Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/giờ.. Câu 4:3,5điểm Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC M không trùng
Trang 1SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2007 – 2008 ……… ………
THỜI GIAN: 120 PHÚT (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2điểm)
a) Rút gọn biểu thức: 5 5
A= + +
a b
a b − a b − =
−
Câu 2: (1,5điểm)
Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0
Câu 3:(2điểm)
Một canô chạy trên sông, xuôi dòng 120km và ngược dòng 120km, thời gian cả đi và về hết 11giờ Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/giờ
Câu 4:(3,5điểm)
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC( M không trùng với B và M không trùng với C) Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC, O là trung điểm
của AM Chứng minh rằng:
a) Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn
b) Tứ giác OPHQ là hình gì?
c) Xác định vị trí của M trên cạnh BC để PQ có độ dài nhỏ nhất
Câu 5: (1điểm)
Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng:
Trang 2BÀI GIẢI:
Câu 1: (2điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
Ta có 5 5 5( 5 1)
5
a b
a b − a b − =
−
Với a≥0;b≥0;a b≠ ta có:
2
2
a ab ab b b a b
dpcm
=
Câu 2:(1,5điểm)
Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0
21
b ac
∆ =
Câu 3: (2điểm)
Gọi vận tốc canô trong nước yên lặng là x (km/h) (ĐK: x > 2)
Vận tốc của canô khi xuôi dòng là: x + 2 (km/h)
Vận tốc của canô khi ngược dòng là: x - 2 (km/h)
Thời gian của canô khi xuôi dòng: 120 ( )
2 h
x+ Thời gian của canô khi ngược dòng: 120 ( )
2 h
x− Theo đề ta có phương trình:
2
120 120
11
Giải phương trình ta được x1 = 22 (thõa mãn); x2 = - 2
11 (loại) Vậy vận tốc canô trong nước yên lặng là: 22km/h
Câu 4: (3,5điểm)
a) Ta có:
·
·
·
0 0 0
90 ( )
AHM gt
= Suy ra 3 điểm P, Q, H cùng nhìn đoạn thẳng AM dưới một
góc vuông Nên các điểm A, P, H, M, Q cùng nằm trên
đường tròn đường kính AM
Trang 3b) Ta có AHM∆ ( ·AHM =900) có HO là trung tuyến nên HO = 1
2AM
Ta có AQM∆ ( ·AQM =900) có QO là trung tuyến nên QO = 1
2AM
Suy ra: HO = QO nên HOQ∆ cân (1)
Mặt khác: ∆ABC đều có AH là đường cao cũng là đường phân giác
⇒HAC· =300
M à ·HOQ=2HAQ· =2.300 =600 (góc nội tiếp và góc ở tâm chắn cung HQ của đường tròn(O; OM) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∆HOQ đều Nên HO = HQ = OQ (3)
Tương tự ta chứng minh được ∆POH đều Nên OP = OH = PH (4)
Từ (3) và(4) suy ra: HO = HQ = OQ = OP = PH nên tứ giác OPHQ là hình thoi
c) Gọi I là giao điểm của hai đường chéo HO và PQ trong hình thoi OPHQ
Ta có: OH ⊥PQ; PQ = 2PI
Mặt khác: ∆POI vuông tại I có ·POI =60 (0 cmt)
⇒PI = PO sin600 = 3
2
PO
2
2AM)
Do đó PQ có độ dài nhỏ nhất ⇔AM có độ dài nhỏ nhất
Mặt khác trong tam giác vuông AHM ( µH =900) nên AM ≥AH suy ra AM có độ dài nhỏ nhất ⇔M ≡H Vậy khi M ≡H thì đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất
Câu 5: (1điểm)
Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng:
Đặt t a
b
= Vì a > 0, b > 0 nên t > 0 Khi đó (*) trở thành:
+ + + ≤
t t t t t t
t t t t t t t
⇔ − + + + + − ≥ ∀ >
Vì: 12t4(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2 = 12t4 + 12t(t-1)2 + 23t2 + 12 > 0, ∀t > 0
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi a, b dương Dấu bằng xảy ra khi t = 1 ⇔ =a b