LTDH chuyen de Tichphan_ungdung

Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNGTÓM TẮT GIÁO KHOA I.. và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.. Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:... TÍNH TÍCH PHÂN BẰN

Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

TÓM TẮT GIÁO KHOA

I Bảng tính nguyên hàm cơ bản:

Bảng 1 Bảng 2

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C

a ( hằng số) ax + C

xα

1 1

α

+

+ +

(ax b+ )α

a

1

α

+

+

1

1

ax b+ 1 ln ax b C

x

a

ln

x

a+ x

a

2

1

cos x

tgx + C

2

1 cos (ax b+ ) 1 (tg ax b C)

2

1

sin x

-cotgx + C

2

1 sin (ax b+ ) 1 cot (g ax b C)

a

'( )

( )

u x

u x

ln ( )u x +C

1

+

tgx −ln cos x C+

1

ln x+ x +a +C

cotgx ln sin x C+

Phương pháp 1:

• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm

cơ bản

• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản

Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

1 f x( ) cos= 3x+ x 11 x

+ − 2 2

2x 5 f(x)

x 4x 3

−

=

Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân

Ví dụ: Tính các tích phân: 1.∫cos sin5x xdx 2 cos∫ tgx dx x 3 1 ln x dx

x

+

∫

I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN

1 Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ]a b Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) ;

thì:

b ( ) [ ( )]b a ( ) ( )

a

∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz)

2 Các tính chất của tích phân:

• Tính chất 1 : Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : ( ) 0

b a

f x dx=

∫

• Tính chất 2 : ( ) ( )

• Tính chất 3 : Nếu f(x) = c không đổi trên [ ]a b thì: ; b ( )

a cdx c b a= −

∫

• Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên [ ]a b và ( ) 0; f x ≥ thì b ( ) 0

a

f x dx≥

∫

• Tính chất 5 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ]a b và ; f x( )≥g x( ) x a;b∀ ∈[ ] thì

( ) ( )

• Tính chất 6 : Nếu f(x) liên tục trên [ ]a b và ; m f x≤ ( )≤M ( m,M là hai hằng số) thì

( ) ( ) ( )

b a

m b a− ≤∫ f x dx M b a≤ −

• Tính chất 7 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ]a b thì;

b[ ( ) ( )] b ( ) b ( )

• Tính chất 8 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ]a b và k là một hằng số thì;

( ) ( )

• Tính chất 9 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ]a b và c là một hằng số thì;

( ) ( ) ( )

• Tính chất 10 : Tích phân của hàm số trên [ ]a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa ; là : ( ) ( ) ( )

Bài 1: Tính các tích phân sau:

1)

1

3

0

x dx

(2x 1)+

∫ 2)

1

0

x dx 2x 1+

∫ 3)

1

0

x 1 xdx−

∫ 4)

1 2 0

4x 11 dx

x 5x 6

+

∫ 5)

1

2

0

2x 5 dx

x 4x 4

−

∫ 6)

3 3 2 0

x dx

x +2x 1+

∫ 7)6 6 6

0

(sin x cos x)dx

π

+

∫ 8) 2 3

0

4sin x dx

1 cosx

π

+

∫

9)4 2

0

1 sin 2xdx

cos x

π

+

∫ 10) 2 4

0

cos 2xdx

π

∫ 11)

2

6

1 sin 2x cos2xdx sin x cosx

π

π

+

1 x 0

1 dx

e 1+

13) 4(cos x sin x ) dx

0

4 4

π

14)

∫ +

4

01 2 sin 2

2 cos

π

dx x

x 15) ∫2 +

02 cos 3 1

3 sin

π

dx x

x 16)

∫ −

2

05 2sin

cos

π

dx

x

x 17) ∫ + −

−

0

4

dx x x

18) ∫ + +

−

1

1 x2 2x 5

dx

Bài 2:

1)

3

2

3

x 1dx

−

−

4 2 1

x 3x 2dx

−

∫ 3)

5

3

( x 2 x 2 )dx

−

+ − −

∫ 4)

2 2 2 1

2

1

x

∫ 5)

3

x

0

2 −4dx

∫ 6)

0

1 cos2xdx

π

+

∫ 7)

2

0

1 sin xdx

π

+

∫ 8) ∫2 x − x dx

0

2

Bài 3:

1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) Asin x B= π + thỏa mãn đồng thời các điều kiện

f (1) 2' = và

2

0

f(x)dx 4=

∫

2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức :

2

0

[a + −(4 4a)x 4x ]dx 12+ =

∫

II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :

1) DẠNG 1:Tính I =

b

' a

f[u(x)].u (x)dx

∫ bằng cách đặt t = u(x)

Công thức đổi biến số dạng 1: ∫ [ ] = (∫)

) ( ) ( )

( ' )

a u

b a

dt t f dx

x u x u f

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt t =u(x) ⇒dt =u' (x)dx

Bước 2: Đổi cận :

) (

)

(

a u t

b u

t a x

b

x

=

=

⇒

=

=

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

= ∫ [ ] = (∫)

) ( ) ( )

( ' )

a u

b a

dt t f dx

x u x u f

I (tiếp tục tính tích phân mới)

Tính các tích phân sau:

1) 2 3 2

0

cos xsin xdx

π

∫ 2) 2 5

0

cos xdx

π

∫ 3)4 2

0

sin 4x dx

1 cos x

π

+

∫ 4)

1

3 2 0

x 1 x dx−

∫

0

sin 2x(1 sin x) dx

π

+

∫ 6) 4 4

0

1 dx cos x

π

∫ 7)

e

1

1 ln xdx x

+

∫ 8) 4

0

1 dx cosx

π

∫

9)

e 2

1

1 ln xdx

x

+

∫ 10)

1

5 3 6 0

x (1 x ) dx−

∫ 11) 6 2

0

cosx dx

6 5sin x sin x

π

3 4

0

tg x dx cos2x

∫

13) 4

0

cos sin

3 sin2

x

π

+

+

∫ 14) ∫

+

2

0 cos2 4sin2

2 sin

π

dx x x

x 15) ∫ + − −

5 ln 3

ln ex 2 e x 3

dx

16)

∫ +

2

0(2 sin )2

2 sin

π

dx x x

17) 3∫

4

2

sin

) ln(

π

x

tgx

18) ∫ −4

0

8 ) 1

(

π

dx x

tg 19)∫

+

−

2

4 1 sin2

cos sin

π

x

x x

20)

∫

+

+

2

0 1 3cos

sin

2

sin

π

dx x

x

x 21) ∫2 +

0 1 cos

cos 2 sin

π

dx x

x

x 22) ∫2 +

0 sin cos ) cos (

π

xdx x

∫

−

+

2

11 x 1dx

x

24)∫e + dx

x

x x

1

ln ln 3

1 25)

∫ +−

4 0

2

2 sin 1

sin 2 1

π

dx x x

2) DẠNG 2: Tính I =

b

a

f(x)dx

∫ bằng cách đặt x = (t)ϕ

Công thức đổi biến số dạng 2: = ∫ =β∫ [ ]

α f ϕ t ϕ t dt dx

x f

a

) ( ' ) ( )

(

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt x= ϕ (t) ⇒dx= ϕ ' (t)dt

Bước 2: Đổi cận :

α

β

=

=

⇒

=

=

t

t a x

b x

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

= ∫ =β∫ [ ]

α f ϕ t ϕ t dt dx

x f

a

) ( ' ) ( )

( (tiếp tục tính tích phân mới)

Tính các tích phân sau:

1)

1

2

0

1 x dx−

∫ 2)

1 2 0

1 dx

1 x+

1

2 0

1 dx

4 x−

∫ 4)

1 2 0

1 dx

x − +x 1

∫

5)

1

4 2

0

x dx

x + +x 1

∫ 6) 2

0

1

1 cosx sinx dx

π

∫ 7)

2 2 2

2 0

x dx

1 x−

2

2 2 1

x 4 x dx−

∫

9)

2

3

2

2

1 dx

x x 1−

2 1

9 3x dx x

+

∫ 11)

1

5 0

1 (1 x dx)

x

− +

∫ 12)

2 2 2 3

1

1dx

∫

13) 2

0

cos

7 cos2

x

π

+

∫ 14)

1 4 6 0

1

1 x dx x

+ +

∫ 15) 2

0

cos

1 cos

x

π

+

∫ 16) ∫ + +

−

0

1x2 2x 2

dx

17) ∫

+

+

1

01 1 3x

dx

18) ∫2 −−

1

dx x

x

x

II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:

Tính các tích phân sau:

1)

8

2

3

1

1dx

∫ 2)

7 3

3 2

0 1

x

+

∫ 3)

3

5 2 0

1

∫ 4)

ln2 x 0

1 dx

e +2

∫ 5)

7

3

3

0

1

3 1

x

+

+

∫ 6)

2

2 3 0

1

∫ 7) ∫

+

3 2

5 x x2 4

dx

III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

Công thức tích phân từng phần:

∫b = [ ] − ∫

a

b a

b

a v x u x dx x

v x u dx x v x

Hay: b∫ = [ ] − ∫

a

b a

b

v u

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt

)(

)(

' )(

'

)(

xv v

dx x u

du dx x v dv

x u

u

=

=

⇒

=

=

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : b∫ = [ ] − ∫

a

b a

b

v u

Bước 3 : Tính [ ]b

a

v

u. và ∫b

a

vdu

Tính các tích phân sau:

1)

2

5

1

ln xdx

x

∫ 2) 2 2

0

x cos xdx

π

∫ 3)

1 x 0

e sin xdx

∫

4)

2

0

sin xdx

π

∫ 5)

e 2 1

x ln xdx

∫ 6) 3 2

0

x sin xdx cos x

π

+

∫

7) 2

0

xsin x cos xdx

π

∫ 8) 4 2

0

x(2cos x 1)dx

π

−

∫ 9)

2 2 1

ln(1 x)dx x

+

∫

10)

1

2 2x 0

(x 1) e dx+

∫ 11)

e

2 1

(x ln x) dx

∫ 12) 2

0

cosx.ln(1 cosx)dx

π

+

13) 2

1

ln

( 1)

e

e

x dx

x+

∫ 14)

1 2 0

xtg xdx

∫ 15) 1∫ −

0

2 ) 2

16) ∫1 +

0

2) 1

x 17) ∫e dx

x

x

1

ln

18) ∫ +2

0

3 ) sin cos

(

π

xdx x

x

19) ∫2 + +

0

) 1 ln(

) 7 2

( x x dx 20) ∫3 −

2

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :

a

a

f(x)dx 0

−

=

∫

2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :

f(x)dx 2 f(x)dx

−

=

Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì:

f(sin x)dx f(cosx)dx

=

b) xf(sin x)dx f(sin x)dx

C

y

2

C

y

2

C

x

1

C

x

n n

0

cos x dx với n Z

cos x sin x

π

∈ +

0

cos x dx cos x sin x

π

+

∫ 3) 2 6 6 6

0

sin x dx sin x cos x

π

+

∫

4) 5

0

xsin xdx

π

∫ 5)

2

2 2

4 sinx cosx dx

x

π

π

−

+

−

∫ 6)

1 4 2 1

sin 1

x

−

+ +

∫

0

xsin x dx

4 cos x

π

−

∫ 8) 4 3

0

cos sin

π

∫

0

( ) ( ) với R và a > 0 1

x

f x dx f x dx a

α

α

−

+

ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau:

1)

1 4

12 1x

−∫ + 2)

1 2

1

1

1 2x dx x

−

− +

∫ 3)

2

sin

3 1x x dx

π π

−∫ +

IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG :

Công thức:

=b∫ [ − ]

a

dx x g x f

S ( ) ( ) =b∫ [ − ]

a

dy y g y f

Tính diện tích của các hình phẳng sau:

1) (H1):

2

2

x

y 4

4 x y

4 2







 =



2) (H2) :

2

y x 4x 3

y x 3





= +

 3) (H3):

3x 1 y

x 1

y 0

x 0

− −

 =



=



 =



















=

∆

=

∆

=

=

b

x

a

x

x g y

C

x f y

C

H

:

:

) ( :)

(

) ( :)

(

:)

(

2

1

2

1















=

∆

=

∆

=

=

b y

a y

y g x C

y f x C H

: :

) ( :) (

) ( :) ( :) ( 2 1 2 1

x

y

)

(H

) ( :

) (C1 y = f x

) ( : ) (C2 y= g x

a

y

)

(H

a b

) ( : ) (C1 x= f y

) ( : ) (C2 x= g y

a

y=

b

y=

O

4) (H4):

2 2

y x

x y

 =





= −

y x

y 2 x

 =





= −

 6) (H6):

2

y x 5 0

x y 3 0

 + − =

 + − =



7) (H7):

ln x y

2 x

y 0

x e

x 1

 =



 =



 =



=



8) (H8) :

2 2

y x 2x

y x 4x

 = −





= − +

 9) (H9):

2 3 3

2 2

y x

 = + −





 =



10) (H10):

2

y 2y x 0

x y 0

 + =

 11) 









−

=

= ) (

2 : ) (

:) (

Ox

x y

d

x y C

12)











=

∆

=

=

1 :) (

2 :) (

:) (

x

y d

e y

V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.

Công thức:

V b[f x ] dx

a

2

) (

∫

=π V b[f y ] dy

a

2

) (

∫

=π

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y= x;y 2 x;y 0= − =

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy

Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)= − 2 và y = 4

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:

a) Trục Ox

) ( :

) (C y= f x

b

a

x

y

O

b

a

x

y

0

=

x

O

) ( : ) (C x= f y

b

y=

a

y=

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 21 ; 2

x

x

+

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox