PT BPT CAN THUC lop 10 ( luyen thi dai hoc )

Học kỹ từng bài: bạn phải bám sát nội dung sách giáo khoa. Trước hết, nắm chắc kiến thức cơ bản, chú trọng đọc và học kỹ phần lý thuyết, sau đó mới làm bài tập từ dễ đến khó. Nên làm thuần thục các bài tập trong sách giáo khoa rồi hãy đến phần bài tập nâng cao. Khi bạn đã làm bài tập một cách thành thạo vả chủ động thì cũng có nghĩa bạn đã nắm chắc lý thuyết rồi. Khi làm các bài tập nâng cao hãy cố gắng suy nghĩ, tìm ra cách giải, nếu đã cố gắng hết cách mà chưa giải được thì bạn mới nên xem sách giải tham khảo, hoặc tìm hỏi thầy cô giáo, bạn bè...

CHUYÊN ĐỀ

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

( ( T T Tà à ài i i l l li i iệ ệ ệu u u d d dà à àn n nh h h c c ch h ho o o l l lớ ớ ớp p p 1 1 10 0 0 c c ch h hu u uy y yê ê ên n n T T To o oá á án n n) ) )

A) PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

I DẠNG CƠ BẢN

Chú ý: Để tồn tại A thì A 0; A 0

Khi giải lưu ý ba bước sau:

1 Biểu thức ngoài căn

2 Biểu thức trong căn

3 Làm mất căn để giải

1) Dạng Phương trình cơ bản

3 3

2

0

) 0 (

0

B A B A

B A

B B A

B A

B hay A

B A











































2 Dạng Bất phương trình có bảncơ bản

2

A 0

A B









2

B 0

B 0

  













 



II) MỘT SỐ VÍ DỤ:

Giải phương trình

4 2 xx  x 2

4 2 ( 2) 3 0

2

3

0 3

x

x

 

     





  

  



Bài 2 x4 1x  1 2 x

4 1 2 (1 )(1 2 ) 1 2 (1 )(1 2 ) 2 1

     

             

1 4

2

0 7

2

0

x

x







Bài 3.Giải các bất phương trình sau đây

1) 2(x21) x1 (x  1  1 x 3)

2) 2x2  6x 1 x 2  0 ( 3 1

7; 3

2 2

3) x 3 – x 1 < x 2 ( 2

21 3

BÀI TẬP:

Giải các phương trình và bất phương trình sau :

Bài 1:Giải các phương trình

2

2

1

2 11

3



Bài 2: Giải các bất phương trình

7

2

x x x  x x

2) 7 x   1 3 x  18  2 x  7 ( x  9)

3) 5 x   1 x   1 2 x  4 ( x  10  x  2)

4)

2

51 2

1 ( 5; 1 2 13; 1; 1 2 13) 1

x

 

         



5)

2

x

x

 

      

II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:

Các dạng đặt ẩn phụ thường gặp sau đây

ax bxm ax bxc n

Đặt 2

ax

t bx c kèm theo điều kiện

Ví Dụ 1: Giải phương trình

– 4 ( 4  x )( 2  x ) = 2

x – 2x – 8 (1)

HD: Đặt t = ( 4  x )( 2  x ) (t0)

(1) trở thành: – 4t = – 2

t  







 4 t

0 t

Ví dụ 2:Giải bất phương trình

1) (x + 5)(2 – x) = 3 x2  x

2) (x1)(x4)5 x 5x28 (– 9< x< 4)

Dạng acx bcx d acxbcxn

Phương pháp.Đặt t= acx  bcx; ĐK: ab t 2(ab)

HD: Đặt t 3x 6x.Đưa về phương trình:t2 – 2t – 3 = 0

Ví dụ 1 Cho phương trình: x1 3x  (x1)(3x)m

a) Giải p/t khi m= -2 ĐS: x=-1 hoặc x=3

b) Tìm m để p/t có nghiệm Đs 2 2 2m2

Ví dụ 2: Giải phương trình

1

x  + 4 x + ( x  1 )( 4  x ) = 5 (1)

HD: Đặt t = x 1 + 4 x  ( x  1 )( 4  x ) =

2

5

t2 

(1) trở thành: t +

2

5

t2 

= 5

Ví dụ 3 Giải bất phương trình

2

3x 2  x  1 4x  9 2 3x  5x 2

Ví dụ 4 :Giải phương trình sau đây : 3 2 1 4 9 2 3 2 5 2















 x x x x x

Dạng : ( )( ' ') ( ) ' ' m

b ax

b x a b ax b

x a b













Phương pháp :Đặt t  ( ) ' ' t2 (ax b)(a'x b')

b ax

b x a b





Phương trình đã cho trở thành: t2 tm0

3

1 ) 3 ( 4 ) 1 )(

3

x

x x

x













1 Giải phương trình khi m = -3

2 Định tham số m để phương trình có nghiệm

( 3) ( 3)( 1)

3

x

x



     

 nên pt (1) đưa về :t2+4t-m=0 (2) a) Với m = -3 thì phương trình (2) trở thành 2 1

4 3 0

3

t

t t

t

 



      



Đs x  1 5 ,x  1 13

b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm     0  4 m 0 m  4

Giả sử nghiệm là t0 thì ( 3) 1 0

3

x

x



 

 + Nếu t0 = 0 thì x = – 1

0 2

0

3

x









0 2

0

3

x









Vậy với m  4 thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm

Dạng : 2 ( 1 )







Phương pháp : Đặt xa t ( t 0 ).Đưa phương trình về hệ

















a x t

a t x

2

Trừ hai vế theo vế ta đưa về dạng (t+x)(x – t + 1) = 0

Ví dụ: Giải phương trình : 4 2 2007 2007





x

HD Đặt t2 = x22007.Phương trình trở thành ( )( 1 ) 0

2007

2 4

2 4



























t x t x x

t

t x

Chú ý : Có thể giải cách khác như sau:

Phương trình

4

1 2007 2007

4

2 4















2 2

2 2

2

1 2007 2

1

































Dạng : x n b a.n ax b (n N)







Phương pháp :Đặt t n axb , ta có hệ

















ax b t

at b x

n n

Ví dụ 1: Giải phương trình sau : 3 3

1 2 2

1 

 x

2 5 5

2 

 x x

HD Đặt























x t

t x

x t

2 1

2 1 1

2

3

3 3

Ví dụ 2: Giải phương trình x3 1 2 23 x1

Hướng dẫn: Đặt

3 3

3

3

1 2

2 1 1 2

1 2

  



      

 



.Đáp số: x=1; 1 5

2

x  

Dạng Biến Đổi Đưa Về Ẩn Phụ

Ví dụ: Giải phương trình x x42  x4 x4 2x x4 50

Giải: Điều kiện x 4

  42  422  4 50

 x x x x x x x42 2x x4480

Giải phương trình x x4 5

Giải phương trình:x x4 5 x 5

ĐUA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1 Giải phương trình : 25 2 10 2 3







HD.TXĐ :  10x 10

Đặt 25x2 = a và 10x2 = b (a,b  0)

Việc giải phương trình,chuyển về giải hệ PT hữu tỉ sau :















15

3

2 2

b a

b a

Ví dụ 2 Giải phương trình :3 1  x 3 1  x  2

HD.TXĐ : x  0 Đặt 3

1  x = a và 3

1  x = b

Việc giải PT (3) chuyển về giải hệ PT















2

2

3 3

b a

b a

Giải hệ phương trình này được a = b = 1 Từ dó suy ra x = 0 x = 0

Ví dụ 3 Giải phương trình 3 x 7 – x = 1 (1)

HD +Cách 1: Đặt t = x (t  0)

(1) trở thành 3 2

7

t  = t + 1  t2 + 7 = t3 + 3t2 + 3t + 1

 (t – 1)( 2

t + 3t + 6) = 0 (Bạn đọc tự giải) (ĐS x=1)

+Cách 2: Đặt













 x v

7 x u

có hệ















7 v u

1 v u

2

3

Ví dụ 4 Giải phương trình

3

x  – 3

x = 1 (1)

HD+ Cách 1: Đặt t = 3

x , (1) trở thành: t 3 1

 = t + 1

+ Cách 2: Đặt















3 x v

3 x u

có hệ















3 v u

1 v u

3

2 (ĐS x  1; x  2 2)

Ví dụ 5: Giải phương trình x2  x + x 2 x 7



 = 3 + 2 (1)

Giải Đặt



















7 x x v

x x u

2 2

(1) trở thành: u + v = 3 + 2 Ta có hệ phương trình



















7 u v

2 3 v u

2 2

Ví dụ 6: Giải phương trình x2 + 4x = x 6 (1)

HD  Ta dự kiến đặt x 6 = at + b để đưa về hệ phương trình đối xứng:

Ta có hệ phương trình:























2 2

2 2

b 6 x abt 2 t a

b at x 4 x

hệ này đối xứng nếu

























2 2

b 6 b

1 a

4 ab 2

1 a











 2 b

1 a

Như vậy ta đặt t + 2 = x 6 (t  – 2)

Khi đó có hệ pt đối xứng:





















2 x t 4 t

2 t x x

2

2

(ĐS 3 17 5 13

+ĐẶT ẲN MỚI , ẨN CŨ CÒN LẠI XEM NHƯ THAM SỐ

Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 23x13x2 x2

HD: Đặt t x2 2 PT trở thành: t2 3x1tx2x10

Giải phương trinh bậc 2 ẩn t, ta có: 









 1

2x

t

x t

Ví dụ 2 :Giải phương trình:4x1 x2 12x2 12x1 (HD: Đặt t x2 1.)

Thí dụ 3:Giải phương trình :6 2 10 5 (4 1) 6 2 6 5 0













 x x x x x

Ví dụ 4: Giải phương trình (4x – 1) x2  1 = 2 2

x + 2x + 1 (1)

HD : Đặt t = x2  1 (t  1) (1) trở thành (4x – 1)t = 2t2 + 2x – 1

)

3

x

4

(   t =

4

) 3 x ( ) 1 x 4























1 x 1 x

2

1 1 x

2 2

Ví dụ 5: Giải phương trình 2 2

x – 3x + 2 = x 3 x 2 (1)

HD : Đặt t = 3 x 2 (t  0) (1) trở thành 2

t + xt – 2 2

x = 0

 Cách 1:  = 9 2

x (chính phương)  t =

2

x

x 























x 2 2 x

x 2 x

 Cách 2: phương trình đẳng cấp  đặt x = ty:

2

t + y 2

t – 2 2

y t2 = 0  t2(1 + y – 2 2

y ) = 0

*ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG:

















0

0 0

2 2

B

A B

A

Ví dụ 1 Giải phương trình x yz42 x24 y36 z5

HD: Phương trình tương đương  x21 2  y32 2  z532 0

Ví dụ 2.Giải phương trình 13 x19 x116x

2

3 1 3

2

1 1 13

2 2



































x

*PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ:

Nếu











M

B

M

A

thì A = B khi và chỉ khi











M B

M A

Ví dụ 1:Giải phương rình sau đây: 3x2 6x7  5x2 10x1442x x2

HD: VT = 3x12 4  5(x1)9 5 ; VP = 5 x  12  5 pt có nghiệm x = -1

Ví dụ 2 Giải các phương trình : x3 5x x2 2x5; 5x  x1x2 2x1

HD: VT = x3 5x 11x35x4 ;VP = x2  2x 5 x 12  4  4

Thí dụ 3 Giải bất phương trình : 2 3 2 2 4 3 2 2 5 4















x

HD.Đièu kiện 1x;x4

Khi x 4,bất phương  x 1( x 2  x 4 )  ( x 3  x 4 ) 0 Đúng

Khi x 1,bất phương  1 x( 2 x  4 x)  ( 3 x 4 x) 0  x  1

Ví dụ 4: Giải phương trình 3 x +

x

1

= 48 x (1)

Giải MXĐ: x > 0

Có

4

x

1

x

3 

=

8

x

1 x

1 x x x x x

x       

 8 x (2) x > 0 (BĐT Côsi)

Vậy (1)  dấu “=” ở (2) xảy ra  x =

x

1

 x = 1

Ví dụ 5 Giải bất phương trình

1 3 5 2 1

 

   

trên tập số thực

Lời giải +) Đặt t = x2 – 2, bpt trở thành: 1 1 2

3 3 1 1

t  t  t ĐK: t  0 với đk trên, bpt tương đương ( 1)( 1 1 ) 2

3 3 1

t

  

  Theo Cô-si ta có:

.

3

.

3

t

t

1 2 1 1 2

2 3 1 2 2 3 1

3 1

1 1 1 1 1 1

1 3 1 2 1 3 1

3 1

2 0

t

t

 

    

   

    

   

   

+) Thay ẩn x được x2  2    x ( ; 2]  [ 2;   ) T    ( ; 2]  [ 2;  ).

VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ :

Ví dụ 1:Giải các phương trình và bất phương trình sau :

2 x63 x123x. ; 2x  3x10 102x

HD:phương trình tương đương 2 x63 x1x23

Vế trái là hàm số f(x)  2 x 6  3 x 1 x đồng biến trong [  6 ; )

Mặt khác vế phải 23 = f(10)

Phương trình tương đương f(x) = f(10)  x10 là nghiệm duy nhất

Ví dụ 2 Giải phương trình (2x1)(2 4x2 4x4)3x(2 9x2 3)0

HD.Phương trình tương đương

) 3 ( ) 1 2 ( ) 3 ) 3 ( 2 ( 3 ) 3 ) 1 2 ( 2

)(

1

2

x f x

f x

x x

Trong đó ( ) (2 2 3)





t t t

f ,là hàm đồng biến và liên tục trong R,phương trình trở thành f(2x+1) = f(-3x)

5

1 3

1

 x x x là nghiệm duy nhất

Ví dụ 3 (HSG bảng A 1995) Giải phương trình x3 3x2 8x4084 4x4 0

HD.Đặt ( ) 3 3 2 8 40 ( ) (3) 13













x x x mìn x f x

13 ) 3 ( ) ( max 4

4

8

)

Ví dụ 4 Giải phương trình:

3

2 2 1 1

2 1 3

x

x

  

 

 

Lời giải Điều kiện: x   1,x  13

Pt

2

6 ( 2)( 1 2)

1 2 1

2 1 3 2 1 3

x

    

     

    ( x=3 không là nghiệm)

3

Hàm số 3

( )

f t t  đồng biến trên t do đó phương trình 3

2x 1 x 1

   

Ví dụ 5 Giải phương trình x4x2x2 2x 13  2 4x 23x2x4

Lời giải Điều kiện  x 

Phương trình tương đương x2 2x 13 2x2 2x 1x2x4 23x2x4 (1)

Xét hàm số f t t32t, t 

*PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG LIÊN HỢP

Ví dụ 1 Giải các phương trình và bất phương trình sau :1 1 4 1

2







x

x

;

1 1 3  3 12.

9

2

2









x x

x

2

2 2

4 1 1 4 1 ) 4 1 1 (

4 1

4 1 1

x x

x x

x x

x























Ví dụ 2: Giải bất phương trình

2

12x 8 2x 4 2 2 x

9x 16



   



(1)

Bằng cách nhân lượng liên hợp bất phương trình tương đương

2 2

6x 4 2(6x 4)

(3x 2) 9x 16 2 2x 4 2 2 x 0 2x 4 2 2 x 9x 16

        

Lại thực hiện phép nhân liên hợp

Ví dụ 3 Giải phương trình :

5

3 2

3 1

HD Phương trình tương đương ( 3)( 4 1 3 2 5) 0

5

3 2

3 1 4

3



























x x

x x

x x

x

Ví dụ 4.Giải phương trình: 2 9 2 7 2







 x x

HD: Nhận thấy pt có nghiệm x = 4

Pt  x2 95  x2 7 30 0

3 7

16 5

9

16

2 2

2

2



















x

x x

x

Thí dụ 5 Giải bất phương trình x2 2x3 x2 4x52 x2 5x6

3 x  4 x 1  5 x   3 x  3

3 x  4 x 1  5 x   3 x  3  x 1 3x  6x 8   5 x 1   x  3  0

 1 3 x 1  2 5 10 x 1 2 0  1 3 x 1  2 5 10 2

             

1 3 x 1 5 0 1 3 x 1 5

             

Chú ý: Ta có thể đưa phương trình về dạng hàm số ( lớp 12 hay sử dụng)

2

30 1

3 4 1 5 x 3 3 3 4 1

x 3 3

x

x



          

  

3

3

3 3 1 1

x   x   x  x

Xét hàm số 3

( )

f t t t

Ví dụ 7 Giải bất phương trình sau trên tập : 5 13 57 10 3 2 2

2 3 2 9

3 19 3

   

    

  

Lời giải Điều kiện

19 3

3 4

x x



  





 



Bất phương trình tương đương

2 3 2 9

3 19 3

     

    

  

2

2

2

9 3 9 19 3

x x

     

     

   

9 3 9 19 3

x x

      

   

    

    

0

với mọi 3;19 \ 4 

3

x   

Do đó  * x2 x 2 0  2 x 1 (thoả mãn)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   2;1

 

Ví dụ 8 Giải bất pt x2 x  6 x  1 x  2 x  1  3x2  9x  2

6 1 2 1 3 9 2

6 1 1 2 1 2 2 10 12

        

           



2

2

2

2

2

2

6 2 2 3

2 10 12

1 1 1 2

5 6 2 5 6

2 5 6

1 1 1 2

2 1

1 1 1 2

1 1 1

1 1 1 2 1;2 3;

x

x

x

    

   

    

   

       

   

 

      

   

  

   

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA:

Ví dụ 1:Giải phương trình: 2  2

1 1x x 1 2 1 x

Giải: Điều kiện:  1 x 1 Đặt sin , ;

2 2

x t t   

   

  Ta có phương trình:

3

2 2 2

t

t   

   

1

2 3 6

2 2

1 2

t

x t

x t







 

 



  



  





Ví dụ 2: Giải bất phương trình:  2 5

1x  x 1

Giải: Điều kiện:0 x 1 Đặt x=cost với 0

2

t 

  Ta có

5

sin tcos t1

Do

5

sin t sin ;cost t cos t nên

5

sin cos sin cos 1 0;

2

       

  nên bất phương trình

có nghiệm là mọi x  0;1

Ví dụ 3: Giải phương trình : 4 ( 1 2 ) 3 3 3 1 2 2











HD: Đặt x = cos (0 x ).Phương trình trở thành

12

5 cos

; 12 cos 2

3

cos

3



   x x

Ví dụ 4.(THTT1/2007).Giải phương trình x3 3x  x2

HD.Đk x  2.Khi x < 2 ta có x3 -3x = x+x(x2 -4) > x 2x  x2

Vậy để phương trình có nghiệm ta chỉ xét  2 x 2

Đặt x cos, 0  Khi đó phương trình viết lại

2 cos 3

cos 2

cos 2 ) cos 3

cos

4

(







     

Giải phương trình có nghiệm

5

4 cos 2 , 7

4 cos

x

CÓ CHỨA THAM SỐ

Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau:

1) 2 x m  x

2) 2 x2  3 < x – m

3) x m – x 2m > x 3m

Bài 2:Tìm điều kiện của m để phương trình 2

x  xm x có nghiệm

Bài 3: Tìm điều kiện của m để phương trình 2

2

16 4 0

16

m x

x

   



có nghiệm thực

B) PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1) Dạng Phương Trìnhcó bản

2

0

B

A B

A B

    





   





2) Dạng Bất Phương Trình cơ bản

2 2

 





Ví dụ 1: Giải phương trình: và bất phương trình sau:

1

1

2





 x

2 4 3 1

x x  x  , x

x

x





 2

1

2

2

x  

5

2 3

2

2

3













x

x

x

x

, 2

2 3 3

x  x  x, 1 4  x  2x 1

2 2

3 1



Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau

0 2

2 4 )

2

1 3

)

1

2



















m m

x x x

x m x

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm

|x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – 1

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: 2 2  

x  x m x  m  cĩ nghiệm

Giải:Đặt t x  1 0 ta cĩ t2-1=x2-2x nên pt (1) trở thành:t2-mt+m2-1=0 (2)

Phương trình (1) cĩ nghiệm khi và chỉ khi (2) cĩ ít nhất một nghiệm t 0

 Trường hợp 1: phương trình (2) cĩ nghiệm t=0 2

0 1 0 1

       

 Trường hợp 2: phương trình (2) cĩ nghiệm 2

 Trường hợp 3: phương trình (2) cĩ nghiệm

2

2

1 2

2 3 2 3

3 3

3 4 0 0

0 0

0

m m

m

m

m

 

 





  

 



 



           



    







Đáp số: 1 2 3

3

m

  

Ví dụ 2: Cho phương trình : 2

2 1

x  xm  x

a) Giải phương trình với m=0

b) Tìm m để phương trình cĩ bốn nghiệm phân biệt

Giải: Đặt t = x – 1, thì phương trình đã cho trở thành 2

1 (*)

t m t

a) Với m = 0 ta cĩ 2 2

3 5 0

1 5

2

2

2

t

x

 



    



       





b) Phương trình đã cho cĩ bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) cĩ 4 nghiệm

.Phương trình (*) cĩ 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi phương trình t2 – t + m – 1 = 0 và t2 + t + m – 1 = 0 cĩ hai nghiệm khơng âm phân biệt Nhưng phương trình t2 + t + m – 1 = 0 khơng thể cĩ hai nghiệm khơng âm (vì S= –1<0) Vậy phương trình đã cho khơng thể cĩ 4 nghiệm phân biệt

C) PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG 4 2

0

ax  bx   c

Phương pháp đặt x2 = t ( t >=0)

ví dụ : Giải các phương trình