Chuyen de_Tich vo huong cua hai vecto

Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụngDạng1 : Bài toán tính tích vô hớng của hai vectơ Bài 1 : Cho tam giác đều ABC cạnh a.. Tính các tích vô hớng sau : uuur uuur uuur uuur uuur uuur uu

Giá trị lợng giác của một góc bất kỳ

Bài 1 :

Chứng minh rằng với mọi góc αbất kỳ từ 0

0 đến 180 ta luôn có 0 2 2

sin x+cos x=1

Bài 2 :

Cho biểu thức

4cos 5sin

cos sin

+

=

+

a.Với giá trị nào của góc α thì biểu thức không xác định

b Tìm giá trị của P biết tanα = −2

Bài 3 :

Tính giá trị các biểu thức sau

cos 0 cos 20 cos 40 cos160 cos180

tan 5 tan10 tan15 tan 80 tan 85

a A

b B

=

c C =cos1 cos 2 cos3 cos178 cos179 cos1800 0 0 0 0 0

Bài 4 : Tìm

sin

3

x= −

cos

cos

3

Bài 5 :

a. Chứng minh rằng với mọi góc αkhác 900, ta có 1 tan2 12

cos

α

α

b. Chứng minh rằng với mọi góc 0

0

α ≠ và α ≠1800 , ta có 1 cot2 12

sin

α

α

Bài 6 :

Cho sin 3 2

2

α = − (00 < <α 900) Tínhtanα

Bài 7 :

Cho sin cos 2 1

2

Tính :

4 4

sin cos

sin cos

sin cos

+ +

Bài 8 :

Biết tanα +cotα =m

Tìm :

tan cot

tan cot

tan cot

a

b

c

+ + +

Bài 9 :

Cho tam giác ABC Hãy chỉ ra các số bằng nhau trong các số sau đây

cos ; cot ; tan ;cos ;sin ;cot ; tan ;cos ; sin ;sin ; cos

2

B C+

cot ;

2

B C+ ;sin(B C+ );cos(B C+ ) ; tan(B C+ );cot(B C+ )

Bài 10 :

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α, x

2

cot 30 (sin cos ) 8cos 60 (sin cos ) 6cos (90 )

cot cos sin cos

a P

b Q

Bài 11 :

Rút gọn các biểu thức sau

2(sin cos ) 3(sin cos )

2

1

cos

x

(tan cot ) (tan cot )

sin 1 cos 1 cos

d D

sin 54 3sin 126 sin 36 cos 126 3cos 126 cos 36

Bài 12 :

Chứng minh các hằng đẳng thức

tan sin tan sin

1 sin cos

cos 1 sin

b

1 cot 1 tan

1 cot 1 tan sin 6cos 3cos cos 6sin 3sin 4

c

Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng

Dạng1 : Bài toán tính tích vô hớng của hai vectơ

Bài 1 : Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi G là tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác Tính các tích

vô hớng sau : uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB AC ; AB BC ; AG AC ; AG CD ; AG BC

Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông ở A và có hai cạnh AB=7, AC=10

a. Tìm cosin của các góc (uuur uuurAB AC, );(uuur uuurAB BC, );(uuur uuurAB CB, )

b. Gọi H là hình chiếu của A trên BC Tính uuur uuurHB HC

Bài 3 : Cho tam giác ABC có AB=7, AC=5, A=1200

a. Tính các tích vô hớng uuur uuur uuur uuurAB AC AB BC ;

b Tính độ dài trung tuyến AM của tam giác (M là trung điểm của BC)

Bài 4 : Tam giác ABC có AB c BC a AC b= ; = ; =

Tính các tích vô hớng uuur uuur uuur uuurAB AC AB BC ;

Bài 5 : Cho hình thang vuông ABCD, đờng cao AB = 2, đáy lớn BC = 3, đáy nhỏ AD = 2

Tính các tích vô hớng uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuurAB CD BD BC ; ; AC BD ; AI BD (I là trung điểm của CD)

Bài 6 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn nội tiếp hình vuông và

N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC Tính MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur + ; uuur uuurNA AB ; uuur uuurNO BA

Dạng 2 : Chứng minh các đẳng thức về tích vô h ớng hoặc độ dài của vectơ

Bài 7 : Cho hai điểm A và B O là trung điểm của AB, M là một điểm tuỳ ý

Chứng minh rằng MA MB OMuuur uuur = 2−OA2

Bài 8 : Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Có AC và BD kà hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt nhau tại

E Chứng minh rằng : 2

uuur uuur uuur uuur

Bài 9 : Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm tuỳ ý Chứng minh rằng :

a MA MC MB MDuuur uuuur uuur uuuur+ = +

b MA MC MB MDuuur uuuur uuur uuuur. = .

c 2 2 2 2

Bài 10 : Cho tam giác ABC Gọi J là điểm thoả mãn αJAuur+βuurJB+γJCuuur r=0(Khi đó J đợc gọi là tâm

tỉ cự của A, B, C theo bộ số ( , ,α β γ)) với α β γ+ + ≠0 Chứng minh với mọi điểm M ta có :

αMA2+βMB2+γMC2 =αJA2+βJB2+γJC2+(α β γ+ + )MJ2

Từ đó suy ra, nếu tam giác ABC có trọng tâm G thì với mọi điểm M ta có :

MA2+MB2+MC2 =GA2+GB2+GC2+3MG2

Phát biểu bài toán tổng quát cho nếu J là tâm tỉ cự của hệ n điểm {A A A1, 2, , ,3 A theo bộ số n} {α α α1, 2, , ,3 αn}

• Ap dụng : Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AB, I là điểm xác định bởi : uurIA+3IBuur−2ICuur r=0

a Chứng minh BCDI là hình bình hành

b. M là một điểm tuỳ ý, chứng minh : MA2+3MB2−2MC2=2MI2+IA2+3IB2−2IC2

Bài 11 : Cho tứ giác ABCD Gọi I và I lần lợt là trung điểm của AC và BD Chứng minh rằng :

AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2+4IJ2

Bài 12 : Cho tam giác ABC với AD, BE, CF là các trung tuyến Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2

3

4

a BC AD CA BE AB CF

uuur uuur uuur uuur uuur uuur r

Dạng 3 : Chứng minh tính vuông góc và thiết lập điều kiện vuông góc

Bài 13 : Chứng minh trong tam giác ba đờng cao đồng quy

Bài 14 : Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ bên ngoài các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và

ACE Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AM ⊥DE

Bài 15 : Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng AB CD⊥ ⇔ AC2+BD2 = AD2 +BC2

Bài 16 : Tứ giác ABD có hai đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M, P là trung điểm của

đoạn thẳng AD Chứng minh rằng : MP⊥BC⇔MA MC MD MBuuur uuuur uuuur uuur. = .

Bài 17 : Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho

4

AC

AM = , N là trung

điểm của đoạn thẳng DC Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân

Bài 18 : Cho hình vuông ABCD, trên DC lấy điểm E, kẻ EF ⊥AC F BC( ∈ ), M và N lần lợt là trung điểm AE và DC Chứng minh rằng : MN ⊥DF

Bài 19 : Cho tam giác cân ABC, AB = AC nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi D là trung điểm của cạnh

AB và G là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh : OG⊥CD

Dạng 4 : Tìm quỹ tích điểm thoả mãn điều kiện về tích vô h ớng hay độ dài của vectơ

Bài 20 : Cho hai điểm cố định A, B có khoảng cách bằng a

a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho : MA MB kuuur uuur =

b. Tìm tập hợp các điểm N sao cho uuur uuurAN AB =2a2

Bài 21 : Cho điểm A cố định nằm ngoài đờng thẳng ∆, H là hình chiếu của A trên ∆ Với mỗi điểm

M trên ∆, lấy điểm N trên tia AM sao cho 2

uuur uuuur

Tìm tập hợp các điểm N

Bài 22 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a Tìm tập hợp những điểm M sao cho :

2

4

a

uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur

Bài 23 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho

( 2 )( 2 ) 0

uuur uuur uuur uuuur

uuur uuuur

Bài 24 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M sao cho

. 2. 2 . 2 2

a AM AB AC AB

=

uuuur uuur uuur uuur

Bài 25 : Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Tìm tập hợp những điểm M sao cho

uuuur uuur uuur uuurAM AB AC AB a − = 2−MB2+MC a BC2( = )

Bài 26 : Cho tam giác ABC, góc A nhọn, trung tuyến AI Tìm tập hợp những điểm M di động trong

góc BAC sao cho : AB AH AC AK + =AI2 trong đó H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của

M lên AB và AC

Bài 27 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2−MB2 =k

Bài 28 :

a. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn : αMA2+βMB2 =k với A, B cố định, α β+ ≠0và k

không đổi

b. Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M sao cho αMA2+βMB2+γMC2 =k với k

là số cố định cho trớc khi :

1) α β γ+ + =0

2) α β γ+ + ≠0

Dạng 5 : Sử dụng tích vô hớng để giải các bài toán định l ợng,

định tính

Bài 29 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A Tính góc giữa hai trung tuyến BE và CF

Bài 30 : Cho hai hình vuông ABCD và BMNP sắp xếp sao cho P thuộc cạnh BC, B thuộc cạnh AM

Tính góc giữa hai vectơ APuuur và DNuuur

Bài 31 : Cho tứ giác ABCD M, N lần lợt là trung điểm của AC và BD Tính MN theo các cạnh và

hai đờng chéo của tứ giác

Bài 32 : Cho tam giác ABC Chứng minh rằng : 1 cos cos cos 3

2

Bài 33 : Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC a= 3, M là trung điểm của cạnh BC Biết rằng :

2

2

a

uuuur uuur

Tính độ dài cạnh AB và AC

Bài 34 : Cho tứ giác ABCD, biết : uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur rAB AD BA BC CB CD DC DA + + + =0

Chứng minh rằng : ABCD là hình bình hành

Bài 35 : Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có : MA2+MB2 =MC2+MD2 Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật

Dạng 6 : Sử dụng tích vô hớng để giải các bài toán cực trị

Bài 36 : Cho tam giác ABC, G là trọng tâm và M là điểm tuỳ ý.

a. Chứng minh rằng MA BC MB CA MC ABuuur uuur uuur uuur uuuur uuur r + + =0

b. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 2

3

MA +MB +MC =GA +GB +GC + MG , từ đó suy ra vị trí của

điểm M sao cho 2 2 2

MA +MB +MC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 37 : Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là một điểm tuỳ ý

a. Chứng minh rằng MA2−MB2+MC2 =MD2−2(OB2−OA2)

b. Xác định vị trí điểm M để 2 2 2

MA −MB +MC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 38 : Cho tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác, M là một điểm tuỳ ý

a. Chứng minh rằng vectơ v MA MBr uuur uuur= + −2MCuuuurkhông phụ thuộc vào vị trí điểm M

b Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh rằng :

MA2+MB2−2MC2 =2MO vuuuur r.

c. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn MA2+MB2−2MC2 =0

d Giả sử M di động trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm vị trí điểm M sao cho

MA +MB − MC đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Dạng 7 : Biểu thức tọa độ của tích vô h ớng

Bài 39 : Cho hai vectơ (0;4) ; (4; 2)ar br −

a. Tính cos góc giữa hai vectơ ar và br

b. Xác định tọa độ của vectơ cr biết (ar+2 ).b cr r= −1 và (− +br 2 ).c ar r=6

Bài 40 : Cho hai điểm A(3;1) và B(4;2) Tìm tọa độ điểm M sao cho AM =2 và (uuur uuuurAB AM, ) 135= 0

Bài 41 : Cho tam giác ABC biết A(1;2) ; B(-1;1) ; C(5;-1)

a. Tính uuur uuurAB AC

b Tính cos và sin góc A

c. Tìm tọa độ chân đờng cao A xuất phát từ A của tam giác ABC1

d Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC

e Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

f Tìm tọa độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, từ đó chứng minh I, G, H thẳng hàng

Bài 42 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn

MA MB MB MC MC MAuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur. + . + . =0