1 Có bao nhiêu số tự nhiên được viết trong hệ đếm thập phân gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 va đôi một khác nhau?. Khi đã chon các số ai và ag thì mỗi cách chọn àasaaas là một c
Trang 11 Dai hoc An Ninh, 1997
Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số
chắn, mỗi số gầm 5 chữ số khác nhau từng đôi
Giải:
Goi A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Cach giai 1:
Số phải tìm có dạng ayayaaaxaz
® THI:as; = 0 Ta phải chọn 4 số trong 6 chữ số còn lại: 1, 2, 3, 4, 5,
6 để xếp vào vị trí at, aa, aa, a¿ Số cách chọn như thế là Aé
®e - TH2: a; z0, để lập nên số thỏa mãn yêu cầu bài toán có thể thực
hiện qua các giai đoạn sau đây
— _ Giai đoạn 1: chon as, có 3 cách chọn apg e {2, 4, 6}
— _ Giai đoạn 2: chọn at, có 5 cách chọn ai € A \ {0, as}
— _ Giai đoạn 3: chọn a2a3a4 Ta phải chọn 3 chữ số trong 5 chữ số
còn lại thuộc A \ {ay, ag} để xếp vào vị trí a2, a3, a4 Số cách chọn
như thế là AŠ
Vậy có 5 A3 số với as # 0 (theo nguyên lý nhân)
Cuối cùng, theo nguyên lý cộng ta được tất cả
A‘ +3.5.A2 = 360 + 900 = 1260
số chắn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi lấy từ tập A
Cách giải 2
se - Trước hết ta tính số các số có dạng ayaaasa¿a; thỏa mãn yêu cầu
bài toán mà ai có thể bằng 0 hoặc khác 0
— _ Giai đoạn 1: chọn as, có 4 cách chọn að e {0, 2, 4, 5}
-_ Giữi đoạn 2: chon aj, a2, a3, a4 Ta phai chon 4 số trong 6 chữ số
con lai thuée A \ {as} dé xếp vào vị trí at, ao, a3, a4, 86 cách chon
như thế là Á¿ Vậy có 4 A¿ số (ké cd truting hop ay = 0)
s Bây giờ chúng ta tính các số có dạng 0asasaxas
~ Giai đoạn 1: chọn a5, có 3 cách chọn as e {2, 4, 6}
— _ Giai đoạn 2: chọn a2, a3, a4 Ta phải chọn 3 số trong 5 chữ số còn
lai thudc A \ {0, as} dé xép vào vị trí a2, a3, a4, số cách chọn như
Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ Can lấy một nhóm 5 người trong đó có 2
nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn
1) Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm
5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 va đôi một khác nhau? 9) Hãy tính tổng của tất cả các số tự nhiên nói trên
Giải
1) Mỗi số gồm 5 chữ số mà các chư số đêu lớn hơn 4 và đôi một khác
nhau ứng với một cách sắp xếp 5 phần tử của tập hợp có 5 phan tu
A = (5, 6, 7, 8, 9} theo mét thứ tự nhất định, tức là một hoán vị
của 5 phần tử Vậy có P; = 5! = 120 số thỏa mãn yêu cầu bài toán 2) "Trong 120 số nói trên có 24 số có dạng aya;asa,5 (vì mỗi số
a¡asasa, ứng với một hoán vị của tập có 4 phan tit A \ {5)) Tương tự có 24 số có dạng ayasasaqaạ, Vì vậy tổng các chữ số hàng đơn vị của 120 số đã cho là:
4 (ĐHSP Qui Nhơn, 97)
Cho hai đường thẳng song song (d\), (dạ) Trên (dị) lay 17 diem phân biét, trén (dg) lay 20 điểm phân biệt Tính số tam giác e6 các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm va chọn trên (dị) và (dạ),
Giải:
Các tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn thuộc một trong hai loại sau đây:
Trang 2- Loai 1: Mét dinh nam trén (dị) và 2 đỉnh nằm trên (ds) có 17 cách
chọn một dỉnh trên (dị) Với một cách chọn một đỉnh trên (dị)
luôn luôn có Cầu cách chọn 2 đỉnh trên (dạ) Vậy có 17, Cốc tam
giác loại 1
—_ Loại 3: Một đỉnh nằm trên (dạ) và 2 đỉnh nằm trên (dị) Lập luận
tương tự như trên ta có 20 Ci, tam giác loại 2 Vậy tổng cộng có
tất cả:
17 Cấp +90 Cị; = 3230 + 2720 = 5950
tam giác thỏa măn yêu cau bài toán
ö (ĐH Thái Nguyên, 97)
1) Cho các số I, 2, 5, 7, 8, Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ
số khác nhau từ 5 chữ số nói trên sao cho:
a) Số tạo thành là một số chắn?
b) 8ố tạo thành là một số không có chữ số 7?
e) Số tạo thành là một số nhỏ hơn 378?
2) Một lớp có 40 học sinh gềm 25 nam và 15 nữ Thầy chủ nhiệm
muốn chọn 3 học sinh để tham gia tổ chức lễ khai giảng Hỏi có
bao nhiêu cách:
a) Chọn ra 3 học sinh trong lớp?
b) Chọn ra 3 học sinh trong đó có 1 nam và 2 nữ?
c) Chon ra 3 hoe sinh trong đó có ít nhất 1 nam?
~ _ Nếu chọn aa = 7 thì có 2 cach chon a3 e {1, 5}
~ _ Nếu chọn a¿ < 7 thì có 2 cách chọn as vì a¿ € A \ {2, 7, 8} Với mỗi cách chọn a; có 3 cdch chon ag € A \ {2, ag} Do đó có: 2+2.3= 8 số mà aa = 2
Chú ý: Nhiéu hoc sinh thường giải câu 3c) như sau:
Việc chọn ra 3 học sinh trong đó eó ít nhất 1 nam có thể tiến hành
như sau:
- Trước hết chọn ra 1 nam trong số 25 nam, có 25 cách chọn
- _ Sau đó chọn 2 người tùy ý trong số 39 người còn lại Môi cách chọn
là một tổ hợp chập 2 của 39 Do đó có:
Vậy có 25 741 = 18525 cách chọn ra 3 người mà trong đó có ít nhất một nam Đáp số này không đúng Học sinh hãy tìm chỗ sai trong lời giải trên đây và ghi nhớ để không gặp phải sai lầm tương tự khi giải loại toán nay,
Trang 3Vì x < 600.000 nên ai e B = í1, 2, 3, 4, 5} Chúng ta xét hai trường
hợp:
- THI:ay e {9, 4} Đương nhiên, cĩ hai cách chọn ai Với mỗi cách
chọn at luơn luơn cĩ 5 cách chọn ag vi ag € Œ=(1,3,5, 7, 9} Khi
đã chon các số ai và ag thì mỗi cách chọn àasaaas là một chỉnh
hợp chập 4 của 8 phản tử thuộc tập  \ {a1, a6) Do đĩ cĩ Ág cách
chon agagayas Vay 06 2.5 Agséxma ay € {2, 4}
- TH? ai € (1, 3, 5} Lie nay cĩ 3 cách chọn an, do ải là số lẻ nên
với mỗi cách chọn at ta chỉ cĩ 4 cách chọn a¿ (a6 e Ơ \ {a)),
Với mỗi cách chọn ai và aạ ta cũng cĩ Ay cách chọn agagagas Do dé
_ Với mơi cách chọn a¿ cĩ Aj cach chon aiasaạ vì mỗi cách chọn ye ke og » Ad, ` An cự
a1a¿aạ là một chỉnh hợp chập 3 của 4 phân tử thuộc {1, 2, 3, 4, 5}
Ti 3 chữ số khác nhau trong mỗi nhĩm trên ta lập được 3! số cĩ 3
chữ số khác nhau chia hết, cho 3 Do vậy cĩ 4 3! = 24 số thỏa mãn yêu
cầu bài tốn
8, DH QGHCM, 98
1) Từ một tập thể gồm 12 học sinh ưu tú, người ta cẩn cử một đồn đi
dự trại hè quốc tế trong đĩ cĩ 1 trưởng đồn, 1 phĩ đồn và 3 đồn
2) Xét dãy số gồm ï chữ số, mỗi chữ số được chọn từ các số 0, 1, 2,
8, 9 thỏa mãn các điều kiện sau:
¢ Tit 12 hoc sinh cử ra một nhĩm gồm 5 người: cĩ Cc, cach,
® Với mỗi cách cử ra một nhĩm ỗ người cĩ A? cách cử trưởng đồn và phĩ đồn,
® Vậy cĩ Ct, A? ~ 15840 cách cử đồn gồm một trưởng đồn, một phĩ đồn và ư đồn viên
e Vay cé 132 120 = 15840 cach cử đồn gồm một trưởng đồn, một
phĩ đồn và 3 đồn viên
Cach 3:
e Từ 12 học sinh cĩ Cf = 220 cách cử 3 đồn viên
® Với mỗi cách cử 3 đồn viên cĩ AB = 72 cách cử trưởng đồn và phĩ
đồn,
® Vậy cĩ 72 220 = 15840 cách cử đồn gồm một trưởng đồn, một
phĩ đồn và 3 đồn viên
2) Dãy số phải tìm cĩ dạng: (ai, ag, a3, a4, a5, a¢, a7), dat A = (0, 1
® Cĩ Ai, cach chon ag, a5, ag déi mét khdec nhau
s Vậy cĩ 10.10.5,8 10.9 8 = 2880000 dãy số thỏa mãn yêu cầu
bài tốn
Trang 4Chú ý: Trong bài này ta cần tìm số cde đây số gầm 7 chit sé théa
man 3 diều kiện, chứ không phải là tìm số cúc số gồm 7 chữ sổ, nên
chữ số đầu tiên là œ† có thể lây bằng 0 hoặc khác không, nghĩa là có
thể lấy tùy ý thuộc A
e Với mỗi cách chọn ai có 5 cách chọn aa
e Với mỗi cách chon ag có 5 cách chọn aa
e Với mỗi cách chọn a1asaa có 5 cách chọn a4
e Vậy có5 5.5.5= 625 số thỏa mãn yêu câu bài toán
10 Đại học dân lập Ngoại ngữ - Tìn học, 1998,
Œó bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau được tạo nên từ các chữ số 3,
5, 7, 8?
Giải:
Mỗi số có 4 chữ số khác nhau được tạo nên từ 4 chữ số 3, 5, 7, 8
tương ứng với một hoán vị của 4 số ấy Do dé ta cé:
Pạ = 24 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
11, Đại học Sư phạm Vĩnh, 1998
Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau:
Trong mỗi số được viết có một ehữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số
còn lại xuất hiện một lần Hỏi có bao nhiêu số như vậy?
Vậy có Cả 4! số mà chữ số 1 xuất hiện 2 lân, các chữ số 2, 3, 4, 5
mỗi chữ số xuất hiện một lân
Ta cũng có kết quả tương tự cho các trường hợp chữ số 9, 3, 4, 5 xuất
hiện 2 lần
Do đó số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
5 Cá 4! = 1800 (số)
12 Đại học Sư phạm Hà Nội lI, 1999
Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ
trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi Can chọn một nhóm 3 học sinh trong
số 50 học sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hỗ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Gidi
* Trude hét ta cé C8) = 19600 cach ett 3 ngudi thy ¥ ti 50 ngudi
* Bay giờ ta tính số cách cử 3 người mà trong đó có 1 cặp anh em
sinh đôi và thêm một người nữa
— _ Có 4 cách chọn Í cặp anh em sinh đôi
—_ Với mỗi cách chọn 1 cặp anh em sinh đôi có 48 cách chọn thêm
một người nữa (cho đủ 3 người)
Do đó có 4, 48 = 192 cách cử 3 người mà trong đó có đúng một cặp anh em sinh đôi
Vì vậy số cách cử ra 3 người mà trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào là:
19600 - 192 = 19408 (cach)
13 ĐHQG HCM, 99 (Khối A, đợt 1):
Cho tap hop A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1) Có bao nhiêu tập hợp con X của tập A thỏa điểu kiện chứa 1 và không chứa 2?
2) Có bao nhiêu số tự nhiên chăn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123?
Giai:
1) Mỗi tập con X của tập À chứa 1 và không chứa 2 có dạng:
X = {1} UY trong dé Y 1a tap con cia tap B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} Do
đó số các tập con X thỏa yêu cầu bài toán bằng số các tập con Y của B Mà tập B có 6 phần tử nên B có ĐỀ - 64 tập con Vậy có 64 tập con X của Á chứa 1 và không chứa 9
~ Trước hết ta tính số các số tự nhiên chẩn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A Số phải tìm có dạng:
Trang 5Bay gid ta tinh s6 cdc sé chin có dạng 123a)a»
trong đó ay, aạ là hai phần tử khée nhau cua A
® Có 3 cách chọn a› vì ap e {4, 6, 8},
e Với mỗi cách chọn a; có 4 cách chọn aa vì ao e Á \ (1, 3, 3, aạ)
Do đó có 3 4 = 12 số chắn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi bắt dâu
bởi 123
Vậy có 3360 - 12 = 3348 số chắn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi
một lấy từ tập A va khong bat du bai 123
4,2,6 = 48 ước số dương của 75000
Nhận xét: Thực ra ta có thể giải bài toán tổng quát sau đây cho
n= pips? pes là sự phân tích số nguyên n thành tích của các
thừa số nguyên tố (pạ, pạ, pạ là cúc số nguyên tố khác nhau từng
đôi, bị, ba, , kạ e Ñ) Tìm số các uúc số dương của n
15 DHQG HCM, 99 (Khối D)
Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn
sách môn Toán, 4 cuốn sách môn Văn và 6 cuốn sách môn Ảnh văn Hỏi
có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu mọi
cuốn sách cùng môn được xếp kể nhau?
Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế Người
ta muốn xếp chỗ cho 6 học sinh trường Á và 6 học sinh trường D vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
1) Bất cứ hai học sinh nào ngôi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau?
2) Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với
nhau?
Giải:
1) Cach 1:
¢ Giai đoạn 1: Xếp chỗ cho hai nhóm học sinh, có 2 cách như sau:
hoặc
e Giai đoạn 9: Trong nhóm học sinh của trường A có 6! cách xếp 6 em
vào 6 chỗ Trong nhóm học sinh của trường B có 6! cách xếp 6 em vào 6 chỗ
— Tiếp tục, có 5 cách chọn học sinh (trong 6 người còn lại cùng
trường với người ở ghế số 1) để xếp vào ghế số 3
- Cũng có 5 cách chọn học sinh (trong 5 người còn lại cùng trường
với người ở ghế số 2) để xếp vào ghế số 4)
- Lập luận tương tự, có 4 4 cách chọn học sinh để xếp vào ghế số 5
và số 6, có 3 3 cách chọn học sinh để xếp vào ghế số 7 và số 8, có 2,2 cách chọn học sinh để xếp vào ghế số 9 và số 10, có 1 1 cách chọn học sinh để xếp vào ghế số 11 và số 12
~_ Vậy eó19.6,5” 47.3” 97 = 1086800 cách xếp.
Trang 62) Cach 1
- iat doan 1: Xếp chỗ cho hai nhóm học sinh
Với mỗi cặp ghế đối diện nhau ta có hai cách xếp
Mà chúng ta có 6 cặp ghế đối diện nhau nên có 2” cách xếp chỗ cho
hai nhóm học sinh
- Gigi đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A có 6Ì cách xếp 6
em vào 6 chỗ Tương tự, trong nhóm học sinh của trường B có 6l
~ (612 cach chon hoc sinh dé xép vào ghế số 1
- Sau khi đã chọn 1 học sinh xếp vào ghế số 1, có 6 cách chọn 1 học
sinh (trong 6 học sinh không cùng trường với người ngôi ở ghế số
1) xếp vào ghế số 12
— Có 10 cách chọn 1 học sinh trong số 10 học sinh còn lại (sau khi
đã lấy 2 người xếp vào ghế số 1 và số 12) để xếp vào ghế số 2
— Có 5 cách chọn 1 học sinh (trong số 5 học sinh còn lại không cùng
trường với học sinh ngồi ở ghế số 3) xếp vào ghế số 11
Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập được bao nhiêu số
n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau:
-_ Với mỗi cách xếp số 1 ta cần phải xếp 4 số của X \ {1} vào 4 vị trí còn lại, Mỗi cách xếp như vậy là 1 chỉnh hop chap 4 cia 7 phan tu,
số cách xếp 1a At
Vậy có A2 3 số hình thức thỏa yêu cầu để bai:
* Xót các số hình thức dạng aasa,as thỏa yêu cầu đề bài
~_ Úó 2 cách chọn vị trí để xếp số 1 vào (đó là xếp số 1 vào vị trí aạ hoặc aa)
— _ Với mỗi cách xếp sé 1 ta có AR cách xếp 3 số cla X \ {0, 1} vào 3
vị tri con lại
Va ay cé Ag 2 s6 hình thức dạng 0asaaaxaz thỏa yêu cầu để bài £ A3 9 at hi h hi a 2 n À XL
* Như vậy có À? 3- A¿ 2 = 2520 - 240 = 2280 số gồm 5 chữ số
khác nhau từng đôi lấy từ tập X mà một trong 3 chữ số đầu tiên
bằng 1,
18 TIBDVH, DHKHTN 99
1) Phía sau một bàn dài có ? chiếc ghế được đánh số liên tiếp từ !
lến 7, người ta muốn xếp 7 học sinh gồm 5 nam va 2 nif sao cho hai em nữ ngôi cạnh nhau Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy?
2) Tì một lớp học tó 14 học sinh trong đó có 10 em nam và 4 em nữ,
Người ta muận chia lớp thành hai tổ, mỗi tổ eó 5 nam và 2 nữ Hỏi
có bao nhiêu cách chia như vậy?
Trang 73) Có bao nhiêu số có ổ chữ số được chọn từ các chữ số thuộc |1, 2, 3,
4, ð, 6, 7, 8} sao cho các chữ số đôi một khác nhau, chữ số đầu tiên
phải là số 4 và chữ số cuối cùng phải là số chắn?
4) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số được chọn từ {1, 2, 3| sao cho chữ số
cuối cùng là chữ số lẻ, và chữ số 2 có mặt đúng hai lần?
Gidi,
1)
~ Giai doan 1: Xép hai em nit ngéi vao ghế (kể nhau)
Cé 6 cách xếp em nữ thứ nhất ngồi vào ghế và em nif thit 2 ngdi bén
phải em nữ thứ nhất, Mà em nữ thứ nhất và thứ hai có thể đổi chã cho
nhau Vì vậy có 2 x 6 = 12 cach xếp hai em nữ ngồi cạnh nhau
—_ Giai đoạn 2: Sau khi đã xếp hai em nif vao cho, cdn 5 chỗ để xếp 5
7 Có Ag cách chọn a,a;aa,, vi méi cach chọn a:a;asa, ứng với một
chỉnh hợp chập 4 của 6 phân tử thuộc Í1, 2, 3, 4, ð, 6, 7, 8} \ {as}
Vậy có 3 A$ 3 6.5.4.3 = 1080 số thoả yêu câu bài toán
4) Ta tìm các số dạng ayâasaaa,a;as |
~ Có 2 cách chon ag vi ag €{1,3}
~ Có CỆ cách chọn vi tr cho 3 chữ số 2 trong 5 vị trí còn lại
- C6 ?° cách thọn các chữ số 1 hoặc 3 trong 3 vị trí còn lại,
Vậy có 2f, C3 = 320 số thoả yêu cầu bài toán
19 ĐH Huế, 99 (Khối Ä)
Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bị trắng và 6 viên bí vàng Người
ta chọn ra 4 viên bị từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bị
ˆ * Số cách chon 4 bi trong 15 bila: Cf; = 1365 cách
* Các trường hợp chọn được 4 bi đủ cả 3 màu là:
Giải
1)
~ _ Xếp các phiếu 1, 2, 3, 5 thành hàng ngang:
Mối cách xếp là một hoán vị của 4 phần tử, do ảó c6 4! = 24 rách xẾp
~_ Với mỗi cách xếp 4 phiếu 1, 2, 3, 5 thành hàng ngang ta có hai cách xếp phiếu số 4 (xếp bên trái hoặc bên phải phiếu số 2)
Do đó có 244 2 = 48 cách xếp theo yêu cầu bài toán
Trang 8a ^? 2)
21 DH Hué, 99 (Khoi RT)
Người ta việt 0, 1, 2, 3, 4, ð lên các tấm phiếu, sau đó sắp thứ tự ngẫu
1) Có bao nhiêu số lẻ gầm 6 chữ số được sắp thành? - Chọn 2 bông cúc từ 4 bông có: (ý = 6 cách
2) Cá bao nhiêu số chăn gôm 6 chữ số B số được sắp thành? ắp thành? ~ Vậy có Cíy Cả C2 =45.15.6=4050 cách chọn đúng 2 bông
1) Xét mỗi cách sắp tạo thành số lề có 6 chữ số dạng 23, Dai hoc Sw pham Vinh, 1999
Một tổ sinh viên có 20 em, trong đó có 8 em chỉ biét tiéng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp và 5 em chỉ biết tiéng Dic Can lập một nhóm đi thực
tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức
® Vì a¿ €{1, đ, 5} nên có ở cách chọn ay, Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đi thực tế từ tổ sinh viên đó?
Giải
ñqaaaaaaazag Goi A= (0, 1, 2,3, 4, 5)
® Với mỗi cách chon a; có 4 cách chọn ai, vi a, €A\(0, ag!
- Chọn 3 em từ 8 em biết tiếng Anh: có Cỷ = 56 cách
w® Với môi cách chọn a1 và a6 có 4l cách chọn a;ayaa; (mỗi cách chọn
là một hoán vị của 4 phẩn tử thuộc A \ lay, ag!) ~ Chọn 4 em từ 7 em biết tiếng Pháp: có Cƒ = 35 cách
— Vậy có 56 35 10 = 19600 cách lập nhóm đi thực tế
24 Dai hoc dan lập Đông đô, 1999
2) Số có 6 chữ số khác nhau từng dồi lấy từ A dang
414743448596
Trên một mặt phẳng, 9 đường thẳng song song cắt 10 đường song
kể cả = 0 là 6! T00 Trong số 8 số các số có dang song khác thì tạo nên bao nhiêu hình bình hành trên mặt phẳnh đó?
Qaya3ayasag la 5! = 120
Vậy có 720 - 120 = 600 số có 6 chữ số, trong số đó có 288 số lẻ, do dé Mỗi hình bình hành tạo nên nhờ giao của hai đường thẳng của họ thứ
có 10 bông hông, bó thứ 2 có 6 bông thược dược và bó thứ 3 cé 4 bing ct ~ Chọn hai đường từ 9 dường thuộc họ thứ nhất: có Cộ cách
#
1) Hei người đó có bao nhiêu cách chọn ra 6 bông hoa tuỳ ý? - Chon hai đường từ 10 đường thuộc họ thứ 2: có Cy cách
2) Nếu người đó muốn chọn đúng 2 bông hông, 2 bông thược dược v - Vậy số hình bình hành được tạo thành là:
3 bông cúc thì người đó có bao nhiêu cách chọn?
C2 Cy = 36 45 = 1620 (hình),
90 phân tử Do đó số cách chọn là - Úó 5 miếng bìa, môi miếng ghi 1 trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Lấy 3
miếng bìa này rồi đặt cạnh nhau từ trái sang phải để được các số gồm 3
(8, = 38760 cách chữ số Hỏi eó thé lập được bao nhiêu số có nghĩa gầm 3 chữ số? Trong đó
có bao nhiêu số chắn?
Trang 9— Có ä cách chọn a; vì a;¿ e A \ (ai, a3}
Vay c6 2.2.3 = 12 s6 chan ma a, chan
26 Học viện Ngân Hàng, 1999
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại
là 2, 3, 4, 5, Hỏi có bao nhiêu sế như thế nếu:
1) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau 2) Các chữ số được xếp tùy ý,
Giai
1) Cach 1 Đặt a = 11111 Moi hoán vị của 5 phân tử a; 2; 3; 4; 5 cho ta một số thỏa mãn yêu cầu bài toán Do đó số các số eó 9 chữ số trong đó có 5 chữ
$ô 1 đừng kê nhau, các chữ số 2, 3, 4, 5 mỗi chữ số eó mặt một lần là P; = 5! = 120 số,
Aj =— = 3024 số 5!
Cách 2 Ta có thế lập các số có 9 chữ số thỏa yêu cầu bài toán theo hai giai đoạn
Trang 10Cách 3 Ta có thể lập các số có 9 chữ số thỏa yêu cầu bài toán theo
hai giai doạn
- Giai đoạn 1: Chọn 5 vị trí trong 9 vị trí để xếp 5 số 1; có C8 cách
- Giai đoạn 2: Xếp 4 số 9, 3, 4, 5 vào 4 vị trí: có 4! cách
- Kết luận có: Cỗ.4!= = = 3024 số
27 Đại học Hàng hải, 1999
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn học sinh A, B, Œ, D, E vào một chiếc
ghế dài sao cho
a) Ban ngồi chính giữa?
b) Hai ban A và E ngôi ở hai dau ghế?
Giải
a) Việc xếp bạn vào ghế có thể tiến hành theo hai giai đoạn như sau
® Giai đoạn 1: Xếp C vào ghế chính giữa: có 1 cách
* Giai đoạn 2: Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! cách
e Vậy có tất cả 4! = 24 cách xếp chỗ sao cho C ngôi chính giữa
Nhận xét Có thể bài toán tổng quát hơn như sau:
Có n học sinh trong đó có An Hỏi có bao nhiêu cách xếp n bạn đó
vào một chiếc ghế dài n chỗ sao cho An luôn luôn ngôi ở vị trí thứ k
(1<k«<n)?
b) Việc xếp 5 bạn vào ghế có thể tiến hành theo 2 giai đoạn như sau:
e Giai đoạn 1: Xếp A va E ngài ở hai đầu ghế: có 2 cách
* Giai đoạn 2; Xếp 3 bạn B, Œ, D vào 3 chỗ còn lại: có đ! cách
e Vậy có tất cả 2.6 = 12 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán
Để nghị học sinh hãy tổng quát bài toán này và giải nó,
98 Cao đẳng Giao thông vận tải, 1999
Cho 6 số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 4 chữ số
khác nhau Trong đó eó bao nhiêu số chia hết cho 5?
* Số ayasaaax chia hét cho 5 khi va chỉ khi a, = ð
Mỗi cách chọn aya¿a; ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 4 phân tử,
99, Cao dang Su pham Quang Ninh, 1999
Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Tìm tổng của các số gồm õ chữ số tạo bởi các hoán vị của 5 chữ số trên
1) Các học sinh ngôi tùy ý?
2) Cae hoc sinh nam ngôi 1 bàn và các học sinh nữ ngôi 1 bàn?
Giải 1) Xếp 10 học sinh vào 10 chỗ tương ứng với 1 hoán vị của 10 phần
tử Do đó số cách xếp là Pyy = 10! = 3628800 2) ® Xếp hai nhóm nam, nữ vào hai bàn; có 2 cách
® Xếp õ nam vào ð chỗ: có 5! cách
* Xép 5 nif vao 5 chỗ: có 5! cách
® Vậy có 2 ðl õ! = 28800 cách xếp
31 Dai hoc Sư phạm Vinh, 1999
Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao
nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và mỗi số đều không chia hết cho 10
Trang 11e Có G cách chọn ag € A \ fay, ag}
se Có 5 cách chọn aa e A \ (a), ao, ay]
Vậy có tất cả 7.6.6 5 = 1260 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
32 Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 1999
Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có thể lập được bao
nhiêu số gồm 6 chử số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt số
0 và số 1
Cách 1
Việc lập số có 6 chữ số có thể tiến hành theo các giai đoạn sau:
« Giai doạn 1; Xếp số 0 vào 1 trong 5 vị trí (trừ vị trí đầu tiên): có 5
cách Xếp
e Giải doạn 2: Xếp số 1 vào 1 trong 5 vị trí còn lại: có ð cách xếp,
+ Giai đoạn 3: Chọn 4 số thuộc {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] xếp vào 4 vị trí
- Với mỗi cách xếp số 1 ta chọn 5 số thuộc {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8Ì và xếp
vào ð vị trí còn lại: có AR cach
- Vay c6 6.A3 =6.6720=40320 số có 6 chữ số khác nhau chứa 1 và
không chứa 0
* Số các số có 6 chữ số khác nhau chứa 0 mà không chứa 1
~ Xếp số 0 vào 1 trong 5 vị trí (trừ vị trí đầu tiên): có 5 cách xếp
~ Với một cách xếp số 0 ta lấy 5 số thuộc (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] xếp
vào 5 vi trí còn lại: có AR cach
~ Vay c6 5.A2 = 33600 s6 chia 0 ma khong chtia 1
* Số các số có 6 chữ số khác nhau không chứa 0 và không chứa 1 là
A§ = 20160
* Kết luận: Số các số có 6 chữ số khác nhau mà trong đó có mặt số 0
và số 1 là:
186080 —- (40320 + 33600 + 20160) = 136080 - 94080 = 42000
Đề nghị đọc giả tìm chỗ sai trong lời giải bài 32 như sau:
* Số các số có 6 chữ số khác nhau từng đôi là: 9A5 =136080
* Số các số có 6 chữ số khác nhau từng đôi và đều khác 0 là
1) Gọi số thỏa mãn yêu cẩu bài toán là aasaaa,asas
~ C6 5 cach chon a, vi a; ¢€ {1, 3, 5, 7, 9}
- Với mỗi cách chon a; c6 5 céch chon ag vi ag € {0, 2, 4, 6, 8)
- Với mỗi cách chon a; va ag c6 Ag cAch chon ayagayas
Vậy số các số thỏa mãn yêu câu bài toán là:
5.5A§ = 42000
2) Cach 1
* Ta tính các số hình thức dạng ayasaaa,a;ae gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi trong đó có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ, chữ số đầu tién a,
- Có C2 cách lấy 2 chữ số chẩn trong 4 chữ số chẵn khác 0
- Có Cả cách lấy 3 chữ số lẻ trong 5 chữ số lẻ
Vậy có C2.C? cách lấy ra hai chữ số chẩn khác 0 và 3 chữ số lẻ