Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Trang 1Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số
PHẦN IV: ĐẠO HÀM
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2chủ đề 3
Đạo hàm cấp cao
I Kiến thức cơ bản
1 Đạo hàm cấp hai
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x)
Đạo hàm của hàm số f'(x), nếu có, đợc gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu là y'' hay f''(x)
Ví dụ 1
a Cho y=x2-3x+1 Ta có: y'=2x-3 và y''=2
b Cho y=sinx Ta có: y'=cosx và y''=-sinx
c Cho y=lnx Ta có: y'=
x
1
và y''=- 2
x
1
d Cho y=x 1 x 2 Ta có:
x
1 +
2 2
x 1
x
=
2 2
x 1
x 1
và y''=
, 2 2
x 1
x 1
2
2
1 2 2
2
x 1
) x 1 ( x ) x 2 1 ( x 1 x 4
2
3 2 2
) x 1 (
x ) x 2 3 (
e Cho y=lnf(x) Ta có: y'=
f
' f
và y''=
,
f
' f
2 2
f
) ' f f '
f Cho y=uv với u>0 và giả sử u, v là các hàm khả vi hai lần theo x Ta có: y'= uv(v'lnu+
u
v ' u )
và y''=
, v
u
v ' u u ln ' v
=(uv)'.(v'lnu+
u
v ' u )+(uv)
,
u
v ' u u ln '
= uv
2 2
u
v ) ' u ( ' v ' uu 2 v '' uu u ln ' v u
v ' u u ln '
Ví dụ 2 Chứng tỏ rằng hàm số y=acosx+bsinx, trong đó a, b là các hằng số
tuỳ ý, thoả mãn phơng trình y''+y=0
Giải
Lấy đạo hàm liên tiếp hai lần, ta đợc:
y'=-asinx+bcosx,
y''=-acosx-bsinx=-y y''+y=0 (đpcm)
2 Đạo hàm cấp ba, đạo hàm cấp n
Tơng tự, đạo hàm của hàm số f''(x), nếu có, đợc gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f(x), kí hiệu là y''' hay f'''(x)
Đạo hàm của hàm số f'''(x), nếu có, đợc gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số f(x), kí hiệu là y'''' hay f(4)(x)
Tơng tự, ta có định nghĩa đạo hàm cấp 5, 6, của f(x), kí hiệu là y(3), y(4),
y(5),
Tổng quát hoá ta có định nghĩa sau:
Đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) của hàm số f(x), nếu có, đợc gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f(x), kí hiệu là y(n) hay f(n) (x) (với nZ, n2)
Trang 3f(n)(x)=[ f(n-1)(x)]'
Ví dụ 3 : Tính đạo hàm cấp 4, cấp 5, cấp n của y=x3
Giải Ta có:
y'=3x2; y''=3.2x=6x; y(3)=6
Do đó y(4)=y(5)= = y(n) =0
Tổng quát, đạo hàm cấp n của y=xn là:
y(n) =n.(n-1).(n-2) 3.2.1=n! (đọc là n giai thừa)
Vậy y=xn y(n) =n!
Ví dụ 4 : Tính đạo hàm cấp n của y=
x
1 Giải Ta có:
y'=(x-1)'=(-1) x-2 ; y''=(-1)(-2) x-3 ; y(3)= (-1)(-2)(-3) x-4
Bằng qui nạp ta chứng minh đợc: y(n) = (-1)(-2)(-3) (-n) x-n-1 =
1 n n
x
! n ) 1 (
Ví dụ 5 : Tính đạo hàm cấp n của y=eax
Giải Ta có:
y'= a.eax ; y''=a2.eax ; y(3)= a3.eax
Bằng qui nạp ta chứng minh đợc: y(n) =an.eax
Đặc biệt: y=ex y(n) = ex
Từ các ví dụ trên, ta có tổng kết sau:
Bài toán 1 Cho hàm số y=f(x) Xác định công thức tính f(n)(x)
phơng pháp chung
Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Tính f'(x), f''(x) (đôi khi cần tính tới f(3)(x), f(4)(x))
Bớc 2: Dự đoán công thức tổng quát f(n)(x) sau đó chứng minh bằng
ph-ơng pháp quy nạp
Chú ý
1 Cần nhớ các công thức cơ bản sau:
a m ( n )
)
x
( =m(m-1) (m-n+1).xm-n
b (lnx)(n) =
n
1 n
x
)!
1 n ( ) 1
c x ( n )
)
a
( =ax.lnna (a>0)
d (sinx)(n) = sin(x+n
2
)
e (cosx)(n) = cos(x+n
2
)
2 Công thức Lepnit: Nếu u và v là các hàm khả vi n lần thì:
(uv)(n) =
n 0 i
i n
C u(i).v(n-i)
Ví dụ 6: CMR nếu hàm số f(x) có đạo hàm cấp n, thì:
Giải
Ta đi chứng minh bằng quy nạp
Với n=1, ta có: [f(ax+b)]'=af'(ax+b)
Giả sử đẳng thức (1) đúng với n=k, tức là ta có:
Ta đi chứng minh (1) cũng đúg với n=k+1, tức là phải chứng minh:
Thật vậy, đạo hàm (2) theo x, ta nhận đợc (3), đó là điều phải chứng minh
Trang 4Ví dụ 7: Cho hàm số y=
d cx
b ax
Tính y(n) Giải
Trớc hết ta đa hàm số về dạng thuận tiện để lấy đạo hàm, ta có:
y=
c
a
c
d x a
b x
= c a
c
d x c
d a
b
c
a + c
a ( a
b -c
c
d x
(c0)
Từ đó ta dự đoán kết quả là: y(n) =
c
a ( a
b -c
d ).(-1)n .n!
1 n
c
d x
Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp (đề nghị bạn
đọc tự làm)
Ví dụ 8: Cho hàm số y=
2 x x
1
2 Tính y
(n) Giải
Trớc hết ta đa hàm số về dạng thuận tiện để lấy đạo hàm, ta có:
y=
2 x x
1
2 =(x 2)(x 1)
1
2 x
A
1 x
B
) 1 x
)(
2
x
(
B 2 A
x
)
B
A
(
1 B 2 A
0 B A
1 B
1 A
Do đó hàm số đợc viết lại dới dạng: y=
2 x
1
-1 x
1
Từ đó ta dự đoán kết quả là:
y(n) =(-1)n .n! n 1
) 2 x (
1
-(-1)n .n! n 1
) 1 x (
1
=(-1)n .n!
2 )n1 x
(
1 )n1 x
(
Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp (đề nghị bạn
đọc tự làm)
Ví dụ 9: Cho hàm số y=sin3x Tính y(n)
Giải
Trớc hết ta đa hàm số về dạng thuận tiện để lấy đạo hàm, ta có:
y=
4
3
sinx-4
1 sin3x
Từ đó ta dự đoán kết quả là:
y(n) =
4
3
sin(x+n
2
)-4
1 3n.sin(3x+n
2
)
Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp (đề nghị bạn
đọc tự làm)
Ví dụ 10: Cho hàm số y=sinax sinbx Tính y(n)
Giải
Trớc hết ta đa hàm số về dạng thuận tiện để lấy đạo hàm, ta có:
Trang 52
1
[cos(a-b)x- cos(a+b)x]
Từ đó ta dự đoán kết quả là:
y(n) =
2
1
{(a-b)n cos[(a-b)x+n
2
]- (a+b)n cos[(a+b)x+n
2
]}
Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp (đề nghị bạn
đọc tự làm)
Ví dụ 11: Cho hàm số y=xcosax Tính y(n)
Giải ( Sử dụng công thức Lepnit )
Ta dự đoán kết quả là:
y(n) =xan.cos(ax+n
2
)+ 1 n
C an-1 cos[ax+(n-1)
2
]
Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp (đề nghị bạn
đọc tự làm)
Ví dụ 12: Cho hàm số y=ln
bx a
bx a
Tính y(n) Giải
Lấy đạo hàm ta có:
y'=
bx a
bx a
bx a
bx
=
) bx a )(
bx a (
ab 2
bx a
b
bx a
b
Đạo hàm y' (n-1) lần (đợc y(n) ), ta dự đoán kết quả là:
1 n 1
n
) bx a (
b )!
1 n (
) 1 (
b
1 n 1
n
) bx a (
) b ( )!
1 n (
) 1 (
b
=(n-1)!.bn
n
1 n
) bx a (
) 1 (
+
bx )n a (
Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp (đề nghị bạn
đọc tự làm)
II Các bài toán chọn lọc
Bài 1: Giả sử hàm số f(x) xác định và có đạo hàm cấp hai khi xx0 Xác định các số a, b, c để hàm số:
F(x)=
0 0
2 0
x x khi c ) x x ( b ) x x ( a
x x khi ) x (
cũng có đạo hàm cấp hai
bài giải
Trớc hết hàm số F(x) phải có đạo hàm cấp 1 tại điểm x0 các đạo hàm một phía tại điểm liên tục x0 của hàm F(x) phải bằng nhau
Bởi vậy cần có:
f(x0)=c (tính liên tục của hàm F(x));
Trang 6
x 0
lim
x
) x ( ) x x
=f'(x0)
=b, tức là F'(x0)=b Tiếp theo, để có đạo hàm cấp hai cần có:
xlim0
x
) x ( ' F ) x x ( '
xlim0
x
) x ( ' F ) x x ( '
xlim0
x
) x ( f ) x x (
limx 0
x
b b x a
=2a
Vậy, điều kiện là: a=
2
1
) x (
f'' 0 , f'(x0)
=b và c=f(x0)
Bài 2: Cho hàm số y=sinx Chứng minh rằng y(n)=sin(x+n
2
)
bài giải
Ta đi chứng minh bằng quy nạp
Với n=1: y'=cosx= sin(x+
2
) đúng
Giải sử công thức đúng với n=k, tức là: y(k)=sin(x+k
2
)
Ta đi chứng minh công thức đúng với n=k+1, tức là chứng minh:
y(k+1)= sin[x+(k+1)
2
]
Thật vậy:
y(k+1)=[y(k)]'=[ sin(x+k
2
)]'= cos(x+k
2
)= sin(x+k
2
+ 2
)
= sin[x+(k+1)
2
]
Vậy: y(n)=sin(x+n
2
)
Bài 3 (ĐHY -1999): Tính đạo hàm cấp n của hàm số y=sin2x, từ đó suy ra đạo hàm cấp n của hàm số y=cos2x
bài giải
Nhận xét rằng:
(sinx)'=cosx=sin(x+
2
) và (cosx)'=-sinx=cos(x+
2
)
Do đó:
y=sin2x=
2
1 (1-cos2x)=
2
1
[1+sin(2x-2
)]
Trang 7 y'=
2
1
.2sin(2x-2
+ 2
)=sin2x, y''=2sin(2x+
2
) và y(3)=22sin(2x+2
2
),
y(n)=2n-1sin[2x+(n-1)
2
]
Vì cos2x+sin2x=1=hằng số (cos2x)(n)= -(sin2x)(n)=- 2n-1sin[2x+(n-1)
2
]
Bài 4: Cho hàm số y=
x 1
1
Tính y(n)
bài giải
Để dự đoán kết quả, ta xét:
) x 1
(
1
) x 1 (
2
) x 1 (
3 2
Dự đoán y(n) = n 1
n
) x 1 (
! n ) 1 (
Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp
Với n=1:
) x 1
(
! 1 )
1
(
) x 1 (
1
Giả sử công thức đúng với n=k, tức là: y(k)=
1 k k
) x 1 (
! k ) 1 (
Ta đi chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là chứng minh:
y(k+1)= k 2
1 k
) x 1 (
)!
1 k (
) 1 (
Thật vậy:
y(k+1)=[y(k)]'=[ k 1
k
) x 1 (
! k ) 1 (
]'= (-1)k.k!
' 1 k
) x 1 (
1
2 k
) x 1 (
1 k
1 k
) x 1 (
)!
1 k (
) 1 (
(đpcm)
Vậy: y(n) = n 1
n
) x 1
(
! n ) 1 (
Bài 5 (Đề-82): Cho hàm số y=
2 x x
3 x
2
a. Tìm a, b sao cho y=
1 x
a
2 x b
Trang 8b. b Tính y(n).
bài giải
a Ta có:
y=
2 x x
3 x
2
=
) 2 x )(
1 x (
3 x 5
= 1 x
a
2 x
b
2
x
x
b a
2
x
)
b
a
(
2
Suy ra:
3 b a 5 b a
7 b
2 a
Khi đó ta đợc: y=
2 x
7
-1 x
2
b Để dự đoán kết quả, ta xét:
y'=7
2
) 2 x (
1
2
) 1 x (
1
;
y''=7
2)3 x (
2 1
1)3 x (
2 1
Dự đoán y(n) =7
1 n n
) 2 x (
! n ) 1 (
1 n n
) 1 x (
! n ) 1 (
(1)
Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp
Với n=1: y'=7
2
) 2 x (
1
2
) 1 x (
1
đúng
Giả sử (1) đúng với n=k, tức là: y(k)= 7
1 k k
) 2 x (
! k ) 1 (
1 k k
) 1 x (
! k ) 1 (
Ta đi chứng minh công thức đúng với n=k+1, tức là chứng minh:
y(k+1)= 7
2 k
1 k
) 2 x (
)!
1 k (
) 1
2 k
1 k
) 1 x (
)!
1 k (
) 1
Thật vậy:
y(k+1) = [y(k)]'=
' 1 k
k 1
k k
) 1 x (
! k ) 1 ( 2 )
2 x (
! k ) 1 ( 7
= 7.(-1)k.k!
2 k
) 2 x (
1 k
2 k
) 1 x (
1 k
= 7
2 k
1 k
) 2 x (
)!
1 k (
) 1 (
-2
2 k
1 k
) 1 x (
)!
1 k (
) 1 (
(đpcm)
Vậy: y(n) =7
1 n n
) 2 x (
! n ) 1 (
1 n n
) 1 x (
! n ) 1 (
Trang 9
III.Bài tập đề nghị
Bài tập 1. Tính đạo hàm cấp hai các hàm số:
a y=ax3+bx2+cx+d
b y=x.ex
3 x
x2
e y=arctgx
f y=ln(x+ x2 1 )
x
1 arcsinx
Bài tập 2. Cho hàm số y=f(x) khả vi ba lần Tìm y'' và y''' nếu
a y=f(xx) b y=f(ex)
Bài tập 3. Cho hàm số y=cosx Chứng minh rằng y(n)=cos(x+n
2
)
Bài tập 4. Cho hàm số y=ln|x| Chứng minh rằng y(n)=
n
1 n
x
)! 1 n (
) 1
Bài tập 5. Cho hàm số y= 2
x 1
2
a Tìm a, b sao cho y=
1 x
a
1 x
b
b Tính y(n)
Bài tập 6. Cho hàm số y=
2 x x
3 x
2
a Tìm a, b sao cho y=
1 x
a
2 x
b
b Tính y(n)
Bài tập 7. (ĐHL/ĐHXD - 2000) Cho hàm số y=
1 x x
2 x x
2 2
Chứng minh rằng y(n)= (-1)n.n!
1 n
1 n
) 1 x 2 (
2
1 )n1 x
(
Bài tập 8. (ĐHY 2000) Cho hàm số y=
3 x x
20 x x
2 2
Tính đạo hàm cấp n của f(x) (không phải chứng minh)
Bài tập 9. Tính y(n) của các hàm số sau:
a y=cos3x b y=sin4x+cos4x c y=sinax cosbx
d y=cosax cosbx e y=sin2ax cosbx f y=sinax cos2bx
g (ĐHGTVT - 96): y=ln(2x+1)
Bài tập 10 Cho đa thức f(x)=anxn+ an-1xn-1+ a1x+a0
a Chứng minh rằng: ak=
! k
) 0 (
f(k) .
b áp dụng: tính hệ số của x2 trong khai triển f(x)=(x2-x+1)1999