Chuyên đề phơng trình, bất phơng trình mũ và logaritDạng cơ bản: I.. Kiến thức cần nhớ: 1.. Nếu a=b thì fx=gx... Kiến thức cần nhớ: 1.
Trang 1Chuyên đề phơng trình, bất phơng trình mũ và logarit
Dạng cơ bản:
I Kiến thức cần nhớ:
1. Dạng a f(x) =b g(x) (1 ≠a,b> 0)
a Nếu a=b thì f(x)=g(x)
b Nếu a≠b thì logarit hoá cơ số a hoặc b 2 vế
2. Dạng loga f(x) = logb g(x) (1 ≠a,b> 0)
a Nếu a=b thì f(x)=g(x)>0
b Nếu a≠b và (a-1)(b-1)<1 thì tìm nghiệm duy nhất và chứng minh
c Nếu a≠b và (a-1)(b-1)>1 thì mũ hoá 2 vế
II Các bài tập áp dụng:
99 2x.3x− 1.5x− 2 =12
100 log2log2 x= log3log3x
101 log2log3log4 x= log4log3log2 x
102 log2log3x+ log3log2x = log3log3x
103 log2logx3 ≥ log3logx2
104 xlog 2 ( 4x) ≥ 8x2
105 xlg2x2−3 lgx−4 , 5 = 10−2 lgx
106 xlogx+ 1 (x− 1 ) + (x− 1 ) logx+ 1x ≤ 2
107 5 lgx = 50 −xlg 5
108 6log2x + xlog 6x ≤12
109 2 log5(x+ 3 ) = x
110 3log2x + xlog 3x =162
x
− +2 = 36 3 2
8
1 3
1
2+ − > x+
x x
3 1
1 1 3
1
1 − ≥ −
+
1
2
2 x− ≥ x+
<
< x −x
5 , 0 5
, 0
2
2 5 08
,
0
−
−
−
≥
x x
x x
117 log2 x+ log2x8 ≤ 4
5
x
5 x x =
121 log sinx4 log sin 2x2 = 4
Trang 2122 logcosx 4 log cos 2x2 = 1
2 1 )
1 (
2x+ x+ + x+ x+ =
124 log3x − log3x− 3 < 0
4 3
/
126 log1/3x+ 5 / 2 ≥ logx3
127 logx2 log2x2 log2 4x> 1
5
3 4 log 2
2
− +
+
−
x x
x x
2
1 log
3
+
−
x
x
2 16
/
−
>
x
x x
131 logx2 2x≥ 1
132 log log9(3x − 9)≤ 1
x
2
2 3
+
+
x
x
x
134 log 3x−x2(3 −x)> 1
135 logx(5x2 − 8x+ 3)> 2
136 log [log3(9x −6) ]=1
x
137 3 logx16 − 4 log16 x= 2 log2 x
138 logx2 16 + log2x64 = 3
1 1
3 2 log
1
3 / 1 2
3
/
1 x − x+ > x+
log
1
log
≠
<
>
+
x
x
a
a
log
35
≠
<
>
−
x
x
a
a
10
1
7 lg sin cos 1
cos 2 sin
+
x x x
x
3 5 2
11 4 log
11 4 log
2
3 2
11
2 2
−
−
−
−
−
−
−
x x
x x x
x
3 2
2 3
2+ x + +x + − x + −x =
145 log2 x+ log3x+ log5x= log2xlog3xlog5x
5
/
2 /
của nó đều không thuộc miền xác định của hàm số y= logx(x3 + 1)logx+1x− 2
2
1 100
Trang 3149 ( )
( )
>
+
+
<
+ +
2 2 log
) 12 2.
7 lg(
)1 2 lg(
2 lg
x
x
x
x x
2
5 2 log
2
1
− +
+
x
x y
a III Các bài tập tự làm:
16 2
2
2 /
2 x + − x − + x≤
154 logcosx sinx ≥ logsin2xcosx
Dạng bậc hai:
I Kiến thức cần nhớ:
2 ) ( 2
)
(x
f
a
ẩn phụ t= loga f(x)
3 Với bất phơng trình mũ và logarit cũng có phép đặt tơng ứng, lu ý khi gặp phơng trình hay bất phơng trình logarit mà cha phải dạng cơ bản thì cần đặt điều kiện
II Các bài tập áp dụng:
155 5 x −51 − x +4=0
156 3x + 9 3 −x− 10 < 0
16
1 4
1
4
1
>
−
3
1 9 3
1 2/ 2 1/
>
+
159 82 −23x+3 +12=0
x x
160 5 2 x + 5 < 5 x+ 1 + 5 x
161
16
5 20 2 2 2
2 2x + − 2x + x + −x =
162 (5 + 24) (x + 5 − 24)x = 10
163 (3 + 5)x+ 16(3 − 5)x = 2x+3
164 (7 + 4 3) (x − 3 2 − 3)x+ 2 = 0
165 ( 7 − 4 3) (x+ 7 + 4 3)x ≥ 14
166 ( 2 − 3) (x + 2 + 3)x = 4
167 (5 + 2 6)tanx +(5 − 2 6)tanx = 10
168 4 1 /x + 6 1 /x = 9 1 /x
169 6 9x − 13 6x + 6 4x = 10
Trang 4170 5.4x +2.25x −7.10x ≤0
x x x
≥ +
+
−
172 92x−x2+ 1 −34.152x−x2 +252x−x2+ 1 ≥0
cos 2 sin
sin 2 2 sin 3
x x
−
x
175 logx2(2 +x)+ log 2+x x= 2
2 log
1 1
3
3
+
x x
x
2 1
2 x + = x− x+ −
179 1 + log2(x− 1) = logx−14
2 / 1 2
1
2 / 1
2 x − x+ − > −
1 1
2 5 2
−
−
−
≥
x x
1 2
1 2
2 1
≤
−
+
−
−
x
x x
2 sin log sin
2 sin
log
3 1
+
x x
9 3
3 2
2
1 log
2
1 6 5
−
= +
x
186 Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình
log
2 1 2 2
187 Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
2
5+ x +mx+m+ + − x=
2 / 1 2 2
thoả mãn u2+v2>1
III Các bài tập tự làm:
3
1 3 3
+
trình (m-2)2x2-3(m-6)x-(m+1)<0 (*)
92 (3 + 5)2x−x2 +(3 − 5)2x−x2 − 2 1 + 2x−x2 ≤ 0
93 (3 + 2 2) (x = 2 − 1)x + 3
2 3
2 3
.
≤
−
x x
x x
95 6.92x2 −x −13.62x2 −x +6.42x2 −x ≤0
96 log ( 2 2) log (2 ) 2 2 0
2 2
2 2 log 6 log 4
4 x − x = x
Trang 598 log (9 12 4 ) log (6 2 23 21) 4
3 2
2 7
Sử dụng tính đơn điệu:
I Kiến thức cần nhớ:
1 Hàm số y=a x đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1
2 Hàm số y = loga x đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1
3 Hàm số f(x) đơn điệu trên D và u, v thuộc D thì f(u)=f(v) tơng đơng u=v
4 Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên (a, b) thì phơng trình f(x)=0 có tối đa 1 nghiệm trên đó
II Các bài tập áp dụng:
x
x
20 2 4 5
192 2 2x−1 + 3 2x+ 5 2x+1 = 2x+ 3x+1 + 5x+2
5
2 2
=
+
194 1 + 2x+ 1 + 3x+ 1 < 6x
log
2
) 1 (
1 2 log 2 6
2
−
+
= +
−
x
x x
x
197
x
x
x
x x
x
2
2 2
2 1 2
1
−
=
−
−
−
198 x2 −(3 − 2x) (x+ 2 1 − 2x)= 0
199 25.2x−10x+5x >25
200 12.3x +3.15x −5x+ 1 =20
201 log2x+2log7x=2+log2x.log7x
202 2 log3cotx= log2cosx
203 logx(x+ 1) = lg 1 , 5
204
= +
=
+
) sin 3(
log cos
3 1 log
) cos 3(
log sin
3 1 log
3 2
3 2
x y
y x
+
−
=
− +
+
−
=
− +
2 1
log 1
3 1
log
2 1
log 1
3 1
log
2 3
2 2
2 3
2 2
x y
y x
206 lg(x2 +x− 6)+x2 +x− 3 = lg(x+ 3)+ 3x
log
x
π sin16
16
208 Tìm x sao cho bất phơng trình sau đây đợc nghiệm đúng với mọi a: logx(a2 − 4a+x+ 1)> 0
Trang 6III C¸c bµi tËp tù lµm:
107 x+ lg(x2 −x− 6)= 4 + lg(x+ 2 )
108 log2x+ log3(x+ 1 ) = log4(x+ 2 ) + log5(x+ 3 )
109 T×m nghiÖm d¬ng cña bÊt ph¬ng tr×nh
1 2
10 3
−
>
x x
x
(*)
( )
= +
=
+
2 4 6
log
2 4 6
log
x y
y x
y
x
2 x + − x − + x≤
D¹ng tæng hîp:
I Mét vµi lu ý:
II C¸c bµi tËp ¸p dông:
x
210 3 25x− 2 + ( 3x− 10 ) 5x− 2 + 3 −x = 0
3 x− x +a=
2 /
x
213 x4 − 8e x− 1 >x(x2e x− 1 − 8)
214 4x2 + 3 x.x+ 3 1 + x < 2 3 x.x2 + 2x+ 6
x x
x
x x
− +
− +
III C¸c bµi tËp tù lµm:
Trong c¸c nghiÖm (x, y) cña bÊt ph¬ng tr×nh logx2+y2(x+y)≥ 1 h·y t×m nghiÖm cã tæng x+2y lín nhÊt
x
x x x
x 3 2 2 3 2 5 3 4 3
5
2
1
2 + + >
t t
1
3 2
2 log 2 log
.
2
2 2
2
<
−
−
+ +
x x
x a