nhau ta có hai cách xếp
Mà chúng ta có 6 cặp ghế đối diện nhau nên có 2Š cách xếp chỗ cho
hai nhóm học sinh
¬ Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A có 6! cách xếp 6
em vào 6 chỗ Tương tự, trong nhóm học sinh của trường B có 6l
- _ Sau khi đã chọn 1 học sinh xếp vào ghế số 1, có 6 cách chọn 1 học
sinh (trong 6 học sinh không cùng trường với người ngôi ở ghế số
1) xếp vào ghế số 12
- Gó 10 cách chọn 1 học sinh trong số 10 học sinh còn lại (sau khi
đã lấy 2 người xếp vào ghế số 1 và số 12) để xếp vào ghế số 2
- Có 5 cách chọn 1 học sinh (trong số 5 học sinh còn lại không cùng
trường với học sinh ngồi ở ghế số 2) xếp vào ghế số 11
Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Có thể lập được bao nhiêu số
n gôm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau:
Vậy có A2 3 số hình thức thỏa yêu cầu để bài:
* Xét các số hình thức dạng 0asaaaxa; thỏa yêu cầu đề bài
- (62 cách chọn vị trí để xếp số 1 vào (đó là xếp số 1 vào vị trí ao hoặc aa)
- _ Với mỗi cách xếp số 1 ta có Áš cách xếp 3 số của X \ {0, 1} vào 3
vị trí còn lại
Vậy có A¿ 2 số hình thức dạng 0agaga¿a; thỏa yêu cầu để bài ậy có Ãa¿ 2 sô hình thức dạng 0asaaaxa; thỏa yéu cau dé bai
* Như vậy có A2 3- A¿ 2 = 2520 - 240 = 2280 số gồm 5 chữ số
khác nhau từng đôi lấy từ tập X mà một trong 3 chữ số đầu tiên
bằng 1
18, TTBDVH, DHKHTN 99
1) Phía sau một bàn dài œó 7 chiếc ghế được đánh số liên tiếp từ 1
lến 7, người ta muốn xếp 7 học sinh gồm 5 nam va 2 nif sao cho
hai em nữ ngôi cạnh nhau Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy?
2) Từ một lớp học có 14 học sinh trong đó có 10 em nam và 4 em nữ
Người ta muốn chia lớp thành hai tổ, mỗi tổ eó 5 nam và 2 nữ Hỏi
có bao nhiêu cách chia như vậy?
Trang 7Phan HữuThiểm
3) Có bao nhiêu số có 6 chữ số được chọn từ các chữ số thuộc |1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8} sao cho các chữ số đôi một khác nhau, chữ số đầu tiên
phải là số 4 và chữ số cuối cùng phải là s6 chan?
4) Có bao nhiêu số gôm 6 chữ số được chọn từ {1, 2, 3| sao cho chữ số
cuối cùng là chữ số lẻ, và chữ số 2 có mặt đúng hai lần?
Giải
1)
- Giai doan 1: Xếp hai em nữ ngồi vào ghế (kể nhau)
Có 6 cách xếp em nữ thứ nhất ngồi vào ghế và em nữ thứ 2 ngôi bên
phải em nữ thứ nhất Mà em nữ thứ nhất và thứ hai œó thể đổi chỗ cho
nhau Vì vậy có 2 x 6 = 12 cách xếp hai em nữ ngôi cạnh nhau
-_ Giai đoạn 2: Sau khi đã xếp hai em nữ vào chỏ, còn 5 cho dé xép 5
¬ Có Ag cách chọn aa943@4, vi méi cách chọn a,a,a;a, ting vdi mot
chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử thuộc {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} \ {as}
Vậy có 3ä Ag 3 6 5 4 3 = 1080 số thoả yêu cầu bài toán
4) Tatim cdc s6 dang ayasaaa,agas |
- Có 2 cách chọn ag vì as e{1,3]
- Có CỆ cách chọn vi tri cho 2 chữ số 2 trong 5 vị trí còn lại
- Œó 2” cách chọn các chữ số 1 hoặc 3 trong 3 vị trí còn lại
Vậy c6 24, C2 = 320 số thoả yêu cầu bài toán
19 ĐH Huế, 99 (Khối Ä)
Một hộp dung 4 viên bỉ đỏ, ð viên bị trắng và 6 viên bi vàng Người
ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi
Giải
1)
~ _ Xếp cdc phiéu 1, 9 3, 5 thanh hang ngang:
Mối cách xếp là một hoán vị của 4 phan ti, do 46 c6 4! = 24 cách xếp
— _ Với mỗi cách xếp 4 phiếu 1, 2, 3, 5 thành hàng ngang ta có hai cách xếp phiếu số 4 (xếp bên trái hoặc bên phải phiếu số 2)
Do đó có 24 2 = 48 cách xếp theo yêu câu bài toán
Trang 8Phan HữuThiểm Dạng 1 : TÍNH SỐ LƯỢNG Trang 8
21 ĐH Huế, 99 (Khối RT)
Người ta viết 0, 1, 2, 3, 4, ö lên các tấm phiếu, sau đó sắp thứ tự ngẫu
nhiên thành một hàng
1) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
2) Có bao nhiêu số chắn gồm 6 chữ số được sắp thành?
Giải:
1) Xét mỗi cách sắp tạo thành số lẻ có 6 chữ số dạng
ñayaya,aạag _ Gọi Á = l0, 1,9, 3,4, 5)
® Vì aạ c{1, 3, ð} nên có 3 cách chọn a;,
® Với mỗi cách chọn a có 4 cách chọn aj, vì a € A\{0,ag|
® Với môi cách chọn a1 và a6 có 4! cách chọn a;asa;a; (mỗi cách chọn
là một hoán vị của 4 phân tử thuộc Á \ lay, aạ))
22 Đại học Van Lang, 1999
Một người muốn chọn 6 bông hoa để cắm vào bình hoa Bó thứ nhá
có 10 bông hồng, bó thứ 2 có 6 bông thược dược và bó thứ 3 có 4 bông cúc
1) Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn ra 6 bông hoa tuỳ ý?
2) Nếu người đó muốn chọn đúng 2 bông hồng, 2 bông thược dược v
2 bông cúc thì người đó có bao nhiêu cách chọn?
~ Chọn 2 bông thược dược từ 6 bông có: C3 = 15 cach
~ Chon 2 bong cdc tir 4 bông có: C2 = 6 cách
- Vậy 6 C¥) C2 C2 = 45 15.6 = 4050 cach chọn đúng 2 bông
hồng, 2 bông thược dược và 2 bông cúc
23 Đại học Sư phạm Vĩnh, 1999 Một tổ sinh viên có 20 em, trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em
chỉ biết tiếng Pháp và 5 em chỉ biết tiếng Đức Cân lập một nhóm đi thực
tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức
Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đi thực tế từ tổ sinh viên đó?
24 Đại học dân lập Đông đô, 1999
Trên một mặt phẳng, 9 đường thẳng song song cắt 10 đường song
song khác thì tạo nên bao nhiêu hình bình hành trên mặt phẳnh dé?
Giải
Mỗi hình bình hành tạo nên nhờ giao của hai đường thẳng của họ thứ nhất (gầm 9 đường) với hai đường thẳng của họ thứ 2 (gồm 10 đường)
Do đó ta tính số cách chọn ra 4 đường thẳng, bao gồm 2 đường thẳng
thuộc họ thứ nhất và hai đường thẳng thuộc họ thứ 2
~ Chọn hai đường từ 9 đường thuộc họ thứ nhất: có Cố cách
- Chọn hai đường từ 10 đường thuộc họ thứ 2: có Cí cách
~ Vậy số hình bình hành được tạo thành là:
Có Cía = 36 45 = 1620 (hình)
2ð, (ao đẳng sư phạm Hà Nội, 1999
Co 5 miếng bìa, mỗi miếng ghi 1 trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Lấy 3
miếng bìa này rồi đặt cạnh nhau từ trái sang phải để được các số gồm 3 thữ số Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gằm 3 chữ số? Trong đó
ó bao nhiêu số chắn?
Trang 9Phan HữuThiêm Dạng 1 : TÍNH SỐ LƯỢNG Trang 9
Đặt A = (0, 1, 2, 3, 4}
a) S6 can tim cé dang ajaga3
— C6 4 cach chon a, vi a; € A \ {0}
— Cé 4 cach chon az vi a € A X {a;}
— Có 3 cach chon ag vi ag € A \ {aj, ae}
— C6 2 cach chon az e {0, 2 4} \ {a;}
— C6 3 cach chon ay vi a, € A \ {a, as}
Vậy có 2.2.3 = 12 số chẳn ma a, chan
26 Học viện Ngân Hàng, 1999
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại
là 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
1) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau 2) Các chữ số được xếp tùy ý
Trang 10Phan HữuThiểm
Cách 3 Ta có thể lập các số có 9 chữ số thỏa yêu cầu bài toán theo
hai giai đoạn
- Giai đoạn 1: Chọn 5 vi trí trong 9 vị trí để xếp ð số 1: có Có cách
- Giai đoạn 2: Xếp 4 số 9, 3, 4, 5 vào 4 vị trí: có 4! cách
- Kết luận có: Cặ.4!= = = 3024 sé
27 Dai hoc Hang hai, 1999
Có bao nhiêu cách xếp 5 ban hoc sinh A, B, C, D, E vao mét chiéc
ghé dai sao cho
a) Bạn C ngồi chính giữa?
b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
Giải
a) Việc xếp ð bạn vào ghế có thể tiến hành theo hai giai đoạn như sau
e Giai đoạn 1: Xếp C vào ghế chính giữa: có 1 cách
e Giai đoạn 2: Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! cách
e Vậy có tất cả 4! = 24 cách xếp chỗ sao cho C ngôi chính giữa
Nhận xét Có thể bài toán tổng quát hơn như sau:
Có n học sinh trong đó có An Hỏi có bao nhiêu cách xếp n bạn đó
vào một chiếc ghế dài n chỗ sao cho An luôn luôn ngồi ở vị trí thứ k
(lsk<n)?
b) Việc xếp 5 bạn vào ghế có thể tiến hành theo 2 giai đoạn như sau:
e Giai đoạn 1: Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2 cách
e Giai đoạn 2: Xếp 3 bạn B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có ở! cách
e Vậy có tất cả 2.6 = 12 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán
Đề nghị học sinh hãy tổng quát bài toán này và giải nó,
98 Cao đẳng Giao thông vận tải, 1999
Cho 6 số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 4 chữ số
khác nhau Trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
* Số ayasaaax chia hét cho 5 khi và chỉ khi a, = 9
Mỗi cách chọn a;a;a; ứng với một chỉnh hợp chap 3 của 4 phần tử
99, Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh, 1999
Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Tìm tổng của các số gồm õ chữ số tạo bởi các hoán vị của 5 chữ số trên
30 Dai hoc Can Tho, 1999
Trong 1 phòng có 2 ban dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn xếp
chỗ ngôi cho 10 học sinh gồm 5 nam va 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu:
1) Các học sinh ngôi tùy ý?
4) Các học sinh nam ngồi 1 bàn và các học sinh nữ ngồi 1 bàn?
31 Dai hoc Sư phạm Vinh, 1999
Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, ð, 6, 7 Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao
nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và mỗi số đều không chia hết cho 10
Trang 11Phan HữuThiểm
e Cĩ 6G cách chon a € A \ lan, a4}
e Cĩ 5 cách chọn as e A \ lay, aa, a4}
Vậy cĩ tất cả 7.6.6 5 = 1260 số thỏa mãn yêu cầu bài tốn
39 Học viện Cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng, 1999
Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, cĩ thể lập được bao
nhiêu sé gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đĩ cĩ mặt số
0 và số 1
Giải
Cách 1
Việc lập số cĩ 6 chữ số cĩ thể tiến hành theo các giai đoạn sau:
e Giai đoạn 1: Xếp số 0 vào 1 trong 5 vị trí (trừ vị trí đầu tiên): cĩ 5
cách xếp
e Giai đoạn 2: Xếp số 1 vào 1 trong 5 vị trí cịn lại: cĩ 5 cách xếp
e Giai đoạn 3: Chọn 4 số thuộc {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] xếp vào 4 vị trí
- Với mỗi cách xếp số 1 ta chọn 5 số thuộc (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8| và xếp
vào ð vị trí cịn lại: cĩ A§ cách
- Vậy cĩ 6.Aä =6.6720=40320 số cĩ 6 chữ số khác nhau chứa 1 và
khơng chứa 0
* Số các số cĩ 6 chữ số khác nhau chứa 0 mà khơng chứa 1
- Xếp số 0 vào 1 trong 5 vị trí (trừ vị trí đầu tiên): cĩ 5 cách xếp
~ Với một cách xếp số 0 ta lấy 5 số thuộc {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} xếp
vào 5 vị trí cịn lại: cĩ Aš cách
- Vậy cĩ ð.Aä = 33600 số chứa 0 mà khơng chứa 1
* Số các số cĩ 6 chữ số khác nhau khơng chứa 0 và khơng chứa 1 là
A§ =20160
* Kết luận: Số các số cĩ 6 chữ số khác nhau mà trong đĩ cĩ mặt số 0
và số 1 là:
136080 - (40320 + 33600 + 20160) = 136080 - 94080 = 42000
Đề nghị đọc giả tìm chỗ sai trong lời giải bài 32 như sau:
* Số các số cĩ 6 chữ số khác nhau từng đơi là: 9Aš = 136080
1) Gọi số thỏa mãn yêu cẩu bài tốn là aasasa¿a;as
~ Cĩ 5 cách chọn ay vì a e {1, 3, 5, 7, 9}
~ Với mỗi cách chọn a; cĩ 5 cach chon ag vi ag € {0, 2, 4, 6, 8}
- Với mỗi cách chọn a va ag c6 Ag cách chọn a;aaaa;
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài tốn là:
5.5Ag = 42000
2) Cach 1
* Ta tinh cdc s6 hinh thie dang ajajayayasag gdm 6 chit sé khdc nhau từng đơi trong đĩ cĩ 3 chữ số chắn và 3 chữ số lẻ, chữ số đầu tién a, bằng 0 hoặc khác 0
# Bây giờ ta tính các số hình thức dạng 0asaaaaasas các chữ số ag.aa,a4,ag,as khác nhau từng đơi, trong đĩ cĩ 2 chữ số chắn khác 0 và 3 chữ số lẻ
- Cĩ C4 cách lấy 2 chữ số chấn trong 4 chữ số chắn khác 0
- Cĩ Cỷ cách lấy 3 chữ số lẻ trong 5 chữ số lẻ
Vậy cĩ C2.Cỷ cách lấy ra hai chữ số chén khác 0 và 3 chữ số lẻ