Dai so va GT 11

HÀM SỐ LIÊN TỤC... Hàm số liên tục trên một khoảng Hàm số y=fx được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó... Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tậ

HÀM SỐ LIÊN TỤC

Cho hàm số f(x) =x2 và ( ) ( ( ) )











≥ +

−

<

<

−

−

≤ +

−

=

1 ,

2

1 1

, 2

1 ,

2

2

2

x x

x

x

x x

g

a).Tính giá trị của mỗi hàm số tại x=1 và so sánh với giới hạn (nếu có ) của hàm số khi x → 1 b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành

độ x=1 (Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x0 và hàm số y=g(x) không liên tục tại điểm này )

Trả lời

a) Ta có : f(1) =1, lim ( ) 1

→ f x

x

g(1) = 1 lim ( ) lim( 2 2) 1

1

1+ = → + − + =

x x

lim

1

1− = → − =

Vậy không tồn tại g( )x

x 1

lim

→

f(1) =? lim ( ) ?

→ f x

x

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x f(x)

1 -1

f(x)=x^2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x f(x)

1 -1

0

0

b) Đồ thị hàm số y=f(x) là một đường

liền nét , đồ thị hàm số y=g(x) là

đường không liền nét mà bị đứt quãng

tại điểm có hoành độ x=1

Vì lim ( ) ( )1

1 f x f

Nên ta nói hàm số f(x) liên tục tại x = 1

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và x0 ∈K

Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim ( ) ( 0)

0

x f x

f

x

→

Định nghĩa 1

1.Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số y=f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn

tại điểm đó

Vậy muốn biết hàm

số y=f(x) có liên tục hay không tại điểm

x 0 , ta làm những công việc gì ?

Muốn biết hàm số

y=f(x) có liên tục tại x 0

hay không ta cần

• Tính f(x0)

( )x

f

x

x 0

lim

→

•

• So sánh hai số trên Nếu bằng thì liên tục , khác thì không liên tục

Giải

Hàm số y=f(x) xác định trên R \ { 2 }, do đó xác định

trên khoảng (2;+∞ ) chứa điểm x0 = 3

2

lim

lim

x

x x

f

x

−

=

→

→ Vậy hàm số y=f(x) liên tục tại x0 =3

Xét tính liên tục của hàm số y= f(x)

= x3+2x-1 tại điểm x0= 3

Hàm số xác định trên tập hợp nào ?

Theo định nghĩa ta cần thực hiện những công việc gì ?

VD1. Xét tính liên tục của hàm số tại x( ) 0 =3

2

−

=

x

x x

f

2 Hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó

liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó

liên tục trên khoảng (a;b) và

( ) x f ( ) a f ( ) x f ( ) b

f

b x a

→

lim

Định nghĩa 2.

( )

[ ]

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực

b) Hàm số phân thức hữu tỉ ( thương của hai đa thức )

và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng

3 Một số định lí cơ bản

Định lí 1

Chẳng hạn

Định lí 2.

Giả sử y=f(x) và y= g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 Khi đó :

a) Các hàm số y= f(x) +g(x) , y = f(x) –g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x0 ;

b).Hàm số y = g f((x x)) liên tục tại x0 nếu g(x0)≠0

VD2. Cho hàm số ( )









=

≠

−

−

=

) 1 (

, 5

) 1 (

, 1

2 2

x

x x

x

x x

h

Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó

Giải

( )









=

≠

−

−

=

) 1 (

, 5

) 1 (

, 1

2

2 2

x

x x

x

x x

h

Tập xác định của hàm số là R

• Nếu x ≠ 1, thì ( )

1

2

2 2

−

−

=

x

x

x x

h

Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là (-∞;1)∪(1;+∞) Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (-∞;1) và (1;+∞)

•Nếu x=1, ta có h(1) =5 và

( ) lim2 2

1

1

2 lim 1

2

2 lim )

(

lim

1 1

2

1

−

−

=

−

−

=

→

→

→

x

x

x x

x

x x

h

x x

x x

Vì nên hàm số đã cho không liên tục tại x=1

Kết luận : hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (-∞;1),

(1;+∞) và gián đoạn tại x=1

( ) ( )1

lim

→

Trong biểu thức xác định h(x) ở VD2 , cần thay

số 5 bởi số nào để được một hàm số liên tục trên tập số thực R

Hay quá ?

Giải Xét hàm số









=

≠

−

−

=

1 ,

1

, 1

2

2 2

x a

x x

x

x x

h

Hàm số liên tục trên R khi tại x =1 hàm số h(x) liên tục tức là lim ( ) ( )1

1 h x h

=> a= 2

Vậy nếu thay 5 bằng 2 thì

hàm số liên tục trên R

Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] với f(a)

và f(b) trái dấu nhau Hỏi đồ thị của hàm số có cắt

trục hoành tại điểm thuôc khoảng (a;b) không ?

• Bạn Hưng trả lời rằng : “ Đồ thị của hàm số y=f(x)

phải cắt trục hoành Ox tại một điểm duy nhất nằm

trong khoảng (a;b) ”

•Bạn Lan khẳng định :”Đồ thị của hàm số

y=f(x) phải cắt trục hoành Ox ít nhất tại

một điểm nằm trong khoảng (a;b)”

• Bạn Tuấn thì cho rằng : “ Đồ thị

của hàm số y=f(x) có thể không

cắt trục hoành trong khoảng (a;b),

chẳng hạn như đường parabol ở

hình ”

Câu trả lời của bạn nào đúng ? Vì sao ? f(x)=x^2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

y

b

f(b)

a f(a)

0

Lan đúng

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0

thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0

Hoặc

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a) f(b) <0 thì

phương trình f(x) có nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b)

Định lí 3.

f(x)=x^3-3*x-1

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x f(x)

Chứng minh rằng phương trình x3 +2x-5=0 có ít nhất một nghiệm

Giải

Xét hàm số f(x) = x3+2x-5

Ta có f(0)=-5 và f(2) = 7

Do đó f(0)f(2) <0

Hàm số y= f(x) là hàm đa thức liên tục trên R Do đó ,

nó liên tục trên đoạn [0;2] Từ đó suy ra phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (0;2)

Hãy tìm hai số a và b thỏa mãn 1<a<b<2 , sao cho

phương trình trong Vd3 ở câu trên có ít nhất một

nghiệm thuộc khoảng (a;b)

Hay quá ?

Có thể chọn a =1,1 và b= 1,9

Vì f(1,1) = 1,13 +2.(1,1) -5 <0

và f(1,9) = 1,93 +2.(1,9)-5 >0

KiỂM TRA 15 PHÚT

ĐỀ 1 TÍNH CÁC GiỚI HẠN ĐỀ 2 TÍNH CÁC GiỚI HẠN

CỬA 1

2 1

2

7 5

3

4 1

3

2 lim )

1

1 3

2 lim )

2

2

2

1

+ +

−

−

=

−

+

−

=

+∞

→

→

x x

x

x B

b

x

x

x A

a

x

x

x

x D

b

x x

x

x C

a

x

x

5 3

1 2

4 3

2 lim

)

10 3

6

5 lim

)

2 2

2 2

−

−

−

−

=

−

−

+

−

=

−∞

→

→

1/ Làm đúng đề

2/ Ngồi đúng sơ đồ

3/ Tập, sách toán đậy

lại

Vi phạm :