n=1: Định lý Lagrange... Suy ra điều phải chứng minh.
Trang 1Đề 8: Đề thi cuối kỳ môn giải tích I – k59
Câu 1: Tìm giới hạn
2
0
1 3s inx lim
1 sin
x
Câu 2: Cho hàm số
3
( )
x
f x
khi x
Tính f '(0)
Câu 3: Tìm các tiệm cận của hàm số y 3x 2arctanx
Câu 4: Tính tích phân
2 2
ln( 1) ( 2)
x dx x
Câu 5: Tính tích phân
ln 2 3
0 2 1
x x
e dx
e
Câu 6: Sử dụng vi phân toàn phần, tính gần đúng:
3 4(1, 97) (3, 02) 3
Câu 7: Tìm cực trị của hàm số
( , ) 2
2 2 (0; 0), (0; 0), (0; 0)
Câu 9: Chứng minh rằng với 0 ,tích phân suy rộng
1
cosx
dx
x
hội tụ
Câu 10: Cho các số x y i, i ( , ),a b i 1, , (nn 1) và x i y i,1 i n Chứng minh rằng: nếu f khả vi trên (a,b) thì tồn tại sốc a b, sao cho
Đáp án:
Trang 2Câu 1:
0 0
2
2 4sin
2 1 3sin lim ln 1 lim ln
1 sin
1 sin 0
1 3sin
) lim
1 sin
x x
x x
x
x
x
x
Giới hạn là 8
e Câu 2:
Câu 3:
+) Hàm số không có tiệm cận đứng
+) Khi : arctan
2
, tiệm cận xiên: y x 3
+) Khi : arctan
2
, tiệm cận xiên: y x 3 Câu 4:
2 ln( 1),
( 2)
dx
x
Ta có: 2
,
x
2
2
+)
2
,
2
2
ln( 1) arctanx ln 2
x
x
Câu 5: Đặt : 2 2
2 1
t
Trang 32
1
t
Câu 6: ) Xét hàm số 3 2 3
( , ) 4 3, (1, 97;3, 02)
(1, 97;3, 02) (2;3) (2;3) 0, 03 (2;3) 0, 02 2 0, 03 0, 02 2, 085
)z x 8x 4xy 4 0,z y 2x 2y 0
Từ pt (2): 2 3
, 4 4 0
x y x Điểm dừng M 1( 1;1)
1 ( 1;1) : 64 0
M B AC ,điểm cực tiểu, zmin 1
Câu 8;
3
2
3
(0; h) (0;0) 1 1
Câu 9:
)
1
A
+) Cho A :sinA 0
1
sin x
dx
x
hội tụ , vì sinx1 11
x x , hội tụ tuyệt đối Câu 10:
+) Ta chứng minh bằng qui nạp toán học
n=1: Định lý Lagrange
Trang 4+) Giả sử mệnh đề đúng với n, tức là tồn tại c o a b, sao cho:
Xét x n1 y n1 thuộc khoảng (a,b) Định lý Lagrange c1 a b, :
( n ) (yn ) '( )( n n )
Nếu c o c1 c thì có điều phải chứng minh
Nếu c o c1 thì
1
1 1
1
(1 ) '( ) '(c )
n
i
o n
i i i
giữa f c'( )o và f c'( ) 1 , với 1 1
1
1
n
i i i
y t
Do hàm số f khả vi trên c c o, 1 nên
theo định lý giá trị trung bình của hàm khả vi, tồn tại cc c o, 1 sao cho
'( ) (1 ) ' o '
f c t f c tf c Suy ra điều phải chứng minh Làm tương tự với c o c1