Tìm tọa độ giao điểm của parabol P và đường thẳng d.. Hai bạn Kiên và Nhật cùng xuất phát một lúc để đi từ trường đến viện bảo tàng trên quãng đường dài 26 km bằng phương tiện xe đạp điệ
Trang 1TRƯỜNG THCS AN ĐÀ
NĂM HỌC 2018 - 2019
MÃ ĐỀ 9T1
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I
Môn: Toán Thời gian: 90 phút
Bài 1: ( 2,0 điểm)
1 Giải phương trình và hệ phương trình:
a) 2
8 15 0
x − x+ = b) 2 7
x y
x y
+ =
− =
2 Cho parabol (P) y x= 2 và đường thẳng (d)y= − 3x Tìm tọa độ giao điểm của
parabol (P) và đường thẳng (d)
Bài 2 (1,75 điểm) Cho phương trình: x 2 + (m - 1)x + m – 2 = 0 ( x là ẩn, m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x x với mọi m.1 , 2
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x độc lập với m.1 , 2
Bài 3 (1,5 điểm)
Biết rằng theo quy định vận tốc tối đa của xe đạp điện là 25km/h Hai bạn Kiên và Nhật cùng xuất phát một lúc để đi từ trường đến viện bảo tàng trên quãng đường dài 26 km bằng phương tiện xe đạp điện Mỗi giờ Kiên đi nhanh hơn Nhật 2
km nên đến sớm hơn 5 phút Hỏi hai bạn đi như vậy có đúng vận tốc quy định hay không?
Bài 4 (3,75 điểm)
1 Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn
(O) (A và B là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp
b) Từ M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (C nằm giữa M và D), tia MD nằm giữa hai tia MA và MO Tia MO cắt AB tại H Chứng minh: MC MD = MH MO
c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AM tại I, cắt AB tại K Chứng minh
C là trung điểm của IK
2 Một hình trụ có chiều cao bằng hai lần đường kính đáy Nếu đường kính đáy có
chiều dài bằng 4cm Tính thể tích của hình trụ đó
Bài 5: (1 điểm)
a) Cho x, y, z ∈ ¡ , chứng minh ( )2 ( 2 2 2)
3
x y z+ + ≤ x +y +z
b) Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Trang 2
-HẾT -ĐÁP ÁN
điểm Bài 1
8 15 0
x − x+ =
1; ' 4; 15
a= b = − c=
( )2 2
' b' ac 4 15 1 0 ' 1
∆ = − = − − = > => ∆ =
0,25
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
' '
4 1 3
b x
a
− − ∆
1
' '
4 1 5
b x
a
− + ∆
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 3;x2 = 5
0,25
+ =
0,25
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y; = 3;1
0,25
1.2 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
( )
x = − ⇔x x + x= ⇔ x x+ =
0
x
⇔ = hoặc x= -3
0,5
Với x = 0 thì y = 0 được A(0;0)
Với x = -3 thì y = 9 được B(-3; 9)
Vậy giao điểm của (P) và (d) là A(0;0) và B(-3;9)
0,5
Bài 2
2a Xét x 2 + (m -1)x + m – 2 = 0
∆ = (m - 1) 2 - 4(m - 2)
= m 2 - 2m + 1 - 4m + 8
= m 2 - 6m + 9
0,25
= ( m -3 ) 2 ≥ 0 với mọi m
Nên phương trình có nghiệm với mọi m 0,25 2b Vì phương trình luôn có hai nghiệm, theo vi ét:
x 1 +x 2 = - ( m -1) = 1 – m
x 1 x 2 = m - 2
0,5
Nên ta có : S = 1- m ⇒ = −m 1 S
P = m -2 ⇒ = +m P 2
=> 1 – S = P +2 hay S + P + 1 = 0 nghĩa là x + x 1 2 + x x 1. 2 +1 = 0
0,5
Bài 3
Gọi vận tốc của Nhật là x(km/h) (x> 0) 0,25
Khi đó vận tốc của Kiên là x + 2 (km/h)
Thời gian Nhật đi hết quãng đường là 26
x (h) Thời gian Kiên đi hết quãng đường là 26
2
x+ (h)
0,5
Trang 3Vì Kiên đến nơi sớm hơn 5 phút = 1
12 (giờ) nên ta có PT:
2
26 26 1
2 624 0
2 12
x x
0,5
Tìm được x = 24 (TM)
Suy ra vận tốc của Nhật là 24km/h; Kiên là 26km/h
Vì 24< 26 và 26> 25 nên Nhật đi đúng vận tốc quy định; Kiên đi không
đúng vận tốc quy định
0,25
Bài 4
4.1 Hình vẽ
0,5
4.1a
a) Ta có: MAO· = 90 0(vì MA là tiếp tuyến của (O) tại A)
· 90 0
MBO= ( MB là tiếp tuyến của (O) tại B)
Trong tứ giác AMBO : ·MAO MBO+· = 180 0
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
Suy ra tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn (đpcm)
0,25
0,25
4.1b
b)∆MAC~ ∆MDA g g( )=> MC MD = MA2 (1)
Ta có: AM = MB (tính chất hai tt cắt nhau); OA = OB (vì A; B ∈
(O))
Suy ra: OM là đường trung trực của AB => OM ⊥ AB
∆AMO có MAO· = 90 0(gt) và AH ⊥ OM (cmt)
Nên MA2 = MH MO (2) (HTL trong tam giác vuông)
Từ (1) và (2) suy ra: MC MD = MH MO
0,25
0,25 0,25
0,25
4.1c
c) Gọi E là giao điểm của MD và AB, theo hệ quả của định lí Talet
ta có:
IC // AD IC MC (1)
CK // AD CK CE (2)
Lại có MC MD MH MO MC MH
Khi đó ∆MCH ~ ∆MOD c g c( ) ⇒ ·MHC MDO= · (3)
⇒tứ giác OHCD nội tiếp ⇒OHD OCD· = · (4) (2 góc nt cùng chắn
cung OD)
0,25
0,25
Trang 4Mặt khác: OCD ODC do OCD c ntai O· =· ( ∆ â ) (5)
+ Từ (3), (4), (5) suy ra MHC OHD· =· ⇒CHE EHD v OM· =· ( ì ⊥AB) =>
HE là tia phân giác của góc CHD ⇒CH HD= EC ED(7)
+ Lại có MH ⊥HE⇒HMlà tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh H
của tam giác CHD CH MC
⇒ = (8) + Từ (7) và (8) suy ra EC MC(9)
+ Từ (1), (2), (9) suy ra IC CK IC CK
AD = AD⇒ = => C là trung điểm
của IK
0,25
0,25
4.2
Bán kính của hình trụ là R = 4: 2 = 2cm,
chiều cao của hình trụ là h = 4.2 = 8cm
Do đó thể tích hình trụ là V= πR h2 = π.2 8 32 (cm )2 = π 3
0,25 0,25
Bài 5
5a
a) (0,25 điểm)
( )2 ( 2 2 2)
3
x y z+ + ≤ x +y +z (1)
x y z 2xy 2xz 2yz 3x 3y 3z
(x y) (y z) (z x) 0
⇔ − + − + − ≥ (2)
Vì bđt (2) luôn đúng với mọi x, y, z
Vậy BĐT (1) luôn đúng Dấu "=" xảy ra khi x = y = z 0,25
5b b) (0,75 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức ở phần a)
2
A 3 4 x y z 2 x y z 3 153 6 x y z
(2)
Lại có
( x + y + z)2≤ 3 x y z( + + ) = 3.12 36 = ⇔ x + y + z 6 (3) ≤
(vì x+ y+ z>0)
Từ (2) và (3) suy ra A 2 ≤ 153 6.6 9.21 + = ⇔ ≤ A 3 21 (vì A > 0)
0,25
0,25
0,25
Trang 5Vậy max A 3 21= khi x = y = z = 4