Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Trang 1Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số
PHẦN IV: ĐẠO HÀM
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2chủ đề 5
sử dụng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn của hàm số
I Kiến thức cơ bản
Nhắc lại định nghĩa:
f'(xO)=
0
0 x
) x ( ) x ( lim
Bài toán 1 Sử dụng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn của hàm số
phơng pháp chung
Giả sử cần xác định giới hạn L=
0
x
xlim
Q(x),
ta có thể thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1 : Xác định một hàm f(x) f(x0)
Xác định f’(x) f’(x0)
Bớc 2 : Khéo léo biến đổi giới hạn trên về một trong các dạng:
L=
0
0 x
) x ( ) x ( lim
hoặc L=
0
0 x
) x ( ) x ( lim
P(x) = f’(x0) P(x0) với P(x0)
Đôi khi còn sử dụng nhiều hơn một đạo hàm, ví dụ:
L=
0 0 0 0
x x
x x
) x ( g ) x ( g
x x
) x ( ) x ( lim
0
) x ( ' g
) x ( ' f
0
0 với g’(x0)0
Ví dụ 1: Tính giới hạn
1 x
lim
1 x
1
x2
Giải Đặt f(x)=x2-1, ta có: f(1)=0
f’(x)=2x f’(1)=2
Khi đó: limx 1
1
x2
=limx 1
) 1 ( ) x (
= f’(1)=2
Ví dụ 2: Tính giới hạn limx 1
3 x x
3 8 x
2
Giải
Đặt f(x)= x 8 -3, ta có: f(1)=0,
f’(x)=
8 x 2
1
f’(1)=
6
1
Đặt g(x)=x2+2x -3, ta có: g(1)=0,
g'(x)=2x+2 g’(1)=4
Khi đó:
1
x
lim
3 x x
3 8 x
2
1 x
lim
g ( x x ) g 1 ( 1 )
) 1 ( ) x (
=
) 1 ( ' g
) 1 ( ' f
= 24 1
Trang 3Nhận xét: để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng, ta cần:
Thực hiện phép nhận liên hợp cho x 8 -3 là x 8 +3
Thực hiện phép phân tích thành nhân tử cho x2+2x-3=(x-1)(x+2)
Ví dụ 3: Tính giới hạn xlim2
2 x
2 x
3
Giải
Đặt f(x)=3 4x -2, ta có: f(2)=0,
f’(x)=
3 16x2
3
4 f’(2)=
3
1
Khi đó:
2
x
lim
2 x
2 x 4
3
2 x
lim
) 2 ( ) x (
= f’(2)=
3
1
Nhận xét:
a Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng, ta cần:
Thực hiện phép nhận liên hợp cho 3
x
4 -2 là (3 4x )2+23 4x +4.
b Ba ví dụ trên chỉ mang tính minh hoạ cho phơng pháp còn cha nêu nên
đ-ợc tính tiện lợi của phơng pháp Ta tiếp tục xém xét các ví dụ sau :
Ví dụ 4: Tìm
1 x
lim
1 x
7 x x 5
2
3
Giải
Đặt f(x)= 3
x
5 -3x 2 7, ta có: f(1)=0,
f’(x)=-2 2
x 5 2
x
-
3(x2 7)2
3
x
f’(1)=-12
11
Khi đó:
1 x
lim
1 x
7 x x 5
2
3
1 x
lim
1 1 x
) 1 ( ) x (
= f’(1)
2
1 =
-24
11
Nhận xét:
a Để xác định giới hạn trên ta cần sử dụng phơng pháp gọi hằng số vắng,
để chia giới hạn ban đầu thành hai giới hạn con là:
1
x
lim
1 x
2 x 5
2 3
1 x
lim
1 x
2 7 x
2
Sau đó sử dụng phép nhận liên hợp để xác định hai giới hạn đó
b Cúng có thể sử dụng kết quả: bằng cách đặt ẩn phụ t=n1 ax , dễ dàng chứng minh
0
x
lim
x
1 ax 1
n
a (*)
Ví dụ 5: Tìm
0 x
lim
x
2001 x
1 ) 2001 x
( 2 7 .
Giải
Đặt f(x)=(x2+2001)71 2x -2001, ta có: f(0)=0,
Trang 4f’(x)=2x71 2x - 7 6
2
) x 1 ( 7
) 2001 x
( 2
f’(0)=
-7
4002
Khi đó:
0 x
lim
x
2001 x
2 1 ) 2001 x
( 2 7 =
0 x
lim
0 x
) 0 ( ) x (
=
f’(0)=-7
4002
Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng ta cần sử
dụng phơng pháp gọi hằng số vắng, bằng cách thêm bớt P(x)=x2+2001 vào tử thức làm xuất hiện dạng
x
1 ax 1
II.Các bài toán chọn lọc
Bài 1 (ĐHQG-98) Tính giới hạn:
1 x
lim
1 x
2 x
x3
bài giải
Đặt f(x)=x3- 3x 2 , ta có: f(1)=0,
f’(x)=3x2
-2 x 2
3
f’(1)=
2
3 Khi đó: limx 1
2 x 3
x3
) 1 ( ) x (
= 2 3
Bài 2 (ĐHQG/Khối A-97) Tính giới hạn: limx 0
x
x 8 x 1
bài giải
Đặt f(x)=2 1 x -3
x
8 , ta có: f(0)=0, f’(x)=
x 1
1
3(8 x)2
3
1
f’(0)=
12
13
Khi đó: limx 0
x
x 8 x 1
=limx 0
) 0 ( ) x (
= 12
13
Bài 3 (ĐHSP II/Khối A-99) Tính giới hạn:
1 x
lim
1 x
2 x 1
4
bài giải
Đặt f(x)= 4 x 15 x 2 , ta có: f(1)=0,
f’(x)=
4( x 1)3
2
1
5( x 1)4
5
1
f’(1)=
10
7
Khi đó:
1
x
lim
1 x
2 x 1
4
1 x
lim
) 1 ( ) x (
= 10
7
Bài 4 (ĐHGTVT-98) Tính giới hạn: limx 0
x 2 4 x
x sin 1 x 1
bài giải
Đặt f(x)=1- x 1+sinx, ta có: f(0)=0,
Trang 5f’(x)=
-1 x
1
+ cosx f’(0)=0
Đặt g(x)= 3 x 4 -2-x, ta có: g(0)=0,
g’(x)=
4 x 3 2
3
-1
g’(0)=-4
1
Khi đó:
0
x
lim
x 2 4 x
x sin 1 x 1
= 0 x
lim
0 x
) 0 ( g ) x (
g x 0
) 0 ( ) x (
=
) 0 ( ' g
) 0 ( ' f
=0
Bài 5 Tính các giới hạn:
1 x
lim
tg(x 1)
x 3 x
bài giải
Đặt f(x)= x 3-2x, ta có: f(1)=0,
f’(x)=
3 x 2
1
2 f’(1)=
-4
7
Khi đó:
1
x
lim
tg(x 1)
x 3 x
= 1 x
lim
) 1 ( ) x (
) 1 x ( tg
1 x
=-4
7
III.Bài tập đề nghị
Bài tập 1. Tính các giới hạn sau:
a
1
x
lim
5 x x
1 x x
2
2
2 x
lim
2 x x
8 x x x
2
2 3
c limx 1
n x
x
a
xn n
e
1
x
lim
n
) 1 x (
) 1 n ( nx x
2
1 n n
n
) a x (
) a x ( na ) a x (
Bài tập 2. Tính các giới hạn sau:
a.xlim0
1 x 2
x
c xlim1
8 x 5 x
d limx 1
4 x x
2 5 x
2 3
e
0
x
lim
x
1 x
lim
x 2
3
Bài tập 3. Tính các giới hạn:
a
0
x
lim
x
a x
0 x
lim
x
x a x
a (a>0)
c limx a
a x
x a a x
d limx 0
x
a x
Trang 6e
0
x
lim
x
1 x 1
0 x
lim
x
1 ax 1
g
0
x
lim
x
a x
0 x
lim
x
bx 1 ax
i xlim0
m n
dx 1 cx 1
bx 1 ax 1
(ca-bd0)
Bµi tËp 4. TÝnh c¸c giíi h¹n:
a (§HQG 2000) limx0
x sin
1 x 1
x 3 2
b (§HTCKT - 2001): limx 1
1 x
7 x x 5
2
c (§HSP II -2000): xlim/4
tg2x.tg(
4
-x)