Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Trang 1Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số
PHẦN IV: ĐẠO HÀM
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2chủ đề 1
tính đạo hàm bằng định nghĩa
I Kiến thức cơ bản
Bài toán 1 Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xO, bằng định nghĩa
phơng pháp chung
Chúng ta lựa chọn một trọng hai cách trình bày sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Tại x0 cho x một số gia x, ta lần lợt có:
y = f(x + x) f(xO);
x
y
Bớc 2: Tìm
x
y lim 0
Cách 2: Ta có:
f'(xO) =
0
0 x
) x ( ) x ( lim
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số f(x) =
x
1 tại điểm x00 Giải
Hàm số y =
x
1 xác định trong một lân cận của x00 Ta có:
f'(xO) =
0
0 x
) x ( ) x ( lim
0
0 x
x
1 x
1 lim
x x
1 ( lim
0 x
2
0
x
1
Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số :
f(x) =
0 x khi 0
0 x khi x
x cos 1
tại điểm x0 = 0
Giải
Hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x0 = 0 Ta có:
f'(0) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim 0
=
2 0
x cos 1 lim
2 0 x
2
x 4 2
x sin 2 lim
2
1
Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số :
f(x) =
0 x khi 0
0 x khi x
1 sin
x 2
tại điểm x0 = 0
Giải
Hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x0 = 0 Ta có:
f'(0) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim 0
=
x
1 sin x lim
0
Ta có:
Trang 31 Với mọi x0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có:
|xsin
x
1
| |x| |x| xsin
x
1
|x|
2 Mặt khác
0
xlim
(|x|) =
0
xlim
|x| = 0
Suy ra:
x
1 sin x lim
0
Vậy: f'(0) = 0
Ví dụ 4: Cho hàm số :
f(x) =
0 x khi 2
/ 1
0 x khi x
x 1 1
a. CMR f(x) liên tục tại x = 0
b. Tính đạo hàm, nếu có, của f(x) tại điểm x = 0
Giải
a Ta có:
0
x
lim
f(x) = limx 0
x 1
1
= xlim0
x(1 1 x)
) x 1 ( 1
= limx 0
x
1
1
1
2
1 = f(0)
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 0
b Ta có:
f'(0) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim 0
=
x 2
1 x
x 1 1 lim 0 x
=
2
0
x 1 2
x
2
=
) x 1 2 x 2 ( 2
1 lim
0
x =
8
1
Bài toán 2 Cho hàm số
f(x) =
0 2
0 1
x x khi ) x ( f
x x khi ) x ( f
Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm x0
phơng pháp chung
Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 (1) Bớc 2: (Đạo hàm bên trái) Tính
f'( 0
x ) =
0
0 x
) x ( ) x ( lim
Bớc 3: (Đạo hàm bên phải) Tính
f'( 0
x ) =
0
0 x
) x ( ) x ( lim
Trang 4
Bớc 4: Đánh giá hoặc giải f'(
0
x ) = f'(
0
x ), từ đó đa ra lời kết luận
Ví dụ 5: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:
y = f(x) =
0 x khi 1 x x
0 x khi e
2 x
tại điểm x0 = 0
Giải
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0
f'(0) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim
0
0
xlim
x
e 1 x
x2 0 = 1
Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0
f'(0 + ) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim
0
0
xlim
x
e
ex 0 = 1
Nhận xét rằng f'(0) = f'(0 + ) = 1
Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 = 0 và f'(0) = 1
Ví dụ 6: Cho hàm số :
f(x) =
1 x khi b ax
1 x khi
x 2
Tìm a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1
Giải
Để hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trớc hết f(x) phải liên tục tại x =
1, do đó:
1
xlim f(x) =
1
xlim f(x) = f(1) a + b = 1 b = 1a
(1)
Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm x = 1
f'(1) =
1 x
) 1 ( ) x ( lim
1
=
1
xlim
1 x
1
x2
= 2
Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x = 1
f'(1 + ) =
1 x
) 1 ( ) x ( lim
1
=
1
xlim
1 x
1 b ax
=
1
xlim
1 x
1 a 1
ax
= a
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1
f'(1) = f'(1 + ) a = 2
(2) Thay (2) vào (1), ta đợc b = 1
Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b =
1
Bài toán 3 Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a, b), bằng định nghĩa.
phơng pháp chung
Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Tính y = f(x + x) f(x),
Lập tỷ số
x
y
Bớc 2: Tìm
x
y lim 0
Cần lu ý rằng trong các phép tính này, điểm x coi nh cố định còn x thì tiến tới 0
Trang 5Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x trong (0, + ).
Giải
Hàm số y = x xác định trong một lân cận của điểm x>0 Ta lần lợt có:
y = f(x + x)f(x) = xx x
x
y
=
x
x x x
=
) x x x ( x
x x x
=
x x x
1
Do đó:
x
y lim
0
0 x
lim
x x x
1
=
x 2
1
Vậy hàm số y = x có f'(x) =
x 2
1
Bài toán 4 Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b], bằng định nghĩa.
phơng pháp chung
Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) trong khoảng (a, b)
Bớc 2: Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm a
Bớc 3: Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm b
II.Các bài toán chọn lọc
Bài 1 (ĐHGT1994): Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số :
f(x) =
0 x khi 0
0 x khi x
x sin 2
tại x0 = 0
bài giải
Nhận xét hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0, bởi:
0
x
lim
f(x) =
0 x
lim
x
x sin2 =
0 x
lim
( x
x sin sinx) = 0 = f(0)
Ta có: f'(0) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim 0
=
0
xlim
2
x
x sin = 1.
Bài 2 (ĐH Huế2000): Cho hàm số :
f(x) =
0 x khi 0
0 x khi x
1 sin
x2
a Tính đạo hàm của f tại mỗi xR
b Chứng tỏ rằng đạo hàm f' không liên tục tại x = 0
bài giải
a Tính đạo hàm của f tại mỗi xR
Với x0, ta có f' = 2xsin
x
1
cos x
1
Với x = 0, ta có :
f'(0) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim 0
=
0
xlim
x.sin
x
1 = 0 (lời giải trong ví dụ 3) Vậy:
f'(x) =
0 x khi 0
0 x khi x
1 cos x
1 sin x 2
b Chứng tỏ rằng đạo hàm f' không liên tục tại x0 = 0
Trang 6Nhận xét rằng hàm số cos
x
1 không có giới hạn khi x0 (lời giải tơng tự ví
dụ 3 chủ đề 3 phần I)
f'(x) không có giới hạn khi x0 f' không liên tục tại x = 0
Bài 3 (Đề111): Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số : f(x) =
| x
| 1
x
tại điểm x0 = 0
bài giải
Viết lại hàm số dới dạng:
f(x) =
0 x khi x 1 x
0 x khi x 1 x
Hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x0 = 0 Ta có:
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0
f'(0) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim
0
0
xlim
x x 1
x
= xlim 0
x 1
1
= 1
Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0
f'(0 + ) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim
0
0
xlim
x x 1
x
= xlim 0
x 1
1
= 1 Nhận xét rằng f'(0) = f'(0 + ) = 1
Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 = 0 và f'(0) = 1
Chú ý Chúng ta có thể tính một cách trực tiếp, nh sau:
f'(0) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim 0
=
0
xlim
x
| x
| 1
x
=
0
xlim
1 |x|
1
Bài 4 (ĐHHH 97): CMR hàm số y =
1 x
| 3 x
| 2
x2
liên tục tại x = 3 những không có đạo hàm tại điểm ấy
bài giải
Viết lại hàm số dới dạng:
f(x) =
3 x khi 1
x 3
6 x 2 x
3 1 x 3 khi 1
x 3
6 x 2 x
2
2
Ta có: lim (x)
3
x =
3
xlim
| 3 x
| 2
x2
10
9 = f(3)
Do đó hàm số liên tục tại x = 3
Trang 7Mặt khác:
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 3
f'(3) =
3 x
) 3 ( ) x ( lim
3
= 100
13
Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 3
f'(3 + ) =
3 x
) 3 ( ) x ( lim
3
= 100
53 Nhận xét rằng f'(3)f'(3 + )
Vậy, hàm số không có đạo hàm tại x = 3
Bài 5 (Đề67): Cho hàm số :
f(x) =
0 x khi 1 bx ax
0 x khi e
) a x (
2
bx
Xác định a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0
bài giải
Để hàm số có đạo hàm tại x = 0, trớc hết f(x) phải liên tục tại x = 0, do đó:
0
xlim f(x) =
0
xlim f(x) = f(0) a = 1
(1)
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0
f'(0) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim
0
=
0
xlim
x
1 e
) 1 x
0
xlim (
b bx
1 e
e
bx
bx
Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0
f'(0 + ) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim
0
0
xlim
x
1 1 bx
0
xlim (x + b) =
b
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0, nếu và chỉ nếu:
f'(0) = f'(0 + ) 1b = b b = 1/2
Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0, nếu và chỉ nếu a = 1, b = 2
1
Bài 6 (Đề87): Cho hàm số
f(x) =
0 x khi 1
q px
0 x khi x sin q x cos p
Chứng tỏ rằng với mọi cách chọn p, q hàm f(x) không thể có đạo hàm tại điểm x = 0
bài giải
Để hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0 f(x) phải liên tục tại x = 0, do
đó:
0
xlim f(x) =
0
xlim f(x) = f(0) p = q + 1 q = p1
(1)
Khi đó hàm số f(x) có dạng:
f(x) =
0 x khi p
px
0 x khi x sin ) 1 p ( x cos p
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0
f'(0) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim
0
0
xlim
x
p x sin ) 1 p ( x cos
Trang 8=
0
xlim
x
) x cos 1 ( p x sin ) 1 p
=
0
xlim [
x
x sin ) 1 p (
2
2
2
/
x
4
2
x
sin
px
2
] = p1
Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0
f'(0 + ) =
0 x
) 0 ( ) x ( lim
0
0
xlim
x
p p
px
xlim0 p = p.
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0, nếu và chỉ nếu:
f'(0) = f'(0 + ) p = p1 vô nghiệm
Vậy mọi cách chọn p, q hàm f(x) không thể có đạo hàm tại điểm x = 0
Bài 7 (ĐHY 98): Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số : y = log20x
bài giải
Cho x một số gia x, ta có:
y = f(x + x)f(x) = log20
x
x
x
x
y
=
x x
x x log20
=
x x
) x
x 1 ln(
.
20
ln
x
1
Do đó:
x
y lim
0
20 ln x
1 y' =
20 ln x
1
Bài 8 (ĐHY 2000): Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số : y = 2000x
bài giải
Cho x một số gia x, ta có:
y = f(x + x)f(x) = 2000x + x2000x
x
y
=
x
2000
= 2000x
x
1
2000 x
= 2000x.ln2000
2000
ln
x
1
e xln2000
Do đó:
x
y lim
0
= 2000x.ln2000 y' = 2000x.ln2000
III Bài tập đề nghị
Bài tập 1. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau đây tại điểm x0:
a f(x) = x24x + 3 với x0 = 1
b f(x) =
1 x
1
với x0 = 2 c. f(x) = x 1
3 x 2
với x0 = 3
d f(x) = 3 x 4 với x0 = 1
Bài tập 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau đây:
Trang 9a f(x) =
1 x
1
2
b f(x) = x2 1
Bài tập 3. Tính đạo hàm của hàm số y = nx trong đó n là số nguyên dơng
và x>0
Bài tập 4. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của
a y = f(x) =
0 x khi 0
0 x khi ) x / 1 cos(
x 2
tại x0 = 0
b (ĐHGT1997): f(x) =
0 x khi 0
0 x khi x
x 2 cos 1
tại x = 0
Bài tập 5. Cho hàm số y = |x1| CMR hàm số liên tục tại x = 1 nhng không có đạo hàm tại điểm này
Bài tập 6. Cho hàm f xác định bởi:
f(x) =
0 x khi 4
/ 1
0 x khi x
2 4 x
a CMR hàm số f(x) liên tục tại x = 0
b Tìm đạo hàm, nếu có, của f tại x = 0
Bài tập 7. Cho hàm số f xác định bởi:
f(x) =
0 x khi 1
0 x khi x
tgx
a CMR f liên tục tại x = 0
b Tìm đạo hàm, nếu có, của f tại x = 0
Bài tập 8. Tìm a, b để hàm số sau có đạo hàm tại điểm x = 1
f(x) =
1 x khi b ax x
1 x khi x
2 2
Bài tập 9. (ĐHGT2000): Tìm a để hàm số sau có đạo hàm tại x0 = 0
f(x) =
0 x khi 1 ax x
0 x khi e
) 1 x (
2 x
Bài tập 10 (HVKTMM 1999): Tìm a để hàm số sau có đạo hàm tại x0 = 0
f(x) =
0 x khi 1 ax x
0 x khi e
2 x
Bài tập 11 Cho hàm số y = sinx.
a Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 = 0
b Viếtphơng trình của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm x0 = 0
Bài tập 12 Cho hàm số y = |x2 + 4x + 3|
a Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 = 1
b Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 = 3