LTDH PT va BPT Can thuc

Chuyên đề 4: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA I.. Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng :.

Chuyên đề 4:

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

TÓM TẮT GIÁO KHOA

I Các điều kiện và tính chất cơ bản :

* A có nghĩa khi A ≥ 0

* A ≥ 0 với A ≥ 0

* A2 =A &







<

≥

=

0 A nếu A

-0 A nếu

A A

* ( )A 2 =A với A ≥ 0

* A.B = A. B khi A , B ≥ 0

* A.B = −A −B khi A , B ≤ 0

II Các định lý cơ bản :

a) Định lý 1 : Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì : A = B ⇔ A2 = B2

b) Định lý 2 : Với A≥ 0 và B≥ 0 thì : A > B ⇔ A2 > B2

c) Định lý 3 : Với A, B bất kỳ thì : A = B ⇔ A3 = B3

A > B ⇔ A3 > B3

A = B ⇒ A2 = B2

III Các phương trình và bất phương trình căn thức cơ bản & cách giải :

* Dạng 1 : A= B⇔ A 0 A B≥= (hoặc B 0 )≥



* Dạng 2 : A B B 0 2

A B

≥





* Dạng 3 :

2

A 0

A B

 ≥



< ⇔ >

 <



* Dạng 4:

2

A 0

B 0

A B

B 0

A B

 ≥



 <





> ⇔  ≥



 >



IV Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng :

* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản

Ví dụ : Giải phương trình sau :

1) x− 2 =x− 4 (x=6)

2) 3x2 − 9x+ 1 +x− 2 = 0 (x 1)

2

= −

Bài tập rèn luyện:

1) −x2 + 4x− 3 = 2x− 5 (

5

14

=

2) 2x− 2x− 1 = 7 (x =5)

3) x2 − 2x+ 3 = 2x+ 1 ( )

3

15

3 ±

−

=

x

4)

2 4 4

4 −x2 = x2 (x = ± 2 2 )

* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức

Ví dụ : Giải phương trình sau :

1) 2x+ 9 = 4 −x+ 3x+ 1 (x 0 x 11)

3

= ∨ =

2) 5x− 1 − 3x− 2 − x− 1 = 0 (x=2)

Bài tập rèn luyện:

1) 3x− 2 − x+ 7 = 1 (x=9)

2) x+ 8 − x = x+ 3 (x=1)

3) x+ x+ 1 = x+ 2 (

3

3 2

3 +

−

=

4) x+ 1 = 3 − x+ 4 (x=0)

* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ pt đại số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) (x+ 5 )( 2 −x) = 3 x2 + 3x (x 1 x= ∨ = −4) 2) x+ 1 + 4 −x+ (x+ 1 )( 4 −x) = 5 (x 0 x 3)= ∨ =

3) 2x− 1 +x2 − 3x+ 1 = 0 (x 1 x 2= ∨ = − 2) 4) 3 2 −x = 1 − x− 1 (x 1 x 2 x 10)= ∨ = ∨ =

Bài tập rèn luyện:

1) x+ 2 + 5 −x + (x+ 2 )( 5 −x) = 4 (

2

5 3

3 ±

=

x ) 2) x+ 4 + x− 4 = 2x− 12 + 2 x2 − 16 (x=5)

4) x2 − 3x+ 3 + x2 − 3x+ 6 = 3

5) 3x− 2 + x− 1 = 4x− 9 + 2 3x2 − 5x+ 2

* Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số : A.B = 0 hoặc A.B.C = 0

Ví dụ : Giải phương trình sau :

x x

x

x

−

=

−

−

− 2 3 2 1

3

* Phương pháp 5 : Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C

có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b)

( do đó nếu tồn tại x0∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương

trình f(x) = C)

• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là một hàm giảm trong khỏang

(a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương

trình f(x) = g(x))

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) x+ 9 = 5 − 2x+ 4

2) 4x− 1 + 4x2 − 1 = 1

Bài tập rèn luyệnï:

1) x+ 1 − 4 −x = 1 (x=3)

2) x+ 5 + 2x+ 8 = 7 (x=4)

* Phương pháp 6 : Sử dụng bất đẳng thức định giá trị hai vế của phương trình

Ví dụ: Giải phương trình

V Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng :

* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1) x2 − 4x+ 3 <x+ 1

2) x2 − 4x+ 5 + 2x≥ 3

3) x+ x2 + 4x < 1

4) (x+ 1 )( 4 −x) >x− 2

Bài tập rèn luyện:

1) x2 +x− 6 ≥x+ 2 (x≤−3)

2) 2 (x2 − 1 ) ≤x+ 1 (x= − 1 ∨ 1 ≤x≤ 3)

3) x2 −x− 12 <x (x≥ 4)

4) 2x2 + 5x− 6 > 2 −x (x≤−10∨x≥1)

5)

3

7 3 3

) 16 (

2 2

−

−

>

− +

−

−

x

x x

x x

* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức

Ví dụ : Giải bất phương trình sau :

x+ 3 ≥ 2x− 8 + 7 −x

Bài tập rèn luyệnï:

1) x+ 11 ≥ x− 4 + 2x− 1 (4 ≤x≤ 5) 2) 3 x− 5x+ 5 > 1 (x> 4)

3) x+ 2 − x+ 1 ≤ x (

3

3 2

3 +

−

≥

* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ : Giải phương trình sau :

1) x2 + 2x+ 5 ≤ 4 2x2 + 4x+ 3

2) 2x2 + 4x+ 3 3 − 2x−x2 > 1

Bài tập rèn luyệnï:

1) 5x2 + 10x+ 1 ≥ 7 −x2 − 2x (x≤ − 3 ∨x≥ 1)

2) (x+ 1 )(x+ 4 ) < 5 x2 + 5x+ 28 (-9<x<4)

* Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số hoặc thương số

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1) (x2 − 3x) 2x2 − 3x− 2 ≥ 0

12 19 4

7

+

−

−

x x

x

3) 1

4

3 5

<

−

− +

x

x

Bài tập rèn luyệnï:

1) 1

2

8 1

<

−

−

x

x ( 0 0 31

2 2

1

<

<

∨

<

≤

2) 1 1 4 3

2

<

−

−

x

x ( 0 0 21

2

1 ≤ < ∨ < ≤