PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO TRONG R Gv Hoàng Công Nhật………..
Trang 1ĐẠI SỐ
1 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO TRONG R
Gv Hoàng Công Nhật………
1 Biện luận phương trình bậc nhất
Ax = B ( A, B là các biểu thức chứa hoặc không chứá tham số m )
A = 0 m = ? : Thay m vào phương trình ta có
0x const VN : S
A 0 m ? : Chia hai vế cho A ta có nghiệm : x = B
A Tập hợp nghiệm là S = B
A
Tự suy ra điều kiện có nghiệm và vô nghiệm của phương trình bậc nhất
2 Biện luận phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c là các biểu thức chứa hoặc không chứá tham số m )
1 Xét a = 0 m = ? Thay trực tiếp vào (1 ) x = ?
2 Xét a 0
Ta tính = b2 – 4.a.c
Lập bảng xét dấu theo m và biện luận
3 Nhìn vào bảng xét dấu biện luận ba trường hợp
< 0: phương trình vô nghiệm
= 0: phương trình có nghiệm số kép : x1 = x2 = b
2a
> 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1, 2 = b
2a
3 ĐỊNH LÝ VIETE cho phương trình bậc hai
Xét phương trình a.x2 + b.x + c = 0 (1)
Điều kiện (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 :
0
0 a
Nếu a.c < 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm và 2 nghiệm trái dấu
ĐL Viete thuận : Nếu phương trình bậc hai (1) có 2 nghiệm thì tổng số S ; tích số P của
hai nghiệm là
1 2
b
a c
x x P
a
ĐL Viete đảo : Nếu 2 số có tổng S và tích số là P thì chúng là hai nghiệm của phương
trình :
X2 S.X + P = 0
Trang 2Một số hệ thức nghiệm cần chú ý :
x21 x22 (x1x )2 2 2x x1 2 ;
x31 x23 (x1x )2 3 3x x (x1 2 1x )2
x1 x2
a
4 ĐIỀU KIỆN phương trình bậc hai CÓ NGHIỆM ÂM, NGHIỆM DƯƠNG
Xét phương trình : a.x2 + b.x + c = 0
Phương trình có hai nghiệm trái dấu : x1 < 0 < x2 P < 0
* Nếu thêm điều kiện nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn S < 0
* Nếu thêm điều kiện nghiệm dương có trị tuyệt đối lớn hơn S > 0
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt : x1 < x2 < 0
0
P 0
S 0
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt : 0 < x1 < x2
0
P 0
S 0
Phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau : có hai trường hợp
a 0 0
P 0
S 0
5 Biện luận SỐ NGHIỆM CỦA phương trình bậc ba
Xét phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1)
Ta nhẩm một nghiệm thực x0 chia vế trái của (1) cho x - x0 ta có :
(x - x0).(Ax2 + Bx + C) = 0 x x2 0 0
Tính = B2 - 4A.C
Nếu (2) có 2 nghiệm x1 ; x2 ( x0) thì (1) có ba nghiệm : x0 ; x1 ; x2
Nếu (2) có nghiệm kép x1 = x2 ( x0) thì (1) có hai nghiệm : x0 ; x1 = x2
Nếu (2) có nghiệm kép x1 = x2 = x0 thì (1) có một nghiệm kép : x0
Nếu (2) vô nghiệm thì (1) có một nghiệm đơn: x0
6 Cách giải một số phương trình đa thức quy về phương trình bậc hai trong R
Dạng 1: ax4 bx2 c 0 (a 0) đặt t x 2 0
at2 + bt + c = 0
Vì t = x2 x = t cho nên ta có các kết quả sau :
Trang 3pt có 4 nghiệm
0
P 0
S 0
; pt có 3 nghiệm P 0
S 0
pt có 2 nghiệm
P 0 0
S / 2 0
; pt có 1 nghiệm
P 0
S 0 0
S / 2 0
pt VN < 0
0
P 0
S 0
P 0
pt có 4 nghiệm lập thành CSC 1 2
t 3 t
kết hợp định lý viet giải hệ pt
Dạng 2: (x a)(x b)(x c)(x d) k với a b c d
Đặt t (x a)(x b)
Dạng 3: (x a) 4 (x b) 4 k đặt t x a b
2
Dạng 4: ax4 bx3 cx2 bx a 0 (a 0)
Chia 2 vế cho x2 (vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình )
Phương trình trở thành : a(x2 12) b(x 1) c 0
x x
x
ĐK | t | 2
BÀI TẬP ÔN
1 Giải các phương trình và bất phương trình
a)12x3 + 4x2 17x + 6 = 0 ĐS: 1
2; 23; 32 b) 4x
3 – 10x2 + 6x – 1 = 0 ĐS: 1
2;
2 2 2
c) x3 – 2x2 – x + 2 > 0 ĐS: –1< x< 1 ; x > 2 d) x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0 ĐS: 1; 2; 3 e) x4 – 3x3 – x + 3 < 0 ĐS 1< x < 3
g) x4 – 8x3 + 7x2 + 36x – 36 < 0 ĐS : – 2< x < 1 ; 3 < x < 6
2 Giải các phương trình
a)(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12 ĐS: 1 ; - 2
b)(x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 ĐS: – 6 ; -6 5
c) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 ĐS:– 5 ; - 3 d) (x + 4)4 + (x + 6)4 = 82 ĐS : – 3 ; – 7 e) (3 x) 4 (2 x) 4 (5 2x) 4
ĐS: u4 + v4 = (u + v)4 u4 + v4 = u4 + v4 + 4u.v(u2 + v2) + 6u2v2 2u.v[2(u2 + v2) + 3u.v] = 0
u = 0 v = 0 2u2 + 2v2 + 3uv = 0 ta đưa về tích số x = 2 ; x = 3
x 2
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ĐS: m > 1
4 Cho phương trình: x2 (m 1)x 3m 5 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt ? ĐS: 5 m 3 m 7
Trang 45 Cho phương trình: mx2 x m 0
x 1
Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ?
2
6 Cho phương trình: x4 mx2 m 1 0 Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt ? ĐS: m 1 m 2
7 Cho phương trình: (x 1)(x 2 mx m) 0 Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ?
1
ĐS : m 0 m 4 m
2
8 Cho phương trình: x3 3x2 k3 3k2 0.Tìm k để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ?
ĐS : 1 k 3 k 0;2
9 Cho phương trình : mx2 (m 1)x 3(m 1) 0 Với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 2 2
9
x x ?
1
ĐS : m
2
10 Cho phương trình x4 – 2ax2 – x + a2 – a = 0 Định tham số a để
a)Phương trình có 4 nghiệm ? b) có 3 nghiệm ?
e) vô nghiệm ? ĐS: a) a >
4
3 b) a =
4
4
1< a <
4
3 d) a = –
4
1 e) a < –
4 1
11 Cho phương trình 2x4 – 17x3 + 51x2 – (36 + k)x + k = 0 (1)
a)Chứng minh phương trình có một nghiệm không phụ thuộc vào k ?
b) Biện luận theo k số nghiệm phương trình (1) ĐS: a) x = 1 b) 27 < k < 28 : 4 nghiệm
12 Cho phương trình x4 – 4x3 + 8x = k
a) Giải phương trình khi k = 5 ? b) Định tham số k để phương trình có 4 nghiệm phân biệt ? ĐS: a) 1 ; 1 6 b) –4 < k < 5
13 Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm : x5 x2 2x 1 0
14 Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành CSC ?
a)x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0 b)x4 - 2m.x2 - 1 + 2m = 0
ĐS:a) m = 4; S ={-3; - 1; 1; 3} ; m = -4
3 S= {1;
-3
1 ; 3
1;1} b)m =
-3
7; m = 3
15 Tìm a để phương trình x2n 2 xn 2 x2 a 0
16 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n chẵn và a > 3 thì phương trình
(n 1)x 3(n 2)x a 0vô nghiệm ?
17.Tìm m để phương trình x4 mx3 (m 1)x 2 2x 1 0 không có nghiệm ?
ĐS: t = x2/(x – 1) đk t m