Có bao nhiêu số tự nhiên được viết trong hệ đếm thập phân gồm năm chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau?. Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm ba chữ số khác nhau từ 5 s
Trang 1I.THÀNH LẬP SỐ TỪ CÁC SỐ CHO TRƯỚC
1) Các chữ số đôi một khác nhau
Bail
(ĐH An ninh, 1997) Từ bây chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có năm chữ số
khác nhau
Giải
* Chữ số hàng đơn vị là 0 ¬ có 1.6.5.4.3= A¿ số
Chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 4, hoặc 6 — có 3 cách chọn chữ
số hàng đơn vị, 5 cách chọn chữ số hàng vạn (khác 0), vậy có
3.5,5.4.3 = 3,5 A2 số,
Tất cả có A‡ + 3.5 A$ = 1260 số
Bài 2
(ĐH Huế, 1997) Có bao nhiêu số tự nhiên (được
viết trong hệ đếm thập phân) gồm năm chữ số mà các chữ số
đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau? Tính tổng của tất cả các số
tự nhiên nói trên
Giải
Mỗi số ứng với một hoán vị của năm m phần tử 5, 6, 7, 8, 9
Vậy có P; = 1.2.3.4.5 = 120 số
Sự xuất hiện của mỗi chữ số 5, 6, 7, 8, 9 ở mỗi hàng, (đơn vị,
chục, trăm, ) là như nhau, nên tổng các chữ số ở hàng đơn vị
của 120 số nêu trên là:
(5+6+7+81+9)—— =¬ = 840
Suy ra tổng của 120 số là
840.(1.10° + 1.10! + 1.10? + 1.10? + 1.109 = 840.11111
= 9333240, Bài 3
(ĐH Quốc gia Hà Nội, 1997) Có 100.000 chiếc vé
xổ số được đánh số từ 00.000 đến 99.999, Hỏi số các vé gồm năm
chữ số khác nhau là bao nhiêu?
Giải
Theo đầu bài thì chữ số hàng chục nghìn cũng có thể bằng
0 Suy ra có 10.9.8.7.6 = Aja= 30240 vé gầm năm chữ số khác
nhau
Bài 4
(ĐH Thái Nguyên, 1997) Cho các số 1, 9, 5, 7, 8
Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm ba chữ số khác nhau từ 5
số trên sao cho;
a) Số tạo thành là một số chan
b) Số tạo thành không có chữ số 7
e) Số tạo thành nhỏ hơn 278
Giải
a) Có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có 24.3 = 2 At =
sé chan
b) Chỉ được chọn trong 4 số, vậy có 4.3.2 =A3 = 34 số không
c) Chữ số hàng trăm là 1 hoặc 2: Nếu là 1 thì có 4.3 = A? =
12 số, nếu là 2 thì chỉ có đúng 8 số (275, 271, 258, 257, 251, 218,
217, 215) nhỏ hơn 278 Vậy có 20 số nhỏ hơn 278,
Bài 5
ĐH Y Hà Nội, 1997) Cho mười chữ số 0, 1, 9,
Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau, nhỏ hơn 600000 shy dựng từ 10 chữ số đã cho
Giải
* Chữ số hàng đơn vị (chữ số đầu tiên bên phải) được chọn từ
1, 3, 5, 7, 9, Chữ số đầu tiên bên trái được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 Bốn chữ số ở giữa có Ag # 8.7.6.5 = 1680 cách chọn
Nếu chữ số hàng đơn vị là 7 hoặc 9 (2 cách chọn) thì chữ số
đầu tiên bên trái có 5 cách chọn, vậy có 23.5.1680 = 16800 cách
chọn
Nếu chữ số hàng đơn vị là 1 hoặc 3 hoặc 5 (3 cách chọn) thì
chữ số đầu tiên bên trái chỉ còn 4 cách chọn, vậy có 3.4.1680 =
20160 cách chọn
Tóm lại có 16800 + 20160 = 36960 số thỏa mãn đầu bài Bài 6
(ĐH Lâm nghiệp, 1997) Cho các chữ số 0, 2, 4; ð, 6,
8, 9)
1 Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số mà trong mỗi số các chữ số khác nhau
2 Có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong
đó nhất thiết có mặt chữ số 5
Giải
* 1, Chữ số hàng trăm phải khác 0, nên có 6 cách chọn Hai
chữ số còn lại có 6.5 = Ai = 30 cách chọn Vậy có 180 số
2 Chữ số hàng nghìn phải khác 0, nếu là 5 thì ba chữ số còn lại có 6.5.4= Aš = 120 cách chọn -> 120 số!
Nếu chữ số hàng nghìn là 2 hoặc 4, 6, 8, 9 (ö cách chọn) thì trong ba chữ số còn lại phải có một số là 5 (1 cách chọn duy nhất), và hai số kia có 5.4 = A? = 20 cach chon Vay c6 5.1.20 =
100 số Tổng cộng có 120 + 100 = 220 sé
Bài 7
(Cao đẳng Sư phạm TP HCM, 1997) Cho các chữ
số 0, 1, 9, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu:
1 Số chin gồm 4 chữ ữ số khác nhau
2 Số chia hết cho 5 gầm 3 chữ số khác nhau:
Giải 1 Số chẵn tận cùng là 0 có 5.4.3= Aš = 60 số,
Số chẵn tận cùng là 2 hoặc 4 thì chữ số hàng nghìn phải
khác 0, nên có 2.4 AG = 2.4.4.3 = 96 số Vậy có 60 + 96 =156 số
chan.
Trang 22 Số chia hết cho 5 phải tận cùng là 0 hoặc 5 Nếu tận cùng
là 0 88 06 5.4= AZ = 20 số Nếu tận cùng là 5 thì vì chữ số hàng
trăm khác 0 nên có 4.4 = 16 số Vậy có 20 + 16 = 36 số chia hết
cho 5
Bai 8
(DH Su pham Vinh, 1999) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7 Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số
gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau và không chia hết cho 10
Giải
Chữ số hàng nghìn và hang đơn vị đều phải khác không
hên có 7.6 cách chọn Hai thữ số hàng trăm và hàng chục sẽ có
6.5 cach chon Vay 7.6.6.5 = 1260 số thỏa mãn đầu bài
Bài9
(ĐH Quếc gia TP.HCM, 2000)
1 Có bao nhiêu sé chin gồm 6 chữ số khác nhau đôi một
trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ?
2 Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó
có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải
khác 0}?
Giải
* 1, Chữ số đầu tiên là số lẻ nên có 5 cách chọn, chữ số cuối
cùng là chan nên có 5 cách chọn, khi đó 4 chữ số đứng giữa có
Aš cách chọn, vậy có 25 A4 = 42000 số,
2 Từ ö chữ số lẻ chọn ra 3 số có Cỷ cách, cũng như vậy đối
_ với chữ số chắn Với 6 chữ số đã chọn có Pạ = 6! hoán vị, trong đó
số các số có chữ số 0 đứng đầu tiên chiếm + Vậy có
¬-.UỆ.Ệ.6! = 64800 số
Bài 10
(DH Su pham Vinh, 2000) Tìm tất cả các số tự
nhiên có đúng õ chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau
lớn hơn chữ số đứng lần trước
Giải
* Chữ số đầu tiên bên trái phải khác 0, vì nó là nhỏ nhất nên
chỉ xét 9 chữ số từ 1 đến 9 Rõ ràng các chữ số phải khác nhau
nên nếu lấy ö chữ số bất kỳ sẽ tạo được 1 số (theo thứ tự tăng
"¬ ý : ˆ à \ sài , nó 98.765 — 9.8.7,6.5
dần) Vậy số các số tự nhiên cần tìm là Cỗ= 19345 “126
(Viện Đại học Mở Hà Nội, 2000) Cho bốn chữ số 1,
2, 3,4
a) Có thể lập được bao nhiêu số hàng nghìn gồm 4 chữ số
khác nhau từ bốn chữ số đó
b) Tính tổng các số tìm được ở câu a)
lãi
a) Cé P, = 1.3.3.4 = 24 số
b) Nhận thấy 24 số ở câu a) gồm 12 cặp số mà tổng mỗi cặp
là 5555 (chẳng hạn 1234 và 4321) Vậy tổng phải tìm là
12.5555 = 66660
Bài 12
(Học viện Quốc tế, 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 thiết lập tất cả các số có chín chữ số khác nhau Hỏi
trong các số đó có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính
giữa
Giải
* Số hoán vị của 9 phần tử là 9! Số 9 là bình đẳng như các
chữ số khác nên cac 6 c6 9 6 vi tri chinh giita la‘ = 8! = 40320
Bai 13
(DH Quốc gia TP.HCM, 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên khác 0) trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1
Giải
* Khi chữ số 0 ở hàng đơn vi, 5 vị trí còn lại được chọn từ 8 chữ số 9, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có 8.7.6.5.4= Ag = 6720 cach chon Chi
số 0 có thể đứng ở ð vị trí (vì chữ số đầu tiên khác 0) nên có
5 Aš = 33600 số thỏa mãn đầu bài
(ĐH §ư phạm Hà Nội 2, 2001) Tính tổng các số tự
nhiên gồm ð chữ số khác nhau đôi một được thành lập từ 6 chữ
số 1, 3, 4, 5, 7, 8
* Mỗi số ứng với một chỉnh hợp chập ð của sáu phần tử đã
cho Vậy có A® = 6.5.4.3.2 = T20 số, Mỗi một trong các chữ số đã cho có số lần xuất hiện ở hàng đơn vị là như nhau và là a = 120 Suy ra tổng các chữ số hàng đơn vị của 720 số đang xét là 120.(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8) = 3360
Đó cũng là tổng các chữ số ở mỗi hàng chục, trăm, nghin
nên tổng của 720 đang xét là 3360 (1 + 10 + 10? + 1022102109
Bài 15
(ĐH Ngoại thương cơ sở ÏI - TP.HCM, 2001) Từ
caé chit sé 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác nhau Hỏi trong các số thiết lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau
Giải
* Vì có sáu vị trí nên nếu số 1 đứng trước thì có 5 trường hợp
số 6 đứng ngay sau Cũng có ð trường hợp số 1 đứng ngay sau sé
6 Trong mỗi trường hợp, bốn vị trí còn lại có 4.3.3.1 = P, cách chọn Vậy có (5 + 5).P, = 240 số mà 6 và 1 đứng cạnh nhau Có tất cả P¿ = 6! = 720 số có sáu chữ số Suy ra số các số thỏa mãn
đầu bài là 720 - 240 = 480.
Trang 32) Các chữ số có thể trùng nhau
Bai 16
(ĐH Quốc gia TP.HCM, 1998) Xét dãy số gồm 7
chữ số (mỗi chữ số được chọn từ các số 0, 1, 2, , 8, 9) thỏa mãn
các tính chất sau:
- Chữ số ở vị trí thứ 3 là một số chẵn
~ Chữ số ở vị trí cuối không chia hết cho 5
- Các chữ số ở vị trí thứ 4, thứ 5 và thứ 6 đôi một khác nhau
Hỏi có tất cả bao nhiêu dãy số như vậy (có giải thích)?
Giải
* Xét day s6 (a, ay, as, ay as, a;, ay) thỏa mãn các yêu cầu
của đầu bài
Vì a; chắn nên có õ cách chọn (0, 2, 4, 6, 8)
Vì a; không chia hết cho 5 nên có 8 cách chọn (1, 2, 3, 4, 5, 6,
Vì a„ a;, a; đối một khác nhau nên có Ad, cach chon
Vì ay, a; tùy ý nên mỗi số có 10 cách chọn
Vay c6 5.8.A3).10.10 = 5.8.(10.9.8).10.10 = 2880000 dây số
thỏa mãn đầu bài
Bài 17
(ĐH Sư phạm Vinh, 1998) Viết các số có sáu chữ
số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 (một chữ số xuất hiện hai lần, các
chữ số còn lại xuất hiện một lần) Có bao nhiêu cách viết
Giải
* Giả sử chữ số 1 được viết 2 lần —> có Cá =1 2” cách chọn
vị trí để viết Bốn vị trí còn lại được viết các chữ số 2, 3, 4, 5 —>
có P, = 1.2.3.4 cách viết Vậy có Cá.P, cách viết có hai chữ số 1
Vì vai trò 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, là như nhau nên có 5 Cễ.P, =
1800 cách viết
Bài 18
(ĐH Xây dựng, 1998) Có bao nhiêu số tự nhiên
khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành ð chữ số 0, 1, 2, 3, 4
Giải
* Số có 1 chữ số: có 5 số (0, 1, 9, 3, 4)
Số có 2 chữ số: số có hàng chục khác 0 — có 4.5 = 20 số
Số có 3 chữ số: số hàng trăm khác 0 > cé 4.5.5 = 100 số
Số có 4 chữ số: số hàng nghìn khác 0 -› có 4.5.5.5 = 500 số
Không thể có hơn 4 chữ số nhỏ hơn 10000 Vậy có
5 +20 + 100 + 500 = 625 sé ,
Bài 19
(ĐH Sư phạm Vinh, 2000) Có bao nhiêu số khác
nhau gồm bảy chữ số sao cho tông các chữ số của mỗi số là một
* Chữ số đầu tiên bên trái khác 0 nên có 9 cách chọn, xét 5 chữ số tiếp theo mỗi số có 10 cách chọn, riêng chữ số hàng đơn
vị cũng có 10 cách chọn nhưng chỉ có 5 cách cho tổng các chữ số
thỏa mãn đầu bai (chan) Vay c6 9,10°.5 = 4500000 sé
Bai 20
@H Sư phạm Hà Nội 2, 2000) Có thể lập được bao
nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần còn các chữ số khác có mặt 1 lần
Bài 21
* 8ố hoán vị của 8 phần tử là P; = 8! tức là có 8! số Nhưng trong đó có các số trùng nhau vì khi bị đối chỗ 2 chữ số 1 vẫn chỉ
là 1 số, đổi chố 2 chữ số 6 vẫn chỉ được cùng 1 số, Vậy có
1 9-9 -8:= 10080 sé 1 g! _ nw
Bai 22
(ĐH Thái Nguyên, 2000) Có bao nhiêu số gồm 5
chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ?
lãi
* Chọn các chữ số lần lượt từ trái (hàng chục nghìn) đến
phải (hàng đơn vị): chữ số thứ nhất phải khác 0 nên có 9 cách
chọn, chữ số thứ hai có 10 cách, chữ số thứ ba có 10 cách, chữ số
thứ tư có 10 cách, chữ số thứ năm có 10 cách nhưng sẽ có 5 cách
cho tông cả ð chữ số của số viết ra là lẻ, 5 cách cho tổng là chẵn Vậy để thỏa mãn đầu bài có 9.10.10.10.5 = 45000 số
Bài 23
(ĐH Thái Nguyên, 2000) Từ ba chữ số 1, 2 và 3 có
thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có
mat du 3 chữ số trên?
Giải
* Dé tao được số có 5 chữ số bắt buộc có mặt 3 chữ số 1, 9, 3, ngoài ra lấy thêm 2 chữ số nữa (trong các chữ số 1, 2, 3)
THỊ: 2 chữ số lấy thêm giống nhau, giả sử lấy thêm hai số 1 Coi 5 chữ số là khác nhau đôi một, có 5! hoán vị nên có B† số, Nhưng trong đó có các số giống nhau do hoán vị của 3 số 1 Vậy
, , BỊ wie ae
chỉ có “ai” = 20 86 (có chứa 3 số 1) Suy ra có 60 số thuộc THỊ
Bài 24 TH2: 2 chữ số lấy thêm khác nhau, giả sử lấy thêm 2 và 3 Lập luận tương tự THỊ: có ð! số nhưng có những số giống hệt
nhau do các hoán vị của 2 số 2 hoặc 2 số 3 Vậy 6 roy = 30 số (mỗi số có chứa 1 số ])
Suy ra có 3.30 = 90 số thuộc TH2
Tóm lại có 60 + 90 = 150 số thỏa mãn đầu bài
Ghi nhớ: Số các số gồm k chữ số, mà chữ số a có mat k, lan,
a, có mặt k; lần, a„ có mặt k„ lần là TK MT
Trang 4(ĐH Huế, 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4
chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần
Giải
* Có 9000 số tự nhiên có 4 chữ số từ 1000 đến 9999 Trong
đó 9 số có 3 chữ số 0 là a000, 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số có 3 chữ số 1
là b111, 1a11, 11a1, 111a với b nhận 8 giá trị (khác 0, khác 1),
a nhận 9 giá trị khác 1 Tương tự có 3ð số có 3 chữ số 2, 35 số có
3 chữ số 3, 35 số có 3 chữ số 9 Vậy có 9000 - (9 + 35.9) = 8676
Bai 26
(DH Quéc gia TP.HCM, 2001) Cé bao nhiéu số tự
nhiên gồm 7 chữ số (chữ số đầu tiên khác 0), biết rằng chữ số 2
có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số
còn lại có mặt không quá một lần
Giải
* Xếp chữ số 2 vào hai trong 7 vị trí có C? cách Xếp chữ số 3
vào 3 trong 5 vị trí còn lại có C cách Xếp hai chữ số trong tám
chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào 2 vị trí, có 8.7 = A? cach Nhu vay
có C.C 1.8 = SiR i 7.8 = 11760 số Cân phải loại đi các
số bất đầu bằng chữ số 0 trong 11760 số nêu trên Lập luận
Bài 27
tương tự cho 6 vị trí: Có Cả cách xếp chữ số 9 vào 2 vị trí, C
cách xếp chữ số 3 vào ba vị trí, 7 cách xếp vị trí còn lại
(chọn một trong các chữ số 1, 4, ð, 6, 7, 8, 9) Vậy phải loại bỏ
Cá.Cả.7 = 420 số, nên số các số thỏa mãn đầu bài là 11760 -
420 = 11340
II BÀI TOÁN CHỌN
Bài 28
thang song song d, và dạ Trên d, lấy 17 điểm phân biệt, trên dạ
lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm
trong số 37 điểm đã chọn trên d, và dụ
* Giả sử 37 điểm đã cho không có 3 điểm nào thẳng hàng —>
số tam giác tạo được là Cšy Nhưng qua 17 điểm trên d, không
tạo được tam giác nào lại kể là Cỷ,tam giác, 20 điểm trên d;
cũng coi là tạo được C3, tam giác Vậy số tam giác thực sự có
được là:
1 C37 — C29 — Cty =p 9 -(87.36.35 - 20.19.18 - 17.16.15)
= 5950
Bai 29
(DH Thai Nguyén, 1997) Mét lép hoc cé 40 ha
sinh gồm 25 nam và 15 nữ Cần chọn một nhóm gồm 3 học sinh
Hỏi có bao nhiêu cách:
a) Chọn 3 học sinh bất kỳ
b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ
c) Chon 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam
* ạ) Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 40, vậy có
ng _ 40.39.38 |
| Co = 123 = 9880 cach chon
15.14
b) Có Cặ; cách chọn 1 nam va Cc, =12 = 105 cach chon
2 nữ Theo qui tắc nhân có 25.105 = 2625 cach chon
15.14.13 1.2.3
câu a) có 9880 cách chọn 3 học sinh bất kỳ Suy ra số cách chọn
có ít nhất 1 học sinh nam là 9880 - 455 = 9425
Bài 30
(Học viện khoa học quân sự, 1997) Có 10 câu hỏi
gêm 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập để cấu tạo thành một đề
thi gồm 3 câu có cả lý thuyết và bài tập Hỏi có bao nhiêu khả năng cấu tạo đề thi
Giải
* Chon dé thi có 1 câu lý thuyết và 2 câu bài tập có C{ + C§ =
1+ 15= 16 cach
Chon dé thi có 2 câu lý thuyết và 1 câu bài tập có
c) Có Cũ = = 455 cach chon 3 hoc sinh nti Theo
C2 + Ch =6+6= 12 cach
Vậy có 16 + 12 = 28 khả năng cấu tạo đề thi
Bài 31
(ĐH Kiến trúc Hà Nội, 1998) Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kĩ
sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác
eo?e
lal
* Có 3 = Cả cách chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 10 = Ca cách
chọn 1 công nhân làm tổ phó Với mỗi cách chọn tổ trưởng, tổ phó có C cách chọn ð công nhân tổ viên Vậy có
3.10 C8 = 3.10 1.2.3.4.5 = 3780 cach lap té cing tac Bai 32
(ĐH Quốc gia TP.HCM, 1998) Một da giac 16i n
cạnh thì có bao nhiêu đường chéo?
eo?e
lal
* Vì là đa giác lỗi nên không có 3 đỉnh nào thẳng hàng Qua
n đỉnh đó kẻ được Cý đường thẳng phân biệt chứa các cạnh và
đường chéo Do có n cạnh nên số đường chéo là
C2 _ _ nín - l) _ nín-ä)
Bài 33
(ĐH Huế, 1999) Một hộp đựng 4 viên bị đó, 5 viên
bị trắng và 6 viên bi vàng Chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có
bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không có đủ ba màu Giải
Trang 5* Xét khả năng có đủ ba màu:
Có 2 đỏ, 1 trắng, 1 vàng: C2.Có C =1 2 õ.6= 180 cách Go
C6 1 dé, 2 trắng, 1 vàng: CÌ Cả.Cả =4 12 6= 240 cách
Có 1 đỏ, 1 trắng, 2 vàng: C2 Cf C= 4.5.75 = 300 cách 1.2
Vi 6 C4, = 1365 cach chon 4 vién bat ky trong hép nén sé
cách chọn để lấy ra 4 viên không đủ ba màu là
1365 — (180 + 240 + 300) = 645
Bài 34
(ĐH Cảnh sát nhân dân, 1999), Cho tam giác ABC
Xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng
song song với BÉ và 6 đường thẳng song song với CA, Hỏi các
đường thẳng này tạo được bao nhiêu tam giác và bao nhiêu hình
thang (không kể hình bình hành)
Giải
* Mỗi tam giác được tạo bởi 3 đường thẳng thuộc 3 họ khác
nhau, vậy có 4.B.6 = C¡ C¿.C¿ = 120 tam giác
Mỗi hình thang được tạo bởi 2 đường của cùng một họ, 2
đường kia thuộc 2 họ còn lại, vậy có
C2.Cả Cả +C¡.C Cạ + C¡.C¿ Cả = 720 hình thang
Bài 35
(ĐH Sư phạm Hà Nội 2, 1999) Một trường tiểu học
có B0 học sinh đạt danh hiệu chấu ngoan Bác Hễ (trong đó có 4
cặp anh em sinh đôi) Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số
50 hoc sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong
nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?
Giải
* Để chọn 3 học sinh bất kỳ trong 50 học sinh có
; _ð0.49.48 „
B0— 1.2.3 cacn
Có 48 cách chọn 1 học sinh để ghép cùng hai anh em sinh
đôi Á và A' để tạo nên nhóm 3 học sinh trong đó có A, A' Suy ra
số nhóm ä người có 2 anh em sinh đôi nào đó là 48.4 = 192 Vậy
số nhóm 3 người không có cặp sinh đôi nào là Cšo~192 = 19408
Bài 36
(DH Sư phạm Vinh, 1999) Một tổ sinh viên có 20
em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp
va 5 em chi biết tiếng Đức Cần lập một nhóm ởi thực tế gồm 3
em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức
Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đi thực tế từ tổ sinh viên ấy
Kết quả
8.7.6 7.6.5
* (6 C3.C7.C2 “123'12341 a we nn >
= 19600 cách
~ =
(Học viện kĩ thuật quân sự, 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm
vụ ở địa điểm Á, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực
tại đến Hỏi có bao nhiêu cách phân công
Giải
+ Củ 3 người làm nhiệm ở địa điểm A có Cả cách Cử 2 người (trong 6 người còn lại) có C2 cach al con lai la 4 sé
9.8
thưởng trực ở đồn Vậy có Cá £ = 12 7 22
Bai 38
an = 1260 cach
(DH Hué, 2000) Một lớp học có 30 học sinh nam và
1ỗ học sinh nữ Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau:
1 Nếu phải có ít nhất 2 nữ?
2 Nếu chọn tùy ý?
Giải
45,44.43.42.41.40
* 9 Nếu chọn tùy ý thì có C?.= 199456
8145060 cach
1 Chon 6 hge sinh, khéng c6 nit: C8, cach
Chon 6 hoc sinh trong đó có đúng 1 nữ: 15 Cậu cách
Suy ra chọn 6 học sinh trong đó có ít nhất 2 nữ có
C8_ (C8, + 15 Cỗa) = 8145060 - 2731365 = 5413695 cach Bai 39
(ĐH Thái Nguyên, 2000) Một đội văn nghệ có 20
người gồm 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho:
a) Có đúng 2 nam trong õ người đó
-_ b) Øó ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó
Giải
* a) Chọn 2 nam và 3 nữ sẽ có C?y Cịn = 5400 cách
b) chọn 3 nam và 2 nữ sẽ có Cn Cín = 5400 cách
Chọn 4 nam và 1 nữ sẽ có C{a C]y= 2100 cách
Vậy muốn chọn 5 người có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ (tức
là có 2 hoặc 3 hoặc 4 nam) có:
5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách
Bai 40
(DH Can Tho, 2000) Có 9 viên bi xanh, 5 vién bi
dé, 4 viên bị vàng có kích thước đôi một khác nhau
1 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bị, trong đó có đúng 2
viên bị đỏ
2 Gó bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bì xanh
bằng số bi đỏ
Giải
Trang 6*1, Chọn 2 bi đỏ có Cỷ cách, chon 4 bi trong số 9 + 4 = 13 bi
5.4 18.12.11.10 xanh hoặc vàng có: ch, cách, vậy có Cá CH, =12° 1234
= 7150 cach
2 Chọn 3 trong 9 bi xanh, 3 trong 5 bi đỏ có
9.8.7 5.4.3
C3.C3 =To3- 793 = 840 cách
Bai 41
(ĐH Quốc gia TP.HCM, 2000) Thầy giáo có 12
cuốn sách đôi một khác nhau gồm 5 cuốn văn học, 4 cuốn âm
nhạc và 3 cuốn hội họa Ông lấy ra 6 cuốn để tặng 6 học sinh A,
B, C,D, E, F mỗi em một cuốn
1 Có bao nhiêu cách nếu thầy chỉ muốn tặng sách văn học
và âm nhạc
9 Có bao nhiêu cách để sau khi tặng, thầy vẫn còn ít nhất 1
cuốn văn học, ít nhất 1 cuốn âm nhạc và ít nhất 1 cuốn hội họa
Giải
* 1, 6 học sinh được nhận 6 trong 9 cuốn sách (văn học và
âm nhạc), vậy có 9.8.7.6.5.4 = 60480 cach
2 Thay giữ lại mỗi thể loại một cuốn, 6 học sinh được nhận 6
cuốn từ 9 cuốn, vậy có 9.8.7.6.5.4 = 60480 cách
Bài 42
(Học viện Kĩ thuật quân sự, 2001) Trong số 16 học
sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách
chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho mỗi tổ
đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá
Giải
* Cần tìm số cách chọn 8 học sinh có 1 hoặc 2 giỏi, 2 hoặc 3
khá, còn lại là trung bình (từ 3 giỏi, 5 khá, 8 trung bình):
se 1 giỏi, 2 khá, 5 trung bình: C}.Cƒ.Cặ= 3.10.56 = 1680
cách
® 1 giỏi, 3 khá, 4 trung bình: Cả.Cỷ.Cá =3.10.70 = 2100
cách +
®© 2 giỏi, 2 khá, 4 trung binh: C2.C?.C§= 3.10.70 = 2100
cách
e 2 giỏi, 3 khá, 3 trung bình: Cï.Cš Cš= 3.10.56 = 1680
cách
Vậy có (1680 + 2100).2 = 7560 cách
Bài 43
(ĐH Ngoại thương, 2001) Trên mặt phẳng cho
hình 10 cạnh lỗi A;A; À¡ạ Xét các tam giác có 3 đỉnh của nó là
3 đỉnh của hình 10 cạnh lôi Hỏi trong số tam giác đó có bao
nhiêu tam giác mà cả ä cạnh của nó đều không phải là cạnh của
hình 10 cạnh lồi
* Có tất cả Của = “loa = 120 tam giác Trong đó có 10,6 =
60 tam giác chứa đúng một cạnh của hình 10 cạnh (6 tam giác chứa cạnh Á,Ä;, 6 tam giác cạnh AjA,) va 10 tam giác chứa đúng 2 cạnh của hình 10 cạnh Vậy có 120 - 60 - 10 = 50 tam
giác thỏa mãn đầu bài
Bài 44
(Học viện Kĩ thuật quân sự, 1998) Có n học sinh
nam và n học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp để không có hai học sinh cùng giới ngôi cạnh nhau
Giải
* Đánh số các ghế từ 1 tới 2n Nếu nam ngôi ghế lẻ, nữ ngồi ghế chẵn sẽ có È, = n! cách xếp cho nam, P, cách xếp cho nữ,
vậy có (n}? cách xếp Đối lại nam ngồi ghế chẵn, nữ ngôi ghế lẻ cũng có (n!)? cách xếp Tổng cộng có 2.(n!)? cách xếp
Bài 45
(ĐH Cần Thơ, 1999) Xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ vào hai bàn, mỗi bàn có ð ghế Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi, nếu:
1 Các học sinh ngồi tùy ý
2 Cac học sinh nam ngồi 1 bàn, các học sinh nữ ngồi 1 bàn
Giải
* 1, Œó Pạ;= 10! cách xếp các học sinh ngôi tùy ý
9 Có P¿ = 5! cách xếp 5 học sinh nam vào ban A, 5! cách xếp
5 học sinh nữ vào bàn B -› có (ð!) cách xếp Nếu nam ngôi bàn
B, nữ ngôi bàn Á cũng có (5)? cách xếp
Vậy có 2.(5? = 28800 cách xếp
Bai 46
(ĐH Hàng hải TP.HCM, 1999) Có bao nhiều cách
xép nam hoc sinh A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho:
a) C ngồi ở chính giữa
b) A va E ngôi ở hai đầu ghế
Giải
* a) C ngỗi chính giữa, 4 người còn lại đối chỗ cho nhau nên
c6 Py = 4! = 4.3.2.1 = 24 cach xếp
b) A và E có 2 cách ngồi ở 2 đầu ghế, 3 người còn lại đổi chỗ
cho nhau, vậy có 2.Pa = 2.(1.2.3) = 12 cách
Nếu yêu cầu thỏa mãn cùng lúc cả 2 điều kiện a) và b) thì có
1.2.2 = 4 cách
Bài 47
(ĐH Luật Hà Nội, 1999) Một đoàn tàu có 3 toa chở
khách là toa I, toa II, toa HI Trên sân ga có 4 hành khách
chuẩn bị đi tàu Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa tàu đó
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên
Giải
Trang 7* a) Ca 4 khách lên toa Ï, có 1 cách
Có 3 khách lên toa I, khách thứ 4 lên toa IÍ hoặc III, có C
cách,
Có,2 khách lên toa I, Cả cách, 2 khách còn lại có 4 cách chọn
lựa (cùng lên 1 toa II hoặc II, mỗi người lên một toa II hoặc
II), vậy có 4.2 cách
Vì có 4 khách lên 3 toa tàu nên ít nhất có 1 toa có 2
khách trở lên Giá sử đó là toa J Lap luận trên cho thấy có
(1+ CỶ + 4,02).3 = 99 cách (do vai trò các toa như nhau)
Bài 48
(DH Cần Thơ, 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh:
7 nam va 3 nữ Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên
thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng liền nhau
Giải
* Đánh số các vị trí từ 1 đến 10 Có 4 trường hợp các học
sinh nam đứng liền nhau (từ 1 đến 7, từ 2 đến 8, từ 3 đến 9, từ 4
đến 10) Trong mỗi trường hợp, 3 nữ sinh có 3! cách hoán vị,
7 nam sinh có 7! cách hoán vị Vậy có 4.3!.7! = 120960 cách sắp
Xếp
Ill CAC BAI TOAN VE NHI THUC NEWTON
Bai 49
(Học viện Kĩ thuật quân sự, 1997) Đa thức
P(x) = (1 + x) + 2(1 +x)? + 3(1 + x)” + + 20(1 + x}” được viết lại
dưới dạng P(x) = ay † a,.X + a;.X” + + aạ.X”, Tìm ay,,
Giải
* Hệ số của x là
ai; = 1.CHẾ + 16.015 +17.015 +18.Clỗ +19,G15 +20.G1ỗ
= 15.C}5 +16 Cl, +17 Cổ; +18 Cả: +19 C4 + 20 Gỗ
15 + 16.16 17.55" +18 1va +1 lạng
20,19.18.17.16 _
Bài 50
(ĐH Kinh tế quốc dân, 1997) Tìm số hạng không
12
chứa x trong khai triển Niutơn của (x + 4]
Giải
12
Theo dau bai thi 0 = 12 - 2k o k = 6, vậy số hạng không
12.11.10.9.8.7
2 orgs ^ 6 0 _ ——————— -
chứa x phải tìm là CJạ.x =” 12a re = 924
Bài 51
(ĐH Đà Lạt, 1999) Tính hệ số của x”.y!° trong
khai triển (x) + xy)!5
* Theo khai triển Niu tơn (x? + xy) = + O1 001⁄(6y)#Y+ = + Oh eye
Theo giả thiết thì 25 = 2k + 15, 10 = 15 - k — k = ð —> hệ số
cha xy" 1a C2, = sro! = 3003
Bai 51
(ĐH §ư phạm Hà Nội, 2000) Biết tổng các hệ số của khai triển nhị thức (x2 + 1)" bằng 1094, hãy tìm hệ số a (a là
số tự nhiên) của số hạng ax” trong khai triển đó
Giải
n
n
*@? 4 P= VP Ch Thay x = 1 duge 1024 = )°Ch =
(17+ 1)P= 2",
Vay n = 10 Số hang ax” ứng với 12 = 2k © k = 6 nên
a = Cổn = 210
Bài 52
(ĐH Sư phạm Hà Nội, 2000) Trong khai triển nhị
thức (x¥x + x 5/18)" hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết
rang C2 + C214 C2? '= 79 (1), Giải
*ĐK:n-2>0<+>n>2
q)-+1+n+Ð~9 = 79 —>n = 12, loạin =- 13< 2
= + Ok, xI8M16-1125 5
S6 hang khéng phu thudc XOTR - 5 = 0Ook=7
Sé hang khéng phu thuéc x la Ci, = 792
Bai 53
(Học viện Kĩ thuật quân sự, 2000) Khai triển đa
thức P( = (1 + 2x)" thanh dang a, + a,x! + ax? + + ayy.x”
Tim max (4), âz, , Ay9)
Giải
12
*# P(x) =(1+9x)”= Yay x" trong dé a, = ch „
k=0
Suy ra ay < a < By < <a, VA ag > Ay > Ayg > Ay > App
1a, — mg! < gid! = ag © 5 < 8° Vay max (24,29, 8n;) =
ay = 126720
Bai 54
Trang 8(ĐH Thủy lợi, 2000) Cho đa thức
PŒ) = (1 + x)” + (1+ x)!?+ + (1 + x)" có dạng khai triển là
P(g) = ag + ai.X + a;.X” + + a,„.x!', Tính hệ số ao,
Giải
* Ta có (1 + x)"= C?+CÌ x+C2 x?+ + C? x)+ tỚ] x",
Tit dé suy ra a= Co +Cfy +09, +C% +093 + C9, = 3008,
Bai 55
.(ĐH Sư phạm Hà Nội, 2001) Trong khai triển của
1 9 10
b Ex) thanh da thite a) + a).x + a,x” + + ayo.X”, (a, € R),
hay tìm hệ số ay lến nhất (0 < k < 10)
ePe
lal
k
+ 3 12x) § bì = a 10 ỳ C (2) 3 (2) x Gia stl a, $ a © 3 k-1 k
Clo’ gir < Clogn ok sq Vay maxa, = a, = 310
oe ài 56
Bài 271 (ĐH Bách khoa Hà Nội, 1998) Viết khai triển
Niutơn của biểu thức (3x - 1)' Từ đó chứng minh rằng
30%, - 3% cle +3" Ga — + C18 = 0"
lái
# (3x - 1)! = [3x + (DỊ'* = Cỹc (3x)!9 + 03a (3x).(—1)! +
Của (3x) 4-1) + C18 (3x)°.-1)' = 36, C8, x3 - 35 Cl, x?
+3, Ci, x4 9.0%, x34 + O18
Cho x = 1 sẽ được đẳng thức phải chứng minh
Bài 57
(ĐH Y dược TP.HCM, 2000) Với n là các số nguyên
dương chứng minh các hệ thức sau:
a) CŨ + CC + C2 + +C) =2"
b) Con + C3, + Cdn + + Uấn Ô = Cặn+ Cấn + Cần + +(ến
Giải
* a) Theo khai trién Niuton (1 + x)" =
Cn + Cn.x+ Cá.xˆ+ +Cn X"
Thay x= 1 được 2"= C? + CÌ + C2 + +CP, đpem
b) Cũng theo khai triển Niutơn
(L+x)*= Cận + O},.x + Cổa x2 + +O2n vn,
Thay x =- 1 được
0= C§, - GÌ, + Cỷ, - Cổ, + +C2",(—U)2
> Ch, + Cổ, + + C?P"!= CÔ + Cố, + + C2", đpem
(ĐH Hồng Đức, 2000) Cho k, n là các số tự nhiên
Giải
* Dễ thấy rằng (1 + x)”.(1 + x)"= (1+ x)"", và:
M=(1+x)"= C?+C¿.x +Cễ.x? + C; xâ+ C x+CỆ ,xẽ,
N=(1+x)"= Cộ + CÌ x+ C2 x?+ +Ch xt + C8 x P=(1+x)"™= C2, +Ch xt t CE kt + CBM xh, Nhận thấy CỀ,„ là hệ số của x* trong P Vì P = M.N mà số
hạng chứa x" trong M.N là:
C8 ck xtech x CET + CB.x® OFS gS
nén CE, = C?.CÈ+C‡.Cš~l+ + Cš.CẺ~Š (đpem)
Bài 59
(ĐH Su pham Vinh, 2001) CMR Cổng +8” Cống † 31 Cấp, + + 8'99, (2000 ~ 2200 (23101 _1) (]) Giải
* 2.VP (1) = 47 - 2291 = (4 + 1) + (~3 + 1)?! do đó từ hai
(x + 1)! = O0 †Ú2pnt x‡ Cnng x74 +Ô 20] XP” (2)
(-x + 1)" = C8oo -Cằ@n x+ C3501 x?+ eee Tee C3001 „mm! (3)
Cộng lại rồi thay x = 3 sẽ được (1)
Bài 60
.(ĐH Hang hai, 2001) CMR
Cha +O} 3? +C gq 3+ + Cop B= 21 (0 +1) (1)
Giải
* Theo khai triển Niutơn
(1+x)"= CÔ + CÌ, x+C2, x2 + + Cân xi"
ta có (1 +3)" = Cộ +C} 3+C2 .32+ + Cấn 3?" (2)
và (1—3)”"=CP —G},.8+2,.3?— + ~ + Cân 3?" (8)
(2) + (3); 4™42°=2.(C9 +02, 2+ C4, 3tt +032 3) <> (0)
Bai 60
(ĐH Đà Lạt, 2001) CMR với mọi số x:
n
x" = > Ck (2x — 1), với n là số tự nhiên
k=0
Giải
Trang 9* Đặt X = 2x - 1 thì phải chứng minh
X+1Y Ader ; 1 k=0 =<
(lo K+1)"= Sct Xe 2),
k=0
(2) chinh là công thức khai triển Niutơn Vậy suy ra đpcm
Bài 61
(ĐH Kinh tế quốc dân, 2000) Chứng minh rằng
art cnt ar Cả +8 272 Cả + +n,Ứn = n.ữ"” (1)
Giải
* Có (1 + x)" =C? +C} xe Cˆ xế+ +Cp x”", Đạo hàm hai vế
n.(1+x)"=0+C) +x, 02 + + nx"! C2 (2)
1 n1
Thay x=2: nộ] = Che chs C34 +53 = C+ tpl Ch
sn.3"t=art= Cf 49"! C243, 279 C3 + +n C2 dpem)
n -
Ghi nhd: Vé trai cha (1) có dạng yk a CX nén cần xét
k=1 đạo hàm của (1 + x)” So sánh (1) và (2) sẽ biết cần thay x bang
Bài 62
(ĐH Tài chính kế toán Hà Nội, 2000) Chứng minh
rằng với mọi số tự nhiên n: C¡ +2, C2 +3,C + .+n.CP =n.2"1
Giải
~ * C6 (14+ x)= C2+C) xtC? x% +C2 x", Đạo hàm hai vế:
n(1+x)"'=0+ Ch+9x.02 + ¢ nx 102,
Thay x= 1 được đẳng thức phải chứng mỉnh
Bài 63
(ĐH Sư phạm TP.HCM, 2001) CMR:
Cn.37 + 2.Ca 32 + 3,02 372+.„ + n Ơn = n.4"1 (1)
Giải
* Nhận thấy vế trái của (1) có chứa hàm số mũ của 3 nên áp
dụng khai triển Niutơn cho (x + 3)" được
f(x) = (x + 3)"= CHS" +Ch xt #08,
Đạo hàm hai vế được:
n(x + 8)*!= n.(0 +OI 371202392 + + CO x)
(ĐH Tài chính kế toán TP.HCM; 1995)
1
Tinh I = {a ~ x)".dx (n là số nguyên dương) Từ kết quả dé
0 chứng tỏ rằng: -
` Ch Cả _ Cay 4 NCE 2,4.6 (2n - 2).2n
3 5 7 In +1 1.3.5 (An + 1) Giải
* Đặt x = sinx — Ï = {a - sin’t)".cost.dt = foos?*? t dt
0
2,4,6 (2n - 2).2n
Sử dụng phương pháp truy hoi sé co I= 135 (2n+ 1) (1)
Theo khai triển Niutơn thi:
(1-xÐ"=1- CÍ x! +C? x'- Cả XP + + C1)" Ôn K”, Lấy
tích phân hai vế, được:
1
¬— " -
5 " "an +1 Jo
Co Cn CCN gy
TH (1), (2) có đpem
Bai 65
=j-
(ĐH Bách khoa Hà Nội, 1997) Gọi n là số nguyên dương bất kỳ
\ a) Tinh J = fx (1~ x?".dx
0
Giai
* a) J=-9 fa -x?".d( -*)*2 TT (Ð
0
b) Theo khai trién Niuton
“(1+ x)= C2 +6) xt C2 x2 + C2 xt
ta c6(1- x)" =C2+C) (x) +02 (x? + +08 at + x(1-x=x.08 -xicl + x'.Có + +(CIx 1! C"
1 n „2n+2
I= fx 0-2) de š co x 7 ont có: woe’ c
fn Cr Ca Cay, PCE
Từ (1), (2) có dpem.
Trang 10
(ĐH Kiến trúc Hà Nội, 1999) CMR với mọi n
nguyên dương ta có
pm -
n+1 (1)
(n†o.Ôn†2.Ứn† «.† TT ‹Ữn =
Giải
* VT (1) =(C9 xi ci + C2 x84, +7
1
0 1:Cn: x)
Wi Fix)
1
= | f{x) dx, trong đó f(x) là đạo hàm của F(x) nén
0
1
VT(1) = fc +CÌ x+ C2 x? 4+ 4+ Ch x").dx =
0
= VP (1) (dpem)
Bai 67
(ĐHDL Phương Đông, 1996) Chứng mình rằng với
mọi k, n e 2° thỏa mãn 3 < k < n, ta đều có:
ck +3.ck143,082 48% = Chis
Giai
* Ấp dụng liên tiếp công thức C⁄' = C™,+ CB] dé tach |
một số hạng thành hai số hạng sẽ được:
Chis = Chaz TŨN2
= (Ck +CK1) + (Chat + Chat)
(dpem)
Bai 68
(Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông, 1996)
Tìm các số nguyên, hương x, y thỏa mãn
X1! _._ Ã _.^ _
Gi
re hie
*DKysxthytlsx
ylx+l-y)' (+Jl@x-y-D
Bly + 1)/+D) = 6y) + 1) ()
Tương tự: 9 C2*1 = 6.C}"” e 2x-y).(x-y+1) = õy(ytD ()
5 OF _- 6.0" ©
Vì cùng bằng 6(x-y).(x - y+1) nên 5.(y + 1) +1) = 15y.(y+1)
<>xt1 = 3y (3)
Thay (3) vào (2) dược 8y” - 4y = 5y’ + By + y = 3, suy ra
(Học viện Ngân hàng, phân viện TP.HCM, 1999)
Tìm các số x nguyên dương thỏa mãn phương trình
Ci +6.02+6.C2 = 9x? - 14 (1)
Gidi
*DK: x23
(=1, x@&-D@&-29
()oxté
«> x? ~ 9x + 14 = 0
Vậy x = 7, loại x = 2 < 3
Bài 70
(Cao đẳng Sư phạm TP.HCM, 1999) Tìm số tự
nhiên k thỏa mãn đẳng thức Ck, +? = CH (1)
Giải
*ĐK:k+9<14<>k< 12
kl14-k)! (ŒK+2)!12—k)l _(+1)!13—k)1
«> k? — 12k + 32 =0, vậy k = 4, k = 8 đều thỏa mãn ĐK
Bai 71
(ĐH Quốc gia Hà Nội, 2001) Giải PT
Giải
*()© { x là số nguyên dương |
xlx.(x — 1) + 72 = 6.[x.(x - 1) + 2.x!] 2) “
(2) © (&” - x— 12).(x! - 6) = 0 »x= 4;x= 3
Bài 72
(ĐH Án ninh nhân dân, 2001) CMR với n là số tự
nhién, n22,taeé: +144 1-8-2 (p
Giải
-1
Bài 73
(DH Bách khoa Hà Nội, 2001) Giải hệ PT
ị 2.AY +5.CÝ =90
5 AY - 2.C¥ = 80