tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta có: AB CDuuur uuur+AC DBuuur uuur+AD BCuuur uuur = Hệ thức Ơ-le Nhận xét: Có thể dùng hệ thức Ơ le để chứng minh: Trong tam giác ba đườn

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

ThS Trần Mạnh Hân

Bài 1 Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta có:

AB CDuuur uuur+AC DBuuur uuur+AD BCuuur uuur = (Hệ thức Ơ-le) Nhận xét: Có thể dùng hệ thức Ơ le để chứng minh: Trong tam giác ba đường cao đồng quy

Bài 2 Trong tam giác ABC, trung tuyến AM, chứng minh rằng:

a)

.

4

AB ACuuur uuur =AM - BC

b)

4

-Bài 3 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Chứng minh rằng:

a) 2 2 2 1( 2 2 2)

3

GA +GB +GC = a +b +c

(Hệ thức Lepnit) b)

4

m +m +m = a +b +c

Bài 4 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm AC, BD Chứng minh

rằng AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+ 4IJ 2

Bài 5 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a)

1

2

AB ACuuur uuur= AB +AC - BC

b) BC2=AB2+AC2- 2AB AC. .cosA

Bài 6 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

MA +MB +MC =GA +GB +GC + MG

Nhận xét: Nếu tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O; R) thì:

3(R - OG ) =GA +GB +GC

Bài 7 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

a) Chứng minh rằngaIA2 +bIB2 +cIC2 =abc

b) Nếu M là 1 điểm bất kì ta có aMA2+bMB2+cMC2³ abc

Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm I thỏa mãn a MA+b MB +g MC =0,

uuur uuur uuur r

(a+ + ¹b g 0) Chứng minh với M bất kì ta có (công thức Gia-cô-bi)

a) a MA2+b MB2+g MC2=a IA2+b IB2+g IC2+(a+ +b g)MI2

b)

a b g

+ + c) a+ + =b g 1, ta có MI2=a MA2+b MB2+g MC2- (ab c2+bg a2+ga b2)

Bài 9: Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O; R) Tìm trên đường

tròn điểm có tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến các đỉnh của tam giác là lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) D là trung điểm của

AB, E là trọng tâm tam giác ADC Chứng minh rằng OE ^CD

Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E, F là các điểm xác định bởi

1 ; 3

BEuuur= BCuuur

1

2

CFuuur= - CDuuur

, đường thẳng AE cắt BF tại I Chứng minh rằng AIC =· 90 0

Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I) B’ là

điểm đối xứng của B qua O (I) tiếp xúc với các cạnh BA, BC tại P, Q Trên BA,

BC lấy các điểm K, L sao cho BK = CQ, BL = AP Chứng minh rằng B’I ^ KL

Bài 13: Cho hai điểm A, B cố định, vec tơ a ¹r 0r không đổi và số thực k Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) MA MBuuur uuur =k

b) AM auuuur r =k

Bài 14: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

(MBuuur+MC MAuuur uuur)( + 2MBuuur + 3MCuuur) = 0

Bài 15: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) MB2+MC2- MA2 = 0 (1)

b) MB2+MC2- 2MA2= 0 (2)

Bài 16: Cho 2 điểm A, B phân biệt và số dương k ¹ 1 Tìm tập hợp các điểm M sao cho

MA

k

MB =

Bài 17: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta

có: MA2+MB2+MC2³ MAGA. +MB GB. +MC GC. ³ GA2+GB2+GC2

Bài 18: Cho tam giác ABC Gọi O, H tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và

trực tâm tam giác ABC R là bán kính đường tròn ngoại tiếp Chứng minh rằng

Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm H là trung điểm của BC, D là hình

chiếu của H lên AC M là trung điểm HD Chứng minh rằng AM^BD

Bài 20 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R)

Đặt AB =c BC, =a CA, =b Chứng minh rằng a b c+ + £ 3 3R

Bài 21 Cho tam giác ABC, I là điểm xác định bởi 2IA+IB- IC =0

uur uur uur r

a) Chứng minh rằng 2MA2+MB2- MC2= 2MI2+ 2IA2+IB2- IC2 với M là điểm tùy ý Suy ra vị trí của M để biểu thức 2MA2+MB2- MC2 nhỏ nhất b) Tính 2IA2+IB2- IC2 trong trường hợp tam giác đều cạnh a

Bài 22 Cho tam giác ABC, điểm M tùy ý

a) Chứng minh rằng vec tơ mur = 2MAuuur+MBuuur- 3MCuuur độc lập với M

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:

2MA +MB - 3MC = 2MOmuuur ur.

c) Tìm tập hợp những điểm M sao cho 2MA2+MB2= 3MC2.